第十三章 统计、成对数据的统计分析-【高考一线·真题研究】2025年高考数学分类必刷题

高考一线 真题研究 数学 第十三章 统计、成对数据的统计分析 13.1 随机抽样 【解题·小帮手】 ▶简单随机抽样 (1)使用范围:总体对象少; (2)抽取方式:逐个不放回抽取; (3)特点:每个个体被抽到的概率相等; (4)常用方法:抽签法和随机数法. ▶分层随机抽样 (1)使用范围:总体由差异明显的几部分组 成; (2)性质:各层所抽取的个体数(ni)与该层 所包含的 个 体 数(Ni)之 比 等 于 样 本 容 量 (n)与总体的个体数(N)之比,即 ni Ni = n N. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 999.(2019·天津,15节选)2019年,我国施行 个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女 教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息 或者住房租金、赡养老人等六项专项附加 扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108, 120人,现采用分层抽样的方法,从该单位 上述员工中抽取25人调查专项附加扣除 的享受情况.应从老、中、青员工中分别抽 取多少人? 1000.(2017·江苏,3)某工厂生产甲、乙、丙、 丁四种不同型号的产品,产量分别为200 件、400件、300件、100件.为检验产品的质 量,现用分层抽样的方法从以上所有的产 品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号 的产品中抽取 件. 1001.(2016·北京,16节选)A、B、C三个班共 有100名学生,为调查他们的体育锻炼情 况,通过分层抽样获得了部分学生一周的 锻炼时间,数据如下表(单位:小时): A班 6 6.5 7 7.5 8 B班 6 7 8 9 10 11 12 C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 试估计C班的学生人数. 1002.(2015·北京,4)某校老年、中年和青年 教师的人数见下表,采用分层抽样的方法 调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青 年教师有320人,则该样本的老年教师人 数为 ( ) 类别 人数 老年教师 900 中年教师 1 800 青年教师 1 600 合计 4 300 A.90 B.100 C.180 D.300 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 142 第十三章 统计、成对数据的统计分析 1003.(2015·福建,13)某校高一年级有900 名学生,其中女生400名,按男女比例用分 层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个 容量为45的样本,则应抽取的男生人数为 . 1004.(2012·四川,3)交通管理部门为了解机 动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知 晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽 样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为 N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、 乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别 为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总 人数N 为 ( ) A.101 B.808 C.1 212 D.2 012 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 13.2 数据的数字特征 【解题·小帮手】 ▶众数、中位数、平均数 (1)众数:一组数中,出现频数最多的数叫做 众数. (2)中位数:一组数从大小到(或从小到大) 排列,最中间的数叫做中位数.①若一组数 有2n+1个,排列后第n 个数为中位数;② 若一组数有2n 个,排列后第n 个数和第n+ 1个数的平均数为中位数. (3)平均数:①若一组数为x1,x2,…,xn,则 这n 个数的平均数为x= x1+x2+…+xn n ; ②若一组数中,x1 的频数为n1,x2 的频数为 n2,…,xn 的频数为nn,则所有数的平均数 为x= x1n1+x2n2+…+xn n n1+n2+…+nn ;③若一组数 中,x1 的频率为f1,x2 的频率为f2,…,xn 的频率为fn, 则所有数的平均数为x=x1f1+x2f2+… +xnfn. (4)常用性质:一组数据x1,x2,…,xn 的平 均数为x,中 位 数 为 m,众 数 为e,则 数 据 ax1+b,ax2+b,…,axn+b 的平均数为ax +b,中位数为am+b,众数为ae+b. ▶极差、方差、标准差 (1)极差:最大值和最小值的差值. (2)方差s2 的计算:①一组数据x1,x2,…, xn,平均数为x,则 s2=1n [(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn- x)2]; ②x1 的频数为n1,x2 的频数为n2,…,xn 的频 数为nn,样本容量n=n1+n2+…+nn,则 s2=1n [n1(x1-x)2+n2(x2-x)2+…+nn (xn-x)2]; ③x1 的频率为f1,x2 的频率为f2,…,xn 的频率为fn,样本容量n=n1+n2+…+ nn,则 s2=f1(x1-x)2+f2(x2-x)2+…+ fn(xn-x)2. (3)标 准 差S:S= s2 (方 差 的 算 术 平 方 根). (4)常用性质:①一组数为x1,x2,…,xn 的 方差为s2,标准差为S,极差 为n,则 数 据 ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差为a2s2, 标准差为aS,极差为n. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1005.(2024·新高考全国二,4)某农业研究部 门在面积相等的100块稻田上种植一种新 型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg) 并部分整理下表 亩产量 [900, 950) [950, 1 000) [1 000, 1 050) [1 100, 1 150) [1 150, 1 200) 频数 6 12 18 24 10 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 143 高考一线 真题研究 数学 据表中数据,结论中正确的是 ( ) A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻 田所占比例超过80% C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至 300 kg之间 D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg 至1 000 kg之间 1006.(多选题)(2023·新高考全国一,9)有一 组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1 是最小 值,x6 是最大值,则 ( ) A.x2,x3,x4,x5 的平均数等于x1,x2,…, x6 的平均数 B.x2,x3,x4,x5 的中位数等于x1,x2,…, x6 的中位数 C.x2,x3,x4,x5 的标准差不小于x1,x2, …,x6 的标准差 D.x2,x3,x4,x5 的极差不大于x1,x2,…, x6 的极差 1007.(2023·新课标全国乙理,17)某厂为比 较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理 效应,进行10次配对试验,每次配对试验 选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选 其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺 处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率. 甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩 率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10),试验结 果如下: 试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩 率xi 545533551522575544541568596548 伸缩 率yi 536527543530560533522550576536 记zi=xi-yi(i=1,2,…,10),记z1,z2, …,z10 的样本平均数为z,样本方差为s2. (1)求z,s2; (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩 率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是 否有显著提高(如果z≥2 s 2 10 ,则认为甲 工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺 处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高, 否则不认为有显著提高). 1008.(多选题)(2021·新高考全国一,9)有一 组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得 到新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi= xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则 ( ) A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同 C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同 1009.(2021·新课标全国乙,17)某厂研制了 一种生产高精产品的设备,为检验新设备 生产产品的某项指标有无提高,用一台旧 设备和一台新设备各生产了10件产品,得 到各件产品该项指标数据如下: 旧设备 9.810.310.010.29.9 9.810.010.110.29.7 新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样 本平均数分别记为x 和y,样本方差分别 记为s21 和s22. (1)求x,y,s21,s22; (2)判断新设备生产产品的该项指标的均 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 144 第十三章 统计、成对数据的统计分析 值较旧设备是否有显著提高(如果y-x≥ 2 s21+s22 10 ,则认为新设备生产产品的该项 指标的均值较旧设备有显著提高,否则不 认为有显著提高). 1010.(2020·新课标全国三文,3)设一组样本 数据x1,x2,…,xn 的方差为0.01,则数据 10x1,10x2,…,10xn 的方差为 ( ) A.0.01 B.0.1 C.1 D.10 1011.(2020·新课标全国三理,3)在一组样本 数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1, p2,p3,p4,且∑ 4 i=1 pi=1,则下列四种情形中, 对应样本的标准差最大的一组是 ( ) A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4 B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1 C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3 D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2 1012.(2020·新课标全国一,17节选)某厂接 受了一项加工业务,加工出来的产品(单 位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加 工业务约定:对于A级品、B级品、C级品, 厂家每件分别收取加工费90元,50元,20 元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失 费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加 工业务。甲分厂加工成本费为25元/件, 乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决 定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂 各试加工了100件这种产品,并统计了这 些产品的等级,整理如下: 甲分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 40 20 20 20 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 28 17 34 21 分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产 品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应 选哪个分厂承接加工业务? 1013.(2020·江苏,3)已知一组数据4,2a,3- a,5,6的平均数为4,则a的值是 . 1014.(2019·新课标全国二,5)演讲比赛共有 9位评委分别给出某选手的原始评分,评定 该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1 个最高分、1个最低分,得到7个有效评分. 7个有效评分与9个原始评分相比,不变的 数字特征是 ( ) A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差 1015.(2019·新课标全国二,13)我国高铁发 展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的 高铁列车中,有10个车次的正点率为0. 97,有20个车次的正点率为0.98,有10个 车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列 车所 有 车 次 的 平 均 正 点 率 的 估 计 值 为 . 1016.(2017·新课标全国一,2)为评估一种农 作物的种植效果,选了n 块地作试验田.这 n 块地的亩产量(单位:kg)分别为x1,x2, …,xn,下面给出的指标中可以用来评估这 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 145 高考一线 真题研究 数学 种农作物亩产量稳定程度的是 ( ) A.x1,x2,…,xn 的平均数 B.x1,x2,…,xn 的标准差 C.x1,x2,…,xn 的最大值 D.x1,x2,…,xn 的中位数 1017.(2016·上海,4)某次体检,6位同学的身 高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1. 80,1.69,1.77,则这组数据的中位数是 米. 1018.(2016·江苏,4)已知一组数据4.7,4.8, 5.1,5.4,5.5,则 该 组 数 据 的 方 差 是 . 1019.(2015·安徽,6)若样本数据x1,x2,…, x10 的标准差为8,则数据2x1-1,2x2-1, …,2x10-1的标准差为 ( ) A.8 B.15 C.16 D.32 1020.(2015·广东,12)已知样本数据x1,x2, …,xn 的均值x=5,则样本数据2x1+1, 2x2+1,…,2xn+1的均值为 . 1021.(2014·陕西,9)设样本数据x1,x2,…, x10 的均值和方差分别为1和4,若yi=xi +a(a为非零常数,i=1,2,…,10),则y1, y2,…,y10 的均值和方差分别为 ( ) A.1+a,4 B.1+a,4+a C.1,4 D.1,4+a 1022.(2014·广东,17)某车间20名工人年龄 数据如下表: 年龄/岁 工人数/人 19 1 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 1 合计 20 (1)求这20名工人年龄的众数与极差; (2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20 名工人年龄的茎叶图; (3)求这20名工人年龄的方差. 1023.(2014·湖南,17节选)某企业有甲、乙两 个研发小组,为了比较他们的研发水平,现 随机抽取这两个小组往年研发新产品的结 果如下: (a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b), (a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b), (a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b). 其中a,a 分别表示甲组研发成功和失败; b,b分别表示乙组研发成功和失败.若某组 成功研发一种新产品,则给该组记1分,否 则记0分,试计算甲、乙两组研发新产品的 成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的 研发水平. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 146 第十三章 统计、成对数据的统计分析 13.3 数据统计图表 【解题·小帮手】 ▶数据统计图主要包括:条形统计图、折线统 计图、扇形统计图、茎叶图、频率分布直方 图.其中,前三种统计图在初中阶段已经学 习过,高中主要以茎叶图和频率分布直方图 的考查为主. ▶解答统计图表问题,关键是对统计图表的理 解,通过图表进行样本特征数(平均数、众 数、中位数、极差、标准差)的计算. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1024.(2022·新课标全国甲,2)某社区通过公 益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识. 为了解讲座效果,随机抽取10位社区居 民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份 垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲 座前和讲座后问卷答题的正确率如下图: % 95% 90% 85% 80% 75% 70% 65% 60% 0 



























































