第十一章 直线与圆-【高考一线·真题研究】2025年高考数学分类必刷题

高考一线 真题研究 数学 第十一章 直线与圆 11.1 直线的方程 【解题·小帮手】 ▶直线方程的五种形式 (1)点斜式:y-yo=k(x-x0);(2)斜截式: y=kx+b;(3)两 点 式 y-y1 y2-y1 = x-x1 x2-x1 ; (4)截距式: x a + y b=1 ;(5)一 般 式:Ax+ By+C=0(A2+B2≠0). ▶三种距离公式 (1)两 点 间 距 离 公 式 |P1P2 | = (x2-x1)2+(y2-y1)2,其中P1(x1,y1), P2(x2,y2); (2)点到直线距离公式:点P(x0,y0)到直线l: Ax+By+c=0的距离d= |Ax0+By0+C| A2+B2 ; (3)平行线间距离公式:l1:Ax+By+C1=0, l2:Ax+By+C2=0间的距离d= |C2-C1| A2+B2 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 802.(2020·新课标全国三,8)点(0,-1)到直 线y=k(x+1)的距离的最大值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.2 803.(2018·北京,7)在平面直角坐标系中,记 d 为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2= 0的距离,当θ,m 变化时,d 的最大值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 804.(2016·上海,3)已知平行直线l1:2x+y -1=0,l2:2x+y+1=0,则l1 与l2 的距 离是 . 805.(2013·福建,2)设点P(x,y),则“x=2 且y=-1”是“点P 在直线l:x+y-1=0 上”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 806.(2011·浙江,12)若直线x-2y+5=0与 直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m = . 807.(2010·安徽,4)过点(1,0)且与直线x- 2y-2=0平行的直线方程是 ( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 11.2 圆的方程 【解题·小帮手】 ▶标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 圆心为(a,b),半径为r. ▶一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+ E2-4F>0),圆心为 - D 2 ,- E 2 ,半径r= 1 2 D 2+E2-4F. ▶直径式方程:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y -y2)=0,其中A(x1,y1),B(x2,y2)为一 直径的两端点. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 808.(2024·北京,3)圆x2+y2-2x+6y=0 的圆心到x-y+2=0的距离为 ( ) A.23 B.2 C.32 D.6 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 120 第十一章 直线与圆 809.(2023·全国课标全国乙文,11)已知实数 x,y 满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x- y 的最大值是 ( ) A.1+ 32 2 B.4 C.1+32 D.7 810.(2022·新课标全国乙,14)过四点(0,0), (4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆 的方程为 . 811.(2022·北京,3)若直线2x+y-1=0是 圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a= ( ) A. 1 2 B.- 1 2 C.1 C.-1 812.(2022·新课标全国甲,14)设点 M 在直 线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在 ☉M 上,则☉M 的方程为 . 813.(2016·浙江,10)已知a∈R,方程a2x2+ (a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆 心坐标是 ,半径是 . 814.(2016·北京,5)圆(x+1)2+y2=2的圆 心到直线y=x+3的距离为 ( ) A.1 B.2 C.2 D.22 815.(2016·新课标全国二,4)圆x2+y2-2x -8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0 的距离为1,则a= ( ) A.- 4 3 B.- 3 4 C.3 D.2 816.(2016·天津,12)已知圆C 的圆心在x 轴 的正半轴上,点 M(0,5)在圆C 上,且圆 心到直线2x-y=0的距离为 45 5 ,则圆C 的方程为 . 817.(2015·新课标全国一,14)一个圆经过椭 圆x 2 16+ y2 4=1 的三个顶点,且圆心在x 轴的 正半轴上,则该圆的标准方程为 . 818.(2015·新课标全国二,7)已知三点A(1, 0),B(0,3),C(2,3),则△ABC 外接圆 的圆心到原点的距离为 ( ) A. 5 3 B. 21 3 C. 25 3 D. 4 3 819.(2015·江苏,10)在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y- 2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径 最大的圆的标准方程为 . 820.(2015·北京,2)圆心为(1,1)且过原点的 圆的标准方程是 ( ) A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2 821.(2014·福建,6)若直线l过圆x2+(y- 3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂 直,则l的方程是 ( ) A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0 822.