第十二章 圆锥曲线-【高考一线·真题研究】2025年高考数学分类必刷题

第十二章 圆锥曲线 第十二章 圆锥曲线 12.1 椭圆的定义、标准方程及几何性质 【解题·小帮手】 ▶椭圆的定义、标准方程及几何性质 定义 |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|>0) 图形 F F AA B B P O y x F F A A B B P O y x 标准 方程 x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)y 2 a2 + x2 b2 =1(a>b>0) 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 范围 |x|≤a,|y|≤b |x|≤b,|y|≤a 顶点 坐标 A2(a,0),A1(-a,0), B2(0,b),B1(0,-b) A2(0,a),A1(0,-a), B2(b,0),B1(-b,0) 半轴长 长半轴长为a,短半轴长为b,a>b 对称性 关于x 轴、y 轴对称,关于原点中心对称 a,b,c的 关系 a2=b2+c2 离心率 e= c a = 1- b2 a2 (0<e<1);e越大,椭圆越扁平 ▶椭圆 x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)上一点P 与其两 焦点F1,F2 连线构成的△PF1F2 称为焦点 三角形,其 周 长l=2(a+c),面 积 S= b2tan ∠F1PF2 2 . ▶椭圆的离心率 (1)椭圆 x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)中,若条件含 有“PF1 与 PF2”的形式,则e= c a= 2c 2a= |F1F2| |PF1|+|PF2| . (2)设F1,F2 为椭圆 x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0) 的左、右焦点,P 是椭圆上的动点,记∠PF1F2 =α,∠PF2F1=β,则e= sin(α+β) sin α+sin β . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 865.(2024·新高考全国二,5)已知曲线C: x2+y2=16(y>0),从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段 PP'的中点M 的轨迹方程为 ( ) A. x2 16+ y2 4=1 (y>0) B. x2 16+ y2 8=1 (y>0) C.y 2 16+ x2 4=1 (y>0) D.y 2 16+ x2 8=1 (y>0) 866.(2024·全国Ⅰ卷,16)已知 A(0,3)和 P3, 3 2 为椭圆C:x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0) 上两点. (1)求C 的离心率; (2)若过P 的直线l交C 于另一点B,且 △ABP 的面积为9,求直线l的方程. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 127 高考一线 真题研究 数学 867.(2024·新课标全国甲理,20)设椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1a>b>0 的右焦点为F,点 M 1, 3 2 在C 上,且MF⊥x 轴. (1)求C 的方程; (2)过点P(4,0)的直线与C 交于A,B 两 点,N 为线段FP 的中点,直线 NB 交直 线MF 于点Q,证明:AQ⊥y 轴. 868.(2024·天津,18)已知椭圆 x2 a2 +y 2 b2 =1 (a>b>0)椭圆的离心率e=12 ,左顶点为 A,下顶点为B,C 是线段OB 的中点,其 中S△ABC= 33 2 . (1)求椭圆方程. (2)过点 0,- 3 2 的动直线与椭圆有两个 交点P,Q,在y 轴上是否存在点T 使得 TP→·TQ→≤0恒成立? 若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围,若不存在请说明 理由. 869.(2023·新高考全国一,5)设椭圆 C1: x2 a2 +y2=1(a>1),C2: x2 4+y 2=1的离心 率分别为e1,e2.若e2=3e1,则a= ( ) A. 23 3 B.2 C.3 D.6 870.(2023·新高考全国二,5)已知椭圆C: x2 3+y 2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直 线y=x+m 与C 交 于 A,B 两 点,若 △F1AB 面积是△F2AB 面积的2倍,则 m= ( ) A. 2 3 B. 2 3 C.- 2 3 D.- 2 3 871.(2023·新课标全国甲理,12)己知椭圆 x2 9+ y2 6=1 ,F1,F2 为两个焦点,O 为原点, P 为 椭 圆 上 一 点,cos∠F1PF2= 3 5 ,则 |PO|= ( ) A. 2 5 B. 30 2 C. 3 5 D. 35 2 872.(2023·新课标全国甲文,7)设F1,F2 为 椭圆C:x 2 5+y 2=1的两个焦点,点P 在C 上,若PF1 →·PF2 →=0,则|PF1|·|PF2|= ( ) A.1 B.2 C. 4 D. 5 873.(2022·新课标全国甲文,11)已知椭C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的离心率为13 ,A1, A2 分别为C 的左、右顶点,B 为C 的上顶 点.若BA1 →·BA2 →=-1,则C 的方程为 ( ) A. x2 18+ y2 16=1 B. x2 9+ y2 8=1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 128 第十二章 圆锥曲线 C. x2 3+ y2 2=1 D. x2 2+y 2=1 874.(2022·新课标全国甲理,10)椭圆 C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的左顶点为A,点 P,Q 均在C 上,且关于y 轴对称.若直线 AP,AQ 的斜率之积为14 ,则C 的离心率 为 ( ) A. 3 2 B. 2 2 C. 1 2 D. 1 3 875.(2021·新高考全国一,5)已知F1,F2 是 椭圆C:x 2 9+ y2 4=1 的两个焦点,点M 在C 上,则|MF1|·|MF2|的最大值为 ( ) A.13 B.12 C.9 D.6 876.(2021·新课标全国乙,11)设B 是椭圆 C:x 2 5+y 2=1的上顶点,点P 在C 上,则 |PB|的最大值为 ( ) A. 5 2 B.6 C.5 D.2 877.(2021·新课标全国甲,15)已知F1,F2 为 椭圆C:x 2 16+ y2 4=1 的两个焦点,P,Q 为C 上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|= |F1F2|,则 四 边 形 PF1QF2 的 面 积 为 . 878.(2019·北京,4)已知椭圆 x2 a2 +y 2 b2 =1(a> b>0)的离心率为12 ,则 ( ) A.a2=2b2 B.3a2=4b2 C.a=2b D.3a=4b 879.(2018·新课标全国一,4)已知椭圆C: x2 a2 +y 2 4=1 (a>0)的一个焦点为(2,0),则 C 的离心率为 ( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 2 D. 22 3 880.(2018·新课标全国二,11)已知F1,F2 是 椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点,若 PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C 的离心 率为 ( ) A.1- 3 2 B.2- 3 C. 3-1 2 D.3-1 881.(2018·上海,13)设P 是椭圆x 2 5+ y2 3=1 上的动点,则P 到该椭圆的两个焦点的距 离之和为 ( ) A.22 B.23 C.25 D.42 882.(2017·新课标全国三,10)已知椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段A1A2 为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0相切,则C 的离心率为 ( ) A. 6 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 1 3 883.(2016·新课标全国一,5)直线l经过椭 圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1 4 ,则该椭圆的离心 率为 ( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 884.(2016·江苏,10)如图所示,在平面直角 坐标系xOy 中,F 是椭圆 x2 a2 +y 2 b2 =1(a> b>0)的右焦点,直线y= b 2 与椭圆交于B, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 129 高考一线 真题研究 数学 C 两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心 率是 . C A B O F x y 885.(2015·福建,11)已知椭圆E:x 2 a2 +y 2 b2 =1 (a>b>0)的右焦点为F.短轴的一个端点 为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E 于A,B 两点.若|AF|+|BF|=4,点 M 到直线l 的距离不小于4 5 ,则椭圆E 的离心率的取 值范围是 ( ) A.0, 3 2 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 B.0, 3 4 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 C. 3 2 ,1 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 D.34,1􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 886.(2014·新课标全国一,9)已知椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 3 3 ,过F2 的直线交C 于 A,B 两点,若△AF1B 的周长为43,则C 的方程为 ( ) A. x2 3+ y2 2=1 B. x2 3+y 2=1 C. x2 12+ y2 8=1 D. x2 12+ y2 4=1 887.(2014·江西,14)设椭圆C:x 2 a2 +y 2 b2 =1 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过 F2 作x 轴的垂线与C 交于A,B 两点, F1B 与y 轴交于点D,若AD⊥F1B,则椭 圆C 的离心率等于 . 888.(2014·辽宁,15)已知椭圆C:x 2 9+ y2 4= 1,点M 与C 的焦点不重合.若 M 关于C 的焦点的对称点分别为A,B,线段 MN 的 中 点 在 C 上,则|AN|+|BN|= . 889.(2014·安徽,14)设F1,F2 分别是椭圆 E:x2+y 2 b2 =1(0<b<1)的左、右焦点,过 点F1 的直线交椭圆E 于A、B 两点,若 |AF1|=3|BF1|,AF2⊥x 轴,则椭圆E 的 方程为 . 890.(2013·新课标全国一,10)已知F1(-1, 0),F2(1,0)是椭圆C 的两个焦点,过F2 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A,B 两 点,且|AB|=3,则C 的方程为 ( ) A. x2 2+y 2=1 B. x2 3+ y2 2=1 C. x2 4+ y2 3=1 D. x2 5+ y2 4=1 891.(2013·新课标全国二,5)设椭圆C:x 2 a2 + y2 b2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2,P 是C 上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2 =30°,则C 的离心率为 ( ) A. 6 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 3 3 892.(2013·福建,14)椭圆Γ:x 2 a2 +y 2 b2 =1(a> b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为 2c,若直线y= 3(x+c)与椭圆Γ 的一个 交点M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该 椭圆的离心率等于 . 893.(2013·广东,9)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为F(1,0),离心率为12 ,则C 的方程是 ( ) A. x2 3+ y2 4=1 B. x2 4+ y2 3 =1 C. x2 4+ y2 2=1 D. x2 4+ y2 3=1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 130 第十二章 圆锥曲线 12.2 双曲线的定义、标准方程及几何性质 【解题·小帮手】 ▶双曲线的定义、标准方程及几何性质 定义 设双曲线上任意一点P(x,y), ||PF1|-|PF2||=2a 标准方程 x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0, b>0) y2 a2 - x2 b2 =1(a>0, b>0) 图形 A F B B A F xO y A F B B A F xO y 范围 |x|≥a,y∈R |y|≥a,x∈R 对称性 对称轴:x 轴、y 轴;对称中心:原点 焦点 左焦点F1(-c,0), 右焦点F2(c,0) 下焦点F1(0,-c), 上焦点F2(0,c) 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) 轴 线段A1A2 是双曲线的实轴,线段B1B2 是 双曲线的虚轴; 实轴长|A1A2|=2a,虚轴长|B1B2|=2b 渐近线 y=± b ax y=± a bx a,b,c的 关系 c2=a2+b2 离心率e e= 2c 2a= c a = 1+ b2 a2 (e>1); e越大,双曲线的开口越阔 ▶双曲线 x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)上一点P 与 其两焦点F1,F2 连线构成的△PF1F2 称为 焦点三角形,其面积S= b 2 tan ∠F1PF2 2 . ▶与双曲线 x2 a2 -y 2 b2 =1共焦点的双曲线方程 可设为 x2 a2+λ - y 2 b2-λ =1,且-a2<λ<b2. ▶已知双曲线的渐近线方程为y=± n mx ,可 设双曲线方程为 x2 m2 -y 2 n=λ. ▶双曲线的离心率 (1)双曲线 x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)中,若条 件含有“PF1 与 PF2”的形式,则e= c a= 2c 2a= |F1F2| ||PF1|-|PF2|| . (2)设F1,F2 为双曲线 x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0, b>0)的左、右焦点,P 是双曲线上的动点, 记 ∠PF1F2 =α,∠PF2F1 =β,则 e= sin(α+β) |sinα-sinβ| . