第四章 导数-【高考一线·真题研究】2025年高考数学分类必刷题

第四章 导 数 第四章 导 数 4.1 导数的计算 【解题·小帮手】 ▶基本初等函数的导数公式 (1)若f(x)=C(C 为常数),则f'(x)=0; (2)若f(x)=xα(α∈Q且α≠0),则f'(x) =αxα-1; (3)若f(x)=sin x,则f'(x)=cos x; (4)若f(x)=cos x,则f'(x)=-sin x; (5)若f(x)=ax(a>0且a≠1),则f'(x) =axln a; (6)若f(x)=ex,则f'(x)=ex; (7)若f(x)=logax(a>0且a≠1),则 f'(x)= 1 xln a= 1 xlogae ; (8)若f(x)=ln x,则f'(x)= 1 x. ▶导数的四则运算法则 (1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x); (2)[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x) g'(x); (3)f (x) g(x) 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁'=f (x)'g(x)-f(x)g'(x) g2(x) . ▶复合函数导数公式:若y=f[g(x)](g(x) ≠0),则y'=f'[g(x)]·g'(x). 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 182.(2020·新课标全国三,15)设函数f(x) = ex x+a ,若f'(1)= e 4 ,则a= . 183.(2018·天 津,10)已 知 函 数 f(x)= exln x,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(1) 的值为 . 184.(2016·天津,10)已知函数f(x)=(2x+ 1)ex,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(0)的 值为 . 185.(2015·天 津,11)已 知 函 数 f(x)= axln x,x∈(0,+∞),其 中a 为 实 数, f'(x)为f(x)的导函数,若f'(1)=3,则a 的值为 . 186.(2013·江西,13)设函数f(x)在(0, +∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f'(1) = . 187.(2010·江西,4)若f(x)=ax4+bx2+c 满足f'(1)=2,则f'(-1)= ( ) A.-1 B.-2 C.2 D.0 188.(2009·湖北,14)若f(x)=f' π 4 cos x+ sin x,则f π 4 的值为 . 189.(2008·宁夏海南,4)设f(x)=xln x,若 f'(x0)=2,则x0= ( ) A.e2 B.e C. ln 2 2 D.ln 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4.2 切 线 【解题·小帮手】 ▶曲线y=f(x)在点P(a,b)的切线 曲线y=f(x)在点P(a,b)的切线一定通过点 P(a,b),切线方程为y-b=f'(x0)(x-a). ▶曲线y=f(x)过点P(a,b)的切线 曲线y=f(x)过点P(a,b)的切线不一定 通过点P(a,b),设切点为Q(x0,f(x0)), 则切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 23 高考一线 真题研究 数学 ①,又切线过点 P(a,b),则b-f(x0)= f'(x0)(a-x0)②.由①②解出x0,代入①, 即可求得切线方程. ▶注意:求曲线的切线方程时,一定认清“曲线 在点”与“曲线过点”两个不同的要求. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 190.(2024·新高考全国一,13)若曲线y= ex+x 在点(0,1)处的切线也是曲线y= ln(x+1)+a的切线,则a= . 191.(2024·新课标全国甲理,6)设函数f(x) = ex+2sin x 1+x2 ,则曲线y=f(x)在(0,1) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面 积为 ( ) A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 192.(2024·新高考全国二,16节选)已知函数 f(x)=ex-ax-a3.当a=1时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程. 193.(2024·天津,20节选)设函数f(x)= xln x.求f(x)图象上点(1,f(1))处的切 线方程. 194.(2023·新课标全国甲文,8)曲线y= ex x+1 在点1, e 2 处的切线方程为 ( ) A.y= e 4x B.y= e 2x C.y= e 4x+ e 4 D.y= e 2x+ 3e 4 195.(2023·新课标全国乙理,21节选)已知函 数f(x)= 1 x+a ln(1+x).当a=-1 时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的 切线方程. 196.(2023·天津,20节选)已知函数f(x)= 1 x+ 1 2 ln(x+1).求曲线y=f(x)在 x=2处切线的斜率. 197.(2023·北京,20节选)设函数f(x)=x -x3eax+b,曲线y=f(x)在点(1,f(1)) 处的切线方程为y=-x+1.求a,b 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 24 第四章 导 数 198.(2022·新高考全国一,15)若曲线y= (x+a)ex 有两条过坐标原点的切线,则a 的取值范围是 . 199.(2022·新高考全国二,14)曲线y=ln|x| 的 过 原 点 的 两 条 切 线 为 , . 200.(2021·新 课 标 全 国 甲,13)曲 线 y= 2x-1 x+2 在点(-1,-3)处的切线方程为 . 201.(2021·天津,20节选)已知a>0.函数 f(x)=ax-xex.求曲线f(x)在点(0, f(0))处的切线方程. 202.(2020·新 课 标 全 国 一,15)曲 线 y= ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该 切线的方程为 . 203.(2020·新课标全国一,21节选)已知函数 f(x)=aex-1-ln x+ln a,当a=e时,求 曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与 两坐标轴围成的三角形的面积. 204.(2020·新课标全国三,21节选)设函数 f(x)=x3+bx+c,曲线y=f(x)在点 1 2 ,f 1 2 处的切线与y 轴垂直,求b. 205.(2019·新 课 标 全 国 一,13)曲 线 y= 3(x2+x)ex 在点(0,0)处的切线方程为 . 206.(2019·新 课 标 全 国 二,10)曲 线 y= 2sin x+cos x 在点(π,-1)处的切线方程 为 ( ) A.x-y-π-1=0 B.2x-y-2π-1=0 C.2x+y-2π+1=0 D.x+y-π+1=0 207.(2019·新课标全国三,6)已知曲线y= aex+xln x 在点(1,ae)处的切线方程为 y=2x+b,则 ( ) A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1 C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1 208.(2019·天津,11)曲线y=cos x-x2 在点 (0,1)处的切线方程为 . 209.(2018·新课标全国一,5)设函数f(x)= x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则 曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 ( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 210.(2018·新课标全国二,13)曲线y=2ln x 在点(1,0)处的切线方程为 . 211.(2018·新 课 标 全 国 三,14)曲 线 y= (ax+1)ex 在点(0,1)处的切线的斜率为 -2,则a= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 25 高考一线 真题研究 数学 4.3 单调性 【解题·小帮手】 ▶利用导数判断单调性 已知函数f(x)在区间D 上可导,若f'(x)>0, 则f(x)在区间D 上单调递增;若f'(x)< 0,则f(x)在区间D 上单调递减. ▶利用导数求单调区间 在定义域上求得导数为正的区间即为函数 的递增区间,导数为负的区间即为函数的递 减区间. ▶含参导数的分类讨论 (1)求导后分离出导数中控制正负“开关”, 根据其代数特征确定其对应函数类型,在定 义域上结合该函数可能出现的单调性和零 点,讨论其出现正负的各种可能,从而确定 函数的单调性. (2)若求导后,分离出的是不能有理因式分 解的二次函数,则需要讨论其图象与x 轴的 关系,即从讨论判别式Δ 开始.当Δ>0时, 表示出两个零点,接着需要讨论这两个零点 的大小以及和定义域区间端点的大小,讨论 各种情况下二次函数出现正负的可能情况, 从而确定函数单调性. (3)若求导后分离的是多项式乘积代数式 (求导后的因式分解很重要),则分类讨论每 一个多项式函数的单调性以及它们的零点 大小,结合零点分成的定义域片断,在每一 个片断上讨论每一个多项式函数可能出现 的正负,进而确定出每一个定义域片断多项 式乘积的正负,从而确定函数单调性. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 212.(2024·北京,20节选)设函数f(x)= x+kln(1+x)(k≠0),直线l是曲线y= f(x)在点(t,f(t))(t>0)处的切线.当 k=-1时,求f(x)单调区间. 213.(2023·新高考全国二,6)已知函数f(x) =aex-ln x 在区间(1,2)上单调递增,则 a的最小值为 ( ) A.e2 B.e C.e-1 D.e-2 214.(2023·新高考全国二,22节选)证明:当 0<x<1时,x-x2<sin x<x. 215.(2023·新课标全国甲理,21节选)已知 f(x)=ax- sin x cos3x ,x∈0, π 2 .若a=8,讨 论f(x)的单调性. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 26 第四章 导 数 216.(2023·新课标全国乙理,16)设a∈(0, 1),若函数f(x)=ax+(1+a)x 在(0,+∞) 上单调递增,则a的取值范围是 . 217.(2022·新高考全国二,22节选)已知函数 f(x)=xeax-ex,当a=1时,讨论f(x)的 单调性. 218.(2022·北京,20节选)已知函数f(x)= exln(1+x),设g(x)=f'(x),讨论函数 g(x)在[0,+∞)上的单调性. 219.(2022·浙江,22节选)设函数f(x)= e 2x+ln x(x>0),求f(x)的单调区间. 220.(2021·新高考全国一,22节选)已知函数 f(x)=x(1-ln x),讨论f(x)的单调性. 221.(2021·新高考全国二,22节选)已知函数 f(x)=(x-1)ex-ax2+b,讨论f(x)的 单调性. 222.(2021·新课标全国甲,21节选)已知a> 0且a≠1,函数f(x)= xα ax (x>0),当a=2 时,求f(x)的单调区间. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 27 高考一线 真题研究 数学 223.(2021·新课标全国乙,21节选)已知函数 f(x)=x3-x2+ax+1,讨论f(x)的单 调性. 224.(2020·新课标全国一,理21节选)已知 函数f(x)=ex+ax2-x,当a=1时,讨论 f(x)的单调性. 225.(2020·新课标全国一,文21节选)已知 函数f(x)=ex-a(x+2),当a=1时,讨 论f(x)的单调性. 226.(2019·新课标全国三,20节选)已知函数 f(x)=2x3-ax2+2,讨论f(x)的单 调性. 227.