(2013·江西,14)若圆C 经过坐标原点和 点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C 的方 程是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 11.3 位置关系 【解题·小帮手】 ▶点与圆的位置关系 点A 与圆M:(x-a)2+(y-b)2=r2 的位 置关系:(1)点 A 在圆 M 上⇔|MA|=r; (2)点A 在圆M 内⇔|MA|<r;(3)点A 在 圆M 外⇔|MA|>r. ▶直线与圆的位置关系 直线l:Ax+By+C=0,M:(x-a)2+ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 121 高考一线 真题研究 数学 (y-b)2=r2,记圆心C(a,b)到直线l的距 离d=|Aa+Bb+C| A2+B2 . (1)直线l与圆M 相交⇔d<r;(2)直线l与 圆 M 相切⇔d=r;(3)直线l与圆M 相离 ⇔d>r. ▶圆与圆的位置关系 (1)判断方法:设圆C1 的半径为r1,圆C2 的 半径为r2,记d=|C1C2|,则①外离⇔d> r1+r2;②相交⇔|r1-r2|<d<r1+r2;③ 外切⇔d=r1+r2;④内切⇔d=|r1-r2|; ⑤内含⇔d<|r1-r2|. (2)相交公共弦问题 ①两圆公共弦的垂直平分线经过两圆的圆心. ②若两圆相交,则两圆公共弦所在的直线方 程由两圆的方程作差消去x2,y2 项得到. ③两圆公共弦长,在其中一圆中,由弦心距 d,半弦长l2 ,半径r所在线段构成直角三角 形,利用勾股定理求解. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 823.(2022·新高考全国二,15)设点A(-2, 3),B(0,a),若直线AB 关于y=a 对称的 直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点, 则a的取值范围是 . 824.(2014·湖南,6)若圆C1:x2+y2=1与圆 C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m= ( ) A.21 B.19 C.9 D.-11 825.(2013·陕西,8)已知点 M(a,b)在圆O: x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O 的位置关系是 ( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 826.(2012·陕西,4)已知圆C:x2+y2-4x= 0,l是过点P(3,0)的直线,则 ( ) A.l与C 相交 B.l与C 相切 C.l与C 相离 D.以上三个选项均有可能 827.(2012·重庆,3)对任意的实数k,直线y =kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定 是 ( ) A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心 828.(2012·江苏,12)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为x2+y2-8x+15=0,若 直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该 点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点, 则k的最大值是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 11.4 圆的弦长 【解题·小帮手】 ▶弦长的求法 (1)几何法:当直线和圆相交时,设弦长为 AB,弦 心 距 为 d,半 径 为r,则|AB|= 2r2-d2. (2)代数法:设直线l的斜率为k,直线l与 圆的两个交点分别为A(xA,yA ),B(xB, yB),则弦长|AB|= 1+k2|xA-xB|= 1+ 1 k2 |yA-yB|= Δ |a| ,其中|xA-xB|和 |yA-yB|可以将直线和圆的方程联立,消 去y 或x,利用韦达定理求解. ▶与圆的几何性质有关的最值问题 (1)记C 为圆心,r为半径,则圆外一点A 到 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 122 第十一章 直线与圆 圆上点距离的最小值为|AC|-r,最大值为 |AC|+r. (2)过圆内一点的最长弦为圆的直径,最短 弦长是以该点为中点的弦,最长弦与最短弦 相互垂直. (3)记圆的半径为r,圆心到直线的距离为 d,直线与圆相离,则圆上的点到直线的最大 距离为d+r,最小值为d-r. (4)过两定点的所有圆中,面积最小的圆是 以这两个定点为直径的圆. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 829.(2024·新课标全国甲理,12)已知b是a, c的等差中项,直线ax+by+c=0与圆 x2+y2+4y-1=0交于A,B 两点,则 |AB|的最小值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.25 830.(2022·天津,12)若直线x-y+m= 0(m>0)与圆(x-1)2+(y-1)2=3相交 所得的弦长为m,则m= . 831.(2021·北京,9)已知圆C:x2+y2=4,直 线l:y=kx+m,当k 变化时,l截得圆C 弦长的最小值为2,则m= ( ) A.±2 B.± 2 C.± 3 D.± 5 832.(2020·新课标全国一,6)已知圆C:x2+ y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截 得的弦长的长度的最小值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 833.(2020·天津,12)已知直线x- 3y+8= 0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B 两 点.若|AB|=6,则r的值为 . 834.(2018·新课标全国一,15)直线y=x+1 与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B 两点, 则|AB|= . 835.(2015·新课标全国二,7)过三点 A(1, 3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y 轴于M,N 两点,则|MN|= ( ) A.26 B.8 C.46 D.10 836.(2014·浙江,5)已知圆x2+y2+2x- 2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长 度为4,则实数a的值是 ( ) A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 837.(2014·江苏,9)在平面直角坐标系xOy 中,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+ (y+1)2=4截得的弦长为 . 838.(2014·山东,12)圆心在直线x-2y=0 上的圆C 与y 轴的正半轴相切,圆C 截x 轴所得弦的长为23,则圆C 的标准方程 为 . 839.