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 894.(2024·天津,8)双曲线 x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P 是双 曲线右支上一点,且直线PF2 的斜率为 2,△PF1F2 是面积为8的直角三角形,则 双曲线的方程为 ( ) A. x2 8- y2 2=1 B. x2 8- y2 4=1 C. x2 2- y2 8=1 D. x2 4- y2 8=1 895.(2024·新课标全国甲理,5)已知双曲线 C:y 2 a2 - x2 b2 =1(a>0,b>0)的上、下焦点 分别为F1(0,4),F2(0,-4),点P(-6, 4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为 ( ) A.4 B.3 C.2 D.2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 131 高考一线 真题研究 数学 896.(2024·新高考全国一,12)设双曲线C: x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的左右焦点分别 为F1,F2,过F2 作平行于y 轴的直线交 C 于A,B 两点,若|F1A|=13,|AB|= 10,则C 的离心率为 . 897.(2023·新高考全国一,16)已知双曲线 C:x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分 别为F1,F2,点A 在C 上,点B 在y 轴上, F1A →⊥F1B →,F2A →=- 2 3F2B →,则C 的离心 率为 . 898.(2023·新课标全国甲理,8)已知双曲线 x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的离心率为 5,其 中一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1 交于A,B 两点,则|AB|= ( ) A. 1 5 B. 5 5 C. 25 5 D. 45 5 899.(2023·新课标全国乙理,11)设A,B 为 双曲线x2-y 2 9=1 上两点,下列四个点中, 可为线段AB 中点的是 ( ) A.(1,1) B.(-1,2) C.(1,3) D.(-1,-4) 900.(2023·天津,9)双曲线 x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.过F2 作 其中一条渐近线的垂线,垂足为 P.已知 |PF2|=2,直线PF1 的斜率为 2 4 ,则双曲 线的方程为 ( ) A. x2 8- y2 4=1 B. x2 4- y2 8=1 C. x2 4- y2 2=1 D. x2 2- y2 4=1 901.(2023·北京,12)已知双曲线C 的焦点为 (-2,0)和(2,0),离心率为 2,则C 的方程 为 . 902.(2022·新课标全国乙理,11)双曲线C 的 两个焦点为F1,F2,以C 的实轴为直径的 圆记为D,过F1 作D 的切线与C 的两支 交于M,N 两点,且cos∠F1NF2= 3 5 ,则C 的离心率为 ( ) A. 5 2 B. 3 2 C. 13 2 D. 17 2 903.(2022·新课标全国甲理,14)若双曲线 y2- x2 m2 =1(m>0)的渐近线与圆x2+ y2-4y+3=0相切,则m= . 904.(2022·新课标全国甲文,15)记双曲线 C:x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的离心率为e, 写出满足条件“直线y=2x 与C 无公共 点”的e的一个值 . 905.(2022·北京,12)已知双曲线y2+ x2 m=1 的渐 近 线 方 程 为 y= ± 3 3x ,则 m = . 906.(2022·浙江,16)已知双曲线 x2 a2 -y 2 b2 =1 (a>0,b>0)的左焦点为F,过F 且斜率为 b 4a 的直线交双曲线于点A(x1,y1),交双曲 线的渐近线于点B(x2,y2)且x1<0<x2. 若|FB|=3|FA|,则双曲线的离心率是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 132 第十二章 圆锥曲线 907.(2021·新课标全国甲,5)已知F1,F2 是 双曲线C 的两个焦点,P 为C 上一点,且 ∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C 的 离心率为 ( ) A. 7 2 B. 13 2 C.7 D.13 908.(2021·新高考全国二,13)已知双曲线 x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的离心率为2,则 该双曲线的渐近线方程为 . 909.(2021·北京,5)双曲线C:x 2 a2 -y 2 b2 =1过 点(2,3),且离心率为2,则该双曲线的 标准方程为 ( ) A.x2-y 2 3=1 B. x2 3-y 2=1 C.x2- 3y 2 3 =1 D. 3x2 3 -y 2=1 910.(2021·新课标全国甲,5)点(3,0)到双曲 线x 2 16- y2 9=1 的一条渐近线的距离为( ) A. 9 5 B. 8 5 C. 6 5 D. 4 5 911.(2021·新课标全国乙理,13)已知双曲线 C:x 2 m -y 2=1(m>0)的一条渐近线为 3x+my=0,则C 的焦距为 . 912.(2021·新课标全国乙文,14)双曲线 x2 4- y2 5=1 的右焦点到直线x+2y-8=0的距 离为 . 913.(2020·浙江,8)已知点O(0,0),A(-2, 0),B(2,0).设点P 满足|PA|-|PB|= 2,且P 为函数y=3 4-x2图象上的点, 则|OP|= ( ) A. 22 2 B. 4 10 5 C.7 D.10 914.(2020·天津,7)设双曲线C 的方程为 x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x 的焦点和点(0,b)的直线为l.若C 的一条 渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直, 则双曲线C 的方程为 ( ) A. x2 4- y2 4=1 B.x 2-y 2 4=1 C. x2 4-y 2=1 D.x2-y2=1 915.(2020·新课标全国二,8)设O 为坐标原 点,直线x=a 与双曲线C:x 2 a2 -y 2 b2 =1 (a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E 两点.若△ODE 的面积为8,则C 的焦距 的最小值为 ( ) A.4 B.8 C.16 D.32 916.(2020·新课标全国三理,11)设双曲线 C:x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分 别为F1,F2,离心率为 5.P 是C 上一点, 且F1P⊥F2P.若△PF1F2 的面积为4,则 a= ( ) A.1 B.2 C.4 D.8 917.(2020·新课标全国一文,11)设F1,F2 是 双曲线C:x2-y 2 3=1 的两个焦点,O 为坐 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 133 高考一线 真题研究 数学 标原 点,点 P 在C 上 且|OP|=2,则 △PF1F2 的面积为 ( ) A. 7 2 B.3 C. 5 2 D.2 918.(2020·江苏,6)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2 a2 -y 2 5=1 (a>0)的一条渐近 线方程为y= 5 2x ,则该双曲线的离心率是 . 919.(2020·新课标全国三文,14)设双曲线 C:x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线 为y= 2x,则C 的离心率为 . 920.(2020·新课标全国一,15)已知F 为双曲 线C:x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的右焦点,A 为C 的右顶点,B 为C 上的点,且BF 垂直 于x 轴.若AB 的斜率为3,则C 的离心率 为 . 921.(2019·江苏,7)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x2-y 2 b2 =1(b>0)经过点(3,4), 则该双曲线的渐近线方程是 . 922.(2019·新课标全国一,10)双曲线 C: x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线的 倾斜角为130°,则C 的离心率为 ( ) A.2sin 40° B.2cos 40° C. 1 sin 50° D. 1 cos 50° 923.(2019·天津,5)已知抛物线y2=4x 的焦 点为F,准线为l.若l与双曲线x 2 a2 -y 2 b2 =1 (a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A 和点B,且|AB|=4|OF|(O 为原点),则 双曲线的离心率为 ( ) A.2 B.3 C.2 D.5 924.(2018·江苏,8)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的右 焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为 32c , 则其离心率的值是 . 925.(2018·北京,14)已知椭圆 M:x 2 a2 +y 2 b2 = 1(a>b>0),双曲线N:x 2 m2 -y 2 n2 =1.若双 曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交 点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形 的顶点,则椭圆M 的离心率为 ; 双曲线N 的离心率为 . 926.(2018·新课标全国二,6)双曲线 x2 a2 - y2 b2 =1(a>0,b>0)的离心率为 3,则其渐 近线方程为 ( ) A.y=± 2x B.y=± 3x C.y=± 2 2x D.y=± 3 2x 927.(2018·新课标全国三,10)已知双曲线 C:x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的离心率为 2, 则点(4,0)到C 的渐近线的距离为 ( ) A.2 B.2 C. 32 2 D.22 928.(2017·新课标全国三,14)双曲线 x2 a2 -y 2 9 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 134 第十二章 圆锥曲线 =1(a>0)的一条渐近线方程为y= 3 5x , 则a= . 929.(2017·新课标全国三,5)已知双曲线C: x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线方 程为y= 5 2x ,且与椭圆x 2 12+ y2 3=1 有公共 焦点,则C 的方程为 ( ) A. x2 8- y2 10=1 B. x2 4- y2 5=1 C. x2 5- y2 4=1 D. x2 4- y2 3=1 930.(2017·新课标全国一,5)已知F 是双曲 线C:x2-y 2 3=1 的右焦点,P 是C 上一 点,且PF 与x 轴垂直,点A 的坐标是(1, 3),则△APF 的面积为 ( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 2 931.(2017·天津,5)已知双曲线 x2 a2 -y 2 b2 =1 (a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为 2. 若经过F 和P(0,4)两点的直线平行双 曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为 ( ) A. x2 4- y2 4=1 B. x2 8- y2 8=1 C. x2 4- y2 8=1 D. x2 8- y2 4=1 932.(2017·新课标全国一,15)已知双曲线 x2 a2 -y 2 b2 =1的右顶点为A,以A 为圆心,b 为半径做圆A,圆A 与双曲线的一条渐近 线交于M,N 两点,若∠MAN=π3 ,则双曲 线的离心率为 . 933.(2017·新课标全国二,9)若双曲线C: x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线被 圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则 C 的离心率为 ( ) A.2 B.3 C.2 D. 23 3 934.(2017·新课标全国二,5)若a>1,则双曲 线x 2 a2 -y2=1的离心率的取值范围是 ( ) A.(2,+∞) B.(2,2) C.(1,2) D.(1,2) 935.(2017·北京,9) 若双曲线x2-y 2 m=1 的 离心率为 3,则实数m= . 936.