            !4 @ @ - ( 则 ( ) A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 70% B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 85% C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于 讲座后正确率的标准差 D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲 座前正确率的极差 1025.(2022·新课标全国乙,4)分别统计了 甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动 时长(单位:h),得如下茎叶图: 甲 乙 6 1 5 8 5 3 0 6 3 7 5 3 2 7 4 6 6 4 2 1 8 1 2 2 5 6 6 6 6 4 2 9 0 2 3 8 10 1 则下列结论中错误的是 ( ) A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位 数为7.4 B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均 数大于8 C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概 率的估计值大于0.4 D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概 率的估计值大于0.6 1026.(2018·新课标全国一,3)某地区经过一 年的新农村建设,农村的经济收入增加了 一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村 的经济收入变化情况,统计了该地区新农 村建设前后农村的经济收入构成比例,得 到如图下饼图: 则下面结论中不正确的是 ( ) A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 147 高考一线 真题研究 数学 C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收 入的总和超过了经济收入的一半 1027.(2018·新课标全国三,18节选)某工厂 为提高生产效率,开展技术创新活动,提出 了完成某项生产任务的两种新的生产方 式.为比较两种生产方式的效率,选取40 名工人,将他们随机分成两组,每组20人. 第一组工人用第一种生产方式,第二组工 人用第二种生产方式.根据工人完成生产 任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎 叶图: 第一种生产方式 第二种生产方式 8 6 5 5 6 8 9 9 7 6 2 7 0 1 2 2 3 4 5 6 6 8 9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 8 1 4 4 5 2 1 1 0 0 9 0 根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更 高? 并说明理由. 1028.(2018·江苏,3)已知5位裁判给某运动 员打出的分数茎叶图如图所示,那么这5位 裁判打出的分数的平均数为 . 8 9 9 9 0 1 1 1029.(2017·山东,8)如图所示的茎叶图记录 了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据 (单位:件).若这两组数据的中位数相等, 且平均值也相等,则x 和y 的值分别为 ( ) 甲组 乙组 6 5 9 2 5 6 1 7 y x 4 7 8 A.3,5 B.5,5 C.3,7 D.5,7 1030.(2016·新课标全国三,4)某旅游城市为 向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年 中月平均最高气温和平均最低气温的雷达 图。图中A点表示十月的平均最高气温约 为15 ℃,B点表示四月的平均最低气温约 为5 ℃.下面叙述不正确的是 ( ) A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B.七月的平均温差比一月的平均温差大 C.三月和十一月的平均最高气温基本相同 D.平均气温高于20 ℃的月份有5个 1031.(2015·重庆,3)重庆市2013年各月的 平均气温(单位:℃)数据的茎叶图如下. 0 8 9 1 2 5 8 2 0 0 3 3 8 3 1 2 则这组数据的中位数是 ( ) A.19 B.20 C.21.5 D.23 1032.(2014·广东,6)已知某地区中小学生人 数和近视情况分别如图1和图2所示,为 了解该地区中小学生的近视形成原因,用 分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查, 则样本容量和抽取的高中生近视人数分别 是 ( ) * * P*    图1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 148 第十三章 统计、成对数据的统计分析    

















P 3 D>(% O 图2 A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100,10 1033.(2013·新课标全国一,18)为了比较两 种治疗失眠症的药(分别称为A药,B药) 的疗效,随机地选取20位患者服用A药, 20位患者服用B药,这40位患者服用一段 时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间 (单位:h),试验的观测结果如下: 服用A药的20位患者日平均增加的睡眠 时间: 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠 时间: 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 (1)分别计算两组数据的平均数,从计算结 果看,哪种药的疗效更好? (2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶 图看,哪种药的疗效更好? A药 B药 0 1 2 3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 13.4 频率分布直方图 【解题·小帮手】 ▶频数与频率 (1)在一组样本数据中,某个数据出现的次 数m 称为该数据的频数. (2)频率= 频数 样本总数. ▶频率分布直方图 (1)频率分布表中的频数之和等于样本容 量,各组的频率之和等于1;在频率分布直方 图中,各小长方形的面积表示相应各组的频 率,所以,所有小长方形的面积之和等于1. (2)平均数:x=x1f1+x2f2+…+xnfn(同 一组中的数据用该组区间的中点值代表xn). (3)中位数:将所有矩形面积平分,即中位数左 右两边面积各为0.5,可以通过列方程来求解. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1034.(2023·新高考全国二,19)某研究小组 经过研究发现某种疾病的患病者与未患病 者的某项医学指标有明显差异,经过大量 调查,得到如下的患病者和未患病者该指 标的频率分布直方图: M(3C      









 O 患病者 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 149 高考一线 真题研究 数学 M(3C       



















 O 未患病者 利用该指标制定一个检测标准,需要确定 临界值c,将该指标大于c 的人判定为阳 性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测 标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概 率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定 为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内 均匀分布,以事件发生的频率作为相应事 件发生的概率. (1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c 和误诊率q(c); (2)设函数f(c)=p(c)+q(c),当c∈[95, 105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区 间[95,105] 的最小值. 1035.(2022·天津,4)为研究某药品的疗效, 选取若干名志愿者进行临床试验,所有志 愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间 为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16), [16,17],将其按从左到右的顺序分别编号 为第一组,第二组,…,第五组,右图是根据 试验数据制成的频率分布直方图.已知第 一组与第二组共有20人,第三组中没有疗 效的有6人,则第三组中有疗效的人数为 ( ) 3C  