(2013·安徽,6)直线x+2y-5+ 5=0 被x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为 ( ) A.1 B.2 C.4 D.46 840.(2013·山东,13)过点(3,1)作圆(x- 2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短的弦长为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 123 高考一线 真题研究 数学 11.5 圆的切线 【解题·小帮手】 ▶切线求法 (1)已知切点(圆上的点)求切线,有且只有 一条切线,切点与圆心的连线与切线垂直. (2)已知切线斜率求切线,有两条互相平行 的切线,设切线方程为y=kx+b,利用圆心 到切 线 的 距 离 等 于 半 径 列 出 方 程 求 出b 的值. (3)过圆外已知点P(x0,y0)求圆C:(x- a)2+(y-b)2=r2 的切线,有两条切线.若 切线斜率存在,设切线方程为y-y0=k(x -x0),利用圆心到切线的距离等于半径列 出方程求出k 值;若切线斜率不存在,则切 线方程为x=x0,验证圆心到切线距离是否 等于半径. ▶圆的切线与切点弦方程 (1)过圆x2+y2=r2 上一点P(x0,y0)的切 线方程为x0x+y0y=r2. (2)过 圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上 一 点 P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+ (y0-b)(y-b)=r2. (3)过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0上一点 P(x0,y0)的切线方程为 x0x+y0y+D· x+x0 2 +E ·y+y0 2 +F=0. (4)记过圆x2+y2=r2 外一点P(x0,y0)的 圆的两条切线的切点为A,B,则切点弦AB 的方程为x0x+y0y=r2. (5)记过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外一 点P(x0,y0)的圆的两条切线的切点为A, B,则切点弦 AB 的方程为(x0-a)(x- a)+(y0-b)(y-b)=r2. ▶切线长公式 过圆C 外一点M 作两条切线,切点为P 和 Q,则 切 线 长 为|MP|=|MQ|= |MC|2-r2. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 841.(2023·新高考全国一,6)设过点(0,-2) 与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线 的夹角为α,则sin α= ( ) A.1 B. 15 4 C. 10 4 D. 6 4 842.(2022·新课标全国甲,14)若双曲线y2- x2 m2 =1(m>0)的渐近线与圆x2+y2- 4y+3=0相切,则m= . 843.(2022·新高考全国一,14)写出与圆x2+ y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的 一条直线的方程 . 844.(2021·天津,12)若斜率为 3的直线与y 轴交于点A,与圆x2+(y-1)2=1相切于 点B,则|AB|= . 845.(2020·新课标全国三,10)若直线l与曲 线y= x和x2+y2= 1 5 都相切,则l的方 程为 ( ) A.y=-2x+1 B.y=2x+ 1 2 C.y= 1 2x+1 D.y= 1 2x+ 1 2 846.(2019·浙江,12)已知圆C 的圆心坐标是 (0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 124 第十一章 直线与圆 与圆 相 切 于 点 A (-2,-1),则 m = ,r= . 847.(2015·山东,9)一条光线从点(-2,-3) 射出,经y 轴反射后与圆(x+3)2+(y- 2)2=1相切,则反射光线D 所在直线的斜 率为 ( ) A.- 5 3 或- 3 5 B.- 3 2 或- 2 3 C.- 5 4 或- 4 5 D.- 4 3 或- 3 4 848.(2015·广东,5)平行于直线2x+y+1= 0且与x2+y2=5相切的直线的方程是 ( ) A.2x-y+ 5=0或2x-y- 5=0 B.2x+y+ 5=0或2x+y- 5=0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x+y+5=0或2x+y-5=0 849.(2015·重庆,12)若点P(1,2)在以坐标 原点为圆心的圆上,则该圆在点P 处的切 线方程为 . 850.(2014·新课标全国一,15)设直线l1 和l2 是圆x2+y2=2的两条切线,若l1 与l2 的 交点为(1,3),则l1 与l2 夹角的正切值等 于 . 851.(2014·安徽,6)过点P(- 3,-1)的直 线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的 倾斜角的取值范围是 ( ) A.0, π 6 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 B.0, π 3 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 C.0, π 6 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 D.0, π 3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 852.(2013·山东,9)过点(3,1)作圆(x- 1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A, B,则直线AB 的方程为 ( ) A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0 853.(2013·天津,5)已知过点P(2,2)的直线 与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax- y+1=0垂直,则a= ( ) A.- 1 2 B.1 C.2 D. 1 2 854.(2013·广东,7)垂直于直线y=x+1且 与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方 程为 ( ) A.x+y- 2=0 B.x+y+1=0 C.x+y-1=0 D.x+y+ 2=0 855.(2012·天津,8)设m,n∈R,若直线(m+ 1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+ (y-1)2=1相切,则m+n的取值范围为 ( ) A.[1- 3,1+ 3] B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) C.[2-22,2+22] D.