(2016· 新 课 标 全 国 一,5)已 知 方 程 x2 m2+n - y 2 3m2-n =1表示双曲线,且该双 曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围 是 ( ) A.(-1,3) B.(-1,3) C.(0,3) D.(0,3) 937.(2016·北京,13)双曲线 x2 a2 -y 2 b2 =1(a> 0,b>0)的渐近线为正方形OABC 的边 OA,OC 所在的直线,点B 为该双曲线的 焦点.若正方形OABC 的边长为2,则a= . 938.(2016·天津,4)已知双曲线 x2 a2 -y 2 b2 =1 (a>0,b>0)的焦距为25,且双曲线的一 条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线 的方程为 ( ) A. x2 4-y 2=1 B.x2-y 2 4=1 C. 3x2 20- 3y2 5 =1 D. 3x2 5 - 3y2 20=1 939.(2016·新课标全国二,11)已知F1,F2 分 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 135 高考一线 真题研究 数学 别是双曲线E:x 2 a2 -y 2 b2 =1的左、右焦点,点 M 在E 上,MF1 与x轴垂直,sin∠MF2F1= 1 3 ,则E 的离心率为 ( ) A.2 B. 3 2 C.3 D.2 940.(2016·山东,13)已知双曲线 E:x 2 a2 - y2 b2 =1(a>0,b>0),若矩形ABCD 的四个 顶点在E 上,AB,CD 的中点为E 的两个 焦点,且2|AB|=3|BC|,则E 的离心率 是 . 941.(2016·浙江,13)设双曲线x2-y 2 3=1 的 左、右焦点分别F1,F2,若点P 在双曲线 上,且△F1PF2 为锐角三角形,则|PF1|+ |PF2|的取值范围是 . 942.(2015·新课标全国二,11)已知A,B 为 双曲线E 的左,右顶点,点 M 在E 上, △ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则 E 的离心率为 ( ) A.5 B.2 C.3 D.2 943.(2015·山东,15)过双曲线C:x 2 a2 -y 2 b2 =1 (a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线 平行的直线,交C 于点P.若点P 的横坐 标为2a,则C 的离心率为 . 944.(2015·湖南,13)设F 是双曲线C:x 2 a2 - y2 b2 =1的一个焦点,若C 上存在点P,使线 段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点,则 C 的离心率为 . 945.(2015·新课标全国一,5)已知M(x0,y0) 是双曲线C:x 2 2-y 2=1上的一点,F1,F2 是C 上的两个焦点,若 MF1 →·MF2 →<0,则 y0 的取值范围是 ( ) A.- 3 3 ,3 3 B.- 36,36 C.- 22 3 ,22 3 D.-233 ,233 946.(2015·新课标全国二,15)已知双曲线过 点(4,3),且渐近线方程为y=± 1 2x ,则 该双曲线的标准方程为 . 947.(2015·广东,7)已知双曲线C:x 2 a2 -y 2 b2 = 1的离心率e=54 ,且其右焦点为F2(5,0), 则双曲线C 的方程为 ( ) A. x2 4- y2 3=1 B. x2 16- y2 9=1 C. x2 9- y2 16=1 D. x2 3- y2 4=1 948.(2015·福建,3)若双曲线E:x 2 9- y2 16=1 的左、右焦点分别为F1,F2,点P 在双曲线 E 上,且|PF1|=3,则|PF2|等于 ( ) A.11 B.9 C.5 D.3 949.(2015·北京,12)已知(2,0)是双曲线 x2-y 2 b2 =1(b>0)的一个焦点,则b= . 950.(2015·四川,5)过双曲线x2-y 2 3=1 的 右焦点且与x 轴垂直的直线,交该双曲线 的两条渐近线于A,B 两点,则|AB|= ( ) A. 43 3 B.23 C.6 D.43 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 136 第十二章 圆锥曲线 951.(2015·湖南,6)若双曲线 x2 a2 -y 2 b2 =1的 一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的 离心率为 ( ) A. 7 3 B. 5 4 C. 4 3 D. 5 3 952.(2014·广东,8)若实数k 满足0<k<5, 则双曲线x 2 16- y2 5-k=1 与双曲线 x 2 16-k- y2 5=1 的 ( ) A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 953.(2014·天津,5)已知双曲线 x2 a2 -y 2 b2 =1 (a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l: y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为 ( ) A. x2 5- y2 20=1 B. x2 20- y2 5=1 C. 3x2 25- 3y2 100=1 D. 3x2 100- 3y2 25=1 954.(2014·新课标全国一,4)已知F 是双曲 线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点 F 到C 的一条渐近线的距离为 ( ) A.3 B.3 C.3m D.3m 955.(2014·江西,9)过双曲线C:x 2 a2 -y 2 b2 =1 的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线 相交于A.若以C 的右焦点为圆心、半径为 4的圆经过A,O 两点(O 为坐标原点),则 双曲线C 的方程为 ( ) A. x2 4- y2 12=1 B. x2 7- y2 9=1 C. x2 8- y2 8=1 D. x2 12- y2 4=1 956.(2014·山东,14)已知双曲线 x2 a2 -y 2 b2 =1 (a>0,b>0)的焦距为2c,右顶点为A,抛 物线x2=2py(p>0)的焦点F.若双曲线 截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|= c,则双曲线的渐近线方程为 . 957.(2014·全国,9)已知双曲线C 的离心率 为2,焦点为F1,F2,点A 在C 上,若|F1A| =2|F2A|,则cos∠AF2F1= ( ) A. 1 4 B. 1 3 C. 2 4 D. 2 3 958.(2014·重庆,8)设F1,F2 分别为双曲线 x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点,双 曲线上存在一点P 使得|PF1|+|PF2|= 3b,|PF1|·|PF2|= 9 4ab ,则该双曲线的 离心率为 ( ) A. 4 3 B. 5 3 C. 9 4 D.3 959.(2013·重庆,10)设双曲线C 的中心为点 O,若有且只有一对相交于点O、所成的角 为60°的直线A1B1 和A2B2,使得|A1B1|= |A2B2|,其中A1,B1 和A2,B2 分别是这 对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的 离心率的取值范围是 ( ) A.23 3 ,2 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 B.23 3 ,2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 C.23 3 ,+∞ D.233 ,+∞􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 960.(2013·辽宁,13)已知F 为双曲线x 2 9- y2 16=1 的左焦点,P,Q 为双曲线上的点,若 PQ 的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线 段PQ 上,则△PQF 的周长为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 137 高考一线 真题研究 数学 12.3 抛物线的定义、标准方程及几何性质 【解题·小帮手】 ▶抛物线的定义与标准方程 标准方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) 图形 xF y l O xF y l O x F y l O xF y lO 几 何 性 质 范围 x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R 对称性 关于x 轴 对称 关于x 轴 对称 关于y 轴 对称 关于y 轴 对称 焦点 F p2 ,0 F -p2,0 F 0,p2 F 0,-p2 顶点 坐标原点(0,0) 离心率 e=1,p 越大,抛物线的开口越大 ▶抛物线的性质 抛物线上任意一点 M(x0,y0)到焦点F 的 距离称为焦半径,有以下结论(p>0): (1)对于抛物线y2=2px,|MF|=p2+x0 (图1); rx F M x y ypx p y xO x p  p  p  p    图1 (2)对于抛物线y2=-2px,|MF|=p2-x0 (图2); rx F M x y ypx p y xO x p  p  p  p     图2 (3)对于抛物线x2=2py,|MF|=p2+y0 (图3); ry F M x y xpx p y xO y p  p p  p    图3 (4)对于抛物线x2=-2py,|MF|=p2-y0 (图4). ry F M x y xpx p y xO y p  p  p  p     图4 ▶抛物线的焦点弦长与面积 已知AB 是过抛物线y2=2px(p>0)的焦 点F 的弦,对应倾斜角为θ,如图所示,则: F B x2,y2 O x A x1,y1 y θ (1)|AF|=x1+ p 2= p 1-cos θ ,|BF|=x2+ p 2= p 1+cos θ ; (2)|AB|=x1+x2+p= p 1-cos θ+ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 138 第十二章 圆锥曲线 p 1+cos θ= 2p sin2θ ≥2p; (3)S△AOB= p2 2sin θ ; (4) 1 |AF|+ 1 |BF|= 2 p . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 961.(多选题)(2024·新高考全国二,10)抛物 线C:y2=4x 的准线为l,P 为C 上的动 点,过P 作☉A:x2+(y-4)2=1的一条 切线,Q 为切点,过P 作l的垂线,垂足为 B,则 ( ) A.l与☉A 相切 B.当P,A,B 三点共线时,|PQ|= 15 C.当|PB|=2时,PA⊥AB D.满足|PA|=|PB|的点P 有且仅有2个 962.(2024·天津,12)圆(x-1)2+y2=25的 圆心与抛物线y2=2px(p>0)的焦点F 重合,A 为两曲线的交点,则原点到直线 AF 的距离为 . 963.(多选题)(2023·新高考全国二,10)设O 为坐标原点,直线y=- 3(x-1)过抛物 线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C 交于 M,N 两点,l为C 的准线,则 ( ) A.p=2 B.|MN|=83 C.以MN 为直径的圆与l相切 D.△OMN 为等腰三角形 964.(2023·新课标全国乙理,13)已知点 A (1,5)在抛物线C:y2=2px 上,则A 到C 的准线的距离为 . 965.(2023·天津,12)过原点的一条直线与圆 C:(x+2)2+y2=3相切,交曲线y2=2px (p>0)于点P,若|OP|=8,则p 的值为 . 966.(2023·北京,6)已知抛物线C:y2=8x 的焦点为F,点 M 在C 上.若 M 到直线 x=-3的距离为5,则|MF|= ( ) A.7 B.6 C.5 D.4 967.(2022·天津,7)已知抛物线y2=45x, F1,F2 分别是双曲线 x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0, b>0)的左、右焦点,抛物线的准线过双曲 线的左焦点F1,与双曲线的渐近线交于点 A,若∠F1F2A= π 4 ,则双曲线的标准方程 为 ( ) A. x2 10-y 2=1 B.x2-y 2 16=1 C.x2-y 2 4=1 C. x2 4-y 2=1 968.(2022·新课标全国乙,5)设F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,点A 在C 上,点B(3, 0),若|AF|=|BF|,则|AB|= ( ) A.2 B.22 C.3 D.32 969.(2021·新高考全国二,3)若抛物线y2= 2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离 为 2,则p= ( ) A.1 B.2 C.22 D.4 970.(2021·新高考全国一,14)已知O 为坐标 原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,P 为C 上一点,PF 与x 轴垂直,Q 为x 轴上一点,且PQ⊥OP,若|FQ|=6,则C 的准线方程为 . 971.(2021·北京,12)已知抛物线C:y2=4x, 焦点为 F,点 M 为抛物线C 上的点,且 |FM|=6,则 M 的横坐标是 ; 作MN⊥x 轴于N,则S△FMN= . 972.(2021·上海,11)已知抛物线y2=2px (p>0),若第一象限的A,B 在抛物线上,抛 物线焦点为F,|AF|=2,|BF|=4,|AB|= 3,则直线AB 的斜率为 . 973.(2020·山东,11)斜率为 3的直线过抛物 线C:y2=4x 的焦点,且与C 交于A,B 两 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 139 高考一线 真题研究 数学 点,则|AB|= . 974.(2020·新课标全国一,4)已知A 为抛物 线C:y2=2px(p>0)上一点,点A 到点C 的焦点的距离为12,到y 轴的距离为9,则 p= ( ) A.2 B.3 C.6 D.9 975.(2020·新课标全国三,5)设O 为坐标原 点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p> 0)交于D,E 两点,若OD⊥OE,则C 的焦 点坐标为 ( ) A.14 ,0 B.12,0 C.