第六章 解三角形-【高考一线·真题研究】2025年高考数学分类必刷题

第六章 解三角形 第六章 解三角形 6.1 正弦定理 【解题·小帮手】 ▶定理:在△ABC 中,asin A= b sin B= c sin C= 2R,其中R 为ΔABC 的外接圆半径. ▶变形:(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c= 2Rsin C;(2)sin A=a2R ,sin B=b2R ,sin C = c 2R ;(3)a∶b∶c=sin A∶sinB∶sin C. ▶常 用 公 式:sin C=sin(A+B),cos C= -cos(A+B),tan C=-tan(A+B). 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 390.(2024·新高考全国二,15)记△ABC 的内 角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+3 cos A=2. (1)求A; (2)若a=2,2bsin C=csin 2B,求△ABC 的周长. 391.(2023·新课标全国乙文,4)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,若 acos B-bcos A=c,且C=π5 ,则∠B= ( ) A. π 10 B. π 5 C. 3π 10 D. 2π 5 392.(2020·天津,16节选)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a= 22,c= 13,C= π 4 ,求sin A 的值. 393.(2020·北京,17节选)在△ABC 中,a+ b=11,cos A=18 ,cos B=916 ,求a的值. 394.(2019·江苏,15节选))在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若sin A a = cos B 2b ,求sinB+ π 2 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 53 高考一线 真题研究 数学 395.(2019·北京,15节选)在△ABC 中,b= 7,c=5,cos B=-12 ,求sin(B-C)的值. 396.(2018·浙江,6)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若a= 7,b=2, A=60°,则 sin B = ,c = . 397.(2017·新课标全国三文,15)△ABC 的 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知 C=60°,b= 6,c=3,则A= . 398.(2016·江苏,15)在△ABC 中,AC=6, cos B=45 ,C=π4. (1)求AB 的长; (2)求cosA- π 6 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6.2 余弦定理 【解题·小帮手】 ▶定理:在△ABC 中,a2=b2+c2-2bccos A, b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2- 2abcos C. ▶变形:(1)b2+c2-a2=2bccos A,a2+c2- b2=2accos B,a2+b2-c2=2abcos C; (2)cos A=b 2+c2-a2 2bc ,cos B=a 2+c2-b2 2ac , cos C=a 2+b2-c2 2ab . ▶已知两边及夹角或三边,一般用余弦定理 解题. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 399.(2024·天津卷,16)在△ABC 中,cos B= 9 16 ,b=5,ac= 2 3. (1)求a; (2)求sin A; (3)求cos(B-2A). 400.(2021·新课标全国甲文,8)在△ABC 中,已知B=120°,AC= 19,AB=2,则 BC= ( ) A.1 B.2 C.5 D.3 401.(2020·新课标全国一理,16)如图,在三 棱锥P-ABC 的平面展开图中,AC=1, AB=AD= 3,AB⊥AC,AB⊥AD, ∠CAE=30°,则cos∠FCB= . E P F P D P A B C 402.(2020·新课标全国三理,7)在△ABC 中,cos C=23 ,AC=4,BC=3,则cos B= ( ) A. 1 9 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 54 第六章 解三角形 403.(2020·新课标全国二文,17)△ABC 的 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知 cos2 π2+A +cos A=54. (1)求A; (2)若b-c=33a ,证明:△ABC是直角三角形. 404.(2019·北京,15节选)在△ABC 中,a= 3,b-c=2,cos B=-12 ,求b,c的值. 405.(2018·新课标全国二理,6)在△ABC 中,cos C 2= 5 5 ,BC=1,AC=5,则AB= ( ) A.42 B.30 C.29 D.25 406.(2018·北京,15节选)在△ABC 中,a= 7,b=8,A=π3 ,cos B=-17 ,求AC 边上 的高. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6.3 正弦、余弦定理综合 【解题·小帮手】 ▶正弦定理边角转化 (1)角化边:若等式的每一项都有齐次的内 角正弦值,根据 a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 可以将这些正 弦值全部换成所对的边,等式仍然成立. (2)边化角:若等式的每一项都有齐次式的 边,根据 a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 可以将这些边全部换 成所对角的正弦值,等式依然成立. ▶余弦定理角化边:若等式的每一项都有角的 一次余弦,根据 cos A= b2+c2-a2 2bc , cos B= a2+c2-b2 2ac , cos C= a2+b2-c2 2ab , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 可将三个内角的余弦转化为边. ▶余弦定理的配方,如a2=b2+c2-2bccos A =(b+c)2-2bc(1+cos A),可用于求三角 形周长问题. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 407.(2024·新课标全国甲理,11)在△ABC 中 内角A,B,C 所对边分别为a,b,c,若B= π 3 ,b2=94ac ,则sin A+sin C= ( ) A. 3 2 B.2 C. 7 2 D. 3 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 55 高考一线 真题研究 数学 408.(2023·北京,7)在△ABC中,(a+c)(sin A- sin C)=b(sin A-sin B),则∠C=( ) A. π 6 B. π 3 C. 2π 3 D. 5π 6 409.(2023·新课标全国甲理,16)在△ABC 中,AB=2,∠BAC=60°,BC= 6,D 为 BC 上一点,AD 为∠BAC 的平分线,则 AD= . 410.(2023·天津,16)在△ABC 中,角A,B, C 所对的边分別是a,b,c.已知a= 39,b =2,∠A=120°. (1)求sin B 的值; (2)求c的值; (3)求sin(B-C). 411.(2022·新课标全国乙理,17)记△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知 sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A). (1)证明:2a2=b2+c2; (2)若a=5,cos A=2531 ,求△ABC 的周长. 412.(2020·新高考全国二,17)在①ac= 3, ②csin A=3,③c= 3b这三个条件中任选 一个,补充在下面问题中,若问题中的三角 形存在,求c的值;若问题中的三角形不存 在,说明理由. 问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且sin A= 3sin B, C=π6 , ? 413.(2021·上海,18节选)已知 A,B,C 为 △ABC 的三个内角,a,b,c 是其三条边, a=2,cos C=-14 ,若sin A=2sin B,求 b,c. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 56 第六章 解三角形 414.(2019·新课标全国一理,17)△ABC 的 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,设 (sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C. (1)求A; (2)若 2a+b=2c,求sin C. 415.(2016·四川理,17)在△ABC 中,角A, B,C 的 对 边 分 别 为a,b,c,且cos A a + cos B b = sin C c . (1)证明:sin Asin B=sin C; (2)若b2+c2-a2=65bc ,求tan B. 416.(2014·天津,12)在△ABC 中,内角A, B,C 的对边分别为a,b,c,已知b-c= 1 4a ,2sin B=3sin C,则cos A 的 值 为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6.4 三角形面积 【解题·小帮手】 ▶面积公式 (1)S=12× 底×高; (2)S=12absin C=12bcsin A=12acsin B; (3)S=12 (a+b+c)r,其中r 为△ABC 的 内切圆半径; (4)S= p(p-a)(p-b)(p-c),其中p= a+b+c 2 (海伦公式). ▶解题提醒:在解三角形时,涉及面积问题用 的最多的是公式(2),其他公式很少用,使用 的特征 也 很 明 显.若 出 现 垂 直,则 用 公 式 (1);若出现三边,则用公式(4);若出现内 切,则用公式(3). 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 417.(2024·新高考全国一,15)记△ABC 的 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知 sin C= 2cos B,a2+b2-c2= 2ab. (1)求角B; (2)若△ABC 的面积为3+ 3,求c. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 57 高考一线 真题研究 数学 418.(2024·北京,16)在△ABC 中,内角A, B,C 的对边分别为a,b,c,∠A 为钝角, a=7,sin 2B= 37bcos B. (1)求∠A; (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件 中选择一个作为已知,使得△ABC 存在, 求△ABC 的面积. 