(-∞,2-22]∪[2+22,+∞) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 125 高考一线 真题研究 数学 11.6 圆中的角度和面积 【解题·小帮手】 ▶设直线l交圆O:x2+y2=r2 于A,B 两点, 圆心O 到直线l的距离为d,则 (1)d=12r⇔∠AOB= 2π 3⇒S△AOB= 3 4r 2; (2)d= 22r⇔∠AOB= π 2⇒SΔAOB= 1 2r 2; (3)d= 32r⇔∠AOB= π 3⇒S△AOB= 3 4r 2. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 856.(2023·新高考全国二,15)已知直线l: x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交 于A,B 两点,写出满足“△ABC 面积为 8 5 ”的m 的一个值 . 857.(2018·新课标全国三,6)直线x+y+2 =0分别与x 轴、y 轴交于A,B 两点,点P 在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP 面积的 取值范围是 ( ) A.[2,6] B.[4,8] C.[2,32] D.[22,32] 858.(2015·湖南,13)若直线3x-4y+5=0 与圆x2+y2=r2(r>0)相交于B,A 两点, 且∠AOB=120°(O 为坐标原点),则r= . 859.(2014·福建,6)直线l:y=kx+1与圆 O:x2+y2=1相交于A,B 两点,则k=1 是“△OAB 的面积为12 ”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 860.(2014·重庆,13)已知直线ax+y-2=0 与圆心为C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4相 交于A,B 两点,且△ABC 为等边三角形, 则实数a= . 861.(2014·湖北,12)直线l1:y=x+a 和l2: y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度 相等的四段弧,则a2+b2= . 862.(2014·江西,9)在平面直角坐标系中,A, B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线2x+y-4=0相切, 则圆C 面积的最小值为 ( ) A. 4 5π B. 3 4π C.(6-25)π D. 5 4π 863.(2013·江西,9)过点(2,0)引直线l与 曲线y= 1-x2相交于A,B 两点,O 为坐 标原点,当△AOB 的面积取最大值时,直 线l的斜率等于 ( ) A. 3 3 B.- 3 3 C.± 3 3 D.3 864.(2012·天津,12)设m,n∈R,若直线l: mx+ny-1=0与x 轴相交于点A,与y 轴相交于B,且l与圆x2+y2=4相交所得 弦的长为2,O 为坐标原点,则△AOB 面积 的最小值为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 126 高考一线 真题研究 数学 x1=0,y1=1,解得z1=1,所以n1=(0,1,1). 设平面FBC 的法向量为n2=(x2,y2,z2), FB→=(1,1,-2),FC→=(0,1,-2),则 n2·FB →=0, n2·FC →=0, 即 x2+y2-2z2=0,y2-2z2=0, 令x2= 0,y2=2,解得z2=1,所以n2=(0,2,1). 方法二:向量叉乘. 设平面EBC 的法向量为n1,EB →=(-1,2, -2),EC→=(-2,2,-2),n1=EB →×EC→= (y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1)= (0,2,2),正数倍调节得n1=(0,1,1). 设平面FBC 的法向量为n2,FB →=(1,1, -2),FC→=(0,1,-2),n2=FB →×FC→= (y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1)= (0,2,1). (4)代入公式求解:设二面角E-BC-F 所成的角为θ,则|cos θ|=|cos<n1,n2>|= n1·n2 |n1||n2| = 3 2× 5 = 3 10 10 . 不管θ为 锐角还是钝角,其正弦值都是为正,所以 sin θ= 1010. 第十一章 直线与圆 11.1 直线的方程 802.B 解析:方法一:由y=k(x+1)可知直 线过定点P(-1,0),设A(0,-1),当直线 y=k(x+1)与AP 垂直时,点A 到直线 y=k(x+1)距离最大,即为|AP|= 2,故 选B. 方法二:点(0,-1)到直线y=k(x+1)距 离d=|k+1| k2+1 = k2+1+2k k2+1 = 1+ 2 k+ 1 k ≤ 1+ 2 2· k× 1 k = 2,当且仅当k=1时 取“=”,故距离最大值为 2,故选B. 803.C 解析:因为cos2θ+sin2θ=1,所以P 为单位圆上一点,而直线x-my-2=0过 点A(2,0),所以d 的最大值为OA+1= 2+1=3,故选C. 804. 25 5 解析:利用两平行线间距离公式得 d= |C1-C2| A2+B2 = |-1-1| 22+12 = 25 5 . 805.A 解析:(2,-1)点代入直线方程,符合 方程,即“x=2且y=-1”可推出“点P 在 直线l:x+y-1=0上”. 而点P 在直线上,不一定就是(2,-1)点, 即“点P 在直线l:x+y-1=0上”推不出 “x=2且y=-1”,故选A. 806.1 解析:因为直线x-2y+5=0与直线 2x+my-6=0 互 相 垂 直,所 以 1 2× - 2 m =-1,即m=1. 807.A 解析:设直线方程为x-2y+c=0,又 经过(1,0),故1+c=0,即c=-1,则所求 直线方程为x-2y-1=0,故选A. 11.2 圆的方程 808.C 解析:圆x2+y2-2x+6y=0的标准 方程为(x-1)2+(y+3)2=10,则圆心坐 标为(1,-3),圆心到直线x-y+2=0的 距离为|1×1+ (-3)×(-1)+2| 12+(-1)2 =3 2, 故选C. 809.C 解析:(解法一)令x-y=k,则x= k+y,代入原式化简得2y2+(2k-6)y+ k2-4k-4=0.因为存在实数y,则Δ≥0, 即(2k-6)2-4×2(k2-4k-4)≥0,化简 得k2-2k-17≤0,解得1-32≤k≤1+ 32,所以x-y 的最大值是32+1,故 选C. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 334 详解答案 (解法二)x2+y2-4x-2y-4=0,整理得 (x-2)2+(y-1)2=9.令x=3cos θ+2, y=3sin θ+1,其中θ∈[0,2π],则x-y= 3cos θ-3sin θ+1=32cosθ+ π 4 +1.