(1,0) D.(2,0) 976.(2020·北京,7)设抛物线的顶点为O,焦 点为F,准线为l.P 是抛物线上异于O 的 一点,过P 作PQ⊥l于Q,则线段FQ 的 垂直平分线 ( ) A.经过点O B.经过点P C.平行于直线OP D.垂直于直线OP 977.(2019·新课标全国二,8)若抛物线y2= 2px(p>0)的焦点是椭圆 x2 3p +y 2 p =的一 个焦点,则p= ( ) A.2 B.3 C.4 D.8 978.(2018·北京,10)已知直线l过点(1,0) 且垂直于x 轴,若l被抛物线y2=4ax 截 得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为 . 979.(2017·新课标全国二,16)已知F 是抛物 线C:y2=8x 的焦点,M 是C 上一点,FM 的延长线交y 轴于点N.若M 为FN 的中 点,则|FN|= . 980.(2017·山东,14)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的右支 与焦点为F 的抛物线x2=2py(p>0)交 于A,B 两点,若|AF|+|BF|=4|OF|, 则该双曲线的渐近线方程为 . 981.(2016·新课标全国一,10)以抛物线C 的 顶点为圆心的圆交C 于A,B 两点,交C 的 准线 于 D,E 两 点,已 知|AB|=4 2, |DE|=25,则C 的焦点到准线的距离为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 982.(2016·新课标全国二,5)设F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,曲线y= k x (k>0)与C 交于点P,PF⊥x 轴,则k= ( ) A. 1 2 B.1 C. 3 2 D.2 983.(2016·四川,3)抛物线y2=4x 的焦点坐 标是 ( ) A.(0,2) B.(0,1) C.(2,0) D.(1,0) 984.(2016·浙江,9)若抛物线y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为10,则M 到y 轴的距离 是 . 985.(2015·浙江,5)如图所示,设抛物线y2= 4x 的焦点为F,不经过焦点的直线上有三 个不同的点A,B,C,其中点A,B 在抛物 线上,点C 在y 轴上,则△BCF 与△ACF 的面积之比是 ( ) F O B C x y A A. |BF|-1 |AF|-1 B. |BF|2-1 |AF|2-1 C. |BF|+1 |AF|+1 D. |BF|2+1 |AF|2+1 986.(2015·陕西,14)若抛物线y2=2px(p> 0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦 点,则p= . 987.(2015·上海,5)抛物线y2=2px(p>0) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 140 第十二章 圆锥曲线 上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1, 则p= . 988.(2014·新课标全国二,10)设F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的 直线交C 于A,B 两点,O 为坐标原点,则 △OAB 的面积为 ( ) A. 33 4 B. 93 8 C. 63 32 D. 9 4 989.(2014·新课标全国一,10)已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为F,准线为l,P 是l上 一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若 FP→=4FQ→,则|QF|= ( ) A. 7 2 B. 5 2 C.3 D.2 990.(2014·安徽,3)抛物线y= 1 4x 2 的准线 方程是 ( ) A.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D.x=-2 991.(2014·辽宁,8)已知点A(-2,3)在抛物 线C:y2=2px 的准线上,记C 的焦点为 F,则直线AF 的斜率为 ( ) A.- 4 3 B.-1 C.- 3 4 D.- 1 2 992.(2014·湖南,14)平面上一机器人在行进 中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线 x=-1的距离相等.若机器人接触不到过 点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k 的取 值范围是 . 993.(2013·四川,5)抛物线y2=8x 的焦点到 直线x- 3y=0的距离是 ( ) A.23 B.2 C.3 D.1 994.(2013·山东,11)抛物线C1:y= 1 2p x2 (p>0)的焦点与双曲线C2: x2 3-y 2=1的 右焦点的连线交C1 于第一象限的点M.若 C1 在点M 处的切线平行于C2 的一条渐近 线,则p= ( ) A. 3 16 B. 3 8 C. 23 3 D. 43 3 995.(2013·天津,5)已知双曲线 x2 a2 -y 2 b2 =1 (a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2= 2px(p>0)的准线分别交于A,B 两点,O 为坐 标 原 点.若 双 曲 线 的 离 心 率 为 2, △AOB 的面积为 3,则p 等于 ( ) A.1 B. 3 2 C.2 D.3 996.(2013·江西,9)已知点A(2,0),抛物线 C:x2=4y 的焦点为F,射线FA 与抛物线 C 相交于点M,与其准线相交于点 N,则 |FM|∶|MN|= ( ) A.2∶ 5 B.1∶2 C.1∶ 5 D.1∶3 997.(2013·新课标全国一,11)已知抛物线 C:y2=8x 与点M(-2,2),过C 的焦点, 且斜率为k的直线与C 交于A,B 两点,若 MA→·MB→=0,则k= ( ) A. 1 2 B. 2 2 C.2 D.2 998.(2013·江西,14)抛物线x2=2py(p>0) 的焦点为F,其准线与双曲线x 2 3- y2 3=1 相交于A,B 两点,若△ABF 为等边三角 形,则p= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 141 高考一线 真题研究 数学 线的距离d= |-1| m2+n2 = 3,所以 m2+ n2=13. 三角形的面积S=12 1 m · 1 n = 1 2|mn| ,又S= 12|mn|≥ 1 m2+n2 =3,当且 仅当|m|=|n|=1 6 时取等号,所以最小值 为3. 第十二章 圆锥曲线 12.1 椭圆的定义、标准方程及几何性质 865.A 解析:设点 M(x,y),则P(x,y0), P'(x,0),因 为 M 为 PP'的 中 点,所 以 y0=2y,即P(x,2y).又点P 在曲线C: x2+y2=16(y>0)上,所以x2+4y2= 16(y>0),即 x2 16+ y2 4=1 (y>0),即点 M 的轨迹方程为x 2 16+ y2 4=1 (y>0),故选A. 866.解:(1)因为A(0,3)和P3, 3 2 为椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)上两点, O P y A B Q x 所以 0 a2+ 9 b2=1 , 9 a2+ 9 4b2=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 a2=12, b2=9, 所以c2=a2-b2=3, 则离心率e=ca= 3 23 = 1 2. (2)因为A(0,3)和P3, 3 2 , 所以|PA|= (3-0)2+ 32-3 2 = 35 2 . 由△ABP 的面积为9,得12|PA| ·h=9, 即1 2× 35 2 ×h=9 ,解得h=12 5 . 直线PA 的方程为y= 3 2-3 3-0x+3 , 即lPA:x+2y-6=0. 设过点B 与lPA 平行的直线l1:x+2y+ C=0,则h=12 5 = |C+6| 5 ,解得C=6或 C=-18. 当C=-18时,l1:x+2y-18=0与椭圆 相离,舍去; 当C=6时,l1:x+2y+6=0与lPA:x+ 2y-6=0关于原点对称, lPA 与椭圆的交点为A(0,3)和P3, 3 2 , A(0,3)和 P 3, 3 2 关于原点的对称点为 B1(0,-3),B2 -3,- 3 2 . 由P3, 3 2 和B1(0,-3),得直线l的方程 为y= 3 2- (-3) 3-0 x-3 ,即y= 3 2x-3 ; 由P 3, 3 2 和B2 -3,-32 ,得直线l 的 方程为y- 3 2= 3 2- - 3 2 3-(-3) (x-3),即y= 1 2x. 综上,直 线l 的 方 程 为y= 1 2x 或y= 3 2x-3. 867.解:(1)设F(c,0),由题意得c=1且b 2 a= 3 2 ,则a 2-1 a = 3 2 ,解得a=2,b= 3, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 342 详解答案 所以椭圆方程为x 2 4+ y2 3=1. (2)直线AB 的斜率必定存在,设AB:y= k(x-4),A(x1,y1),B(x2,y2). 由 y=k(x-4), x2 4+ y2 3=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 消 去 y 并 整 理 得(3+ 4k2)x2-32k2x+64k2-12=0, 则Δ=(-32k2)2-4(3+4k2)(64k2- 12)>0,解得- 1 2<k< 1 2 , 所以x1+x2= 32k2 3+4k2 ,x1x2= 64k2-12 3+4k2 . FO A y x M B Q N P 又 N 52 ,0 ,则 直 线 BN:y = y2 x2- 5 2 x- 5 2 , 所以yQ= - 3 2y2 x2- 5 2 = -3y2 2x2-5 , 所以y1-yQ=y1+ 3y2 2x2-5 =y1 (2x2-5)+3y2 2x2-5 = k(x1-4)(2x2-5)+3k(x2-4) 2x2-5 =k· 2x1x2-5(x1+x2)+8 2x2-5 =k· 2× 64k2-12 3+4k2 -5× 32k2 3+4k2+8 2x2-5 =k· 128k2-24-160k2+24+32k2 3+4k2 2x2-5 =0, 所以y1=yQ,即AQ⊥y 轴. 868.解:(1)因为椭圆的离心率为e=12 , 所以a=2c,b= 3c,其中c为半焦距, 所以A -2c,0 ,B0,-3c ,C0,-3c2 , 则S△ABC= 1 2×2c× 3 2c= 33 2 , 解得c= 3,所以a=23,b=3,则椭圆方 程为x 2 12+ y2 9=1. (2)若过点 0,- 3 2 的动直线的斜率存在, 则可设该直线方程为y=kx- 3 2. O T Q x B C P A y 设P(x1,y1),Q(x2,y2),T(0,t), 由 y=kx- 3 2 , x2 12+ y2 9=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 得(3+4k2)x2-12kx- 27=0, 则 Δ=144k2+108(3+4k2)=324+ 576k2>0 x1+x2= 12k 3+4k2 ,x1x2=- 27 3+4k2 . 因为TP→=(x1,y1-t),TQ →=(x2,y2-t), 所以TP→·TQ→=x1x2+(y1-t)(y2-t)= x1x2+kx1- 3 2-t kx2-32-t =(1+k2)x1x2-k 3 2+t (x1+x2)+ 3 2+t 2 =(1+k2)× - 27 3+4k2 -k 32+t × 12k 3+4k2 + 32+t 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 343 高考一线 真题研究 数学 = -27k2-27-18k2-12k2t+332+t 2 +(3+2t)2k2 3+4k2 = [(3+2t)2-12t-45]k2+332+t 2 -27 3+4k2 . 因 为 TP→ · TQ→ ≤ 0 恒 成 立,所 以 (3+2t)2-12t-45≤0, 332+t 2 -27≤0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得-3≤t≤ 3 2. 若过点0,- 3 2 的动直线的斜率不存在,则 P(0,3),Q(0,-3)或P(0,-3),Q(0,3), 此时需-3≤t≤3,两者结合得-3≤t≤32. 综上,存 在 T(0,t)-3≤t≤ 3 2 ,使 得 TP→·TQ→≤0恒成立. 869.A 解析:因为C1: x2 a2 +y2=1(a>1),所 以e1= a2-1 a ,因为C2: x2 4+y 2=1,所以 e2= 3 2. 又因为e2= 3e1,所以 3 2= 3× a2-1 a ,解得a=233 ,故选A. 870.C 解析:联 立 y=x+m, x2 3+y 2=1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 消 去 y 得 4x2+6mx+3m2-3=0,因为直线与椭圆 相交 于 A,B 点,所 以 Δ=36m2-4× 4(3m2-3)>0,解得-2<m<2.设F1 到 AB 的距离d1,F2 到 AB 距离d2,易知 F1 -2,0 ,F2 2,0 ,则d1=|-2+m| 2 , d2= |2+m| 2 ,所以 S△F1AB S△F2AB = |-2+m| 2 |2+m| 2 = |- 2+m| |2+m| =2,解得 m=- 23 或-3 2 (舍去),故选C. FF O B x y A 871.B 解析:(解法一)设∠F1PF2=2θ,0< θ<π2 ,则S△PF1F2=b 2tan ∠F1PF2 2 =b 2tan θ. 由cos∠F1PF2=cos 2θ=cos 2θ-sin2θ cos2θ+sin2θ = 1-tan2θ 1+tan2θ = 3 5 ,解得tan θ=12. 由椭圆方程可知a2=9,b2=6,c2=a2- b2=3, 所以S△PF1F2= 1 2×|F1F2|×|yp|= 1 2× 23×|yp|=6× 1 2 ,解得y2p=3,即x2p= 9×1- 3 6 =92, 所以|OP|= x2p+y2p= 3+ 9 2= 30 2 ,故 选B. (解法二)因为|PF1|+|PF2|=2a=6①, |PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2| ∠F1PF2=|F1F2|2, 即|PF1|2+|PF2|2- 6 5|PF1||PF2|= 12②,联立①②,解得|PF1||PF2|= 15 2 , |PF1|2+|PF2|2=21. 