 7L1BO    M( A.8 B.12 C.16 C.18 1036.(2021·新课标全国二,2)为了解某地农 村经济情况,对该地农户家庭年收入进行 抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据 整理得到如下频率分布直方图: 根据此频率分布直方图,下面结论中不正 确的是 ( ) A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农 户比率估计为6% B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元 的农户比率估计为10% C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超 过6.5万元 D. 估计该地有一半以上的农户,其家庭年 收入介于4.5万元至8.5万元之间 1037.(2019·新课标全国二,19)某行业主管 部门为了解本行业中小企业的生产情况, 随机调查了100个企业,得到这些企业第 一季度相对于前一年第一季度产值增长率 y 的频数分布表. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 150 第十三章 统计、成对数据的统计分析 y 的 分组 [-0.20 ,0) [0, 0.20) [0.20, 0.40) [0.40, 0.60) [0.60, 0.80) 企业数 2 24 53 14 7 (1)分别估计这类企业中产值增长率不低 于40%的企业比例、产值负增长的企业比 例; (2)求这类企业产值增长率的平均数与标 准差的估计值(同一组中的数据用该组区 间的中点值为代表).(精确到0.01) 附:74≈8.602. 1038.(2019·新课标全国三,17)为了解甲、乙 两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如 下试验:将200只小鼠随机分成 A,B 两 组,每组100只,其中A 组小鼠给服甲离子 溶液,B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠 给服的溶液体积相同、物质的量浓度相同. 经过一段时间后用某种科学方法测算出残 留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数 据分别得到如下直方图: 甲离子残留百分比直方图 乙离子残留百分比直方图 记C 为事件:“乙离子残留在体内的百分比 不低于5.5%”,根据直方图得到P(C)的 估计值为0.70. (1)求乙离子残留百分比直方图中a,b 的值; (2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均 值(同一组中的数据用该组区间的中点值 为代表). 1039.(2018·新课标全国一,19)某家庭记录 了未使用节水龙头50天的日用水量数据 (单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用 水量数据,得到频数分布表如下: 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用 水量 [0, 0.1) [0.1, 0.2) [0.2, 0.3) [0.3, 0.4) [0.4, 0.5) [0.5, 0.6) [0.6, 0.7) 频数 1 3 2 4 9 26 5 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用 水量 [0, 0.1) [0.1, 0.2) [0.2, 0.3) [0.3, 0.4) [0.4, 0.5) [0.5, 0.6) 频数 1 5 13 10 16 5 (1)在下图中作出使用了节水龙头50天的 日用水量数据的频率分布直方图; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 151 高考一线 真题研究 数学 (2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量 小于0.35 m3 的概率; (3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节 省多少水? (一年按365天计算,同一组中的 数据以这组数据所在区间中点的值作代表.) 1040.(2017·北京,17)某大学艺术专业400 名学生参加某次测评,根据男女学生人数 比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取 了100名学生,记录他们的分数,将数据分 成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并 整理得到如下频率分布直方图: (1)从总体的400名学生中随机抽取一人, 估计其分数小于70的概率; (2)已知样本中分数小于40的学生有5人, 试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数; (3)已知样本中有一半男生的分数不小于 70,且样本中分数不小于70的男女生人数 相等.试估计总体中男生和女生人数的比例. 1041.(2016·新课标全国一,19)某公司计划 购买1台机器,该种机器使用三年后即被 淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时, 可以额外购买这种零件作为备件,每个200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购 买,则每个500元.现需决策在购买机器时 应同时购买几个易损零件,为此搜集并整 理了100台这种机器在三年使用期内更换 的易损零件数,得下面柱状图: M 























 +L       记x 表示1台机器三年内共需更换的易损 零件数,y 表示1台机器在购买易损零件 上所需的费用(单位:元),n 表示购机的同 时购买的易损零件数. (1)若n=19,求y 与x 的函数解析式; (2)若要求“需更换的易损零件数不大于n” 的频率不小于0.5,求n的最小值; (3)假设这100台机器在购机的同时每台 都购买19个易损零件,或每台都购买20 个易损零件,分别计算这100台机器在购 买易损零件上所需费用的平均数,以此作 为决策依据,购买1台机器的同时应购买 19个还是20个易损零件? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 152 第十三章 统计、成对数据的统计分析 1042.(2016·山东,3)某高校调查了200名学 生每周的自习时间(单位:小时),制成了如 图所示的频率分布直方图,其中自习时间 的范 围 是[17.5,30],样 本 数 据 分 组 为 [17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25, 27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名 学生中每周的自习时间不少于22.5小时 的人数是 ( ) M(3C 


















 7K O      A.56 B.60 C.120 D.140 1043.(2016·北京,17)某市民用水拟实行阶 梯水价,每人用水量中不超过ω 立方米的 部分按4元/立方米收费,超出ω 立方米的 部分按10元/立方米收费,从该市随机调 查了10 000位居民,获得了他们某月的用 水量数据,整理得到如下频率分布直方图: 3C 








 *!F/1 O      M( (1)如果w 为整数,那么根据此次调查,为 使80%以上居民在该月的用水价格为4 元/立方米,ω 至少定为多少? (2)假设同组中的每个数据用该组区间的 右端点值代替,当w=3时,估计该市居民 该月的人均水费. 1044.(2015·广东,17)某城市100户居民的 月平均用电量(单位:度),以[160,180), [180,200),[200,220),[220,240),[240, 260),[260,280),[280,300]分组的频率分 布直方图如图所示. 3C       **F  x 






 M( (1)求直方图中x 的值;(2)求月平均用电 量的众数和中位数; (3)在月平均用电量为[220,240),[240, 260),[260,280),[280,300]的四组用户 中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则 月平均用电量在[220,240)的用户中应抽 取多少户? 1045.(2015·福建,18节选)全网传播的融合 指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力 的综合指标.根据相关报道提供的全网传 播2015年某全国性大型活动的“省级卫视 新闻台”融合指数的数据,对名列前20名 的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组 统计,结果如下表所示. 组号 分组 频数 1 [4,5) 2 2 [5,6) 8 3 [6,7) 7 4 [7,8) 3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 153 高考一线 真题研究 数学 根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻 台”的融合指数的平均数. 1046.(2014·新课标全国一,18)从某企业生 产的某种产品中抽取100件,测量这些产 品的一项质量指标值,由测量表得如下频 数分布表: 质量指标 值分组 [75,85) [85, 95) [95, 105) [105, 115) [115, 125] 频数 6 26 38 22 8 (1)在答题卡上作出这些数据的频率分布 直方图: M(3C 

















 BFO                     (2)估计这种产品质量指标值的平均数及 方差(同一组中的数据用该组区间的中点 值作代表); (3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企 业生产的这种产品符合“质量指标值不低 于95的产品至少要占全部产品的80%”的 规定? 1047.(2014·北京,18)从某校随机抽取100 名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单 位:小时)的数据,整理得到数据分组及频 数分布表和频率分布直方图: 组号 分组 频数 1 [0,2) 6 2 [2,4) 8 3 [4,6) 17 4 [6,8) 12 5 [8,10) 25 6 [10,12) 12 7 [12,14) 6 8 [14,16) 2 9 [16,18) 2 合计 100 M(3C KAK 



















O a b (1)从该校随机选取一名学生,试估计这名 学生该周课外阅读时间少于12小时的概率; (2)求频率分布直方图中的a,b的值; (3)假设同一组中的每个数据可用该组区 间的中点值代替,试估计样本中的100名 学生该周课外阅读时间的平均数在第几组 (只需写出结论). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 154 第十三章 统计、成对数据的统计分析 13.5 成对数据的统计相关性 【解题·小帮手】 ▶正相关与负相关 当一个变量的值增加时,另一个变量的相应 值也呈现增加的趋势,则称这两个变量正相 关;当一个变量的值增加时,另一个变量的 相应值呈现减小的趋势,则称这两个变量负 相关. ▶样本相关系数 样本相关系数r= ∑ n i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ n i=1 (xi-x)2 ∑ n i=1 (yi-y)2 ∈[-1,1],当 r>0时,成对样本数据正相关;当r<0时, 成对样本数据负相关;当|r|越接近1时,成 对样本数据的线性相关程度越强;当|r|越 接近0时,成对样本数据的线性相关程度 越弱. ▶一元线性回归方程ŷ=̂bx+̂a,其中,̂b 为斜 率参数,̂a 为截距参数,其图形称为经验回 归直线,经验回归直线必过样本中心点(x, y). ▶残差与决定系数R2 (1)通过观测得到的数据称为观测值,通过 经验回归方程得到的ŷ 称为预测值,观测值 减去预测值称为残差. (2)决 定 系 数 R2=1- ∑ n i=1 (yi-̂y)2 ∑ n i=1 (yi-y)2 ,R2 越 大,残差平方和越小,模型的拟合效果越好; R2 越小,残差平方和越大,模型的拟合效果 越差. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1048.(2024·天津,3)下列图中,相关性系数 最大的是 ( ) y O x A y O x B y O x C y O x D 1049.(2023·天津,7)调查某种群花萼长度和 花瓣长度,所得数据如图所示,其中相关系 数r=0.8245,下列说法正确的是 ( ) O 79J 7*J A.花瓣长度和花萼长度没有相关性 B.花瓣长度和花萼长度呈现负相关 C.花瓣长度和花萼长度呈现正相关 D.若从样本中抽取一部分,则这部分的相 关系数一定是0.8245 1050.(2022·新课标全国乙,19)某地经过多 年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青 山.为估计一林区某种树木的总材积量,随 机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根 部横截面积(单位:m2)和材积量(单位: m3),得到如下数据: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 155 高考一线 真题研究 数学 样本号ⅰ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截 面积xi 0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.06 0.6 材积量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.40 3.9 并计算得∑ 10 i=1 x2i=0.038,∑ 10 i=1 y2i=1.615 8, ∑ 10 i=1 xiyi=0.247 4. (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部 横截面积与平均一棵的材积量; (2)求该林区这种树木的根部横截面积与 材积量的样本相关系数(精确到0.01); (3)现测量了该林区所有这种树木的根部 横截面积,并得到所有这种树木的根部横 截面积总和为186 m2.已知树木的材积量 与其根部横截面积近似成正比.利用以上 数据给出该林区这种树木的总材积量的估 计值. 附:相关系数r= ∑ n i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ n i=1 (xi-x)2∑ n i=1 (yi-y)2 , 1.896≈1.377. 1051.(2020·新课标全国二,18)某沙漠地区 经过治理,生态系统得到很大改善,野生动 物数量有所增加.为调查该地区某种野生 动物的数量,将其分成面积相近的200个 地块,从这些地块中用简单随机抽样的方 法抽取20个作为样区,调查得到样本数据 (xi,yi)(i=1,2,…,20),其中xi 和yi 分 别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位: 公顷)和这种野生动物的数量,并计算得 ∑ 20 i=1 xi=60,∑ 20 i=1 yi=1200,∑ 20 i=1 (xi-x)2=80, ∑ 20 i=1 (yi-y)2=9000,∑ 20 i=1 (xi-x)(yi-y)= 800. (1)求该地区这种野生动物数量的估计值 (这种野生动物数量的估计值等于样区这 种野生动物数量的平均数乘以地块数); (2)求样本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相关系 数(精确到0.01); (3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖 面积差异很大,为提高样本的代表性以获 得该地区这种野生动物数量更准确的估 计,请给出一种你认为更合理的抽样方法, 并说明理由. 附:相关系数r= ∑ n i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ n i=1 (xi-x)2∑ n i=1 (yi-y)2 , 2≈1.414. 1052.(2020·新课标全国一,5)某校一个课外 学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和 温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温 度条件下进行种子发芽实验,由实验数据 (xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 156 第十三章 统计、成对数据的统计分析 由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四 个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和 温度x 的回归方程类型的是 ( ) A.y=a+bx B.y=a+bx2 C.x=a+bex D.y=a+bln x 1053.(2017·山东,5)为了研究某班学生的脚 长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的 关系,从该班随机抽取10名学生,根据测 量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线 性相关关系,设其回归直线方程为 ŷ= b^x+̂a,已知∑ 10 i=1 xi=225,∑ 10 i=1 yi=1 600,b^= 4.该班某学生的脚长为24,据此估计其身 高为 ( ) A.160 B.163 C.166 D.170 1054.(2016·新课标全国三,18)下图是我国 2008年至2014年生活垃圾无害化处理量 (单位:亿吨)的折线图. 


























