(2019·天津,理20节选)设函数f(x)= excos x,g(x)为f(x)的导函数,求f(x) 的单调区间. 228.(2019·天津,文20节选)设函数f(x)= ln x-a(x-1)ex,其中a∈R.若a≤0,讨 论f(x)的单调性. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 28 第四章 导 数 229.(2018·新课标全国一,21节选)已知函数 f(x)= 1 x-x+aln x,讨论f(x)的单 调性. 230.(2018·新课标全国三,21节选)已知函数 f(x)=ex-ax2,若a=1,证明:当x≥0 时,f(x)≥1. 231.(2017·新课标全国一,理21节选)已知 函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,讨论 f(x)的单调性. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4.4 极值与最值 【解题·小帮手】 ▶若f'(x0)=0,在x0 的左侧f'(x)<0,在 x0 的右侧f'(x)>0,则x0 是f(x)的极小 值点;在x0 的左侧f'(x)>0,在x0 的右侧 f'(x)<0,,则x0 是f(x)的极大值点. ▶若函数f(x)可导,则“f'(x0)=0”是“函数 f(x)在x=x0 处有极值”的必要不充分条 件.由极值点求参数问题一定要检验极值点 是否成立. ▶函数在开区间上的最值必在极值处取得,极 值中最大的是极大值,最小的是极小值;函 数在闭区间上的最值,除了考虑极值外,还 要考虑闭区间的端点值. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 232.(多选题)(2024·新高考全国一,10)设函 数f(x)=(x-1)2(x-4),则 ( ) A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时,f(x)<f(x2) C.当1<x<2时,-4<f(2x-1)<0 D.-1<x<0时,f(2-x)>f(x) 233.(2024·新高考全国二,16节选)已知函数 f(x)=ex-ax-a3.若f(x)有极小值, 且极小值小于0,求a的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 29 高考一线 真题研究 数学 234.(2024·新课标全国甲理,21)已知函数 f(x)=(1-ax)ln(1+x)-x. (1)当a=-2时,求f(x)的极值; (2)当x≥0时,f(x)≥0恒成立,求a 的 取值范围. 235.(多选题)(2023·新高考全国二,11)若函 数f(x)=aln x+bx+ c x2 (a≠0)既有极 大值也有极小值,则 ( ) A.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac<0 236.(2023·新 高 考 全 国 一,19)已 知 函 数 f(x)=a(ex+a)-x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)证明:当a>0时,f(x)>2ln a+32. 237.(2022·新高考全国一,8)已知正四棱锥 的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为36π,且3≤l≤33,则该 正四棱锥体积的取值范围是 ( ) A.18, 81 4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 B.274 ,81 4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 C.274 ,64 3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 D.[18,27] 238.(2022·新课标全国甲,6)当x=1时,函 数f(x)=aln x+bx 取得最大值-2,则 f'(2)= ( ) A.-1 B.- 1 2 C. 1 2 D.1 239.(多选题)(2022·新高考全国一,10)已知 函数f(x)=x3-x+1,则 ( ) A.f(x)有两个极值点 B.f(x)有三个零点 C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D.直线y=2x 是曲线y=f(x)的切线 240.(2022·新高考全国一,22节选)已知函数 f(x)=ex-ax 和g(x)=ax-ln x 有相 同的最小值,求a. 241.(2021·新课标全国乙,20节选)设函数 f(x)=ln(a-x),已知x=0是函数y= xf(x)的极值点,求a. 242.(2020·天津,20.节选)已知函数f(x)= x3+kln x(k∈R),f'(x)为f(x)的导函 数.当k=6时,求: (1)曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线 方程; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 30 第四章 导 数 (2)函数g(x)=f(x)-f'(x)+ 9 x 的单调 区间和极值. 243.(2018·北京,19)设函数f(x)=[ax2- (3a+1)x+3a+2]ex. (1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切 线斜率为0,求a; (2)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的 取值范围. 244.(2017·新课标全国二,11)若x=-2是 函数f(x)=(x2+ax-1)·ex-1 的极值 点,则f(x)的极小值为 ( ) A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4.5 图 象 【解题·小帮手】 ▶导数的正负在函数图象中的体现是增减,而 函数的单调性在导数中体现出来的是正负.导 数与函数的核心:导数看正负,函数看增减. ▶导数递增,则原函数下凸;导数递减,则原函 数上凸(导数的几何意义为切线斜率,导数 递增,则切线斜率递增,导数递减,则切线斜 率递减). 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 245.(2021·浙江,7)已知函数f(x)=x2+ 1 4 ,g(x)=sin x,则图象为如图的函数可 能是 ( ) O y x  ?  ? A.y=f(x)+g(x)- 1 4 B.y=f(x)-g(x)- 1 4 C.y=f(x)g(x) D.y=g (x) f(x) 246.(2018·新课标全国二,3)函数f(x)= ex-e-x x2 的图象大致为 ( )   O x y A   O x y B   O x y C   O x y D 247.(2018· 新 课 标 全 国 三,7)函 数 y= -x4+x2+2的图象大致为 ( )  O x y A  O x y B 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 31 高考一线 真题研究 数学  O x y C  O x y D 248.(2017·浙江,7)函数y=f(x)的导函数 y=f'(x)的图象如图所示,则函数y= f(x)的图象可能是 ( ) O y x O y x A O y x B O y x C O y x D 249.(2015·安徽,10)函数f(x)=ax3+ bx2+cx+d 的图象如图所示,则下列结论 成立的是 ( ) x x x y O P A.a>0,b<0,c>0,d>0 B.a>0,b<0,c<0,d>0 C.a<0,b<0,c<0,d>0 D.a>0,b>0,c>0,d<0 O x y  250.(2013·浙江,8)已知 函数y=f(x)的图象 是下列四个图象之一, 且其导函数y=f'(x) 的图象如图所示,则该函数的图象是 ( ) O x y  A O x y  B O x y  C O x y  D 
 O y x 251.(2012·重庆,8)设函数 f(x)在 R 上可导,其导 函数 为 f'(x),且 函 数 y=(1-x)f'(x)的图象 如图所示,则下列结论中 一定成立的是 ( ) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2) x xO y yg′ x yf ′ x 252.(2008·福建,12)已知 函 数 y=f(x),y= g(x)的导函数的图象如 图所示,那么y=f(x), y=g(x)的图象可能是 ( ) x xO y yg x yf x A x xO y yg x yf x B x xO y yg x yf x C x xO y yg x yf x D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 32 第四章 导 数 253.(2007·浙江,8)设f'(x)是函数f(x)的 导函数,将y=f(x)和y=f'(x)的图象画 在同一个直角坐标系中,不可能正确的是 ( ) O x y A O x y B O x y C O x y D 254.(2005·江西,7)已知函数y=xf'(x)的 图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的 导函数),下面四个图象中y=f(x)的图象 大致是 ( ) O x y O x y A O x y B O x y C O x y D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4.6 导数的综合问题 【解题·小帮手】 ▶函数的零点、方程的根、曲线的交点之间要 能进行灵活转化. ▶利用导数求解函数的单调性,能画出函数的 变化趋势图,能判断极值点与水平线的大小 关系,进而判断出零点个数.另外,注意使用 零点存在定理说明零点的存在性. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 255.(2024·新 高 考 全 国 一,18)已 知 函 数 f(x)=ln x 2-x+ax+b (x-1)3. (1)若b=0,且f'(x)≥0,求a的最小值; (2)证明:曲线y=f(x)是中心对称图形; (3)若f(x)>-2,当且仅当1<x<2,求 b的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 33 高考一线 真题研究 数学 256.(2024·北京,20节选)设函数f(x)= x+kln(1+x)(k≠0),直线l是曲线y= f(x)在点(t,f(t))(t>0)处的切线. (1)求证:l不经过点(0,0). (2)当k=1时,设点A(t,f(t))(t>0),C (0,f(t)),O(0,0),B 为l与y 轴的交点, S△ACO 与 S△ABO 分 别 表 示 △ACO 与 △ABO 的 面 积.是 否 存 在 点 A 使 得 2S△ACO=15S△ABO 成立? 若存在,这样的 点A 有几个? (参考数据:1.09<ln 3<1.10,1.60<ln 5< 1.61,1.94<ln 7<1.95) 257.(2023·新课标全国乙文,8)函数f(x)= x3+ax+2存在3个零点,则a 的取值范 围是 ( ) A.(-∞,-2) B.(-∞,-3) C.(-4,-1) D.(-3,0) 258.(2021·新课标全国甲,20)设函数f(x) =a2x2+ax-3ln x+1,其中a>0. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若y=f(x)的图象与x 轴没有公共点, 求a的取值范围. 259.(2013·北京,18节选)已知函数f(x)= x2+xsin x+cos x.若曲线y=f(x)与函 数y=b 有两个不同交点,求b 的取值 范围. 260.(2012·全国,10)已知函数y=x3-3x+ c的图象与x 轴恰有两个公共点,则c= ( ) A.-2或2 B.-9或3 C.-1或1 D.-3或1 261.(2009·江西,17节选)设函数f(x)= x3-92x 2+6x-a.若方程f(x)=0有且 仅有一个实根,求a的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 34 详解答案   




O x y 由图可知,0<b<2. 180.B 解析:方程f(x)=g(x)有两个不相 等的实根,即函数f(x)=|x-2|+1, g(x)=kx 的图象有两个不同交点,画图可 知当直线介于l1:y= 1 2x ,l2:y=x 之间 时,1 2<k<1 ,故选B. 