因 为θ∈[0,2π],所以θ+π4∈ π 4 ,9π 4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,则 θ+π4=2π ,即θ=7π4 时,x-y 取得最大值 32+1,故选C. (解法三)由x2+y2-4x-2y-4=0,得 (x-2)2+(y-1)2=9.设x-y=k,则圆 心到直线x-y=k的距离d= |2-1-k| 2 ≤ 3,解得1-32≤k≤1+32,故选C. 810.解析:依题意设圆的方程为x2+y2+ Dx+Ey+F=0,若过(0,0),(4,0),(-1, 1),则 F=0, 16+4D+F=0, 1+1-D+E+F=0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解得 F=0, D=-4, E=-6, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 所以圆的方程为x2+y2- 4x-6y=0,即(x-2)2+(y-3)2=13. 若过(0,0),(4,0),(4,2),则 F=0, 16+4D+F=0, 16+4+4D+2E+F=0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解得 F=0, D=-4, E=-2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0, 即(x-2)2+(y-1)2=5. 若过(0,0),(4,2),(-1,1),则 F=0, 1+1-D+E+F=0, 16+4+4D+2E+F=0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解得 F=0, D=- 8 3 , E=- 14 3 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 所以圆的方程为x2+y2- 8 3x- 14 3y=0 ,即 x- 4 3 2 + y- 7 3 2 = 65 9. 若 过 (- 1,1),(4,0),(4,2),则 1+1-D+E+F=0, 16+4D+F=0, 16+4+4D+2E+F=0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解得 F=- 16 5 , D=- 16 5 , E=-2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 所以圆的方程为x2+y2- 16 5x-2y- 16 5 =0 ,即 x- 8 5 2 +(y- 1)2= 169 25. 因此,答案为(x-2)2+(y-3)2=13或 (x-2)2+(y-1)2=5或 x- 4 3 2 + y- 7 3 2 = 65 9 或 x- 8 5 2 +(y-1)2= 169 25. 811.A 解析:由题可知圆心为(a,0),因为直 线是圆的对称轴,所以圆心在直线上,即 2a+0-1=0,解得a=12 ,故选A. 812.(x-1)2+(y+1)2=5 解析:因为点 M 在直线2x+y-1=0上,所以设点 M(a, 1-2a).又因为点(3,0)和(0,1)均在☉M 上,所以 (a-3)2+(1-2a)2= a2+(-2a)2= R,化简得a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2, 解得a=1,所以 M(1,-1),R= 5,故圆 M 的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. 813.(-2,-4) 5 解析:由题意知a2=a+ 2,则a=-1或a=2. 当a=2时,方程为x2+y2+x+2y+ 5 2= 0,D2+E2-4F=1+4-4×52=-5<0 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 335 高考一线 真题研究 数学 不表示圆. 当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y- 5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,圆心为 (-2,-4),半径为5. 814.C 解析:根据点到直线的距离公式,得 d= |-1+3| 12+(-1)2 = 2,故选C. 815.A 解析:圆的方程x2+y2-2x-8y+ 13=0转化为标准方程:(x-1)2+(y- 4)2=4,所以圆心为(1,4).因为圆x2+ y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+ y-1=0的距离为1,所以 |a+4-1| a2+12 =1, 解得a=-43 ,故选A. 816.(x-2)2+y2=9 解析:设圆心坐标为 C(a,0)(a>0),则|2a| 5 = 45 5 ⇒a=2 ,r= |CM|= 22+5=3,故圆C 的方程为(x- 2)2+y2=9. 817.x- 3 2 2 +y2= 25 4 解析:由题意知,该 圆经过椭圆顶点(4,0),(0,2),(0,-2),设 圆心为(a,0),则半径为4-a.由图可知, (4-a)2=a2+22,解得a=32 ,故圆的方程 为 x- 3 2 2 +y2= 25 4.     a x y 818.B 解析:△ABC 外接圆圆心在直线BC 垂 直平分线上即直线x=1上,设圆心D(1,b), 由|DA|=|DB|得|b|= 1+(b-3)2⇒b= 23 3 ,所 以 圆 心 到 原 点 的 距 离 d = 1+ 23 3 2 = 21 3 ,故选B. 819.(x-1)2+y2=2 解析:由直线 mx- y-2m-1=0得m(x-2)-(y+1)=0, 故直线过点(2,-1).当切线与过(1,0), (2,-1)两点的直线垂直时,圆的半径最 大,此时有r= 1+1= 2,故所求圆的标 准方程为(x-1)2+y2=2. 820.D 解析:∵r= (1-0)2+(1-0)2 = 2,∴方程为(x-1)2+(y-1)2=2,故 选D. 821.D 解析:圆心为(0,3),因为l 与直线 x+y+1=0垂直,故所求直线的斜率为1, 直线方程为y=x+3,即x-y+3=0,故 选D. 822.(x-2)2+y+ 3 2 2 = 25 4 解析:设C(a, b),半径为r,由题意可列 a2+b2=r2, (a-4)2+b2=r2, |b-1|=r, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 得 a=2, b=- 3 2 , r= 5 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 则 圆 的 方 程 为 (x-2)2+ y+ 3 2 2 = 25 4. 11.3 位置关系 823.13 ,3 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 解析:A(-2,3)关于y=a对称 的点的坐标为A'(-2,2a-3),B(0,a)在 直线y=a 上,所以A'B 所在直线即为直 线l,所以直线l为y= a-3 -2x+a ,即(a-3) x+2y-2a=0.