       -t  * "       ) F y  注:年份代码1-7分别对应年份2008-2014. (1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与t的关系,请用相关系数加以说明; (2)建立y 关于t的回归方程(系数精确到 0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化 处理量. 附注: 参考数据:∑ 7 i=1 yi=9.32,∑ 7 i=1 tiyi=40.17, ∑ 7 i=1 (yi-y)2=0.55,7≈2.646. 参考公式:相关系数r= ∑ n i=1 (ti-t)(yi-y) ∑ n i=1 (ti-t)2∑ n i=1 (yi-y)2 , 回归方程ŷ=̂a+b^t中斜率和截距的最小 二乘估计公式分别为: b^= ∑ n i=1 (ti-t)(yi-y) ∑ n i=1 (ti-t)2 ,̂a=y-b^t . 1055.(2015·湖北,4)已知变量x 和y 满足关 系y=-0.1x+1,变量y 与z 正相关.下 列结论中正确的是 ( ) A.x 与y 负相关,x 与z负相关 B.x 与y 正相关,x 与x 正相关 C.x 与y 正相关,x 与z负相关 D.x 与y 负相关,x 与z正相关 1056.(2015·新课标全国一,19)某公司为确 定下一年度投入某种产品的宣传费,需了 解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y (单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响, 对近8年的宣传费xi 和年销售量yi(i= 1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的 散点图及一些统计量的值.         