    y yx y x ]x] x x y 181.2 解析:∵f(x)=4cos2 x 2cos π 2-x - 2sin x-|ln(x+1)|=2(1+cos x)sin x- 2sin x-|ln(x+1)|=sin 2x-|ln(x+1)|, ∴函 数 f(x)的 零 点 个 数 为 函 数 y= sin 2x 与y=|ln(x+1)|图象的交点的个 数,画出函数y=sin 2x 与y=|ln(x+1)| 图象,如图,由图知,两函数图象有2个交 点,∴函数f(x)有2个零点.      O x y  第四章 导 数 4.1 导数的计算 182.1 解析:对 f(x)= ex x+a 求 导 可 得 f'(x)= ex(x+a-1) (x+a)2 ,而 f' (1)= ae (1+a)2 = e 4 ,解方程得a=1. 183.e 解析:对f(x)=exln x 求导可得 f'(x)=exln x+ex 1x=e x ln x+ 1 x ,则 f'(1)=e. 184.3 解析:对f(x)=(2x+1)ex 求导可得 f'(x)=2ex+(2x+1)ex=ex(2x+3),则 f'(0)=3.总 结 出 一 个 常 见 小 结 论:若 g(x)=exf(x),则g'(x)=ex[f(x)+ f'(x)]. 185.3 解析:对f(x)=axln x 求导可得 f'(x)=a(ln x+1),而f'(1)=a=3,故 a=3. 186.2 解析:本题先要求得f(x),再进一步 求f'(1),通过换元求解f(x).令t=ex> 0,则x=ln t,所以f(t)=ln t+t,即 f(x)=ln x+x,而f'(x)= 1 x+1 ,所以 f'(1)=2. 187.B 解析:方法一:对f(x)=ax4+bx2+c 求导可得f'(x)=4ax3+2bx,则f'(1)= 4a+2b=2.f'(-1)= -4a-2b= -(4a+2b)=-2,故选B. 方法二:若f(x)是偶函数,则f'(x)是奇 函数. 简证:f(x)是偶函数,即f(-x)=f(x), 对等式两边求导可得-f'(-x)=f'(x), 即f'(-x)=-f'(x). 同样地,若f(x)是奇函数,则f'(x)是偶 函数. 因为f(x)=ax4+bx2+c 是偶函数,故 f'(x)是奇函数,则f'(-1)=-f'(1)= -2. 188.1 解析:对 f(x)=f' π 4 cos x+ sin x 求导得f'(x)=-f' π 4 sin x+ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 203 高考一线 真题研究 数学 cos x,则f' π 4 =-f' π4 sinπ4+cosπ4, 解得f' π 4 =2-1,则f(x)=(2-1)cos x+ sin x,所 以 f π 4 =(2-1)cosπ4+ sin π 4=1. 189.B 解析:对 f(x)=xln x 求 导 可 得 f'(x)=ln x+1,而f'(x0)=ln x0+1=2, 解方程得x0=e,故选B. 4.2 切 线 190.ln 2 解析:由y=ex+x,得y'=ex+1, 所以y'|x=0=2,则曲线y=ex 在(0,1)处 的切线方程为y=2x+1.由y=ln(x+ 1)+a,得y'= 1 x+1. 设切 点 为 (x0,ln(x0 +1)+a),则 y'|x=x0= 1 x0+1 =2,解得x0=- 1 2 ,所以 切点为 - 1 2 ,-ln2+a ,代入切线方 程 y=2x+1,得-ln 2+a=0,解得a=ln 2. 191.A 解析:f'(x)= (ex+2cos x)(1+x2)-(ex+2sin x)·2x (1+x2)2 , 则f'(0)=3,即该切线方程为y-1=3x, 即y=3x+1.令x=0,则y=1;令y=0, 则x=-13 ,所以该切线与两坐标轴所围 成的三角形面积S=12×1× - 1 3 = 1 6 , 故选A. 192.解:当a=1时,则f(x)=ex-x-1, f'(x)=ex-1, 所以f(1)=e-2,f'(1)=e-1,即切点坐 标为(1,e-2),切线斜率为e-1, 所以切线方程为y-(e-2)=(e-1) (x-1),即(e-1)x-y-1=0. 193.因为f(x)=xln x,所以f'(x)=ln x+ 1,所以f(1)=0,f'(1)=1, 所以所求的切线经过(1,0),且斜率为1, 其方程为y=x-1. 194.C 解析:设曲线y= ex x+1 在点 1, e 2 处 的切线方程为y- e 2=k (x-1),因为y= ex x+1 ,所 以 y' = ex(x+1)-ex (x+1)2 = xex (x+1)2 ,所以k=y'|x=1= e 4 ,所以y- e 2= e 4 (x-1),所以曲线y= ex x+1 在点 1, e 2 处的切线方程为y=e4x+e4,故 选C. 195.解:当a=-1时,f(x)= 1 x-1 ln(x+ 1)(x>-1,且x≠0),则f'(x)=- 1 x2 × ln(x+1)+ 1x-1 × 1x+1,所以f(1)= 0,f'(1)=-ln 2,函数在(1,f(1))处的切 线方 程 为 y-0= -ln 2(x-1),即 (ln 2)x+y-ln 2=0. 196.解:由f(x)= ln(x+1) x + ln(x+1) 2 ,得 f'(x)= 1 x(x+1)+ 1 2(x+1)- ln(x+1) x2 , 所以f'(2)= 1 3- ln3 4 ,故x=2处的切线 斜率为1 3- ln3 4. 197.解:因为f(x)=x-x3eax+b,x∈R, 所以f'(x)=1-(3x2+ax3)eax+b. 因为f(x)在(1,f(1))处的切线方程为 y=-x+1,所以f(1)=-1+1=0, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 204 详解答案 f'(1)=-1,则 1-13×ea+b=0, 1-(3+a)ea+b=-1, 解 得 a=-1, b=1, 所以a=-1,b=1. 198.(-∞,-4)∪(0,+∞) 解析:y'=(x+ a+1)ex,设切点P(x0,(x0+a)e x0),则 y'|x=x0=(x0+a+1)e x0= (x0+a)e x0 x0 = kOP,即x20+ax0-a=0.因为y=(x+ a)ex 有两条过原点的切线,所以x20+ax0 -a=0有两个不等实根,则需Δ=a2+ 4a>0,解得a>0或a<-4,故a∈(-∞, -4)∪(0,+∞). 199.y= x e ,y=- x e 解析:当x>0时,y= ln x,y'= 1 x ,设切点P(x1,ln x1),O(0, 0),所以y'|x=x1= 1 x1 = ln x1 x1 =kOP,解得 x1=e,所以切点P(e,1),y'|x=e= 1 e ,切线 为y= x e. 当x<0时,y=ln(-x),y'= 1 x ,设切点Q (x2,ln(-x2)),O(0,0),所以y'|x=x2= 1 x2 = ln(-x2) x2 =kOQ,解得x2=-e,所以切 点P(-e,1),y'|x=e=- 1 e ,切线为y=- x e. 注意:因为y=ln|x|是偶函数,所以其过 原点的两条切线也关于y 轴对称,即两切 线斜率互为相反数. 200.y=5x+2 解析:对y= 2x-1 x+2 求导,得 y'= 5 (x+2)2 ,还是在点处切线问题,(-1, -3)是切点,所以k=y'|x=-1=5,则所求 切线为y-(-3)=5(x+1),即y=5x+2. 201.解:对f(x)=ax-xex 求导,得f'(x)= a-(x+1)ex,则f'(0)=a-1,且f(0)= 0,故曲线在(0,0)处得切线为y=(a- 1)x. 202.解:对 f(x)=ln x+x+1求 导,得 f'(x)= 1 x+1 ,设切点P(x0,f(x0)),由 题意知k=f'(x0)= 1 x0 +1=2,解得x0= 1,则切点P 为(1,2).所以,斜率为2的切 线为y-2=2(x-1),即y=2x. 203.解:当a=e时,f(x)=ex-ln x+1,对其 求导得f'(x)=ex- 1 x ,则f'(1)=e-1, f(1)=e+1,则曲线在(1,e+1)处的切线 方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y= (e-1)x+2,故该切线与两坐标轴的交点 分别为 2 1-e ,0 ,(0,2),则所求三角形面 积S=12 2 1-e ×2= 2 e-1. 204.解:对 f(x)=x3+bx+c 求 导,得 f'(x)=3x2+b,则f' 1 2 =34+b,又曲线 在 1 2 ,f 1 2 处的切线与y 轴垂直,即34+ b=0,解得b=-34. 205.y=3x 解析:对y=3(x2+x)ex 求导, 得y'=(3x2+9x+3)ex,这是在点处切线 问题,(0,0)是切点,所以k=y'|x=0=3,则 所求切线为y=3x. 206.C 解析:对f(x)=2sin x+cos x 求导, 得f'(x)=2cos x-sin x,这是在点处切 线问题,(π,-1)是切点,所以k=y'|x=π= -2,则所求切线为y-(-1)=-2(x- π),即2x+y-2π+1=0,故选C. 207.D 解析:对f(x)=aex+xln x 求导,得 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 205 高考一线 真题研究 数学 f'(x)=aex+ln x+1,由题意得f'(1)= 2,即ae=1,且f(1)=ae=b+2,解得a= e-1,b=-1,故选D. 208.y=- 1 2x+1 解析:对f(x)=cos x- x 2 求导,得f'(x)=-sin x-12 ,显然还是 在点处切线问题,(0,1)是切点,所以k= y'|x=0=- 1 2 ,则 所 求 切 线 为 y-1= - 1 2 (x-0),即y=- 1 2x+1. 209.D 解析:由题意知f(x)是奇函数,即 f(-x)+f(x)=2(a-1)x=0,则a= 1.