因为PO→=12 (PF1 →+PF2 →), 所以|OP|=|PO→|=12|PF1 →+PF2 →|, 即|PO→|=12|PF1 →+PF2 →|= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 344 详解答案 1 2 |PF1 →|2+2PF1 →·PF2 →+|PF2 →|2= 1 2 21+2× 3 5× 15 2= 30 2 ,故选B. (解法三)因为|PF1|+|PF2|=2a=6①, |PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2| ∠F1PF2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2 |2- 6 5|PF1||PF2|=12② ,联立①②,解 得|PF1|2+|PF2|2=21.由中线定理可知 (2|OP|)2+|F1F2|2=2(|PF1|2+ |PF2|2)=42,易知|F1F2|=2 3,解得 |OP|= 302 ,故选B. 872.B 解析:(解法一)因为PF1 →·PF2 →=0, 所以∠F1PF2=90°,所以S△PF1F2=b 2tan 45°= 1= 1 2×|PF1| ·|PF2|,所以|PF1|·|PF2|= 2,故选B. (解 法 二)因 为 PF1 → ·PF2 → =0,所 以 ∠F1PF2=90°,由椭圆方程可知,c2=5- 1=4⇒c=2,所 以|PF1|2+|PF2|2= |F1F2|2=42=16,又|PF1|+|PF2|= 2a=2 5,平 方 得|PF1|2+|PF2|2+ 2|PF1||PF2|=16+2|PF1||PF2|=20, 所以|PF1|·|PF2|=2,故选B. 873.B 解析:由离心率e=ca= 1- b2 a2 = 1 3 , 解得b 2 a2 = 8 9 ,b2=89a 2,A1,A2 分别为C 的 左、右顶点,则A1(-a,0),A2(a,0),B 为 上顶点,所以B(0,b).则BA1 →=(-a,- b),BA2 →=(a,-b).因为 BA1 →·BA2 →= -1,所以-a2+b2=-1,将b2=89a 2 代 入,解得a2=9,b2=8,故椭圆的方程为 x2 9+ y2 8=1 ,故选B. 874.A 解析:A(-a,0),设 P(x1,y1),则 Q(-x1,y1),则kAP= y1 x1+a ,kAQ= y1 -x1+a , 故 kAP ·kAQ = y1 x1+a · y1 -x1+a = y21 -x21+a2 = 1 4. 又 x21 a2 +y 2 1 b2 =1,则 y21= b2(a2-x21) a2 ,所以 b2(a2-x21) a2 -x21+a2 = 1 4 ,即b 2 a2 = 1 4 ,所 以 椭 圆 C 的 离 心 率 e=ca = 1- b2 a2 = 3 2 ,故选A. 875.C 解析:由 题 意 得a2=9,b2=4,则 |MF1|+|MF2|=2a=6,所以|MF1|· |MF2|≤ |MF1|+|MF2| 2 2 =9(当且仅 当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立),故 选C. 876.A 解析:设点P(x0,y0),因为B(0,1), x20 5+y 2 0=1,所以|PB|2=x20+(y0-1)2= 5(1-y20)+(y0-1)2=-4y20-2y0+6= -4y0+ 1 4 2 + 25 4 ,而-1≤y0≤1,所以当 y0=- 1 4 时,|PB|的最大值为52 ,故选A. 877.8 解析:方法一:因为P,Q 为C 上关于 坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|, 所以四边形PF1QF2 为矩形,设|PF1|= m,|PF2|=n,则m+n=2a=8,m2+n2= (2c)2=4(16-4)=48,所以64=(m+ n)2=m2+2mn+n2=48+2mn,则mn= 8,即四边形PF1QF2 面积等于8. 方法二:因为P,Q 为C 上关于坐标原点对 称的两点,且|PQ|=|F1F2|,所以四边形 PF1QF2 为 矩 形,则 S =2S△PF1F2 = 2b2tanθ2=2×4×tan π 4=8. 878.B 解析:椭圆的离心率e=ca= 1 2 ,c2= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 345 高考一线 真题研究 数学 a2-b2,化简得3a2=4b2,故选B. 879.C 解析:根据题意可知c=2,因为b2= 4,所以a2=b2+c2=8,即a=22,所以椭 圆C 的离心率为e= 2 22 = 2 2 ,故选C. 880.D 解析:在△F1PF2 中,∠F1PF2=90°, ∠PF2F1=60°,设|PF2|=m,则2c= |F1F2|=2m,|PF1|= 3m,又由椭圆定 义可知2a=|PF1|+|PF2|=(3+1)m, 则离心率e=ca= 2c 2a= 2m (3+1)m = 3- 1,故选D. 881.C 解析:由题意得a= 5,根据椭圆的定 义可得点P 到两焦点的距离之和为2a= 25,故选C. 882.A 解析:因为线段A1A2 为直径的圆与 直线bx-ay+2ab=0相切,所以圆心到此 直 线 距 离 d 等 于 圆 的 半 径,即 d = |2ab| a2+b2 =a,可得a2=3b2.因为e2=c 2 a2 = 1- b2 a2 = 2 3 ,所以e= 63 ,故选A. 883.B 解析:不妨设直线l经过椭圆的焦点 F(c,0)和顶点(0,b),则直线l的方程为 x c+ y b=1 ,椭圆中心到直线l 的距离为 |-bc| b2+c2 = 1 4×2b. 又a2=b2+c2,所以离 心率e=ca= 1 2 ,故选B. 884. 6 3 解析:方法一:由题意得F(c,0),直线 y= b 2 与椭圆方程联立可得B - 3a 2 ,b 2 , C 3a 2 ,b 2 ,由 ∠BFC =90°可 得 BF→ · CF→ =0,BF→ = c+ 3a 2 ,- b 2 ,CF→ = c- 3a 2 ,- b 2 ,则c2-34a2+14b2=0,由 b2=a2-c2 可得34c 2= 1 2a 2,则e=ca= 2 3= 6 3. 方法二:因为 B - 3 2a ,b 2 ,C 32a,b2 , 所以BC= 3a.由椭圆的焦半径公式得 BF=a-exB =a+e· 3 2a ,CF=a- exC=a-e· 3 2a. 又∠BFC=90°,所以 BF2+CF2 =BC2,即 a+e· 3 2a 2 + a-e· 3 2a 2 =(3a)2.式子两边同除以 a2 可得e2=23 ,即e= 63. 885.A 解析:设 左 焦 点 为 F1,连 接 AF1, BF1,则四边形BF1AF 是平行四边形,故 |AF1|=|BF|,所以|AF|+|AF1|=4= 2a,即a=2.设 M(0,b),则 M 到直线l的 距离4b 5≥ 4 5 ,故b≥1,从而a2-c2≥1,则 0<c2≤3,所以椭圆E 的离心率的取值范 围是0, 3 2 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,故选A. 886.A 解析:由椭圆定义有4a=43,即a= 3.因为e= c a= 3 3 ,所以c=1.又a2= b2+c2,则b= 2,故椭圆C 为 x2 3+ y2 2=1 , 故选A. 887. 3 3 解析:因为OD 平行于F2B,所以D 为 F1B 中点,又AD⊥F1B,所以AF1=AB= 2AF2.设AF2=m,则AF1=2m,F1F2=3m, 则e=ca= 2c 2a= F1F2 AF1+AF2 = 3m 2m+m= 3 3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 346 详解答案 888.12 解析:方法一:由椭圆方程知椭圆C 的 左 焦 点 为 F1 (- 5,0),右 焦 点 为 F2(5,0),则 M(m,n)关于F1 的对称点 为A(-25-m,-n),关于F2 的对称点 为B(25-m,-n).设MN 中点为P(x, y),故 N(2x-m,2y-n),则|AN|+ |BN|= (2x+25)2+(2y)2+ (2x-25)2+(2y)2 =2[(x+5)2+y2 + (x- 5)2+y2],即为点 P 到焦点F1, F2 距 离 和 的 二 倍,故 由 椭 圆 定 义 可 知 |AN|+|BN|=2×6=12. 方法二:根据已知条件画出图形,如图所 示.设 MN 的中点为P,F1,F2 为椭圆C 的焦 点,连 接 PF1,PF2.显 然 PF1 是 △MAN 的中位线,PF2 是△MBN 的中位 线,所 以|AN|+|BN|=2|PF1|+ 2|PF2|=2(|PF1|+|PF2|)=2×6=12. FF A O B x N P M y 889.x2+32y 2=1 解析:如 图 所 示,因为 AF2⊥x轴,所以|AF2|= b2 a=b 2,A(c,b2).又 |AF1|=3|BF1|,所以B - 5 3c ,- 1 3b 2 ,代 入椭圆得E:- 5 3c 2 + - 1 3b 2 2 b2 =1,结合 b2+c2=1,解得c2=13 ,b2=23 ,所以x2+ 3 2y 2=1. FF O A x y B 890.C 解析:由已知条件易知c=1,AB⊥ x 轴且A,B 关于x 轴对称,所以A1, 3 2 , B1,- 3 2 ,则有 1a2+ 9 4 b2=1 , 1=a2-b2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 a2=4, b2=3, 所 以椭圆方程为x 2 4+ y2 3=1 ,故选C. 891.D 解析:|PF2|=x,因为PF2⊥F1F2, ∠PF1F2=30°,所以|PF1|=2x,|F1F2|= 3x,又|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|= 2c,则2a=3x,2c= 3x,所以椭圆的离心 率为e=2c2a= 3 3 ,故选D. 892.3-1 解析:直线方程y= 3(x+c),则 直线与x 轴的夹角∠MF1F2= π 3 或2π 3 ,且过 点F1(-c,0),又∠MF1F2=2∠MF2F1,则 ∠MF1F2=2∠MF2F1= π 3 ,即 F1M ⊥ F2M.在 Rt△F1MF2 中,|F1F2|=2c, |F1M|=c,|F2M|= 3c,则2a=c+ 3c, 所以e=ca= 2 1+ 3 = 3-1. 893.D 解析:c=1,e=ca= 1 2 ,得a=2,又 b2=a2-c2=3,故椭圆C 的方程是x 2 4+ y2 3=1 ,故选D. 12.2 双曲线的定义、标准方程及几何性质 894.C 解析:如图,由题意可知,点P 必落在 第四象限,∠F1PF2=90°. FF O P x y 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 347 高考一线 真题研究 数学 设|PF2|=m,∠PF2F1=θ1,∠PF1F2=θ2, 由kPF2=tan θ1=2,得sin θ1= 2 5 . 因为∠F1PF2=90°, 所以kPF1·kPF2=-1,得kPF1=- 1 2 , 即tan θ2= 1 2 ,sin θ2= 1 5 , 由正弦定理得|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|= sin θ1∶sin θ2∶sin 90°=2∶1∶5, 则由|PF2|=m,得|PF1|=2m,|F1F2|= 2c= 5m. 由S△PF1F2= 1 2|PF1| ·|PF2|= 1 2m · 2m=8,解得m=22, 则|PF2|=22,|PF1|=42,|F1F2|= 2c=2 10,c= 10. 所以|PF1|-|PF2|=2a=22,a= 2, b= c2-a2= 8, 所以双曲线的方程为x 2 2- y2 8=1 ,故选C. 895.C 解析:由 F1(0,4),F2(0,-4),点 P(-6,4)在该双曲线上,得|F1F2|=2c= 8,|PF1|= (-6-0)2+(4-4)2 =6, |PF2|= (-6-0)2+(-4-4)2=10,则 2a=|PF2|-|PF1|=10-6=4,则e= 2c 2a= 8 4=2 ,故选C. 896. 3 2 解析:如图,因为|AB|=10,所以 |AF2|= 1 2|AB|=5 ,则|F1A|-|AF2|= 2a=13-5=8,得a=4.又|AF2|= b2 a=5 , 则b2=5a=20,c2=a2+b2=16+20=36, 得c=6,所以e=ca= 6 4= 3 2. FF O x B A y 897. 35 5 解析:由题意F2A →=- 2 3F2B →,令 |F2A|=2t,则|F2B|=|F1B|=3t, |AB|=|F2A|+|F2B|=5t.由 F1A →⊥ F1B →,得|F1A|2=|AB|2-|F1B|2= (5t)2-(3t)3=16t2,所以|F1A|=4t, cosA=4t5t= 4 5. 因为|AF1|-|AF2|=2a, 所以4t-2t=2a,解得t=a.在△AF1F2 中, cos A= |AF1|2+|AF2|2-|F1F2|2 2|AF1||AF2| = (4a)2+(2a)2-(2c)2 2×4a×2a = 4 5 ,化简得9a2= 5c2, 所以e2=c 2 a2 = 9 5 ,所以e=355 . FF O A x y B 898.D 解析:由e= 5,则 c2 a2 = a2+b2 a2 =1+ b2 a2 =5,解得 b a=2 ,所以双曲线的一条渐近 线不妨取y=2x,则圆心(2,3)到渐近线的 距离d=|2×2-3| 22+1 = 5 5 ,所以弦长|AB|= 2r2-d2=2 1- 1 5= 45 5 ,故选D. 899.D 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 348 详解答案 AB 的 中 点 M x1+x2 2 ,y1+y2 2 ,所 以 kAB= y1-y2 x1-x2 ,k= y1+y2 2 x1+x2 2 =y1 +y2 x1+x2 .因为 A,B 在双曲线上,所以 x21- y21 9=1 , x22- y22 9=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 两式 相减得(x21-x22)- y21-y22 9 =0 ,所以kAB· k=y 2 1-y22 x21-x22 =9.