条件①:b=7;条件②:cos B=1314 ;条件 ③:csin A=523. 注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问 得0分;如果选择多个符合要求的条件分 别解答,按第一个解答计分. 419.(2023·新高考全国一,17)已知在△ABC 中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B. (1)求sin A; (2)设AB=5,求AB 边上的高. 420.(2023·新高考全国二,17)记△ABC 的内 角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知△ABC 的面积为3,D 为BC 中点,且AD=1. (1)若∠ADC=π3 ,求tan B; (2)若b2+c2=8,求b,c. 421.(2023·新课标全国甲文,17)记△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知 b2+c2-a2 cos A =2. (1)求bc; (2)若 acos B-bcos A acos B+bcos A- b c=1 ,求△ABC 面积. 422.(2023·新课标全国乙理,18)在△ABC 中,已知∠BAC=120°,AB=2,AC=1. (1)求sin∠ABC; (2)若D 为BC 上一点,且∠BAD=90°,求 △ADC 的面积. 423.(2022·新高考全国二,18)记△ABC 的 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,分别以 a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次 为S1,S2,S3,已 知 S1-S2+S3= 3 2 , sin B=13. (1)求△ABC 的面积; (2)若sin Asin C= 23 ,求b. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 58 第六章 解三角形 424.(2022·北京,16)在△ABC 中,sin2C= 3sin C. (1)求∠C; (2)若b=6,且△ABC 的面积为63,求 △ABC 的周长. 425.(2022·浙江,18)在△ABC 中,角A,B, C 所对的边分别为a,b,c.已知4a= 5c, cos C=35. (1)求sin A 的值; (2)若b=11,求△ABC 的面积. 426.(2021·新高考全国二,18)在△ABC 中, 角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,b=a+ 1,c=a+2. (1)若2sin C=3sin A,求△ABC 的面积; (2)是否存在正整数a,使得△ABC 为钝角 三角形? 若存在,求出a 的值;若不存在, 说明理由. 427.(2021· 北 京,16)在 △ABC 中,c= 2bcos B,C=2π3. (1)求∠B; (2)再从条件①,条件②,条件③这三个条 件中选择一个作为已知,使△ABC 存在且 唯一确定,求BC 边上中线的长. 条件①:c= 2b;条件②:△ABC 的周长为 4+23;条件③:△ABC 的面积为 33 4 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 59 高考一线 真题研究 数学 6.5 三角形中的最值(范围)问题 【解题·小帮手】 高考题中求与三角形有关的最值(范围)问题 的基本方法 ▶将目标表示成角A(或角B,C)的函数关系, 利用三角函数求最值. ▶将目标表示成边a,b,c的表达式,利用基本 不等式或函数思想求最值. ▶提醒:求最值时,注意等号成立的条件.对于 解答题,这一步不能省略. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 428.(2022·新高考全国一,18)设记△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知 cos A 1+sin A= sin 2B 1+cos 2B. (1)若C=2π3 ,求B; (2)求 a2+b2 c2 的最小值. 429.(2020·新课标全国二理,17)△ABC 中, sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C. (1)求A; (2)若BC=3,求△ABC 周长的最大值. 430.(2020·浙江,18)在锐角△ABC 中,角A, B,C 的对边分别为a,b,c,且2bsin A=3a. (1)求角B; (2)求cos A+cos B+cos C 的取值范围. 431.(2019·新课标全国三理,18)△ABC 的 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c. 已知asinA+C2 =bsin A. (1)求B; (2)若△ABC 为锐角三角形,且c=1,求 △ABC 面积的取值范围. 432.(2018·江苏,13)在△ABC 中,角A,B, C 的对边分别为a,b,c,∠ABC=120°, ∠ABC 的平分线交AC 于点D,且BD= 1,则4a+c的最小值为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 60 第六章 解三角形 433.(2016·山东理,16)在△ABC 中,角A, B,C 的对边分别为a,b,c,已知2(tan A+ tan B)=tan A cos B+ tan B cos A. (1)证明:a+b=2c; (2)求cos C 的最小值. 434.