所以,f(x)=x3+x,对f(x)=x3+ x 求导得f'(x)=3x2+1,还是个在点处切 线问题,(0,0)是切点,所以k=f'(0)=1, 则所求切线为y=x,故选D. 210.y=2x-2 解析:对y=2ln x 求导,得 y'= 2 x ,这是在点处的切线问题,那么给定 的点就是切点了,所以k=y'|x=1=2,则所 求切线为y=2(x-1)=2x-2. 211.-3 解析:对y=(ax+1)ex 求导,得 y'=(ax+a+1)ex,由题意得y'|x=0=a+ 1=-2,解得a=-3. 4.3 单调性 212.解:由k=-1,得f(x)=x-ln(1+x), f'(x)=1- 1 1+x= x 1+x (x>-1).当 x∈(-1,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+ ∞),f'(x)>0,所以f(x)的单调递减区 间为(-1,0),单调递增区间为(0,+∞). 213.C 解析:由题意知f'(x)=aex- 1 x≥0 在(1,2)上恒成立,显然a>0,所以xex≥ 1 a. 设g(x)=xex,x∈(1,2),则g'(x)= (x+1)ex>0,所以g(x)在(1,2)上单调递 增,因为g(x)>g(1)=e,所以e≥ 1 a ,即 a≥1e=e -1,即a的最小值为e-1,故选C. 214.解:令F(x)=x-sin x,x∈(0,1),则 F'(x)=1-cos x>0对∀x∈(0,1)恒成 立, 所以F(x)在(0,1)上单调递增, 所以F(x)>F(0)=0, 所以x>sin x,x∈(0,1). 令G(x)=sin x-(x-x2)=x2-x+ sin x,x∈(0,1),则 G'(x)=2x-1+ cos x,x∈(0,1). 令g(x)=G'(x),x∈(0,1),则g'(x)= 2-sin x>0对∀x∈(0,1)恒成立, 所以 g(x)在 (0,1)上 单 调 递 增,所 以 g(x)>g(0)=0,即G'(x)>0对∀x∈ (0,1)恒成立, 所以 G(x)在(0,1)上 单 调 递 增,所 以 G(x)>G(0)=0,所以sin x>x-x2,x∈ (0,1). 综上,x-x2<sin x<x. 215.解:f'(x)=a- cos xcos3x+3sin xcos2xsin x cos6x =a-cos 2x+3sin2x cos4x =a-3-2cos 2x cos4x . 令cos2x=t,则t∈(0,1),则f'(x)= g(t)=a- 3-2t t2 = at2+2t-3 t2 . 当a=8,f'(x)=g(t)= 8t2+2t-3 t2 = (2t-1)(4t+3) t2 ; 当t∈0, 1 2 ,即x∈ π4,π2 ,f'(x)<0;当 t∈ 12 ,1 ,即x∈0,π4 ,f'(x)>0, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 206 详解答案 所 以 f (x)在 0, π 4 上 单 调 递 增,在 π 4 ,π 2 上单调递减. 216. 5-1 2 ,1 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 解析:由 题 意 知f'(x)= axln a+(1+a)xln(1+a)≥0在区间(0, +∞)上恒成立,则(1+a)xln(1+a)≥ -axln a,即 1+aa x ≥- ln a ln(1+a) 在区间 (0,+∞)上恒成立,所以 1+aa 0 =1≥ - ln a ln(1+a) ,又因为a+1∈(1,2),所以 ln(1+a)>0,所以 ln(a+1)≥-ln a, 0<a<1, 即 a(a+1)≥1, 0<a<1, 解得 5-12 ≤a<1. 217.解:当a=1时,f(x)=xex-ex=ex(x- 1),则f'(x)=ex(x-1)+ex=xex. 当x<0时,f'(x)<0; 当x>0时,f'(x)>0, 所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在 (0,+∞)上单调递增. 218.解:因为g(x)=f'(x)=exln(1+x)+ 1 1+x , 所以g'(x)=exln(1+x)+ 2 1+x- 1 (1+x)2 . 令h(x)=ln(1+x)+ 21+x- 1 (1+x)2 ,则 h'(x)= 11+x - 2 (1+x)2 + 2 (1+x)3 = x2+1 (1+x)3 >0, 所以h(x)在[0,+∞)上单调递增, 所以h(x)≥h(0)=1>0. 又因 为 ex >0,所 以 g'(x)>0 在[0, +∞)上恒成立,所以g(x)在[0,+∞)上 单调递增. 219.解:f'(x)=- e 2x2 + 1 x= 2x-e 2x2 . 当0<x<e2 时,f'(x)<0;当x> e 2 时, f'(x)>0, 所以f(x)的递减区间为0, e 2 ,f(x)的递 增区间为 e 2 ,+∞ . 220.解:对函数f(x)=x(1-ln x)求导,得 f'(x)=-ln x(x>0),f'(x)单调递减且 f'(1)=0. 所以当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调 递增;当 x∈ (1,+ ∞)时,f'(x)<0, f(x)单调递减. 221.解:f'(x)=ex +(x-1)ex -2ax= x(ex-2a). ①若a≤0,则y2=ex-2a>0. 当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,f(x)单调 递减;当 x∈ (0,+ ∞)时,f'(x)>0, f(x)单调递增. ②若a>0,则y1=x,y2=ex-2a 的零点 分别为0,ln 2a. (ⅰ)若a=12 ,则0=ln 2a.当x∈(-∞, 0)时,y1<0,y2<0,y1y2>0;当x∈(0, +∞)时,y1>0,y2>0,y1y2>0;当x=0 时,y1=0,y2=0,y1y2=0,所以当x∈R, y1y2≥0,即f'(x)≥0,则f(x)在 R上单 调递增. (ⅱ)若a>12 ,则0<ln 2a.当x∈(-∞, 0)时,y1<0,y2<0,y1y2>0,即f'(x)> 0,f(x)单调递增; 当x∈(0,ln 2a)时,y1>0,y2<0,y1y2< 0,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(ln 2a,+∞)时,y1>0,y2>0, y1y2>0,f'(x)>0,f(x)单调递增. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 207 高考一线 真题研究 数学 (ⅲ)若a<12 ,则0>ln 2a. 当x∈(0,ln 2a)时,y1<0,y2<0,y1y2> 0,即f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x∈(ln 2a,0)时,y1<0,y2>0,y1y2< 0,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(0,+∞)时,y1>0,y2>0,y1y2> 0,f'(x)>0,f(x)单调递增. 综上,若a=12 ,则f(x)在R上单调递增; 若a>12 ,则f(x)在(-∞,0)和(ln 2a, +∞)上单调递增,在(0,ln 2a)上单调递减; 若a<12 ,则 f(x)在(0,ln 2a)和(0, +∞)上单调递增,在(ln 2a,0)上单调递减. 222.解:由题意知f(x)= x2 2x ,求导得f'(x)= x·2x(2-xln 2) 4x (x>0),其中x ·2x 4x >0. 令f'(x)>0,即2-xln 2>0,解得0<x< 2 ln 2 ;令f'(x)<0,即2-xln 2<0,解得 x> 2ln 2 ,所以f(x)的单调递增区间为 0, 2 ln 2 ,单调递减区间为 2ln 2,+∞ . 223.解:①当a≥13 ,Δ=4-12a≤0.f'(x)≥ 0,所以f(x)在R上单调递增. ②当a<13 ,Δ=4-12a>0. 设f'(x)=3x2-2x+a的两个零点为x1, x2,则x1= 1- 1-3a 3 ,x2= 1+ 1-3a 3 , 显然x2>x1. 当x∈(-∞,x1)和(x2,+∞)时,f'(x)> 0,f(x)单 调 递 增;当 x∈(x1,x2)时, f'(x)<0,f(x)单调递减. 综上可得: 当a≥13 ,f(x)在R上单调递增; 当a<13 ,f(x)在 -∞, 1- 1-3a 3 和 1+ 1-3a 3 ,+∞ 上单调递增, 在 1- 1-3a 3 ,1+ 1-3a 3 上单调递减. 224.解:由题意知f(x)=ex+x2-x,求导得 f'(x)=ex+2x-1(x∈R),f'(x)单调递 增且f'(0)=0.所以当x∈(-∞,0)时, f'(x)<0,f(x)单 调 递 减;当 x∈(0, +∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 225.解:由题意知f(x)=ex-(x+2),求导得 f'(x)=ex-1(x∈R),f'(x)单调递增且 f'(0)=0.所 以 当 x∈ (- ∞,0)时, f'(x)<0,f(x)单 调 递 减;当 x∈(0, +∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 226.解:方 法 一:由 题 意 知 f'(x)=6x2- 2ax=2x(3x-a)(x∈R). 令f'(x)=0,解得x1=0,x2= a 3. ①若 a=0,则 x1=0= a 3=x2 ,此 时 f'(x)≥0,则f(x)在R上单调递增. ②若a<0,则x1=0> a 3=x2 ,故当x∈ -∞, a 3 和 (0,+ ∞)时,f'(x)>0, f(x)单调递增;当x∈ a 3 ,0 时,f'(x)< 0,f(x)单调递减. ③若a>0,则x1=0< a 3=x2 ,故当x∈ (- ∞,0)和 a3 ,+∞ 时,f'(x)>0, f(x)单调递增;当x∈ 0, a 3 时,f'(x)< 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 208 详解答案 0,f(x)单调递减. 