圆C:(x+3)2+(y+2)2=1,圆 心C(-3,-2),半径r=1,依题意圆心到直线l 的距离d=|-3 (a-3)-4-2a| (a-3)2+22 ≤1,即(5- 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 336 详解答案 5a)2≤(a-3)2+22,解得13≤a≤ 3 2 ,即 a∈ 13 ,3 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 . 824.C 解析:圆C2 方程可化为标准方程: (x-3)2+(y-4)2=25-m,两圆外切,知 两圆圆心间距离d= (3-0)2+(4-0)2= r1+r2,即5=1+ 25-m,解得m=9,故 选C. 825.B 解析:点 M(a,b)在圆x2+y2=1外 ⇒a2+b2>1.圆O 的圆心(0,0)到直线 ax+by=1的距离d= 1 a2+b2 <r=1,故 直线与圆相交,故选B. 826.A 解析:将点P(3,0)代入圆的方程,得 x2+y2-4x=32+0-4·3=-3<0,x20+ y20+Dx0+Ey0+F<0,所以点P(3,0)在 圆内,则l必与C 相交,故选A. 827.C 解析:由直线y=kx+1过一定点(0, 1),故直线与圆相交,但圆心(0,0)不在直 线上,故选C. 828. 4 3 解析:方法一:因为圆C 的方程可化 为标准方程:(x-4)2+y2=1,所以圆C 的 圆心为(4,0),半径为1.又由题意知直线 y=kx-2上至少存在一点A(x0,kx0- 2),以该点为圆心、1为半径的圆与圆C 有 公共点,则存在x0∈R,使得AC≤1+1成 立,即ACmin≤2. 因为ACmin 即为点C 到直线y=kx-2的 距离|4k-2| k2+1 ,所以|4k-2| k2+1 ≤2,解得0≤ k≤43 ,即k的最大值是43. 方法二:设直线y=kx-2上某一点 M(t, kt-2),其到圆心C 的距离不超过2,即 (t-4)2+(kt-2)2≤2,对k 取某个范围 的值,存在t 使之成立.关于t 的不等式 (1+k2)·t2-4t(2+k)+16≥0有解,则 1 16Δ= (k+2)2-4(1+k2)≥0,解得0≤ k≤43 ,故k的最大值是43. 11.4 圆的弦长 829.C 解析:因为b是a,c的等差中项,所以 2b=a+c,c=2b-a,代入直线方程ax+ by+c=0得ax+by+2b-a=0,即a (x-1)+b(y+2)=0,则直线恒过点P (1,-2).圆的标准方程x2+(y+2)2=5, 设圆心为C,画出直线与圆,如图.由图可 知,当PC⊥AB 时,|AB|最小.|PC|=1, |AC|=r= 5,此 时|AB|=2|AP|= 2 |AC|2-|PC|2=2 5-1=4,故选C. O x y A PC B 830.2 解析:圆(x-1)2+(y-1)2=3的圆心 坐标为(1,1),半径为 3,圆心到直线x- y+m=0(m>0)的距离为 |1-1+m| 2 = m 2 ,由勾股定理得 m 2 2 + m2 2 =3,因为 m>0,解得m=2. 831.C 解析:由题意可得圆心为(0,0),半径为 2,故圆心到直线的距离d= |m| k2+1 ,则弦长 为2 4- m2 k2+1 .当k=0时,弦长取得最小 值为2 4-m2 =2,解 得 m=± 3,故 选C. 832.B 解析:圆x2+y2-6x=0化为(x- 3)2+y2=9,所以圆心C 坐标为C(3,0), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 337 高考一线 真题研究 数学 半径为3.设P(1,2),当过点P 的直线和 直线CP 垂直时,圆心到过点P 的直线的 距离最大,所求的弦长最短,此时|CP|= (3-1)2+(-2)2=22,根据弦长公式得 最小值为2 9-|CP|2=2 9-8=2,故 选B. 833.5 解析:由题意知,圆x2+y2=r2 的圆 心为(0,0),半径为r,则圆心到直线x- 3y+8=0的 距 离 d= 8 1+3 =4,又 |AB|=6,故r2=d2+ |AB|2 2 =16+9= 25,因此r=5. 834.22 解析:根据题意,圆的标准方程可化 为x2+(y+1)2=4,所以圆的圆心为(0,- 1),且半径是2,根据点到直线的距离公式 可以求得d= |0+1+1| 12+(-1)2 = 2,结合圆中 的特殊三角形可知|AB|=2 4-2=22. 835.C 解析:由已知得kAB= 3-2 1-4=- 1 3 , kCB= 2+7 4-1=3 ,所以kAB·kCB=-1,则AB⊥ CB,即△ABC 为直角三角形,其外接圆圆心 为斜边AC 的中点,坐标为(1,-2),半径为 1 2AC= 1 2 (1-1)2+(-7-3)2=5,所以 外接圆方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令 x=0,得y=±2 6-2,所以|MN|= 46,故选C. 836.B 解析:设x2+y2+2x-2y+a=0的 半径为r,因为圆心(-1,1)到直线x+y+ 2=0的距离d= 2,由弦长2 r2-2= 4得r2=6,所以2-a=6,即a=-4,故 选B. 837. 2 5 55 解析:由题意知,圆心为(2,-1), r=2,圆心到直线的距离d=|2-2-3| 12+22 = 3 55 ,则弦长=2 r2-d2 =2 4- 9 5 = 2 5 55. 838.(x-2)2+(y-1)2=4 解析:设圆心 C(2b,b)且b>0,半径r=2b,圆C 截x 轴 所得弦的长为23,则有4b2=b2+(3)2, 解出b=1或b=-1(舍去),故所求的圆C 的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4. 838.C 解析:圆心坐标为(1,2),半径r=5,圆 心到直线的距离为d=|1+4-5+5| 5 =1,所 以弦长l=2r2-d2=4,故选C. 840.22 解析:设P(3,1),圆心C(2,2),则 |PC|= 2,最短的弦过P(3,1)且与PC 垂 直,故最短的弦长为2 22-(2)2=22. 11.5 圆的切线 841.B 解析:圆x2+y2-4x-1=0化为标 准方程为(x-2)2+y2=5,记圆心C(2, 0),半径r= 5,如图,设P(0,-2),两切 点为 A,B,连 接 PC,则 ∠APB =α, ∠CPA = ∠CPB =α2 ,|CP|=2 2, |CB|= 5,在 Rt△CBP 中,|PB|= 3, sin α 2= 5 22 ,cos α 2= 3 22 ,所以sin α=2sin α 2cos α 2=2× 5 22 × 3 22 = 15 4 ,故选B. CO A P B x y 842. 3 3 解析:双曲线y2- x2 m2 =1(m>0)的 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 338 详解答案 渐近线为y=± x m ,即x±my=0,不妨取 x+my=0,圆x2+y2-4y+3=0,即x2+ (y-2)2=1,所以圆心为(0,2),半径r=1, 依题意圆心(0,2)到渐近线x+my=0的 距离d= |2m| 1+m2 =1,解得m= 33 或m= - 3 3 (舍去). 