 B  J F U 令w= x. x y w ∑ ∞ i=1 (xi- x)2 ∑ ∞ i=1 (wi- w)2 ∑ ∞ i=1 (xi-x)· (yi-y) ∑ ∞ i=1 (wi-w)· (yi-y) 46.65636.8 289.8 1.6 1 469 108.8 (1)根据散点图判断,y=a+bx 与y=c+ d x,哪一个适宜作为年销售量y 关于年 宣传费x 的回归方程类型(给出判断即可, 不必说明理由); 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 157 高考一线 真题研究 数学 (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立 y 关于x 的回归方程; (3)已知这种产品的年利润z 与x,y 的关 系为z=0.2y-x,根据(2)的结果回答下 列问题: (ⅰ)当年宣传费x=49时,年销售量及年 利润的预报值是多少? (ⅱ)当年宣传费x 为何值时,年利润的预 报值最大? 附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…, (un,vn),其回归直线v=α+βu 的斜率和 截距的最小二乘估计分别为 β̂= ∑ n i=1 (ui-u)(vi-v) ∑ n i=1 (ui-u)2 ,̂α=v-̂βu. 1057.(2015·福建,4)为了解某社区居民的家 庭年收入与年支出的关系,随机调查了该 社区的5户家庭,得到如下统计数据表: 收入x/万元 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y/万元 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得到回归直线方程ŷ=̂bx+̂a, 其中b̂=0.76,̂a=y-̂bx,据此估计,该社 区一户年收入为15万元家庭的年支出为 ( ) A.11.4万元 B.11.8万元 C.12.0万元 D.12.2万元 1058.(2014·湖北,6)根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0 得到的回归方程为ŷ=bx+a,则 ( ) A.a>0,b<0 B.a>0,b>0 C.a<0,b<0 D.a<0,b>0 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 13.6 独立性检验 【解题·小帮手】 ▶2×2列联表 对象Ⅰ 对象Ⅱ 类1 类2 合计 类A a b a+b 类B c d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d ▶独立性检验 (1)零假设 H0:分类变量X 与Y 相互独立. (2)卡方计算χ2= n (ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d). (3)卡方判断:记P(χ2≥xα)=α,称xα 为α 的临界值.当χ2≥xα 时,我们就推断 H0 不 成立,即认为X 和Y 不独立,该推断犯错误 的概率不超过α;当χ2<xα 时,我们没有充 分证据推断H0 不成立,可认为X 和Y 独立. 这种利用χ2 的取值推断分类变量 X 和Y 是否独立的方法称为χ2 独立性检验,简称 独立性检验. ▶说明:(1)以下高考试题中的卡方K2 在新教 材中的用χ2 表示;(2)参考数据表中的P(K2 ≥k)在新教材中用α表示,k用xα 表示. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1059.(2024·新课标全国甲理,17节选)某工 厂进行生产线智能化升级改造,升级改造 后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机 抽取150件进行检验,数据如下: 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 填写如下列联表: 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 158 第十三章 统计、成对数据的统计分析 的优级品率存在差异? 能否有99%的把握 认为甲,乙两车间产品的优级品率存在差 异? 附:K2= n (ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 1060.(2023·新课标全国甲文,19)一项试验 旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40 只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验 组,另外20只分配到对照组,试验组的小 白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小 白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每 只小白鼠体重的增加量(单位:g).试验结 果如下: 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排 序为 15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排 序为 7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5. (1)计算试验组的样本平均数; (2)(ⅰ)求40只小白鼠体重的增加量的中 位数m,再分别统计两样本中小于m 与不 小于m 的数据的个数,完成如下列联表 <m ≥m 对照组 试验组 (ⅱ)根据(ⅰ)中的列联表,能否有95%的 把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在 正常环境中体重的增加量有差异? 附:K2= n (ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) , P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 1061.(2022·新课标全国甲,17)甲、乙两城之 间的长途客车均由A 和B 两家公司运营. 为了解这两家公司长途客车的运行情况, 随机调查了甲、乙两城之间的500个班次, 得到下面列联表: 准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B 210 30 (1)根据上表,分别估计这两家公司甲、乙 两城之间的长途客车准点的概率; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 159 高考一线 真题研究 数学 (2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的 长途客车是否准点与客车所属公司有关? 附:K2= n (ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) , P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 1062.(2021·新课标全国甲,17)甲、乙两台机 床生产同种产品,产品按质量分为一级品 和二级品,为了比较两台机床产品的质量, 分别用两台机床各生产了200件产品,产 品的质量情况统计如下表: 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 (1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的 频率分别是多少? (2)能否有99%的把握认为甲机床的产品 质量与乙机床的产品质量有差异? 附:K2= n (ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) , P(K2≥k)0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 1063.(2020·新高考全国一,19)为加强环境 保护,治理空气污染,环境监测部门对某市 空气质量进行调研,随机抽查了100天空气 中的PM2.5和SO2 浓度(单位:μg/m 3),得 下表: SO2 PM2.5 [0,50] (50,150] (150,475] [0,35] 32 18 4 (35,75] 6 8 12 (75,115] 3 7 10 (1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓 度不超过75,且SO2 浓度不超过150”的 概率; (2)根据所给数据,完成下面的2×2列 联表: SO2 PM2.5 [0,150] (150,475] [0,75] (75,115] (3)根据(2)中的列联表,判断是否有99% 的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度 与SO2 浓度有关? 附:K2= n (ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 160 第十三章 统计、成对数据的统计分析 1064.(2019·新课标全国一,17)某商场为提 高服务质量,随机调查了50名男顾客和50 名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出 满意或不满意的评价,得到下面列联表: 满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20 (1)分别估算男、女顾客对该商场服务满意 的概率; (2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该 商场服务的评价有差异? 附:K2= n (ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(K2≥)k 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 1065.(2018·新课标全国三,18)某学生兴趣 小组随机调查了某市100天中每天的空气 质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整 理数据得到下表(单位:天): 锻炼人次 空气质量等级 [0,200] (200,400](400,600] 1(优) 2 16 25 2(良) 5 10 12 3(轻度污染) 6 7 8 4(中度污染) 7 2 0 (1)分别估计该市一天的空气质量等级为 1,2,3,4的概率; (2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的 估计值(同一组中的数据用该组区间的中 点值为代表); (3)若某天的空气质量等级为1或2,则称 这天“空气质量好”;若某天的空气质量等 级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根 据所给数据,完成下面的2×2列联表,并 根据列联表,判断是否有95% 的把握认为 一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的 空气质量有关? 人次≤400 人次>400 空气质量好 空气质量不好 附:K2= n (ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d). P(K2≥k)0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 161 高考一线 真题研究 数学 996.C 解析:因为F(0,1),A(2,0),准线方 程为l:y=-1,kAF =- 1 2 ,过点 M 作 MH⊥l 于 H,所 以|FM|=|HM|.在 Rt△MHN 中,tan∠MNH=-k=12 ,则 |HM| |HN|= 1 2 ,可得|HN|=2|HM|,得 |MN|= |HN|2+|HM|2= 5|HM|, 即|HM| |MN|= 1 5 ,可 得|FM|∶|MN|= |HM|∶|MN|=1∶ 5.故选C. y F M A NH O l x 997.D 解析:由题意知抛物线焦点F(2,0),设直 线AB 的方程为y=k(x-2),A,B 两点坐标 分别为Ay 2 1 8 ,y1 ,By 2 2 8 ,y2 .由y=k(x-2),y2=8x, 得ky2-8y-16k=0,则 y1+y2= 8 k , y1y2=-16, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 所以 MA→·MB→=y 2 1 8+2 y 2 2 8+2 +(y1-2)(y2- 2)= (k-2)2 k2 .