综上,当a=0时,f(x)在R上单调递增; 当a<0时,f(x)在 -∞, a 3 和(0,+∞)上 单调递增,在x∈ a3 ,0 上单调递减; 当 a >0 时,f (x)在 (- ∞,0)和 a 3 ,+∞ 上单调递增,在x∈ 0,a3 上单 调递减. 方法二:由题意知f'(x)=6x2-2ax= 2x(3x-a)(x∈R). 设y1=2x,y2=3x-a,y1 与y2 都在R上 单调递增,零点分别为0, a 3. ①若a=0,则0=a3. 当x∈(-∞,0)时, y1<0,y2<0,y1y2>0;当x∈(0,+∞) 时,y1>0,y2>0,y1y2>0;当x=0时, y1=0,y2=0,y1y2=0,所以当x∈R时, y1y2≥0,即f'(x)≥0,则f(x)在 R上单 调递增. ②若a>0,则0<a3. 当x∈(-∞,0)时, y1<0,y2<0,y1y2>0,即 f'(x)>0, f(x)单调递增; 当x∈ 0, a 3 时,y1>0,y2<0,y1y2<0, f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈ a3 ,+∞ 时,y1>0,y2>0,y1y2> 0,f'(x)>0,f(x)单调递增. ③若a<0,则0>a3. 当x∈ -∞, a 3 时, y1<0,y2<0,y1y2>0,即 f'(x)>0, f(x)单调递增; 当x∈ a3 ,0 时,y1<0,y2>0,y1y2<0, f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(0,+∞)时,y1>0,y2>0,y1y2> 0,f'(x)>0,f(x)单调递增. 综上,当a=0,f(x)在R上单调递增; 当a<0,f(x)在 -∞, a 3 和(0,+∞)上 单调递增,在 a 3 ,0 上单调递减; 当a>0,f(x)在(-∞,0)和 a 3 ,+∞ 上 单调递增,在0, a 3 上单调递减. 227.解:由 题 意 得 f'(x)= ex(cos x- sin x)=ex· 2cosx+ π 4 ,其中ex>0恒 成立.令f'(x)>0,即cosx+ π 4 >0,解得 - 3π 4+2kπ<x< π 4+2kπ (其中k∈Z),令 f'(x)<0,即cosx+ π 4 <0,解 得π4+ 2kπ<x<5π4 +2kπ (其中k∈Z),所 以 f(x)的单调递增区间为 -3π4+2kπ, π 4+ 2kπ (k∈Z),单调递减区间为 π4+2kπ, 5π 4+2kπ (k∈Z). 228.解:由题意知f'(x)= 1 x-axe x(x>0), 因为x>0,ex>0,a≤0,1x>0 ,-a≥0, xex>0,-axex≥0,进而f'(x)= 1 x- axex>0,所 以 若a≤0,则 f(x)在(0, +∞)上单调递增. 229.解:f'(x)=- 1 x2 -1+ a x= -(x2-ax+1) x2 (x>0),Δ=a2-4. ①若-2≤a≤2,则 Δ≥0,f'(x)≤0, f(x)在(0,+∞)上单调递减. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 209 高考一线 真题研究 数学 ②若a>2,则Δ>0. 设y=-(x2-ax+1)的两个零点为x1, x2,则x1= a- a2-4 2 ,x2= a+ a2-4 2 , 显然x2>x1>0.当x∈(0,x1)和(x2, +∞)时,f'(x)<0,f(x)单 调 递 减;当 x∈(x1,x2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增. ③若a<-2,则Δ>0,但此时x1·x2= 1>0,x1+x2=a<0,所以x1<x2<0.当 x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,f(x)在(0, +∞)上单调递减. 综上可得:若a≤2,则f(x)在(0,+∞)上单调 递减;若a>2,则f(x)在0, a- a2-4 2 和 a+ a2-4 2 ,+∞ 上单调递减, 在 a- a 2-4 2 ,a+ a 2-4 2 上单调递增. 230.证明:若a=1,则 f(x)=ex -x2,则 f(x)≥1.即证g(x)= x2+1 ex ≤1,则 需 g(x)max≤1,而g'(x)= 2x-(x2+1) ex = -(x-1)2 ex ≤0,所以g(x)在[0,+∞)上单 调递减,因此g(x)max=g(0)=1.所以 g(x)= x2+1 ex ≤1,即当x≥0时,f(x)≥1. 231.解:f'(x)=2ae2x +(a-2)ex -1= (2ex+1)(aex-1),其中2ex+1>0. ①若a≤0,因为ex>0,则aex≤0,aex- 1<0,所以f(x)在R上单调递减. ②若a>0,y=aex-1单调递增,其零点为 -ln a,当x∈(-∞,-ln a),f'(x)<0, 函数单调递减;当x∈(-ln a,+∞), f'(x)>0,函数单调递增. 综上,若a≤0,则f(x)在R上单调递减; 若a>0,则f(x)在(-∞,-ln a)上单调 递减,在(-ln a,+∞)上单调递增. 4.4 极值与最值 232.ACD 解析:f'(x)=2(x-1)(x-4)+ (x-1)2=3(x-1)(x-3).令f'(x)=0, 得x=1或x=3.当x∈(-∞,1)和(3, +∞)时,f'(x)>0;当x∈(1,3)时, f'(x)<0,所以x=3是f(x)的极小值 点,A正确;当0<x<1时,0<x2<x< 1,因为f(x)在(0,1)上单调递增,所以 f(x)>f(x2),B错误;当x∈(1,2)时, 2x-1∈(1,3),因为f(x)在(1,3)上单调 递减,所以f(1)>f(2x-1)>f(3),又 f(1)=0,f(3)=-4,所以-4<f(2x- 1)<0,C正确;当-1<x<0时,f(2- x)-f(x)=(1-x)2(-2-x)-(x- 1)2(x-4)=2(x-1)2(1-x)>0,所以 f(2-x)>f(x),D正确,故选ACD. 233.解:方法一:因为f(x)的定义域为 R,且 f'(x)=ex-a. 若a≤0,则f'(x)≥0对任意x∈R恒成 立,所以f(x)在R上单调递增,无极值, 不符合题意; 若a>0,令f'(x)>0,解得x>ln a;令 f'(x)<0,解得x<ln a,所以f(x)在 (-∞,ln a)内 单 调 递 减,在 (ln a, +∞)内 单 调 递 增,则 f(x)有 极 小 值 f(ln a)=a-aln a-a3,无极大值. 由题意得f(ln a)=a-aln a-a3<0,即 a2+ln a-1>0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 210 详解答案 令g(a)=a2+ln a-1(a>0),则 g'(a)=2a+ 1 a>0 ,所以g(a)在(0, +∞)内单调递增,且g(1)=0. 不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)> g(1),解得a>1,所以a 的取值范围为 (1,+∞). 方法 二:因 为 f(x)的 定 义 域 为 R,且 f'(x)=ex-a, 若f(x)有极小值,则f'(x)=ex-a有零 点.令f'(x)=ex-a=0,得ex=a,可知 y=ex 与y=a有交点,则a>0. 若a>0,令f'(x)>0,解得x>ln a;令 f'(x)<0,解得x<ln a,所以f(x)在 (-∞,ln a)内单调递减,在(ln a,+∞)内单 调递增,则f(x)有极小值f(ln a)=a- aln a-a3,无极大值,符合题意. 由题意得f(ln a)=a-aln a-a3<0,即 a2+ln a-1>0. 令g(a)=a2+ln a-1(a>0),因为y= a2,y=ln a-1在(0,+∞)内单调递增, 所以g(a)在(0,+∞)内单调递增,且 g(1)=0. 不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)> g(1),解得a>1,所以a 的取值范围为 (1,+∞). 234.解:(1)当a=-2时,f(x)=(1+2x)ln(1+ x)-x, 则f'(x)=2ln(1+x)+ 1+2x 1+x -1= 2ln(1+x)- 11+x+1. 因为y=2ln(1+x),y=- 1 1+x+1 在 (-1,+∞)上为增函数, 所以f'(x)在(-1,+∞)上为增函数,而 f'(0)=0, 所以-1<x<0时,f'(x)<0;当x>0 时,f'(x)>0, 所以f(x)在x=0处取极小值且极小值 为f(0)=0,无极大值. (2)f'(x)=-aln(1+x)+ 1-ax 1+x -1= -aln(1+x)- (a+1)x 1+x (x>0). 设s(x)=-aln(1+x)- (a+1)x 1+x (x>0), 则 s' (x)= -ax+1 - (a+1) (1+x)2 = - a(x+1)+a+1 (1+x)2 =- ax+2a+1 (1+x)2 . 当a≤-12 时,s'(x)>0,则s(x)在(0, +∞)上为增函数,所以s(x)>s(0)=0, 即f'(x)>0, 所以f(x)在[0,+∞)上为增函数,则 f(x)≥f(0)=0; 当- 1 2<a<0 时,当0<x<-2a+1a 时, s'(x)<0, 则s(x)在 0,- 2a+1 a 上为减函数,所以 在0,- 2a+1 a 上s(x)<s(0), 即在 0,- 2a+1 a 上 f'(x)<0,所 以 f(x)为减函数, 所以在0,- 2a+1 a 上f(x)<f(0)=0, 不合题意,舍去; 当a≥0时,此时s'(x)<0在(0,+∞)上 恒成立. 同理可得在(0,+∞)上f(x)<f(0)=0 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 211 高考一线 真题研究 数学 恒成立,不合题意,舍去. 综上,a≤-12. 235.BCD 解析:f(x)=aln x+bx+ c x2 的定 义域为(0,+∞),f'(x)= a x- b x2 - 2c x3 = ax2-bx-2c x3 .