对于A,可得k=1,kAB= 9,则 AB:y = 9x - 8,联 立 方 程 y=9x-8, x2-y 2 9=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 消去y 得72x 2-2×72x+ 73=0,此时Δ=(-2×72)2-4×72×73= -288<0,所以直线AB 与双曲线没有交 点,A 错误;对于B,可得k=-2,kAB= - 9 2 ,则 AB:y=- 9 2x- 5 2 ,联 立 方 程 y=- 9 2x- 5 2 , x2-y 2 9=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 消去y 得45x2+2×45x+ 61=0,此时Δ=(2×45)2-4×45×61=-4× 45×16<0,所以直线AB 与双曲线没有交 点, B错误;对于C,可得k=3,kAB=3,则 AB:y=3x,由双曲线方程可得a=1,b= 3,则AB:y=3x 为双曲线的渐近线,所以 直线AB 与双曲线没有交点,C错误;对于 D,可得k=4,kAB= 9 4 ,则AB:y= 9 4x- 7 4 ,联 立方程 y= 9 4x- 7 4 , x2-y 2 9=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 消去y得63x2+126x- 193=0,此时Δ=1262+4×63×193>0,故直线 AB 与双曲线有交两个交点,D正确,故选D. 900.D 解析:如图,因为F2(c,0),不妨设渐 近线方程为y= b ax ,即bx-ay=0,所以 |PF2|= |bc| a2+b2 = bc c =b ,所以b=2.设 ∠POF2=θ,则tan θ= |PF2| |OP|= b |OP|= b a ,所以|OP|=a,所以|OF2|=c.因为 1 2ab= 1 2c ·yP,所以yP= ab c ,所以tan θ= yP xP = ab c xP = b a ,所 以 xP = a2 c ,所 以 P a 2 c ,ab c .因为F1(-c,0),所以kPF1= ab c a2 c+c = ab a2+c2 = 2a a2+a2+4 = a a2+2 = 2 4 , 所以 2(a2+2)=4a,解得a= 2,所以双 曲线的方程为x 2 2- y2 4=1 ,故选D. FF O x P y 901. x2 2- y2 2=1 解析:令双曲线C 的实半 轴、虚半轴长分别为a,b,显然双曲线C 的 中心为原点,焦点在x 轴上,其半焦距c= 2,由双曲线C 的离心率为 2,得 c a= 2 , 解得a= 2,则b= c2-a2= 2,所以双 曲线C 的方程为x 2 2- y2 2=1. 902.C 解析:依题意不妨设双曲线焦点在 x 轴,设过F1 作圆D 的切线切点为G,所 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 349 高考一线 真题研究 数学 以OG⊥NF1,因为cos∠F1NF2= 3 5>0 , 所以N 在双曲线的右支,所以|OG|=a, |OF1|=c,|GF1|=b,设∠F1NF2=α, ∠F2F1N=β.由cos∠F1NF2= 3 5 ,即cos α= 3 5 ,则sin α=45 ,sin β= a c ,cos β= b c. FF O x N y G M 在△F2F1N 中,sin∠F1F2N=sin(π-α- β)=sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β= 4 5× b c+ 3 5× a c= 3a+4b 5c . 由 正 弦 定 理 得 2c sin α = |NF2| sin β = |NF1| sin∠F1F2N = 5c 2 , 所 以|NF1|= 5c 2sin∠F1F2N = 5c 2 × 3a+4b 5c = 3a+4b 2 ,|NF2|= 5c 2sin β= 5c 2× a c= 5a 2. 又|NF1|-|NF2|= 3a+4b 2 - 5a 2 = 4b-2a 2 =2a ,所以2b=3a,即ba= 3 2 , 所以双曲线的离心率e=ca = 1+ b2 a2 = 13 2 ,故选C. 903. 3 3 解析:双曲线y2- x2 m2 =1(m>0)的 渐近线为y=± x m ,即x±my=0,不妨取 x+my=0,圆x2+y2-4y+3=0,即x2+ (y-2)2=1,所以圆心为(0,2),半径r=1, 依题意圆心(0,2)到渐近线x+my=0的 距离d= |2m| 1+m2 =1,解得m= 33 或m= - 3 3 (舍去). 904.2(满足1<e≤ 5皆可) 解析:C: x2 a2 - y2 b2 =1(a>0,b>0),所以C 的渐近线方程 为y=± b ax ,结合渐近线的特点,只需0< b a≤2 ,即b 2 a2 ≤4,可满足条件“直线y= 2x 与 C 无 公 共 点”,所 以 e=ca = 1+ b2 a2 ≤ 1+4= 5.又因为e>1,所以 1<e≤ 5. 905.-3 解析:对于双曲线y2+ x2 m=1 ,所以 m<0,即双曲线的标准方程为y2- x2 -m= 1,则a=1,b= -m,又双曲线y2+ x2 m= 1的渐近线方程为y=± 3 3x ,所以a b= 3 3 ,即 1 -m = 3 3 ,解得m=-3. 906. 36 4 解析:过 F 且斜率为b4a 的直线 AB:y= b 4a (x+c),渐近线l2:y= b ax ,联立 y= b 4a (x+c), y= b ax , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 得B c3 ,bc 3a ,由|FB|=3| FA|,得 A - 5c 9 ,bc 9a ,而点 A 在双曲线 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 350 详解答案 上,所以25c 2 81a2 - b2c2 81a2b2 =1,解得 c2 a2 = 81 24 ,所 以离心率e=364 . 907.A 解析:F1,F2 为双曲线C 的两个焦 点,P 是C 上的一点,|PF1|=3|PF2|. 设|PF1|=3m,|PF2|=m,由双曲线的定 义可得|PF1|-|PF2|=2m=2a,即m= a,所 以|PF1|=3a,|PF2|=a.因 为 ∠F1PF2=60°,|F1F2|=2c,所以4c2= 9a2+a2-2×3a·a×cos 60°,整理得 4c2=7a2,所以e=ca= 7 2 ,故选A. 908.y=± 3x 解析:方法一:因为双曲线 x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的离心率为2,所 以e= c 2 a2 = a2+b2 a2 =2,则 b2 a2 =3,所以 该双曲线的渐近线方程为y=± b ax= ± 3x. 方法二:由题意知双曲线离心率e=2,根据 公式有k=± e2-1=± 3,故渐近线方 程为y=± 3x. 909.A 解析:因为e=ca=2 ,则c=2a,b= c2-a2= 3a,故双曲线的方程为 x2 a2 - y2 3a2 =1.将点(2,3)的传代标代入双曲线 的方程可得2 a2 - 3 3a2 = 1 a2 =1,解得a=1, 故b= 3,因此双曲线的方程为x2-y 2 3= 1,故选A. 910.A 解析:由题意可知,双曲线的渐近线方 程为x 2 16- y2 9=0 ,即3x±4y=0,结合对称 性,中妨考虑点(3,0)到直线3x+4y=0的 距离,得d= 9+0 9+16 = 9 5 ,故选A. 911.4 解析:由渐近线方程 3x+my=0化 简得y=- 3 mx ,即b a = 3 m ,同时平方得 b2 a2 = 3 m2 ,又双曲线中a2=m,b2=1,故 3 m2 = 1 m ,解得m=3,m=0(舍去),则c2= a2+b2=3+1=4⇒c=2,故焦距2c=4. 912.5 解 析:由 已 知 得c= a2+b2 = 5+4=3,所以双曲线的右焦点为(3,0), 则右焦点(3,0)到直线x+2y-8=0的距 离为|3+2×0-8| 12+22 = 5 5 = 5. 913.D 解析:因为|PA|-|PB|=2<4,所以 点P 在以A,B 为焦点、实轴 长为2、焦距 为4的双曲线的右支上,由c=2,a=1可 得b2=c2-a2=4-1=3,即双曲线的右支 方程为x2-y 2 3=1 (x>0).又点P 在函数 y = 3 4-x2 的 图 象 上,所 以 由 y=3 4-x2, x2-y 2 3=1 (x>0), 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解 得 x= 13 2 , y= 33 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 所 以 |OP|= 134+ 27 4= 10 ,故选D. 914.D 解析:抛物线y2=4x 的焦点坐标为 (1,0),则直线l 的方程为y=-b(x- 1).因为双曲线C 的方程为x 2 a2 -y 2 b2 =1 (a>0,b>0),其渐近线方程为y=± b ax , 且C 的一条渐近线与l平行,另一条渐近 线与l垂直,又a>b,b>0,所以-ba=- b,即ba ·(-b)=-1,得a=1,b=1,则双 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 351 高考一线 真题研究 数学 曲线C 的方程为x2-y2=1,故选D. 915.B 解析:直线x=与双曲线的渐近线 y=± b ax 分别交于D,E 两点,不妨设D 为在 第 一 象 限,E 在 第 四 象 限,联 立 x=a, y= b ax , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x=a, y=b, 故D(a,b). 联立 x=a, y=- b ax , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x=a, y=-b, 故E(a,- b). 因 此|ED|=2b,所 以 △ODE 面 积 为 S△ODE= 1 2a×2b=ab=8. 又因为2c=2 a2+b2≥2 2ab=2 16= 8,当且仅当a=b=22取等号,所以焦距 的最小值为8,故选B. 916.A 解析:因为 c a= 5 ,所以c= 5a,根据 双曲线的定义可得||PF1|-|PF2||= 2a,S△PF1F2 = 1 2|PF1| ·|PF2|=4,即 |PF1|·|PF2|=8.因为F1P⊥F2P,所 以|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,则(|PF1|- |PF2|)2+2|PF1|·|PF2|=4c2,即a2- 5a2+4=0,解得a=1,故选A. 917.B 解 析:因 为 在 △PF1F2 中,O 为 F1F2 中点,|PO|=2=|OF1|=|OF2|, 所以PF1⊥PF2,由 |PF1|-|PF2|=2 ①, |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=16 ② ②-①2 得,2|PF1||PF2|=12, |PF1||PF2|=6, 所以S△PF1F2= 1 2|PF1||PF2|=3 ,故选B. 918. 3 2 解析:方法一:由x 2 a2 -y 2 5=0 得渐近 线方程为y=± 5 ax ,又a>0,则a=2, c2=a2+5=9,即c=3,得离心率e=ca= 3 2. 方法二:由题意知双曲线渐近线斜率k= 5 2 ,根据公式得e= 1+k2= 3 2. 919.3 解析:方法一:由双曲线方程 x2 a2 - y2 b2 =1可得其焦点在x 轴上,因为其一条 渐近线为y= 2x,所以 b a= 2 ,则e=ca= 1+ b2 a2 = 3. 方法二:由题意知双曲线渐近线斜率k= 2,根据公式得e= 1+k2= 3. 920.2 解析:由条件得A(a,0),F(c,0),由 于BF 是通径长的一半,所以Bc, b2 a .因 为kAB = b2 a c-a= b2 a(c-a)= c2-a2 a(c-a)= c+a a =e+1=3 ,所以离心率e=2. 921.y=± 2x 解析:将(3,4)代入双曲线方 程,可得b= 2,即双曲线方程为x2-y 2 2= 1,则渐近线方程为y=± 2x. 922.D 解析:方法一:双曲线C:x 2 a2 -y 2 b2 = 1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=± b ax , 由双曲线的一条渐近线的倾斜角为130°得 - b a =tan 130°= -tan 50°,则 b a = tan 50°= sin 50° cos 50° ,所以b 2 a2 = c2-a2 a2 = c2 a2 - 1= sin250° cos250° = 1 cos250° -1,得e2= 1 cos250° , 即e= 1cos 50° ,故选D. 方法二:由题意知双曲线渐近线斜率k= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 352 详解答案 tan 130°= -tan 50°,根 据 公 式 得e= 1+k2= 1+tan250°= 1 cos 50° ,故选D. 923.D 解析:抛物线y2=4x 的焦点为F(1, 0),准线l的方程为x=-1.因为l与双曲 线x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的两条渐近线分 别交于点 A 和点B,所以|AB|=2ba ,且 |AB|=4|OF|(O 为原点),|OF|=1,即 2b a=4 ,于是b=2a,c= a2+b2= 5a,所 以双曲线的离心率为e=ca= 5 ,故选D. 924.2 解析:由题意知双曲线的渐近线方程 为bx±ay=0,则右焦点F(c,0)到一条渐 近线的距离为 bc a2+b2 = bc c =b= 3 2c ,故 a2=c2-b2=14c 2,则e=ca=2. 925.3-1 2 解析:由正六边形性质得椭圆 上一点到两焦点距离之和为c+ 3c,再根 据椭圆定义得c+ 3c=2a,所以椭圆 M 的离心率为c a= 2 1+ 3 = 3-1. 双曲线N 的渐近线方程为y=± n mx ,由题 意得双曲线 N 的一条渐近线的倾斜角为 π 3 ,则n 2 m2 =tan2 π 3=3 ,故e2=m 2+n2 m2 = m2+3m2 m2 =4,即e=2. 926.A 解析:双曲线的离心率为e=ca= 3 , 则b a= b2 a2 = c2-a2 a2 = e2-1= 2,即 双曲线的渐近线方程为y=± b ax=± 2x,故选A. 927.D 解析:因为e=ca= 1+ b a 2 = 2, 所以b a=1 ,则双曲线的渐近线方程为x± y=0,所以点(4,0)到渐近线的距离d= 4 1+1 =22,故选D. 928.5 解析:由双曲线的标准方程可得渐近 线方程为y=± 3 ax ,结合题意可得a=5. 929.B 解析:因为双曲线的一条渐近线方程 为y= 5 2x ,所以b a= 5 2①. 又因为椭圆x 2 12+ y2 3=1 与双曲线有公共焦 点,所以c=3,则a2+b2=c2=9②. 