因为MA→·MB→=0,所以k= 2,故选D. 998.6 解析:抛物线的准线方程为y=-p2 , 设 A,B 的 横 坐 标 分 别 为 xA,xB,则 |xA|2=|xB|2=3+ p2 4 ,所 以|AB|= |2xA|.又焦点F 到准线的距离为p,由等 边三角形的特点得p= 3 2|AB| ,即p2= 3 4×4×3+ p2 4 ,所以p=6. 第十三章 统计、成对数据的统计分析 13.1 随机抽样 999.解:抽取的老年员工人数为25× 72 300=6 , 抽取的中年员工人数为25× 108 300=9 ,抽取 的青年员工人数为25× 120 300=10. 故应从老 年员工中抽取6人,从中年员工中抽取9 人,从青年员工中抽取10人. 1000.18 解析:很明显,分层抽样! 所求人数 为60× 300 1 000=18. 1001.解:抽取的总样本数为20,C班抽取的人 数为8,则C班的人数为100× 8 20=40. 1002.C 解析:根据分层抽样的性质,抽取的 老年教师的人数为900× 320 1 600=180 ,故 选C. 1003.25 解析:根据分层抽样的性质,抽取的 男生人数为45× 500 900=25. 1004.B 解析:由分层抽样的性质可得 96 12= N乙 21= N丙 25= N丁 43 ,解得 N乙 =168,N丙 = 200,N丁=344,所以N=96+N乙+N丙+ N丁=96+168+200+344=808,故选B. 13.2 数据的数字特征 1005.C 解析:对于A,根据频数分布表可知 6+12+18=36<50,所以亩产量的中位数 不小于1 050 kg,A错误;对于B,亩产量不 低于1 100 kg的频数为24+10=34,所以 低于1 100 kg的稻田占比为 100-34 100 = 66%,B错误;对于C,稻田亩产量的极差最 大为1 200-900=300,最小为1 150- 950=200,C正确;对于D,由频数分布表可 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 362 详解答案 得,亩产量在[1 050,1 100)的频数为100- (6+12+18+24+10)=30,所以平均值为 1 100× (6×925+12×975+18×1 025+ 30×1 075+24×1 125+10×1 175)= 1 067,D错误,故选C. 1006.BD 解析:对于 A,令x1,x2,…,x6 的 值分别为1,2,3,4,5,6,则其平均数等于 1 6 (1+2+3+4+5)= 5 2 , x2,x3,x4,x5 的 平均数等于1 4 (2+3+4+5)= 7 2 ,A错误; 对 于 B,x2,x3,x4,x5 的 中 位 数 等 于 1 2 (x3+x4),x1,x2,…,x6 的中位数等于 1 2 (x3+x4),B正确;对于C,x2,x3,x4, x5 更集中,标准差小,x1,x2,…,x6 更分 散,标准差大,C错误;对于D,不妨设x1≤ x2≤x3≤x4≤x5≤x6,则x5-x2≤x6- x1,D正确,故选BD. 1007.解:(1)x=545+533+551+522+57510 + 544+541+568+596+548 10 =552.3 , y= 536+527+543+530+560+533+522 10 + 550+576+536 10 =541.3 , z=x-y=552.3-541.3=11, zi=xi-yi 的值分别为9,6,8,-8,15,11, 19,18,20,12, 所以s2= (9-11)2+(6-11)2+(8-11)2 10 + (-8-11)2+(15-11)2+(19-11)2+ 10 + (18-11)2+(20-11)2+(12-11)2 10 =61. (2)由(1)知z=11,2 s 2 10=2 6.1= 24.4, 所以z≥2 s 2 10 , 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩 率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有 显著提高. 1008.CD 解析:yi=xi+c 的平均数和中位 数均会发生改变,极差和标准差均未发生 改变,故选CD. 1009.解:(1)根据平均数和方差的计算方法, 计算出平均数和方差. x=9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.810 + 10+10.1+10.2+9.7 10 =10 , y= 10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3 10 + 10.6+10.5+10.4+10.5 10 =10.3 , s21= 0.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22 10 + 0.12+0.22+0.32 10 =0.036 , s22 = 0.22+0.12+0.22+0.32+0.22+0 10 + 0.32+0.22 10 + 0.12+0.22 10 =0.04. (2)依 题 意,y-x=0.3=2×0.15= 2 0.1522 0.0225, 2 s21+s22 10 =2 0.036+0.04 10 =20.0076 , y-x≥2 s21+s22 10 ,所以新设备生产产品的 该项指标的均值较旧设备有显著提高. 1010.C 解析:根据方差的性质,数据axi+b (i=1,2,…,n)的方差是数据xi(i=1, 2,…,n)的方差的a2 倍,所以所求数据方 差为102×0.01=1,故选C. 1011.B 解析:A:x=1×0.1+2×0.4+3× 0.4+4×0.1=2.5,s2A=0.1×(1-2.5)2+ 0.4×(2-2.5)2+0.4×(3-2.5)2+0.1× (4-2.5)2=0.65,则sA= 0.65. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 363 高考一线 真题研究 数学 B:x=1×0.4+2×0.1+3×0.1+4× 0.4=2.5,s2B=0.4×(1-2.5)2+0.1× (2-2.5)2+0.1×(3-2.5)2+0.4×(4- 2.5)2=1.85,则sB= 1.85. C:x=1×0.2+2×0.3+3×0.3+4× 0.2=2.5,s2C=0.2×(1-2.5)2+0.3× (2-2.5)2+0.3×(3-2.5)2+0.2×(4- 2.5)2=1.05,则sC= 1.05. D:x=1×0.3+2×0.2+3×0.2+4× 0.3=2.5,s2D=0.3×(1-2.5)2+0.2× (2-2.5)2+0.2×(3-2.5)2+0.3×(4- 2.5)2=1.45,则sD= 1.45. 四个选项比较,则B选项标准差最大,故选B. 1012.解:甲分厂加工100件产品总利润为 40×(90-25)+20×(50-25)+20× (20-25)-20×(50+25)=1 500元,所以 甲分 厂 加 工100件 产 品 的 平 均 利 润 为 15元每件;乙分厂加工100件产品的总利 润为28×(90-20)+17×(50-20)+34× (20-20)-21×(50+20)=1 000元,所以 乙分厂加工100件产品的平均利润为10 元每件,故厂家选择甲分厂承接加工任务. 1013.2 解析:由数据4,2a,3-a,5,6的平均 数为4,可得x=4+2a+3-a+5+65 =4 , 解得a=2. 1014.A 解析:一组数据从高到低排列,去掉 最高的一个和最低的一个,最中间的数不 会发生改变,也就是中位数不变,故选A. 1015.0.98 解析:平均数的计算,但是要注 意,这个题目中所给的正点率是频数,而不 是频率,所以按照方法中所讲的第二种类 型计算即可, x = 10×0.97+20×0.98+10×0.9910+20+10 = 0.98. 1016.B 解析:刻画评估这种农作物亩产量稳 定程度的指标是标准差,故选B. 1017.1.76 解析:将这6位同学的身高按照 从矮到高排列为1.69,1.72,1.75,1.77, 1.78,1.80,这六个数的中位数是中间两个 数1.75与1.77的平均数,为1.76. 1018.0.1 解析:直接利用公式计算即可,先 计算平均数:1 5 (4.7+4.8+5.1+5.4+ 5.5)=5.1,所以S2=15 [(4.7-5.1)2+ (4.8-5.1)2+(5.1-5.1)2+(5.4- 5.1)2+(5.5-5.1)2]=0.1. 1019.C 解析:根 据 标 准 差 的 性 质,数 据 axi+b(i=1,2,…,n)的标准差是数据xi (i=1,2,…,n)的标准差的a 倍,所以所求 数据标准差为8×2=16,故选C. 1020.11 解析:根据方法所讲平均数的性质, 样本数据x1,x2,…,xn 的均值x=5,则样 本数据2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的均值 为2x+5=11. 1021.A 解析:按照平均数的性质,y1,y2,…, y10 的均值增加a,为1+a,y1,y2,…,y10 的方差不变,仍然为4,故选A. 1022.解:(1)由表可知,众数为30,极 差 为 40-19=21. (2)茎叶图如下所示: 1 9 2 8 8 8 9 9 9 3 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 4 0 (3)先计算平均数: x=19+28×3+29×3+30×5+31×420 + 32×3+40 20 =30 , 方差s2=120 [1×(19-30)2+3×(28- 30)2+3×(29-30)2+5×(30-30)2+4× (31-30)2+3×(32-30)2+1×(40- 30)2]=12.6. 1023.解:甲组15次结果中,10次成功,5次失 败,所以甲的平均分x甲= 10×1+5×0 15 = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 364 详解答案 2 3 ,方 差s2甲 = 1 15 10× 1- 2 3 2 +5× 0- 2 3 2 =29. 乙组15次结果中,9次成功,6次失败,所 以乙的平均分x乙= 9×1+6×0 15 = 3 5 ,方差 s2乙= 1 159×1- 3 5 2 +6×0- 3 5 2􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 = 6 25. 因为x甲>x乙,s2甲<s2乙,所以甲组的研发水 平大于乙组. 13.3 数据统计图表 1024.B 解析:纯粹的计算题,由公式计算即 可,讲座后问卷答卷正确率的平均数x= (90% +85% +80% +90% +85% + 85%+95%+100%+85%+100%)/10= 89.5%>85%,故选B. 1025.C 解析:甲同学课外体育运动时长的样 本中位数为7.3+7.5 2 =7.4 故 A正确;乙 同学课外体育运动时长的样本平均数为 (6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+ 87.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+ 9.3+8.8+10.1)/16=8.5>8,故B正确; 甲同学课外体育运动时长大于8的概率估 计值为6 16= 3 8<0.4 ,故C错误;乙同学课 外体育运动时长大于8的概率估计值为 13 16>0.6 ,故D正确,故选C. 1026.A 解析:A:种植收入37×2a-60%· a=14%·a>0,故建设后,种植收入增加, 故A错误. B:建设后,其他收入为5%·2a=10%· a,建设前,其他收入为4%·a,10%·a÷ 4%·a=2.5>2,故B正确. C:建设后,养殖收入为30%·2a=60%· a,建设前,养殖收入为30%·a,60%· a÷30%·a=2,故C正确. D:建设后,养殖收入与第三产业收入总和 为(30%+28%)·2a=58%·2a,经济收 入为2a,(58%·2a)÷2a=58%>50%, 故D正确,故选A. 1027.解:根据茎叶图中的数据知,第一种生产 方式的工作时间主要集中在82~89,第二 种生产方式的工作时间主要集中在70~ 78,所以第二种生产方式的工作时间较少 些,效率更高. 1028.90 解析:由茎叶图可知,本组数据为:89, 89,90,91,91.所 以 这 组 数 据 的 平 均 数 为 89+89+90+91+91 5 =90. 