因为函数f(x)既有极大值 也 有 极 小 值,所 以 函 数 f'(x)在 (0, +∞)上有两个变号零点,又a≠0,所以方 程ax2-bx-2c=0有两个不等的正根 x1,x2,所 以 Δ=b2+8ac>0, x1+x2= b a>0 , x1x2=- 2c a>0 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 即 b2 + 8ac>0,ab>0,ac<0,显然a2bc<0,即 bc<0,A错误,BCD正确,故选BCD. 236.解:(1)f(x)=a(ex+a)-x 的定义域为 R,f'(x)=aex-1. 当a≤0时,f'(x)<0恒成立,f(x)在 R 上单调递减; 当a>0时,令f'(x)=0,得x=ln 1 a. 当x∈ -∞,ln 1 a 时,f'(x)<0,f(x)单 调递减; 当x∈ln 1 a ,+∞ 时,f'(x)>0,f(x)单 调递增. 综上,当a≤0时,f(x)在 R上单调递减; 当a>0时,f(x)在 -∞,ln 1 a 上单调递减, 在ln 1 a ,+∞ 上单调递增. (2)证明:由(1)可知,当a>0时,f(x)min= fln 1 a =a 1a+a -ln1a=1+a2+ln a. 要证f(x)>2ln a+32 ,只需证1+a2+ ln a>2ln a+32 ,只需证a2-ln a-12>0. 设g(a)=a2-ln a-12 (a>0),则g'(a)= 2a-1a= 2a2-1 a ,令g'(a)=0,得a= 2 2. 当a∈ 0, 2 2 时,g'(a)<0,g(a)单调递 减;当a∈ 2 2 ,+∞ 时,g'(a)>0,g(a)单 调递增, 所以g(a)≥g 2 2 =12-ln 22-12= -ln 2 2>0 , 所以a2-ln a-12>0 ,得证. 237.C 解析:因为球的体积为36π,所以球的 半径R=3,设正四棱锥的底面边长为2a, 高 为 h,则 l2 =2a2 +h2,32 =2a2 + (3-h)2,所以6h=l2,2a2=l2-h2,所以 正四棱锥的体积V=13Sh= 1 3×4a 2×h= 2 3× (l2-l 4 36 )× l2 6= 1 9l 4- l6 36 , 所以V'=194l 3- l5 6 =19l324-l 2 6 . 当3≤l≤2 6时,V'>0,当2 6<l≤ 33时,V'<0,所以当l=26时,正四棱锥 的体积V 取最大值,最大值为643 ,又l= 3时,V=274 ,l=33时,V= 81 4 ,所以正四 棱锥的体积V 的最小值为274 ,所以该正四 棱锥体积的取值范围是 27 4 ,64 3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,故选C. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 212 详解答案 238.B 解析:由题意得x>0,而当x=1时, f(x)max=b=-2,结合极值点可知x= 1是函数的极大值点,f'(x)= a x- b x2 ,则 f'(1)=a-b=0,所 以a=-2,因 此 f'(x)=- 2 x+ 2 x2 ,所以f'(2)=- 2 2+ 2 22 =- 1 2 ,故选B. 239.AC 解析:f'(x)=3x2-1= 3x- 3 3 x+ 33 . 对于A,当x∈ -∞,- 3 3 和 33,+∞ 时, f'(x)>0;当x∈ - 3 3 ,3 3 时,f'(x)< 0,所以f(x)在 -∞,- 3 3 和 33,+∞ 上单 调递增,在 - 3 3 ,3 3 上单调递减,则 x= - 3 3 是 f(x)的 极 大 值 点,x = 3 3 是 f(x)的极小值点,所以f(x)有两个极值 点,A正确; 对于B,f(x)极小值=f 3 3 =9-239 >0, 所以f(x)只有一个零点,B错误; 对于C,设A(s,t)在y=f(x)的图象上, 即t=s3-s+1,若y=f(x)关于(0,1)对 称,则A(s,t)关于(0,1)的对称点B(-s, 2-t)也在y=f(x)的图象上,而(-s)3- (-s)+1=-(s3-s+1)-2=2-t,C正确; 对于 D,g(x)=2x,y=f(x)-g(x), f(0)-g(0)=1-0>0,f(1)-g(1)=1- 2<0,所以y=2x 与y=f(x)相交,D错 误,故选AC. 240.解:f(x)=ex -ax 的 定 义 域 为 R, f'(x)=ex-a. 若a≤0,则f'(x)>0,所以f(x)在 R上 单调递增,f(x)无最小值,故a>0. 当x<ln a 时,f'(x)<0,所以f(x)在 (-∞,ln a)上为减函数; 当x>ln a 时,f'(x)>0,所以f(x)在 (ln a,+∞)上为增函数, 故f(x)min=f(ln a)=a-aln a. g(x)=ax-ln x 的定义域为(0,+∞), g'(x)=a- 1 x= ax-1 x . 当0<x<1a 时,g'(x)<0,所以g(x)在 0, 1 a 上为减函数; 当x>1a 时,g'(x)>0,所 以 g(x)在 1 a ,+∞ 上为增函数, 故g(x)min=g 1 a =1-ln1a. 因 为 f(x)=ex -ax 和g(x)=ax- ln x 有相同的最小值, 所以1-ln 1 a=a-aln a,整理得a-11+a=ln a (a>0). 令g(a)= a-1 1+a-ln a,a>0,则g'(a)= 2 (1+a)2 - 1 a= -a2-1 a(1+a)2 ≤0, 所以g(a)为(0,+∞)上 的 减 函 数,又 g(1)=0, 所以g(a)=0的唯一解为a=1,故 1-a 1+a= ln a的解为a=1. 241.1 解析:由题意得f(x)=ln(a-x), f'(x)= 1 x-a ,又 y=xf(x),则 y'= f(x)+xf'(x)=ln(a-x)+ x x-a. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 213 高考一线 真题研究 数学 因为函数y=xf(x)在x=0处取得极值, 则y'|x=0=ln a=0,解得a=1, 所以y'=ln(1-x)+ x x-1. 而y'=ln(1-x)+ x x-1=ln (1-x)+ 1 x-1+1 ,又y=ln(1-x)和y= 1 x-1+ 1都是单调递减函数,故y'=ln(1-x)+ x x-1 单调递减,且y'|x=0=0.而定义域为 (- ∞,1),所 以 当 x ∈ (- ∞,0)时, f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(0,1) 时,f'(x)<0,f(x)单调递减. 因此x=0是函数y=xf(x)的极大值点, 故a=1. 242.解:(1)当k=6时,f(x)=x3+6ln x, f'(x)=3x2+ 6 x ,则f(1)=1,f'(x)=9, 所以y=f(x)在(1,f(1))处的切线为y- 1=9(x-1),即y=9x-8. (2)由(1)知g(x)=f(x)-f'(x)+ 9 x= x3-3x2+6ln x+3x (x>0),g'(x)=3x2- 6x + 6x - 3 x2 = 3x4-6x3+6x-3 x2 = 3(x2-1)(x2-1)-6x(x2-1) x2 = 3(x-1)3(x+1) x2 . 当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递 减; 当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调 递增, 所以g(x)极小值=g(1)=1,无极大值. 243.解:(1)由题意知f'(x)=[ax2-(a+ 1)x+1]ex =(ax-1)(x-1)ex,且 f'(2)=(2a-1)e2=0,解得a= 1 2. (2)由(1)知f'(x)=(ax-1)(x-1)ex,显 然则f'(1)=0. ①若a=0,则f'(x)=-(x-1)ex.当x∈ (-∞,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调 递减,所以x=1为函数的极大值点,不合 题意. ②若a>0,则y1=ax-1单调递增且零点 为1 a ,但此零点和与y2=x-1的零点1的 大小不定,继续讨论. (ⅰ)若a=1,则1a=1. 当x∈(-∞,1)时, y1<0,y2<0,y1y2>0,f'(x)>0; 当x=1 时,y1=0,y2=0,y1y2=0, f'(x)=0;当x∈(1,+∞)时,y1>0,y2> 0,y1y2>0,f'(x)>0,所以当x∈R 时, f'(x)≥0,f(x)单调递增.函数不存在极 值点,不合题意. (ⅱ)若a>1,则1a<1. 当x∈ -∞, 1 a 时, y1<0,y2<0,y1y2>0,f'(x)>0,f(x)单 调递增; 当x∈ 1a ,1 时,y1>0,y2<0,y1y2<0, f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时,y1>0,y2>0,y1y2> 0,f'(x)>0,f(x)单调递增. 所以,x=1a 是函数的极大值点,x=1是函 数的极小值点,符合题意. (ⅲ)若0<a<1,则1a>1. 当x∈(-∞, 1)时,y1<0,y2<0,y1y2>0,f'(x)>0, f(x)单调递增; 当x∈ 1, 1 a 时,y1<0,y2>0,y1y2<0, f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈ 1a ,+∞ 时,y1>0,y2>0,y1y2> 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 214 详解答案 0,f'(x)>0,f(x)单调递增. 所以,x=1是函数的极大值点,x=1a 是函 数的极小值点,不合题意. ③若a<0,则y1=ax-1单调递减且零点 为1 a ,显然1 a<1. 当x∈ -∞, 1 a 时,y1>0,y2<0,y1y2< 0,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈ 1a ,1 时,y1<0,y2<0,y1y2>0, f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x∈(1,+∞)时,y1<0,y2>0,y1y2< 0,f'(x)<0,f(x)单调递减. 