843.y=- 3 4x+ 5 4 或y= 7 24x- 25 24 或x= -1 解析:圆x2+y2=1的圆心为O(0, 0),半径为1,圆(x-3)2+(y-4)2=16的 圆心O1 为(3,4),半径为4,两圆圆心距为 32+42=5,等于两圆半径之和,故两圆外 切,如图. O   n y m xO l 当切线为l 时,因为kOO1= 4 3 ,所以kl= - 3 4 ,设方程为y=- 3 4x+t (t>0), O 到l的距离d= |t| 1+ 9 16 =1,解得t=54 , 所以l的方程为y=- 3 4x+ 5 4 , 当切线为 m 时,设直线方程为kx+y+ p=0,其中p>0,k<0, 由题意得 |p| 1+k2 =1, |3k+4+p| 1+k2 =4, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 k=- 7 24 , p= 25 24 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 y= 7 24x- 25 24 ; 当切线为n时,易知切线方程为x=-1. 844.3 解析:设圆心为 M,由直线的斜率为 3知此切线的倾斜角为60°,又切线与y 轴 交点为A,所以∠MAB=30°,又∠ABM= 90°,且 MB=1,所以AM=2,即|AB|= AM2-BM2= 3. 845.D 解析:设直线l在曲线y= x上的切 点为(x0,x0),则x0>0,函数y= x的 导数为y'= 1 2 x ,则直线l 的斜率k= 1 2 x0 .设直线l的方程为y- x0= 1 2 x0 (x-x0),即x-2 x0y+x0=0,由于直线 l与圆x2+y2= 1 5 相切,则 x0 1+4x0 = 1 5 , 两边平方并整理得5x20-4x0-1=0,解得 x0=1,x0=- 1 5 (舍),则直线l的方程为 x-2y+1=0,即y= 1 2x+ 1 2 ,故选D. 846.m=-2,r= 5 解析:因为kAC=- 1 2 , 所以直线AC 的方程为y+1=- 1 2 (x+ 2),把(0,m)代入得 m=-2,此时r= |AC|= 4+1= 5. 847.D 解析:由光的反射原理知反射光线的 反向延长线必过点(2,-3),设反射光线所 在直线的斜率为k,则反身光线所在直线方 程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3= 0.又因为光线与圆相切,而圆的标准方程 为(x +3)2 + (y -2)2 =1,所 以 |-3k-2-2k-3| k2+1 =1,整理得12k2+25k+ 12=0,解得k=-43 ,或=- 3 4 ,故选D. 848.D 解析:因为直线2x+y+1=0斜率为 -2,所以设所求直线的方程为y=-2x+ b.设圆x2+y2=5的圆心(0,0)到直线 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 339 高考一线 真题研究 数学 y=-2x+b的距离为d,则依题意有d= |b| 22+1 =r= 5,解得b=±5,故所求直线 的方程为y=-2x±5,故选D. 849.x+2y-5=0 解析:由点P(1,2)在以坐 标原点为圆心的圆上知此圆的方程为x2+ y2=5,所以该圆在点P 处的切线方程为 x+2y=5,即x+2y-5=0. 850. 4 3 解析:记P(1,3),直线l1 与圆的切点 为A,则|PA|= |OP|2-|OA|2=22.设 所求角为2θ,则tan θ=|OA||PA|= 2 22 = 1 2 ,故 tan 2θ= 2tan θ 1-tan2θ = 4 3. 851.D 解析:方法一:设直线l的倾斜角为θ, 数形结合可θmin=0,θmax=2× π 6= π 3 ,所以 倾斜角的范围是 0, π 3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,故选D. 方法二:由题意知,满足条件的直线l斜率 存在.设当直线的斜率为k 时,直线与圆相 切,此时直线方程为kx-y+ 3k-1=0, 圆 心 到 直 线 的 距 离 不 大 于 1,所 以 |3k-1| k2+1 ≤1,解得0≤k≤ 3,所以倾斜角 的范围是 0, π 3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,故选D. 852.A 解析:根据平面几何知识,直线AB 一 定与点(3,1),(1,0)的连线垂直,这两点连 线的斜率为1 2 ,故直线AB 的斜率一定是 -2.只有选项 A中直线的斜率为-2,故 选A. 853.C 解析:设直线斜率为k,则直线方程为 y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0,圆 心(1,0)到直线的距离 |k+2-2k| k2+1 = 5, 即|2-k| k2+1 = 5,解得k=- 1 2. 因为直线与 直线ax-y+1=0垂直,所以k=- 1 a= - 1 2 ,即a=2,故选C. 854.A 解析:方法一:圆心到所求直线的距离 等于r=1,排除B,C;相切于第一象限排除 D,故选A. 855.D 解析:因为直线(m+1)x+(n+1)y -2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切, 所以 圆 心 (1,1)到 直 线 的 距 离 d = |(m+1)+(n+1)-2| (m+1)2+(n+1)2 =1,所 以 mn= m+n+1≤ m+n2 2 .设t=m +n,则 1 4t 2≥t+1,解得(-∞,2-2 2]∪[2+ 22,+∞),故选D. 11.6 圆中的角度和面积 856.22,-2, 1 2 ,- 1 2 中任意一个皆可以 解析:设点C 到直线AB 的距离为d,则 |AB|=2 4-d2,所以S△ABC= 1 2×d× 2 4-d2= 8 5 ,解得d=455 或d=255 . 因 为d=|1+1| 1+m2 = 2 1+m2 ,所以 2 1+m2 = 45 5 或 2 1+m2 = 25 5 ,解得:m=±2或 m=±12. 857.A 解析:因为直线x+y+2=0分别与 x 轴、y 轴交于A,B 两点,所以A(-2,0), B(0,-2),则|AB|=22. 因为点P 在圆(x-2)2+y2=2上,所以圆 心为(2,0),半径r= 2,则圆心到直线距 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 340 详解答案 离d1= |2+0+2| 2 =22,故点P 到直线 x+y+2=0的距离d2 的范围为[d1-r, d1+r],即[2,32],则S△ABP= 1 2|AB|d2= 2d2∈[2,6],故选A. 858.2 解析:如图所示,直线3x-4y+5=0 与圆x2+y2=r2(r>0)交于A,B 两点,O 为坐标原点,且∠AOB=120°,则圆心(0, 0)到直线3x-4y+5=0的距离为 1 2r ,则 5 32+42 = 1 2r ,即r=2. 