1029.A 解析:甲组数据为56,62,65,70+x, 74,中位数为65;乙组数据为59,61,67, 60+y,78或59,61,60+y,67,78,中位数 为67或60+y.甲、乙两组中位数相同,所 以65=60+y,解得y=5.所以乙组数据为 59,61,65,67,78,由甲、乙两组平均数相等得 56+62+65+(70+x)+74 5 = 59+61+65+67+78 5 , 解得x=3,故选A. 1030.D 解析:看清楚图,实线代表各月的平 均最高气温,虚线代表各月的平均最低气温. A:各月的虚线框均在0°以外,所以各月的 平均最低气温都在0°以上,故A正确. B:平均温差就是最高气温减去最低气温, 很明显,七月的平均温差比一月的平均温 差大,故B正确. C:三月和十一月的平均最高气温都在同一 个圆上,所以相同,故C正确. D:平均气温高于20°,则平均最高气温要大 于20°,由图知平均最高气温高于20°的月 份有3个,分别是六月、七月、八月,所以D 不正确,故选D. 1031.B 解析:由茎叶图可知,本组数据为8, 9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32,所以 这组数据的中位数为20+20 2 =20 ,故选B. 1032.A 解析:某地区各年级段学生总数为 3 500+4 500+2 000=10 000人,抽取2% 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 365 高考一线 真题研究 数学 的学生进行调查,则抽取人数为10 000× 2%=200人,则样本容量为200,其中高中 生的人数为200× 2 000 10 000=40 人,而高中生 的近视率为50%,故近视的高中生人数为 40×50%=20人,故选A. 1033.解:(1)xA=(0.6+1.2+2.7+1.5+ 2.8+1.8+2.2+2.3+3.2+3.5+2.5+ 2.6+1.2+2.7+1.5+2.9+3.0+3.1+ 2.3+2.4)/20=2.3.xB=(3.2+1.7+ 1.9+0.8+0.9+2.4+1.2+2.6+1.3+ 1.4+1.6+0.5+1.8+0.6+2.1+1.1+ 2.5+1.2+2.7+0.5)/20=1.6,即服用A 药日匀增加的睡眠时间为2.3小时,服用B 药日均增加的睡眠时间为1.6小时,故服 用A药效果较好. (2) A药 B药 6 0 5 5 6 8 9 8 5 5 2 2 1 1 2 2 3 4 6 7 8 9 9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 2 1 4 5 6 7 5 2 1 0 3 2 通过观察茎叶图可以看出,A药日均增加 的睡眠时间比B药日均增加的睡眠时间都 要长,所以服用A药效果较好. 13.4 频率分布直方图 1034.解:(1)依题可知,左边图形第一个小矩 形的面积为5×0.002>0.5%,所以95<c< 100,所以(c-95)×0.002=0.5%,解得c= 97.5,q(c)=0.01×(97.5-95)+5× 0.002=0.035=3.5%. (2)当c∈[95,100]时,f(c)=p(c)+ q(c)=(c-95)×0.002+(100-c)× 0.01+5×0.002=-0.008c+0.82≥0.02; 当c∈(100,105]时,f(c)=p(c)+q(c)= 5×0.002+(c-100)×0.012+(105- c)×0.002=0.01c-0.98>0.02, 所以f(c)= -0.008c+0.82,95≤c≤100, 0.01c-0.98,100<c≤105, 所以f(c)在区间[95,105]的最小值为0.02. 1035.B 解析:志愿者的总人数为 20 (0.24+0.16)×1=50 ,所以第三组人数为 50×0.36=18,有疗效的人数为18-6= 12,故选B. 1036.C 解析:因为频率直方图中的组距为 1,所以各组的直方图的高度等于频率.样 本频率直方图中的频率即可作为总体的相 应比较的估计值. A:该地农户家庭年收入低于4.5万元的农 户的比率估计值为0.02+0.04=0.06= 6%,故A正确. B:该地农户家庭年收入不低于10.5万元 的农 户 比 率 估 计 值0.04+0.02×3= 0.10=10%,故B正确. C:该地农户家庭年收入的平均值的估计值 为3×0.02+4×0.04+5×0.10+6× 0.14+7×0.20+8×0.20+9×0.10+ 10×0.10+11×0.04+12×0.02+13× 0.02+14×0.02=7.68万元,超过6.5万 元,故C错误. D:该地农户家庭年收入介于4.5万元至 8.5万 元 之 间 的 比 例 估 计 值 为0.10+ 0.14+0.20×2=0.64=64%>50%,故D 正确,故选C. 1037.解:(1)根据产值增长率频数分布表得, 所调查的100个企业中产值增长率不低于 40%的企业频率为 14+7 100 =0.21 ,产值负增 长的企业频率为 2 100=0.02 ,所以用样本频 率分布估计总体分布得这类企业中产值增 长率不低于40%的企业比例为21%,产值 负增长的企业比例为2%. (2)y= 1 100 (-0.10×2+0.10×24+ 0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30, s2= 1100 [2×(-0.1-0.3)2+24×(0.1- 0.3)2+53×(0.3-0.3)2+14×(0.5- 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 366 详解答案 0.3)2+7×(0.7-0.3)2]=0.0296,s= s2= 0.0296=0.02× 74≈0.17,所以, 这类企业产值增长率的平均数与标准差的 估计值分别为30%,17%. 1038.解:(1)由频率分布直方图得a+0.20+ 0.15=0.7,解得a=0.35;b=1-0.05- 0.15-0.70=0.10. (2)甲离子残留百分比的平均值的估计值 为2×0.15+3×0.20+4×0.30+5× 0.20+6×0.10+7×0.05=4.05. 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+ 7×0.20+8×0.15=6.00. 1039.解:(1)频率分布直方图,如图所示: (2)根据频率分布直方图得,该家庭使用节 水龙头后,日用水量小于0.35 m3 的概率 p=(0.2+1.0+2.6+1)×0.1=0.48. (3)由题意得未使用水龙头50天的日均水 量为 1 20 (1×0.05+3×0.15+2×0.25+4× 0.35+9×0.45+26×0.55+5×0.65)= 0.48, 使用节水龙头50天的日均用水量为 1 50 (1×0.05+5×0.15+13×0.25+10× 0.35+16×0.45+5×0.55)=0.35, 所以估计该家庭使用节水龙头后,一年能 节省365×(0.48-0.35)=47.45 m3. 1040.解:(1)用样本的频率估计总体的概率, 我们只要根据频率分布直方图算出样本中 分数小于70的频率即可,但看图发现, [20,30),[30,40)的频率未知,所以反向考 虑,先计算样本中分数不小于70的频率, 即为(0.02+0.04)×10=0.6,所以样本中 分数小于70的频率为1-0.6=0.4. (2)根据频率分布直方图,样本中分数不小 于50的频率为(0.01+0.02+0.04+ 0.02)×10=0.9,所以分数在区间[40, 50)内的人数为100-100×0.9-5=5人. (3)由题意知,样本中分数不小于70的学 生人数为(0.02+0.04)×10×100=60,所 以样本中分数不小于70的男生人数为 60× 1 2=30 ,所以样本中的男生人数为 30×2=60,女生人数为100-60=40人, 男生和女生的人数比值为3∶2,根据分层 抽样原理,总体中男生和女生人数比例估 计为3∶2. 1041.解:(1)n=19,代表购买1台机器时同时 购买了19个易损零件,那么在易损零件上 所需的费用就要分为两部分,一个是三年 试用期内更换的易损零件数小于等于19, 一个是大于19,所以考虑分段函数:当x≤ 19时,y=19×200=3 800;当x>19时, y=3 800+(x-19)×500=500x-5 700; 所 以 y 与 x 的 函 数 关 系 式 为 y = 3 800,x≤19, 500x-5 700,x>19, x∈N. (2)由图知,需更换的零件数不大于18的 频率为6+16+24 100 =0.46 ,不大于19的频率为 6+16+24+24 100 =0.7 ,要求“需更换的易损零 件数不大于n”的频率不小于0.5,故n 的 最小值为19. (3)按要求分开计算平均数即可. ①若每台机器在购机同时都购买19个易 损零件,则这100台机器中有70台在购买 易损零件上的费用为3 800,20台的费用为 4 300,10台的费用为4 800,因此这100台 机器在购买易损零件上所需费用的平均数 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 367 高考一线 真题研究 数学 为 1 100 (3 800×70+4 300×20+4 800× 10)=4 000. ②若每台机器在购机同时都购买20个易 损零件,则这100台机器中有90台在购买 易损零件上的费用为4 000,10台的费用为 4 500,因此这100台机器在购买易损零件 上所需费用的平均数为 1 100 (4 000×90+ 4 500×10)=4 050. 比较两个平均数可知,购买1台机器的同 时应购买19个易损零件. 1042.D 解析:直 接 计 算:200×(0.16+ 0.08+0.04)×2.5=140,故选D. 1043.解:(1)该市居民月用水量在区间[0.5, 1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]频 率为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15,所以用水 量不超过3立方米的居民占85%;用水量 不超过2立方米的居民占45%;所以为使 80%以上居民在该月的用水价格为4元/ 立方米,w 至少定为3. (2)我们把平均数分为4部分来算: ①用水量不超过3立方米:(0.2×0.5× 1+0.3×0.5×1.5+0.4×0.5×2+0.5× 0.5×2.5+0.3×0.5×3)×4=(0.1+ 0.225+0.4+0.625+0.45)×4=7.2; ②用水量3.5立方米:[0.1×0.5×3×4+ 0.1×0.5×(3.5-3)×10]=0.85; ③用水量4立方米:[0.1×0.5×3×4+ 0.1×0.5×(4-3)×10]=1.1; ④用水量4.5立方米:[0.1×0.5×3×4+ 0.1×0.5×(4.5-3)×10]=1.35. 该市居民该月的人均水费估计为7.2+ 0.85+1.1+1.35=10.5元. 1044.解:(1)由各组的频率之和等于1,即所有 长方形面积之和为1,得(0.002+0.0095+ 0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)× 20=1,得x=0.0075,所以直方图中x 的 值是0.0075. (2)众数:以同一组中的数据用该组区间的 中点值为代表,众数是220+240 2 =230. 中位数:因为(0.002+0.0095+0.011)× 20=0.45<0.5,所以月平均用电量的中位 数 在 [220,240)内,设 中 位 数 为 a,得 (0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125× (a-220)=0.5(所有矩形面积平分),解得 a=224,所以月平均用电量的中位数是224. (3)(核心就是分层抽样)月平均用电量在 [220,240)的用户有0.0125×20×100= 25户,月平均用电量在[240,260)的用户有 0.0075×20×100=15户,月平均用电量在 [260,280)的用户有0.005×20×100=10 户,月平均用电量在[280,300]的用户有 0.0025×20×100=5户,所以月平均用电 量在[220,240)的用户中应抽取11× 25 55 户=5户. 1045.解:以同一组中的数据用该组区间的中 点值为代表,则20家“省级卫视新闻台”的 融合指数平均数等于1 20 (4.5×2+5.5× 8+6.5×7+7.5×3)=6.05或4.5× 2 20+ 5.5× 8 20+6.5× 7 20+7.5× 3 20=6.05. 1046.解:(1)频率分布直方图如下所示: M(3C 

