所以,x=1a 是函数的极小值点,x=1是函 数的极大值点,不合题意. 综上,当a>1,即a∈(1,+∞)时,f(x)在 x=1处取得极小值. 244.A 解析:由题意得f'(x)=[x2+(a+ 2)x+(a-1)]ex-1,因为函数在x=-2处 取得极值,则f'(-2)=(-a-1)·e-3= 0,解得a=-1,则f(x)=(x2-x-1) ex-1,f'(x)=(x2+x-2)ex-1=(x+2) (x-1)ex-1,当 x∈(-∞,-2)和(1, +∞)时,f'(x)>0,f(x)单 调 递 增;当 x∈(-2,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 所以x=-2是函数的极大值点,x=1是 函数的极小值点,故f(x)极小值=f(1)= -1,故选A. 4.5 图 象 245.D 解析:对于 A,y=f(x)+g(x)- 1 4=x 2+sin x,该函数为非奇非偶函数,与 函数图象不符,排除A;对于B,y=f(x)- g(x)- 1 4=x 2-sin x,该函数为非奇非偶 函数,与函数图象不符,排除B;对于C,y= f(x)g(x)=x2+ 1 4 sin x,则y'=2xsin x+ x2+ 1 4 cos x,当x=π4时,y'=π2× 22+ π2 16+ 1 4 × 22>0,与图象不符,排除C,故 选D. 246.B 解析:∵x≠0,f(-x)= e-x-ex x2 = -f(x),∴f(x)为 奇 函 数,排 除 A; ∵f(1)=e-e-1>0,∴排除D;∵f'(x)= (ex+e-x)x2-(ex-e-x)2x x4 = (x-2)ex+(x+2)e-x x3 ,∴ x > 2 时, f'(x)>0,∴排除C;故选B. 247.D 解析:函数过定点(0,2),排除 AB; f'(x)=-4x3+2x=-2x(2x2-1),由 f'(x)>0得2x(2x2-1)<0,解得x< - 2 2 或0<x< 22 ,此时函数单调递增,排 除C,故选D. 248.D 解析:原函数先减再增,再减再增,且 x=0位于增区间内,故选D. 249.A 解 析:由 题 意 得 f'(x)=3ax2+ 2bx+c,而函数f(x)的增减趋势为增减 增,则对应的导数的正负为正负正.可知 a>0,令 x=0,得 d>0.又 f'(x)= 3ax2+2bx+c,设x1,x2 是f'(x)=0的 两根,由 图 象 可 知 x1>0,x2>0,所 以 x1+x2=- 2b 3a>0 , x1x2= c 3a>0 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 即 b<0, c>0. 故选A. 250.B 解析:通过对y=f'(x)的图象分析可 得,当x∈(-1,1)时,f'(x)>0,则y= f(x)在x∈(-1,1)上单调递增.又当x∈ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 215 高考一线 真题研究 数学 (-1,0)时,y=f'(x)单调递增,当x∈(0, 1)时,y=f'(x)单调递减,即当x∈(-1, 0)时,y=f(x)图象上的切线斜率会随着 x 的增 大 而 增 大;当 x∈(0,1)时,y= f(x)图象上的切线斜率会随着x 的增大 而减小.通过观察这四个选项只有B符合, 故选B. 251.D 解析:通过对y=(1-x)f'(x)图象 的观察可得,当x∈(-∞,-2)时,(1- x)f'(x)>0;当x∈(-2,1)时,(1-x) f'(x)<0;当 x∈ (1,2)时,(1-x) f'(x)>0;当x∈(2,+∞)时,(1-x) f'(x)<0.即 当 x∈ (- ∞,-2)时, f'(x)>0;当x∈(-2,1)时,f'(x)<0;当 x∈(1,2)时,f'(x)<0;当x∈(2,+∞) 时,f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,-2)和 (2,+∞)上单调递增,在(-2,2)上单调递 减.因此当x=-2时,f(x)取得极大值; 当x=2时,f(x)取得极小值,故选D. 252.D 解析:通过对y=f'(x),y=g'(x)图 象观察可得f'(x)>0,g'(x)>0,即两个 函数 都 是 单 调 递 增 的.又 f'(x0)= g'(x0),即两个函数在x=x0 处的切线相 互平 行.而 y=f'(x)单 调 递 减,y = g'(x)单调递增,即y=f(x)图象上的切 线斜 率 会 随 着 x 的 增 大 而 减 小,y= g(x)图象上的切线斜率会随着x 的增大 而增大.因此只有D符合以上三条结论,故 选D. 253.D 解析:对于A,若曲线为导函数图象, 则由图象得f'(x)≥0,则y=f(x)单调递 增,这是没问题的;若直线为导函数图象, 则由图象得,当x∈(-∞,0)时,f'(x)< 0,y=f(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时, f'(x)>0,y=f(x)单 调 递 增,也 没 问 题.所以A的图象是正确的,但不是符合题 意的选项,A错误;对于B,若递减曲线为 导函数图象,则由图象得f'(x)>0,则y= f(x)单调递增,这是没问题的;若递增曲 线为导函数图象,设其与x 轴的交点为x0, 则由图象得当x∈(-∞,x0)时,f'(x)< 0,y=f(x)单调递减;当x∈(x0,+∞) 时,f'(x)>0,y=f(x)单调递增,这就不 对了.所以选项B是有可能正确的,但不是 符合题意的选项,B错误;对于C,若x 轴 上方 曲 线 为 导 函 数 图 象,则 由 图 象 得 f'(x)≥0,则y=f(x)单调递增,这是没 问题的;若x 轴下方曲线为导函数图象,设 其与x 轴的交点为x0,则由图象得当x∈ (-∞,x0)时,f'(x)<0,y=f(x)单调递 减;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,y= f(x)单调递增,这就不对了.所以选项C 是有可能正确的,但不是符合题意的选项, C错误;分析到这里我们已经可以确定正 确的选项就是D了,但我们还是要对D分 析下,以加深同学们对这块知识的深入理 解.若x 轴上方曲线为导函数图象,设其与 x 轴 负 半 轴 的 交 点 为x1,当 x∈(x1, +∞)时,f'(x)≥0,则y=f(x)单调递 增,而x 轴下方的函数图象不符合.若x 轴 下方曲线为导函数图象,设其与x 轴正半 轴交点为x2,则由图象得当x∈(-∞, x2),f'(x)≤0,y=f(x)单 调 递 减,而 x 轴上方的函数图象不符合题意,所以D 无论如何都不可能正确,故选D. 254.C 解析:设y=xf'(x)的图象与x 轴的 交点从左到右依次为x1,0,x2,且x1<0< x2,则当x∈(-∞,x1)和(0,x2)时,x f'(x)<0;而当x∈(x1,0)和(x2,+∞) 时,xf'(x)>0.即,当x∈(-∞,x1)时, f'(x)>0,f(x)单调递增;当 x∈(x1, 0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 216 详解答案 (0,x2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当 x∈(x2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递 增.所 以y=f(x)在 x∈(-∞,x1)和 (x2,+∞)上单调递增,在x∈(x1,x2)上 单调 递 减.由 y=xf'(x)也 可 得 y= f'(x)有两个极值点x1,x2,且x1<0< x2.A,B的单调趋势不符合题意,而选项D 极值点的分布不符合题意,故选C. 4.6 导数的综合问题 255.解:(1)b=0时,f(x)=ln x 2-x+ax= ln x-ln(2-x)+ax(0<x<2), 则f'(x)= 1 x+ 1 2-x+a= 2 x(2-x)+a≥0. 因为x(2-x)≤ x+2-x2 2 =1,当且仅 当x=1时取等号,所以f'(x)min=2+a. 又f'(x)≥0成立,所以a+2≥0,即 a≥-2,所以a的最小值为-2. (2)证明:因为f(x)=ln x 2-x+ax+ b(x-1)3, 所以f(2-x)=ln 2-x x +a (2-x)+ b(1-x)3 =-ln x 2-x-ax-2 -b (x-1)3 =-ln x 2-x+ax+b (x-1)3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 +2a =-f(x)+2a, 所以f(x)+f(2-x)=2a, 所以f(x)的图象为中心对称图形,对称 中心为(1,a). (3)因为f(x)>-2,当且仅当1<x<2, 所以x=1为f(x)=-2的一个解, 所以f(1)=-2,即a=-2. 先考虑1<x<2时,f(x)>-2恒成立, 此时f(x)>-2, 即为ln x 2-x+2 (1-x)+b(x-1)3>0 在(1,2)上恒成立. 设t=x-1∈(0,1),则lnt+11-t-2t+ bt3>0在(0,1)上恒成立. 设g(t)=ln t+1 1-t-2t+bt 3,t∈(0,1), 则g'(t)= 2 1-t2 -2+3bt2=t 2(-3bt2+2+3b) 1-t2 . 当b≥0时,-3bt2+2+3b≥-3b+2+ 3b=2>0, 所以g'(t)>0恒成立,所以g(t)在(0, 1)上为增函数, 所以g(t)>g(0)=0,即f(x)>-2在 (1,2)上恒成立; 当- 2 3≤b<0 时,-3bt2+2+3b≥2+3b≥ 0, 所以g'(t)≥0恒成立,所以g(t)在(0, 1)上为增函数, 所以g(t)>g(0)=0即f(x)>-2在 (1,2)上恒成立; 当b<-23 时,则当0<t< 1+ 2 3b<1 时,g'(t)<0, 所以在 0,1+ 2 3b 上g(t)为减函数,则 g(t)<g(0)=0,不合题意,舍去. 