由①②解得a=2,b= 5,故双曲线C 的方 程为x 2 4- y2 5=1 ,故选B. 930.D 解析:由题意可知P(2,3),AP⊥PF, AP=1,PF=3,S=12AP ·PF=32 ,故选 D. 931.B 解析:因为离心率为 2,所以该双贡线 为等轴双曲线,渐近线方程为y=±x.过 F 和P(0,4)的直线与双曲线的渐近线平 行,则c=4,a=b=22,所以双曲线的方 程为x 2 8- y2 8=1 ,故选B. 932. 23 3 解析:∠MAN=π3 ,可得A 到渐近 线bx+ay=0的距离为bcos π 6= 3 2b ,由 点到直线的距离公式得 |ab| a2+b2 = 3 2b ,故 e=233 . 933.A 解析:双曲线C:x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 353 高考一线 真题研究 数学 b>0)的一条渐近线不妨为bx+ay=0,圆 (x-2)2+y2=4的圆心(2,0),半径为2, 双曲线C:x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的一条 渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦 长 为 2,可 得 圆 心 到 直 线 的 距 离 为 22-12= 3= |2b| a2+b2 ,解得4c 2-4a2 c2 = 3,可得e2=4,即e=2,故选A. 934.C 解析:a>1,则双曲线x 2 a2 -y2=1的离 心率为c a= 1+a2 a = 1+ 1 a2 ∈(1,2), 故选C. 935.2 解析:因为a=1,b= m,所以c= 1+m,所以e= c a= 1+m = 3 ,解得 m=2. 936.A 解析:若已知方程表示双曲线,则 (m2+n)·(3m2-n)>0,解得-m2<n< 3m2.又c2= 42 2 =(m2+n)+(3m2-n), 即4=4m2,即 m2=1,则-1<n<3,故 选A. 937.2 解析:因为四边形OABC 为正方形,所 以∠AOB=45°,即直线OA 方程为y=x, 此为双曲线的渐近线,则a=b,又由题可 知|OB|=22,则a2+a2=(22)2,解得 a=2. 938.A 解析:根据题意可得 b a= 1 2 ,2c=25, 又a2+b2=c2,所以a=2,b=1,故所求双 曲线的方程为x 2 4-y 2=1,故选A. 939.A 解 析:由 正 弦 定 理 得 e = F1F2 MF2-MF1 = sin M sinF1-sinF2 = 22 3 1- 1 3 = 2, 故选A. 940.2 解析:将x=-c 代入x 2 a2 -y 2 b2 =1,得 y=± b2 a. 因为2|AB|=3|BC|,所以2× 2b2 a =3×2c ,整理得2c2-2a2-3ac=0,即 2e2-3e-2=0,解得e=2或e=-12 (舍 去). 941.(27,8) 解析:由已知a=1,b= 3,c= 2,则e=ca=2. 设P(x,y)是双曲线上任 一点,由对称性不 妨 设 P 在 右 支 上,∠ PF2F1 为 锐 角,则1<x<2,|PF1|= (x+22)+y2 = (x+2)2+3x2-3 = 2x+1,|PF2|=2x-1,∠F1PF2 为锐角, 则|PF1|2+|PF2|2>|F1F2|2,解得x> 7 2 ,故 7 2 <x<2 ,则|PF1|+|PF2|= 4x∈(27,8). 942.D 解析:设双曲线方程为 x2 a2 -y 2 b2 =1 (a>0,b>0),如图所示,|AB|=|BM|, ∠ABM=120°,过点 M 作MN⊥x 轴,垂 足为N.在Rt△BMN 中,|BN|=a,|MN |= 3a,故点M 的坐标为M(2a,3a),代 入双曲线方程得 (2a)2 a2 - 3a2 b2 =1,即a2= b2,又c2=a2+b2,即c2=2a2,所以e= 2, 故选D. A O B N x M y 943.2+ 3 解析:双曲线 x2 a2 -y 2 b2 =1的右焦 点为(c,0).所作直线与双曲线的渐近线平 行,不妨设其方程为y= b a (x-c),代入 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 354 详解答案 x2 a2 -y 2 b2 =1求得点 P 的横会标为x= a2+c2 2c ,由a 2+c2 2c =2a 得 c a 2 -4ca + 1=0,解之得 c a=2+ 3 ,c a=2- 3 (舍去, 因为离心率c a>1 ),故双曲线的离心率为 2+ 3. 944.5 解析:根据对称性,不妨设P(-c, y0),短轴端点为(0,b),则PF 的中点为 (0,b),从而可知点(-c,2b)在双曲线上, 则c 2 a2 - 4b2 b2 =1,即e=ca= 5. 945.A 解析:由题意知F1(- 3,0),F2(3, 0), x20 2 -y 2 0 =1,所 以 MF1 → ·MF2 → = (- 3-x0,-y0)·(3-x0,-y0)= x20+y20-3=3y20-1<0,解得- 3 3<y0< 3 3 ,故选A. 946. x2 4-y 2=1 解析:根据双曲线渐近线方 程为y=± 1 2x ,可设双曲线的方程为x 2 4- y2=m,把(4,3)代入 x2 4-y 2=m,得m= 1,所以双曲线的方程为 x2 4-y 2=1. 947.B 解析:依 题 意 有 e= c a= 5 4 , c=5, c2=a2+b2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解 得 a2=16, b2=9, 所以双曲线C 的方程为x 2 16- y2 9= 1,故选B. 948.B 解析:由双曲线定义得||PF1|-|PF2||= 2a=6,即|3-|PF2||=6,解得|PF2|=9, 故选B. 949.3 解析:由题意得c= 1+b2=2,且 b>0,故b= 3. 950.D 解析:由题意可知渐近线方程为y= ± 3x,右焦点(2,0),则直线x=2与两条 渐近线的交点分别为 A(2,2 3),B(2, -23),所以|AB|=43,故选D. 951.D 解析:因为双曲线 x2 a2 -y 2 b2 =1的一条 渐近线经过点(3,-4),所以3b=4a,即 9(c2-a2)=16a2,则e=ca= 5 3 ,故选D. 952.D 解析:由0<k<5,可得5-k>0,16- k>0,两曲线均为双曲线,又16+(5- k)=21-k=(16-k)+5,故焦距相等,故 选D. 953.A 解析:kl=2= b a ,令y=0,x=-5,故 c= a2+b2=5,解得a2=5,b2=20,则双 曲线方程为x 2 5- y2 20=1 ,故选A. 954.A 解析:方 法 一:由 双 曲 线 C:x2- my2=3m(m>0)得 x2 3m- y2 3=1 ,c2=3m+ 3,即c= 3m+3.设F(3m+3,0),一条 渐近线方程为y= 3 3m x,即x- my= 0,则点F 到C 的一条渐近线的距离d= 3m+3 1+m = 3,故选A. 方法二:取m=13 ,这时双曲线为x2-y 2 3= 1,则点F(2,0),一条渐近线方程为y= 3x,即 3x-y=0,所以点F 到C 的一条 渐近线的距离d= 23 3+1 = 3,故选A. 方法三:在上面题中我们得到结论:双曲线 的焦点到渐近线距离为b,故d=b= 3,故 选A. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 355 高考一线 真题研究 数学 955.A 解析:因为C:x 2 a2 -y 2 b2 =1的渐近线为 y=± b ax ,所以A(a,b)或A(a,-b).因 此OA=c=4,从而三角形OAC 为正三角 形,即tan 60°= b a ,a=2,b=23,则双曲 线C 的方程为x 2 4- y2 12=1 ,故选A. 956.y=±x 解析:由题意知,A(a,0),在 Rt△FOA 中,OF2=c2-a2=b2,故|OF|=b, 因此F(0,b),抛物线方程为x2=2by,准 线方程为y=-b.根据双曲线截抛物线的 准线所得线段长为2c,借助对称性可知该 双曲线经过(c,-b),将该点坐标代入以曲 线方程,得出c 2 a2 - (-b)2 b2 =1,即 c2 a2 =2,故 c2=2a2,因此b2=c2-a2=a2,则该双曲线 为等轴双曲线,其渐近线方程为y=±x. 957.A 解析:由双曲线定义有|F1A|-|F2A|= 2a,因为|F1A|=2|F2A|,c=2a,所以|F2A|= 2a,|F1A|=4a,|F1F2|=4a,由余弦定理 得(4a)2=(4a)2+(2a)2-2×4a×2a· cos∠AF2F1,则cos∠AF2F1= 1 4 ,故选A. 958.B 解析:不妨设 P 为双曲线右支上一 点,根据双曲线的定义有|PF1|-|PF2|= 2a,联立|PF1|+|PF2|=3b,平方相减得 |PF1|·|PF2|= 9b2-4a2 4 ,则由题设条件 得9b 2-4a2 4 = 9 4ab ,整理得b a= 4 3 ,所以e= c a= 1+ b a 2 = 1+ 43 2 = 5 3 ,故选B. 959.A 解析:不妨令双曲线的方程为 x2 a2 - y2 b2 =1(a>0,b>0),由|A1B1|=|A2B1| 及双曲线的对称性知A1,A2,B1,B2 关于 x 轴对称,如图所示. y xbay y xO xba A A B B 又因为满足条件的直线只有一对,所以 tan 30°< b a≤tan 60°,即 3 3 < b a≤ 3 ,则 1 3< b2 a2 ≤3. 因为b2=c2-a2,所以13< c2-a2 a2 ≤3,得 4 3<e 2≤4,则 23 3 <e≤2 ,即e∈ 23 3 ,2 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 , 故选A. 960.44 解析:由题意知双曲线c=5,故点A 为其右焦点,有|FP|-|PA|=6,|FQ|- |QA|=6,两式相加,并利用双曲线的定义 得|FP|+|FQ|=4a+4b=28,所以周长 为|FP|+|FQ|+|PQ|=28+16=44. 12.3 抛物线的定义、标准方程及几何性质 961.ABD 解析:对 于 A,抛 物 线 C:y2= 4x 的准线为x=-1,☉A 的圆心(0,4)到 直线x=-1的距离为1,等于圆的半径,所 以准线l和☉A 相切,A正确;对于B,P, A,B 三点共线时,即PA⊥l,则P 的纵坐 标yP=4,由y2P=4xP,得到xP=4,所以 P(4,4),此 时 切 线 长 |PQ | = |PA|2-r2= 42-12= 15,B正确;对 于C,当|PB|=2时,xP=1,此时y2P= 4xP=4,所以 P(1,2)或 P(1,-2).当 P(1,2)时,A(0,4),B(-1,2),则kPA= 4-2 0-1=-2 ,kAB = 4-2 0-(-1)=2 ,不满足 kPA·kAB=-1;当P(1,-2)时,A(0,4), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 356 详解答案 B(-1,-2),kPA= 4-(-2) 0-1 =-6 ,kAB= 4-(-2) 0-(-1)=6 ,不满足kPA·kPB=-1,所以 PA⊥AB 不成立,C错误;对于D,方法一: (利用抛物线定义转化)根据抛物线的定 义,得|PB|=|PF|,这里F(1,0),所以 |PA|=|PB|时问题转化成P 点的存在性 问题.A(0,4),F(1,0),AF 中点为 12 ,2 , AF 中垂线的斜率为- 1kAF = 1 4 ,则AF 的 中垂线方程为y= 2x+15 8 ,与抛物线y2= 4x 联立得y2-16y+30=0,Δ=162-4× 30=136>0,即AF 的中垂线和抛物线有 两个交点,即存在两个P 点,使得|PA|=| PF|,D正确. 方法二:(设点直接求解)设 P t 2 4 ,t ,由 PB⊥l得B(-1,t),又A(0,4),|PA|= |PB|, F xO A B P Q y 所以 t 4 16+ (t-4)2= t2 4+1 ,整理得t2- 16t+30=0,Δ=162-4×30=136>0,则 关于t的方程有两个解,即存在两个这样 的P 点,D正确.故选ABD. 962. 4 5 解析:圆(x-1)2+y2=25的圆心为 F(1,0),则p2=1 ,p=2. 由 (x-1)2+y2=25, y2=4x 得x2+2x-24=0, 解得x=4或x=-6(舍),则A(4,±4), 所以直线 AF:y=± 4 3 (x-1),即4x- 3y-4=0或4x+3y-4=0,则原点到直 线AF 的距离为d=|4|5 = 4 5. 963.AC 解析:对于 A,直线y=- 3(x- 1)过点(1,0),所以抛物线 C:y2=2px (p>0)的焦点F(1,0),所以p2=1 ,p=2, 2p=4,则 A正确,且抛物线C 的方程为 y2=4x;对于B,设M(x1,y1),N(x2,y2), 由 y=- 3(x-1), y2=4x 消去y 化简得3x2- 10x+3=(x-3)(3x-1)=0,解得x1=3, x2= 1 3 ,所以|MN|=x1+x2+p=3+ 1 3+2= 16 3 ,B错误;对于C,设 MN 的中点 为A,M,N,A 到直线l的距离分别为d1, d2,d,因为d= 1 2 (d1+d2)= 1 2 (|MF|+ |NF|)=12|MN| ,即A 到直线l的距离 等于MN 的一半,所以以 MN 为直径的圆 与直线l相切,C正确;对于D,直线y= - 3(x-1),即 3x+y- 3=0,O 到直 线 3x+y- 3=0的距离为d= 3 2 ,所以 三角 形 OMN 的 面 积 为12× 16 3× 3 2 = 43 3 . 由上述分析可知y1=- 3(3-1)= -2 3,y2= - 3 1 3-1 =233 ,所 以 |OM|= 32+(-23)2 = 21,|ON|= 1 3 2 + 23 3 2 = 13 3 ,所 以 三 角 形 OMN 不是等腰三角形,D错误,故选AC. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 357 高考一线 真题研究 数学 A M l y x x F N O y  964. 9 4 解析:由题意得(5)2=2p×1,则 2p=5,抛物线的方程为y2=5x,准线方程 为x=-54 ,点A 到C 的准线的距离为1- - 5 4 =94. 965.6 解析:易知圆(x+2)2+y2=3和曲线 y2=2px 关于x 轴对称,不妨设切线方程 为y=kx,k>0,所以(x+2)2+y2=3的 圆心 C (-2,0)到 y=kx 的 距 离 为 |2k| 1+k2 = 3,k>0,解得k= 3. 由 y= 3x , y2=2px, 解得 x=0,y=0, 或 x= 2p 3 , y= 23p 3 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 所以|OP|= 2p3 2 + 23p 3 2 = 4p 3=8 , 解得p=6.