     B y xO A 859.A 解析:当k=1时,圆心到直线l:y= x+1的距离d= 22 ,所以弦长为 2,则 S△OAB= 1 2× 2× 2 2= 1 2 ,所以充分性成 立. 由图形的对称性知,当k=-1时,△OAB 的面积为1 2 ,所以必要性不成立,故选A. 860.4± 15 解析:由题意可知圆的圆心为C (1,a),半径r=2,则圆心C 到直线ax+ y- 2 = 的 距 离 d = |a+a-2| a2+1 = |2a-2| a2+1 .因为△ABC 为等边三角形,所以 |AB|=r=2.又|AB|=2 r2-d2,则 2 22- |2a-2| a2+1 2 =2,即a2-8a+1=0, 解得a=4± 15. 861.2 解析:圆心(0,0)到两条直线的距离相 等,且 每 段 弧 的 长 度 都 是 圆 周 的1 4 ,即 |a| 2 = |b| 2 ,d r= |a| 2 =cos 45°= 2 2 ,所以 a2=b2=1,则a2+b2=2. 862.A 解析:设直线l:2x+y-4=0.因为 |OC|=12|AB|=dC-l ,所以圆心C 的轨 迹为以O 为焦点,l为准线的抛物线.圆C 半径最小值为1 2dO-l= 1 2× 4 5 = 2 5 ,圆C 面积的最小值为π 2 5 2 = 4π 5 ,故选A. 863.B 解析:曲线y= 1-x2的图象如图所 示. B P




 H O A y x 若直线l与曲线相交于A,B 两点,则直线 l的斜率k<0,设l:y=k(x- 2),则点O 到l的距离d=- 2k k2+1 . 又S△AOB= 1 2|AB| ·d=12 ·2 1-d2· d= (1-d2)·d2≤ 1 2 ,当且仅当1-d2= d2,即d2=12 时,S△AOB 取得最大值,所以 2k2 k2+1 = 1 2 ,则k2=13 ,即k=- 33 ,故选B. 864.3 解析:直线与两坐标轴的交点坐标为 A 1m ,0 ,B0,1n ,直线与圆相交所得的弦 长为2,圆心到直线的距离d 满足d2= r2-12=4-1=3,所以d= 3,即圆心到直 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 341 高考一线 真题研究 数学 线的距离d= |-1| m2+n2 = 3,所以 m2+ n2=13. 三角形的面积S=12 1 m · 1 n = 1 2|mn| ,又S= 12|mn|≥ 1 m2+n2 =3,当且 仅当|m|=|n|=1 6 时取等号,所以最小值 为3. 第十二章 圆锥曲线 12.1 椭圆的定义、标准方程及几何性质 865.A 解析:设点 M(x,y),则P(x,y0), P'(x,0),因 为 M 为 PP'的 中 点,所 以 y0=2y,即P(x,2y).又点P 在曲线C: x2+y2=16(y>0)上,所以x2+4y2= 16(y>0),即 x2 16+ y2 4=1 (y>0),即点 M 的轨迹方程为x 2 16+ y2 4=1 (y>0),故选A. 866.解:(1)因为A(0,3)和P3, 3 2 为椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)上两点, O P y A B Q x 所以 0 a2+ 9 b2=1 , 9 a2+ 9 4b2=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 a2=12, b2=9, 所以c2=a2-b2=3, 则离心率e=ca= 3 23 = 1 2. (2)因为A(0,3)和P3, 3 2 , 所以|PA|= (3-0)2+ 32-3 2 = 35 2 . 由△ABP 的面积为9,得12|PA| ·h=9, 即1 2× 35 2 ×h=9 ,解得h=12 5 . 直线PA 的方程为y= 3 2-3 3-0x+3 , 即lPA:x+2y-6=0. 设过点B 与lPA 平行的直线l1:x+2y+ C=0,则h=12 5 = |C+6| 5 ,解得C=6或 C=-18. 当C=-18时,l1:x+2y-18=0与椭圆 相离,舍去; 当C=6时,l1:x+2y+6=0与lPA:x+ 2y-6=0关于原点对称, lPA 与椭圆的交点为A(0,3)和P3, 3 2 , A(0,3)和 P 3, 3 2 关于原点的对称点为 B1(0,-3),B2 -3,- 3 2 . 由P3, 3 2 和B1(0,-3),得直线l的方程 为y= 3 2- (-3) 3-0 x-3 ,即y= 3 2x-3 ; 由P 3, 3 2 和B2 -3,-32 ,得直线l 的 方程为y- 3 2= 3 2- - 3 2 3-(-3) (x-3),即y= 1 2x. 综上,直 线l 的 方 程 为y= 1 2x 或y= 3 2x-3. 867.解:(1)设F(c,0),由题意得c=1且b 2 a= 3 2 ,则a 2-1 a = 3 2 ,解得a=2,b= 3, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 342