综上,f(x)>-2在(1,2)上恒成立时b≥ - 2 3. 当b≥-23 时,由上述过程可得g(t)在 (0,1)单调递增,所以g(t)>0的解集为 (0,1),即f(x)>-2的解集为(1,2). 综上,b≥-23. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 217 高考一线 真题研究 数学 256.解:(1)f'(x)=1+ k 1+x ,切线l的斜率为 1+ k 1+t ,则 切 线 方 程 为 y-f(t)= 1+ k 1+t (x-t)(t>0), 将(0,0)代入则-f(t)=-t1+ k 1+t , f(t)=t1+ k 1+t , 即t+kln(1+t)=t+t k1+t ,则ln(1+ t)= t1+t ,ln(1+t)- t1+t=0. 令F(t)=ln(1+t)- t1+t ,假设l过(0, 0),则F(t)在t∈(0,+∞)存在零点. 因为F'(t)= 11+t- 1+t-t (1+t)2 = t (1+t)2 > 0,所以 F(t)在(0,+∞)上单调递增, F(t)>F(0)=0, 所以F(t)在(0,+∞)无零点,与假设矛 盾,所以直线l不过(0,0). (2)k=1时,f(x)=x+ln(1+x), f'(x)=1+ 1 1+x= x+2 1+x>0. S△ACO= 1 2tf (t),设l与y 轴交点B 为(0, q),t>0时,若q<0,则此时l与f(x)必 有交点,与切线定义矛盾.由(2)知q≠0, 所以q>0,则切线l的方程为y-t-ln t+1 =1+ 1 1+t (x-t). 令x=0,则y=q=y=ln(1+t)- t t+1. C A B O t x y 因为2S△ACO=15S△ABO,所以2tf(t)=15t ln(1+t)- t t+1 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 , 所以13ln1+t -2t-15× t 1+t=0. 记h(t)=13ln(1+t)-2t-15t1+t (t>0), 则满足条件的A 有几个即h(t)有几个零 点. h'(t)= 131+t-2- 15 (t+1)2 = 13t+13-2(t2+2t+1)-15 (t+1)2 = 2t2+9t-4 (t+1)2 = (-2t+1)(t-4) (t+1)2 . 当t∈0, 1 2 时,h'(t)<0,此时h(t)单调 递减;当t∈ 12 ,4 时,h'(t)>0,此 时 h(t)单调递增; 当t∈(4,+∞)时,h'(t)<0,此时h(t)单 调递减. 因为h(0)=0,h 12 <0,h(4)=13ln 5- 20>13×1.6-20=0.8>0, h(24)=13ln 25-48- 15×24 25 =26ln 5- 48- 72 5<26×1.61-48- 72 5=-20.54< 0, 所以由零点存在性定理及h(t)的单调性, h(t)在 12 ,4 上 必 有 一 个 零 点,在(4, 24)上必有一个零点. 综上,h(t)有两个零点,即满足2S△ACO= 15S△ABO 的A 有两个. 257.B 解析:f(x)=x3+ax+2,则f'(x)= 3x2+a.若 f(x)要 存 在 3 个 零 点,则 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 218 详解答案 f(x)要存在极大值和极小值,则a<0.令 f'(x)=3x2+a=0,解得x=- -a 3 或 -a 3 ,且 当 x ∈ -∞,- -a 3 ∪ -a 3 ,+∞ 时,f'(x)> 0;当 x ∈ - -a 3 , -a 3 ,f'(x)<0,所以f(x)的极 大值为f - -a 3 ,极小值为f -a3 .若 f(x)要存在3个零点,则 f - -a 3 >0, f -a 3 <0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 即 a 3 -a 3 -a -a 3 +2>0 , -a 3 -a 3 +a -a 3 +2<0 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得a<-3, 故选B. 258.解:(1)由题意得f'(x)=2a2x+a- 3 x= 2a2x2+ax-3 x = (ax-1)(2ax+3) x (x> 0),令f'(x)=0解得x=- 3 2a ,1 a. 因为 a>0,所 以 -32a <0< 1 a ,则 当 x ∈ 0, 1 a 时,f'(x)<0,f(x)单 调 递 减;当 x∈ 1a ,+∞ 时,f'(x)>0,f(x)单 调 递增. (2)因为f(1)=a2+a+1= a+ 1 2 2 + 3 4>0 ,那么y=f(x)的图象与x 无交点,则 由(1)知,需f 1 a >0,即3-3ln1a>0,解得 a>1e ,即a∈ 1e ,+∞ . 259.解:由 题 意 得 f'(x)=2x+xcos x= x(2+cos x),其中2+cos x>0,则当x∈ (-∞,0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减; x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递 增,则 f(x)极小值 =f(0)=1.因 为y= f(x)与直线有两个不同的交点,则b>1.取 x1<min{-2,- 2|1+b|},x2>max{2, 2|1+b|},则f(x1)-b>0,f(x2)-b> 0,则存在 m∈(x1,0),n∈(0,x2),使得 f(m)-b=0,f(n)-b=0. 所以当b>1,即b∈(1,+∞)时,f(x)有两 个零点. 260.A 解析:由题意得f'(x)=3x2-3= 3(x-1)(x+1),则当x∈(-∞,-1)和 (1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当 x∈(-1,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减. 所 以 f(x)极大值 =f (-1)=c +2, f(x)极小值=f(1)=c-2,则当f(x)极大值= f(-1)=c+2=0或f(x)极小值=f(1)= c-2=0时,函数f(x)=0的图象与x 轴有 两个公共点,所以c=-2或c=2,故选A. 261.解:由题意得f'(x)=3x2-9x+6=3 (x-1)(x-2),则当x∈(-∞,1)和(2, +∞)时,f'(x)>0,f(x)单 调 递 增;当 x∈(1,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.所 以f(x)极大值 =f(1)= 5 2-a ,f(x)极小值 = f(2)=2-a,则当f(x)极大值=f(1)= 5 2- a<0或f(x)极小值=f(2)=2-a>0时,方程 f(x)=0有一个实根,所以a> 5 2 或a<2,即 a∈(-∞,2)∪ 52 ,+∞ . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 219 高考一线 真题研究 数学 第五章 三角函数 5.1 三角函数定义 262.D 解析:∵α 为第四象限角,∴-π2+ 2kπ<α<2kπ(k∈Z),-π+4kπ<2α<4kπ (k∈Z),∴2α是第三或第四象限角或终边 落在y 轴的非正半轴上,∴sin 2α<0,故 选D. 263.B 解析:∵sin α>0,∴α 是第一或第二 象限角,又∵tan α<0,∴α 是第二或第四 象限角,∴若sin α>0,且tan α<0,则α是 第二象限角,故选B. 264.D 解析:∵r= (-4)2+32=5, ∴cos α=xr=- 4 5 ,故选D. 265.C 解析:∵cos θtan θ<0,∴cos θ 与 tan θ 异 号,θ 是 第 三 或 第 四 象 限 角,故 选C. 266.D 解析:用等分象限法,如图,将四个象 限二等分,从x 轴正上方,依次标号①② ③④,其中③在第二象限或第四象限,得 α 2 所在的象限是第二或第四象限,故选D.







267.-8 解析:∵r= 16+y2,sin θ= - 25 5 ,∴ y 16+y2 =- 25 5 ,解得y=-8. 5.2 诱导公式 268. 5π 12 满足θ= 5π 12+kπ ,k∈Z即可 解析: ∵点P(cos θ,sin θ)与点Q cosθ+π6 , sinθ+ π 6 关于y 轴对称,∴θ,θ+π6关于 y 轴对称,∴θ+θ+ π 6 =π+2kπ(k∈Z), ∴θ=kπ+5π12 (k∈Z).当k=0时,可得θ 的一个值为5π 12. 269.- 1 3 解析:sinα- π 2 =-sinπ2-α = -cos α=-13. 270.C 解析:∵b=cos 55°=sin 35°,且当 x∈ 0, π 4 时,sin x <cos x <tan x, ∴sin 33°<sin 35°<tan 35°,∴c>b>a,故 选C. 271.B 解析:∵cos(-80°)=k,∴cos 80°= k,∴sin 80°= 1-cos280° = 1-k2, ∴tan 100°=tan(180°-80°)=-tan 80°= - sin 80° cos 80°=- 1-k2 k ,故选B. 272.A 解析:sin 585°=sin(360°+225°)= sin 225°=sin(180°+45°)=-sin 45°= - 2 2 ,故选A. 273.A 解析:cos 330°=cos(360°-30°)= cos 30°= 3 2 ,故选C. 274.A 解析:tan 690°=tan(720°-30°)= -tan 30°=- 3 3 ,故选A. 275.D 解析:tan 600°=tan(720°-120°)= -tan 120°=-tan(180°-60°)=tan 60°= 3,故选D. 5.3 恒等(1):sin,cos,tan转化 276.- 5 5 解析:因为θ∈ 0, π 2 ,则sin θ> 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 220