当k=-3时,同理可得p=6. 966.D 解析:因为抛物线C:y2=8x 的焦点 F(2,0),准线方程为x=-2,点 M 在C 上,所 以 M 到 准 线x= -2的 距 离 为 |MF|.又 M 到直线x=-3的距离为5, 所以|MF|+1=5,|MF|=4,故选D. 967.C 解析:抛物线y2=45x 的准线方程 为x=- 5,则c= 5,则F1(- 5,0)、 F2(5,0),不妨设点A 为第二象限内的 点,联 立 y=- b ax , x=-c, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 可 得 x=-c, y= bc a , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 即 点 A -c, bc a ,因 为 AF1 ⊥ F1F2 且 ∠F1F2A= π 4 ,则△F1F2A 为等腰直角三 角形,且|AF1|=|F1F2|,即 bc a=2c ,可得 b a=2 ,所以 b a=2 , c= 5, c2=a2+b2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 a=1, b=2, c= 5, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 因 此,双曲线的标准方程为x2-y 2 4=1 ,故 选C. 968.B 解析:由题意得F(1,0),则|AF|= |BF|=2,即点A 到准线x=-1的距离为 2,所以点A 的横坐标为-1+2=1.不妨设 点A 在x 轴上方,代入得 A(1,2),所以 |AB|= (3-1)2+(0-2)2=22,故选B. 969.B 解析:抛物线的焦点坐标为 p2 ,0 ,其 到 直 线 x -y +1=0 的 距 离 d = p 2-0+1 1+1 = 2,解得p=2(p=-6舍 去),故选B. 970.x=-32 解析:抛物线C:y2=2px(p> 0)的焦点F p2 ,0 ,因为P 为C 上一点, PF 与x 轴垂直,所以P 的横坐标为p2 ,代 入抛物线方程求得P 的纵坐标为±p,不 妨设P p2 ,p ,因为Q 为x 轴上一点,且 PQ⊥OP,所以 Q 在F 的右侧.又因为 |FQ|=6,所以Q 6+p2 ,0 ,则PQ→=(6, -p).因为 PQ⊥OP,所以 PQ →·OP→= p 2×6-p 2=0,因为p>0,则p=3,所以C 的准线方程为x=-32. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 358 详解答案 971.5 45 解析:因为抛物线的方程为y2= 4x,故p=2且F(1,0).因为|MF|=6, xM+ p 2=6 ,解得xM=5,故yM=±25,所 以S△FMN= 1 2× (5-1)×25=45. 972. 5 2 解析:方法一:如图1所示,设A(x1, y1),B(x2,y2),再由抛物线的定义结合题 设得|AF|=x1+ p 2=2 ,|BF|=x2+ p 2= 4, 则 x2 - x1 = 2, 又 |AB|= (x2-x1)2+(y2-y1)2 =3,解 得 y2- y1= 5,则直线 AB 的斜率为 y2-y1 x2-x1 = 5 2. B x2
y2 A x1
y1 F xO y 图1 方法二:过A,B 分别向准线引垂线,垂足 为A1,B1,直线AB 与x 轴的交点为P,如 图所2所示. A B B x y H A FO P 图2 由抛物线定义得AA1=2,BB1=4,过点A 作 AH ⊥BB1 于 H,则 BH =BB1 - HB1=BB1-AA1=2.又由已知得|AB |=3,则|AH|= 5,结合平面几何中“内 错 角 相 等”,所 以 直 线 AB 的 斜 率 为 tan∠BPF=tan∠ABH= 52. 973. 16 3 解析:方法一:由题意可得抛物线焦 点F(1,0),直线l有方程为y=3(x-1), 代入y2=4x并化简得3x2-10x+3=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2= 10 3 , x1x2=1,故由抛物线的定义可得|AB|= x1+x2+p= 10 3+2= 16 3. 方法二:因为抛物线的方程为y2=4x,所 以抛物线的焦点F 坐标为F(1,0). 又因为直线AB 过焦点F 且斜率为 3,所 以直线AB 的方程为y= 3(x-1). 代入抛物线方程消去 y 并化简得3x2- 10x+3=0,解得x1= 1 3 ,x2=3, 所以|AB|= 1+k2|x1-x2|= 1+3× 3- 1 3 = 16 3. 方法三:设直线倾斜角为α,则tan θ= 3, sin2α=34 ,则|AB|= 2p sin2α = 4 3 4 = 16 3. 974.C 解析:因为抛物线上的点到焦点的距 离和到准线的距离相等,故有9+p2=12 , 即p=6,故选C. 975.B 解析:因为直线x=2与抛物线y= 2px(p>0)交于E,D 两点,且OD⊥OE, 根据抛物线的对称性可以确定∠DOx= ∠EOx=π4 ,所以D(2,2),代入抛物线方 程4=4p,求得p=1,所以其焦点坐标为 1 2 ,0 ,故选B. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 359 高考一线 真题研究 数学 976.B 解析:如图所示. FO x P y Q 因为线段FQ 的垂直平分线上的点到F,Q 的距离相等,又点P 在抛物线上,根据定义 可知,|PQ|=|PF|,所以线段FQ 的垂直 平分线经过点P,故选B. 977.D 解析:抛物线y2=2px(p>0)的焦点 是 p 2 ,0 ,椭 圆x 2 3p +y 2 p =1 的 焦 点 是 (± 2p,0),则 p 2= 2p ,即p=8,故选D. 978.(1,0) 解析:由题意可得点P(1,2)在抛 物线上,将P(1,2)代入y2=4ax 中,解得 a=1,则y2=4x,由抛物线方程可得2p= 4,即p2=1 ,则焦点坐标为(1,0). 








      O P y x 979.6 解析:抛物线C:y2=8x 的焦点F(2, 0),M 是C 上一点,FM 的延长线交y 轴于 点N.若M 为FN 的中点,可知M 的横坐标 为1,则 M 的纵坐标为±22,从而|FN|= 2|FM|=2 (1-2)2+(±22-0)2=6. 980.y=± 2 2x 解析:由抛物线定义可得 |AF|+|BF|=yA+ p 2+yB+ p 2=4× p 2⇒yA+yB=p ,因为 x2 a2- y2 b2=1 , x2=2py, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 则得 a2y2-2pb2y+a2b2=0,所以yA+yB= 2pb2 a2 =p,即a= 2b,则渐近线方程为y= ± 2 2x. 981.B 解析:设抛物线方程为y2=2px(p> 0),点A 在第一象限,点D 在第二象限.根 据抛物线的对称性可得点A 的纵坐标为 2 2,代 入 抛 物 线 方 程 得 x= 4 p ,即 点 A 4 p ,22 .易知点 D -p2,5 ,由于点 A,D 都在以坐标原点为圆心的圆上,所以 16 p2 +8=p 2 4+5 ,解得p=4,此即为抛物线 的焦点到准线的距离,故选B. 982.D 解析:因为F 是抛物线y2=4x 的焦 点,所以F(1,0),又因为曲线y= k x (k> 0)与C 交于点P,PF⊥x 轴,所以k1=2 , 故选D. 983.D 解析:根据“一次定轴”可确定焦点在 x 轴上,可根据焦点的横坐标是一次项系 数的1 4 可得焦点坐标为(1,0),故选D. 984.9 解析:由于抛物线y2=4x 的焦点为 F(1,0),准线为x=-1,设点 M 的坐标为 (x,y),则x+1=10,所以x=9,故M 到y 轴的距离是9. 985.A 解析:分别过A,B 两点作y 轴的垂 线,垂足分别为A1,B1,则|BB1|=xB= |BF|-1,|AA1|=xA =|AF|-1,故 S△BCF S△ACF = |BC| |AC|= |BB1| |AA1| = |BF|-1 |AF|-1 ,故选 A. 986.22 解析:双曲线x2-y2=1的左焦点 为(- 2,0),故抛物线y2=2px 的准线为 x=- 2,则p2= 2 ,即p=22. 987.2 解析:因为抛物线上动点到焦点的距 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 360 详解答案 离为动点到准线的距离,因此抛物线上动 点到焦点的最短距离为顶点到准线的距 离,得p 2=1 ,即p=2. 988.D 解析:方法一:F 34 ,0 ,直线AB 方程 为y= 3 3 x- 3 4 ,代入y2=3x,整理得 x2-212x+ 9 16=0. 设 A(x1,y1),B(x2, y2),则x1+x2= 21 2 ,由抛物线的定义可得 弦长|AB|=x1+x2+p= 21 2+ 3 2=12 ,O 到AB 的 距 离 为d= 3 4 1+ 3 3 2 = 3 8. S△OAB= 1 2|AB|d= 9 4 ,故选D. 方法二:由题意知p= 3 2 ,θ=30°,代入面积 公式得S△AOB= p2 2sin θ= 3 2 2 2× 1 2 = 9 4 ,故选D. 989.C 解析:方法一:过Q 作QM⊥直线l于 M,因为 FP→=4FQ→,所以|PQ||PF|= 3 4 ,又 |QM| 4 = |PQ| |PF|= 3 4 ,则|QM|=3,由抛物 线定义知|QF|=|QM|=3,故选C. 方法二:由题意知F(2,0),可设点 P 为 (-2,y),而FQ →= 1 4FP →,则点Q1,y4 .因 为Q 在抛物线上,所以满足抛物线方程,可 得y 2 16=8 ,解得Q(1,±22),则|QF|=3, 故选C. 990.A 解析: 抛物线的标准方程为x2= 4y,因为2p=4,所以p=2,开口向上,所 以准线方程为y=-1,故选A. 991.C 解析:点A(-2,3)在抛物线C:y2= 2px 的准线上,得焦点F(2,0),所以kAF= 3 -2-2=- 3 4 ,故选C. 992.(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析:由抛物线 定义可知机器人所在曲线为抛物线y2= 4x,而过点P 的直线方程为y=k(x+1), 由 y2=4x, y=k(x+1), 得k2x2+2(k2-2)x+ k2=0,因为直线与抛物线相离,所以Δ< 0,即k2>1,解得k<-1或k>1. 993.D 解析:抛物线y2=8x 的焦点为F(2, 0),由点到直线的距离公式得F(2,0)到直 线x-3y=0的距离d= |2-3×0| 12+(-3)2 =1, 故选D. 994.D 解析:经过第一象限的双曲线的渐近 线为y= 3 3x. 抛物线的焦点为F 0,p2 , 双曲线的右焦点为F2(2,0).y'= 1 p x,所以 在M x0, x20 2p 处的切线斜率为 33,即1px0= 3 3 ,所 以 x0 = 3 3p ,即 三 点 F0,p2 , F2(2,0),M 3 3p ,p 6 共线,所以 p 2-0 0-2= p 6- p 2 3 3p ,即p= 43 3 ,故选D. 995.C 解析:e=2,则 ca 2 = a2+b2 a2 =1+ b a 2 =4,所以 b a= 3 ,则双曲线的渐近线方 程为y=±3x,所以|AB|=2·p2tan 60°.又 △AOB 的 面 积 S= 3,即 1 2× p 2×2× p 2tan 60°=3,所以p 2 4=1 ,即p=2,故选C. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 361 高考一线 真题研究 数学 996.C 解析:因为F(0,1),A(2,0),准线方 程为l:y=-1,kAF =- 1 2 ,过点 M 作 MH⊥l 于 H,所 以|FM|=|HM|.在 Rt△MHN 中,tan∠MNH=-k=12 ,则 |HM| |HN|= 1 2 ,可得|HN|=2|HM|,得 |MN|= |HN|2+|HM|2= 5|HM|, 即|HM| |MN|= 1 5 ,可 得|FM|∶|MN|= |HM|∶|MN|=1∶ 5.故选C. y F M A NH O l x 997.D 解析:由题意知抛物线焦点F(2,0),设直 线AB 的方程为y=k(x-2),A,B 两点坐标 分别为Ay 2 1 8 ,y1 ,By 2 2 8 ,y2 .由y=k(x-2),y2=8x, 得ky2-8y-16k=0,则 y1+y2= 8 k , y1y2=-16, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 所以 MA→·MB→=y 2 1 8+2 y 2 2 8+2 +(y1-2)(y2- 2)= (k-2)2 k2 .因为MA→·MB→=0,所以k= 2,故选D. 998.6 解析:抛物线的准线方程为y=-p2 , 设 A,B 的 横 坐 标 分 别 为 xA,xB,则 |xA|2=|xB|2=3+ p2 4 ,所 以|AB|= |2xA|.又焦点F 到准线的距离为p,由等 边三角形的特点得p= 3 2|AB| ,即p2= 3 4×4×3+ p2 4 ,所以p=6. 第十三章 统计、成对数据的统计分析 13.1 随机抽样 999.解:抽取的老年员工人数为25× 72 300=6 , 抽取的中年员工人数为25× 108 300=9 ,抽取 的青年员工人数为25× 120 300=10. 故应从老 年员工中抽取6人,从中年员工中抽取9 人,从青年员工中抽取10人. 1000.18 解析:很明显,分层抽样! 所求人数 为60× 300 1 000=18. 1001.解:抽取的总样本数为20,C班抽取的人 数为8,则C班的人数为100× 8 20=40. 1002.C 解析:根据分层抽样的性质,抽取的 老年教师的人数为900× 320 1 600=180 ,故 选C. 1003.25 解析:根据分层抽样的性质,抽取的 男生人数为45× 500 900=25. 1004.B 解析:由分层抽样的性质可得 96 12= N乙 21= N丙 25= N丁 43 ,解得 N乙 =168,N丙 = 200,N丁=344,所以N=96+N乙+N丙+ N丁=96+168+200+344=808,故选B. 13.2 数据的数字特征 1005.C 解析:对于A,根据频数分布表可知 6+12+18=36<50,所以亩产量的中位数 不小于1 050 kg,A错误;对于B,亩产量不 低于1 100 kg的频数为24+10=34,所以 低于1 100 kg的稻田占比为 100-34 100 = 66%,B错误;对于C,稻田亩产量的极差最 大为1 200-900=300,最小为1 150- 950=200,C正确;对于D,由频数分布表可 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 362