 BFO                     (2)x=80×0.06+90×0.26+100× 0.38+110×0.22+120×0.08=100. 质量指标值的样本方差s2=(-20)2×0.06+ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 368 详解答案 (-10)2×0.262+02×0.38+102×0.22+ 202×0.08=104. 所以这种产品质量指标值的平均数的估计 值为100,方差的估计值为104. (3)质量指标值不低于95的产品所占比例 的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68.由于 该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产 的这种产品符合“质量指标值不低于95的 产品至少要占全部产品80%”的规定. 1047.解:(1)根据频数分布表,100名学生中课 外阅读时间不少于12小时的学生共有6+ 2+2=10名,所以样本中的学生课外阅读 时 间 少 于12小 时 的 频 率 是1- 10 100= 0.9.用样本估计总体,从该校随机选取一 名学生,这名学生该周课外阅读时间少于 12小时的概率为0.9. (2)课外阅读时间落在组[4,6)的有17人,频 率为0.17,所以a= 频率 组距= 0.17 2 =0.085 ,课外 阅读时间落在组[8,10)的有25人,频率为 0.25,所以b= 频率 组距= 0.25 2 =0.125. (3)估计样本中的100名学生课外阅读时 间的平均数在第4组. 13.5 成对数据的统计相关性 1048.A 解析:观察4幅图可知,A图散点分 布比较集中,且大体接近某一条直线,线性 回归模型拟合效果比较好,呈现明显的正相 关,|r|值相比于其他3图更接近1,故选A. 1049.C 解析:根据散点的集中程度可知,花 瓣长度和花萼长度有相关性,A错误;散点 的分布是从左下到右上,从而花瓣长度和 花萼长度呈现正相关性,B错误,C正确;由 于r=0.8245是全部数据的相关系数,取 出来一部分数据,相关性可能变强,可能变 弱,即取 出的数据的相关系数不一定是 0.8245,D选项错误,故选C. 1050.解:(1)利用样本估计总体,样本中10棵 树木的根部横截面积的平均值x=0.610= 0.06,样本中10棵树木的材积量的平均值 y= 3.9 10=0.39 ,据此可估计该林区这种树 木平均一棵的根部横截面积为0.06 m2,平 均一棵的材积量为0.39 m3. (2)代入相关系数计算公式得 r= ∑ 10 i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ 10 i=1 (xi-x)2∑ 10 i=1 (yi-y)2 = ∑ 10 i=1 xiyi-10xy (∑ 10 i=1 x2i-10x2)(∑ 10 i=1 y2i-10y)2 = 0.2474-10×0.06×0.39 (0.038-10×0.062)(1.6158-10×0.392) = 0.0134 0.0001896 ≈ 0.0134 0.01377 ≈0.97, 则r≈0.97. (3)设该林区这种树木的总材积量的估计 值为Y m3,已知树木的材积量与其根部横 截面近似成正比,可得0.06 0.39= 186 Y ,解得 Y=1 209 m3,所以该林区这种树木的总材 积量估计为1 209 m3. 1051.解:(1)样本野生动物平均数为 1 20∑ 20 i=1 yi= 1 20×1 200=60,地块数为200,该地区这种 野生动物的估计值为200×60=12 000. (2)题目中参考数值都已经给了,代入公式 计算就可以,样本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相 关 系 数 r = ∑ 20 i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ 20 i=1 (xi-x)2∑ 20 i=1 (yi-y)2 = 800 80×9 000 = 22 3 ≈0.94. (3)由(2)知各样区的这种野生动物的数量 与植物覆盖面积有很强的正相关性,由于 各地块间植物覆盖面积差异很大,从而各 地块间野生动物的数量差异很大,所以采 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 369 高考一线 真题研究 数学 用分层抽样的方法可以获得该地区这种野 生动物数量更准确的估计. 1052.D 解析:由散点图分析可知,散点图分 布在一个对数函数的图像附近,因此,最适 合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型 的是y=a+bln x,故选D. 1053.C 解析:首先计算x=22510=22.5 ,y= 1 600 10 =160 ,代入â=y-̂bx=160-4× 22.5=70,所以线性回归方程为ŷ=4x+ 70,当x=24时,̂y=166.故选C. 1054.解:(1)由 所 给 数 据 计 算 得 t= 1+2+3+4+5+6+7 7 =4 ,∑ 7 i=1 (ti-t)2=28.又 已 知 ∑ 7 i=1 yi =9.32,∑ 7 i=1 tiyi =40.17, ∑ 7 i=1 (y-y)2=0.55,7≈2.646.代入相关 系数公式得 r= ∑ 7 i=1 (ti-t)(yi-y) ∑ 7 i=1 (ti-t)2∑ 7 i=1 (yi-y)2 = ∑ 7 i=1 tiyi-t∑ 7 i=1 yi ∑ 7 i=1 (ti-t)∑ 7 i=1 (yi-y)2 = 40.17-4×9.32 28×0.55 ≈ 2.89 0.55×2×2.646 ≈0.99. 因为|r|=0.99,非常接近1,所以y 与t的 线性相关很高,所以可以用线性回归模型 拟合y 与t的关系. (2)由所给的数据计算得 t=1+2+3+4+5+6+77 =4 , y= ∑ 7 i=1 yi=28 7 ≈1.331, b̂= ∑ 7 i=1 (ti-t)(yi-y) ∑ 7 i=1 (ti-t)2 = ∑ 7 i=1 tiyi-t∑ 7 i=1 yi ∑ 7 i=1 (ti-t)2 = 2.89 28 ≈0.103,代入â=y-̂bx≈0.92.所以 线性 回 归 方 程 为 ŷ=0.10t+0.92,将 2016年对应的t=9代入回归方程得y= 1.82,所以预测2016年我国生活垃圾无害 化处理量将约1.82亿吨. 1055.A 解析:其实可以从一次函数的角度去 理解,变量x 和y 满足关系y=-0.1x+ 1,其中-0.1<0,所以x 与y 负相关.又因 为变量y 与z 正相关,不妨设z=ky+b (k>0),则将y=-0.1x+1代入即可得到 z=k(-0.1x+1)+b=-0.1kx+(k+b),所 以-0.1k<0,所以x与z负相关,故选A. 1056.解:(1)由散点图可以判断,y 与x 并不 是在 一 条 直 线 附 近,所 以 采 用 y=c+ d x适宜作为年销售量y 关于年宣传费 x 的回归方程式类型. (2)(换元法)令w= x,先建立y 关于w 的线性回归方程式. 计算 d̂= ∑ 8 i=1 (wi-w)(yi-y) ∑ 8 i=1 (wi-w)2 = 108.8 1.6 = 68,代入ĉ=y-̂dw=563-68×6.8= 100.6,所以y 关于w 的线性回归方程为 ŷ=100.6+68w,因此y 关于x 的回归方 程为ŷ=100.6+68 x. (3)(ⅰ)由(2)知,当x=49时,年销售量y 的预服值ŷ=100.6+68 49=576.6,年利 润z的预报值̂z=576.6×0.2-49=66.32. (ⅱ)根据(2)的结果知,年利润z 的预报值 ẑ=0.2(100.6+68 x)-x=-x+13. 6 x+20.12(采用换元法考虑最值).令 x=t(t>0),则ẑ=-t2+13.6t+20.12. 当 x= 13.6 2 =6.8 ,即x=46.24时,̂z 取 得最大值,故年宣传费为46.24千元时,年 利润的预报值最大. 1057.B 解析:首先计算x= 8.2+8.6+10+11.3+11.9 5 =10 ,y= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 370 详解答案 6.2+7.5+8+8.5+9.8 5 =8 ,代入â=y- b̂x=8-0.76×10=0.4,所以线性回归方 程为ŷ=0.76x+0.4,当x=15时,̂y= 11.8,故选B. 1058.A 解析:首先计算 x=3+4+5+6+7+86 =5.5 ,y= 4.0+2.5+(-0.5)+(0.5)+(-2.0)+(-3.0) 6 =0.25,b= ∑ 5 i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ 5 i=1 (xi-x)2 = -23.75 17.5 ≈ -1.36,代入a=y-bx=7.73,所以a> 0,b<0,故选A. 13.6 独立性检验 1059.解:根据题意可得列联表: 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 得K2=150 (26×30-24×70)2 50×100×96×54 = 75 16=4.6875 , 因为3.841<4.6875<6.635,所以有95% 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率 存在差异,没有99%的把握认为甲,乙两车 间产品的优级品率存在差异. 1060.解:(1)试验组样本平均数为 1 20 (7.8+ 9.2+11.4+12.4+13.2+15.5+16.5+ 18.0+18.8+19.2+19.8+20.2 +21.6+22.8+23.6+23.9+25.1+ 28.2+32.3+36.5)= 396 20=19.8. (2)(ⅰ)依题意,可知这40只小鼠体重的 中位数是将两组数据合在一起,从小到大 排后第20位与第21位数据的平均数,由 原数据可得第11位数据为18.8,后续依次 为19.2,19.8,20.2,20.2,21.3,21.6, 22.5,22.8,23.2,23.6,…,故第20位为 23.2,第21位 数 据 为23.6,所 以 m = 23.2+23.6 2 =23.4 , 所以列联表为 <m ≥m 合计 对照组 6 14 20 试验组 14 6 20 合计 20 20 40 (ⅱ)由(ⅰ)得 K2=40× (6×6-14×14)2 20×20×20×20 = 6.400>3.841, 所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度 臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量 有差异. 1061.解:(1)由题意知甲城一共调查了260辆 车,其中有240辆准点,故甲城准点的概率 p甲= 240 260= 12 13. 乙城一共调查了240辆车,其中有210辆 准点,故乙城准点的概率p乙= 210 240= 7 8. (2)列联表如下: 准点班次数 末准点班次数 合计 A 240 20 260 B 210 30 240 合计 450 50 500 K2= n (ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)= 500(240×30-210×20)2 260×240×450×50 =3.2>2.706 , 所以有90%的把握认为甲、乙两城之间的 长途客车是否准点与客车所属公司有关. 1062.解:(1)甲机床生产的产品中的一级品的 频率为150 200=75% ,乙机床生产的产品中一 级品的频率为120 200=60%. (2)假设 H0:甲机床的产品质量与乙机床 的产品质量没有差异,根据题中列联表,代 入计算公式: K2=400× (150×80-120×50)2 270×130×200×200 = 400 39>10> 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 371 高考一线 真题研究 数学 6.635, P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 所以拒绝H0 成立,即能有99%的把握认为 甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异. 1063.解:(1)由表格可知,该市100天中,空气 中的PM2.5浓度不超过75,且SO2 浓度 不超过150的天数有32+6+18+8= 64天,所以该市一天中,空气中的PM2. 5浓度不超过75,且SO2 浓度不超过150 的概率为64 100=0.64. (2)由所给数据,可得2×2列联表如下: PM2.5 SO2 [0,150] (150,475] 合计 [0,75] 64 16 80 (75,115] 10 10 20 合计 74 26 100 (3)假设H0:该市一天空气中PM2.5浓度 与SO2 浓度无关.根据题目中列联表,代入 计算公式: K2= n (ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) = 100×(64×10-16×10)2 80×20×74×26 = 3 600 481 ≈7.4844>6.635, P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 所以拒绝 H0 成立,即能有99%的把握认 为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2 浓 度有关. 1064.解:(1)男顾客对该商场服务满意的概率 为40 50=80% ,女顾客对该商场服务满意的 概率为30 50=60%. (2)假设H0:男、女顾客对该商场服务的评 价没有差异. 根据题目中列联表,代入计算公式 K2= 100×(40×20-30×10)2 50×50×70×30 ≈4.762>3.841, P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.82 所以拒绝 H0 成立,即能有95%的把握认 为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 1065.解:(1)以样本的频率估计概率,由频数 分布表可知,该市一天的空气质量等级为 1的概率为 2+16+25 100 =0.43 ,等级为2的 概率为5+10+12 100 =0.27 ,等级为3的概率 为6+7+8 100 =0.21 ,,等级为4的概率为 7+2+0 100 =0.09. (2)由频数分布表可知,一天中到该公园锻 炼的人次的平均数为[100×(2+5+6+ 7)+300×(16+10+7+2)+500×(25+ 12+8+0)]/100=350. (3)2×2列联表如下: 人次≤400 人次>400 空气质量不好 33 37 空气质量好 22 8 假设H0:一天中到该公园锻炼的人次与该 市当天的空气质量无关,根据题目中列联 表,代入计算公式K2= 100×(33×8-37×22)2 55×45×70×30 ≈5.820>3.841, (意味着H0 成立的条件下,计算出随机变 量K2 的观测值大于等于3.841的概率不 超过0.05,也就是有95%的情况下其观测 值是小于3.841的.) 所以拒绝 H0 成立,即能有95%的把握认 为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天 的空气质量有关. 第十四章 计数原理、概率、 随机变量及其分布 14.1 计数原理、排列与组合 1066.24 112 解析:由题意知,选4个方格, 每行和每列均恰有一个方格被选中,则第 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 372