(2016·北京理,15)在△ABC 中,a2+ c2=b2+ 2ac. (1)求角B 的大小; (2)求 2cos A+cos C 的最大值. 435.(2013·江西理,16)在△ABC 中,角A, B,C 的对边分别为a,b,c,已知cos C+ (cos A- 3sin A)cos B=0. (1)求角B 的大小; (2)若a+c=1,求b的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6.6 两个三角形联解 【解题·小帮手】 ▶当三角形被一些连线分成两个小三角形时, 我们称这类解三角形问题为两个三角形联 解问题.其解题策略如下: (1)如果通过分析,得出已知条件最多的一 个三角形能够求解,一般先解该三角形,再 根据求得的结果逐步求解相关的其余三角 形,直至获得问题答案. (2)如果通过分析,没有可以直接求解的三 角形,则可设几个未知量,分析相邻三角形 的边角关系(如角互补等),寻找等量关系, 建立方程组求解. ▶角平分线模型:题中出现角平分线,可以从 “角度”和“长度”两个方面入手 (1)角度:角被平分; (2)长度:在△ABC 中,AD 为∠BAC 的平 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 61 高考一线 真题研究 数学 分线,则BD DC= AB AC (角平分线定理). ▶中线模型:在△ABC 中,设D 为BC 边的中 点,求中线AD 的计算方法 (1)在△ABD,△ADC 和△ABC 中解三角 形,求解AD; (2)向量法:AD→=12 (AB→+AC→),两边平方 得|AD→|2=14 (AB→2+AC→2+2AB→·AC→),可 求AD. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 436.(2021·新高考全国一,19)记△ABC 的 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知 b2=ac,点D 在边AC 上,BDsin∠ABC= asin C. (1)证明:BD=b; (2)若AD=2DC,求cos∠ABC. D CA B a c b 437.(2021·浙江,14)在△ABC 中,∠B= 60°,AB=2,M 是BC 的中点,AM=23, 则 AC = ,cos ∠MAC = . 438.(2019·浙江,16)在△ABC 中,∠ABC= 90°,AB=4,BC=3,点D 在线段AC 上. 若 ∠BDC =45°,则 BD = , cos∠ABD= . 439.(2017·新课标全国三理,17)△ABC 的 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知 sin A+ 3cos A=0,a=27,b=2. (1)求c; (2)设 D 为BC 边上一点,AD⊥AC,求 △ABD 的面积. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 62 第六章 解三角形 440.(2015·安徽理,16)在△ABC 中,∠A= 3π 4 ,AB=6,AC=32,点D 在BC 边上, AD=BD,求AD 的长. 441.(2015·重庆理,13)在△ABC 中,B= 120°,AB= 2,A 的角平分线AD= 3,则 AC= . 442.(2015·新课标全国二理,17)在△ABC 中,D 是BC 边上的点,AD 平分∠BAC, △ABD 面积是△ADC 面积的2倍. (1)求 sin B sin C ; (2)若 AD=1,DC= 22 ,求 BD 和AC 的长. 443.(2012·安徽文,16)设△ABC 的内角A, B,C 的对边分别为a,b,c,且有2sin Bcos A =sin Acos C+cos Asin C. (1)求角A 的大小; (2)若b=2,c=1,D 为BC 边的中点,求 AD 的长. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 63 高考一线 真题研究 数学 6.7 解四边形 【解题·小帮手】 在四边形中考查解三角形的考法类型 ▶四边形内部无连线:解题策略是添加四边形 的对角线作为辅助线,借助对角线将四边形 分割成两个三角形,利用解三角形的知识求解. ▶四边形内部有连线:解题策略是利用已有连 接线分割成的若干个三角形,选择已知条件 最多的一个三角形作为出发点,求解该三角 形,再逐步求解其余的三角形. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 444.(2018·新课标全国一理,17)在平面四边 形 ABCD 中,∠ADC=90°,∠A =45°, AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB; (2)若DC=22,求BC. 445.(2015·四川理,19)如图,A,B,C,D 为 平面四边形ABCD 的四个内角. (1)证明:tan A 2= 1-cos A sin A ; (2)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD= 4,AD=5,求tanA2+tan B 2+tan C 2+ tan D 2 的值. A D C B 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 64 第六章 解三角形 446.(2014·新 课 标 全 国 二 文,17)四 边 形 ABCD 的内角A 与C 互补,AB=1,BC= 3,CD=DA=2. (1)求角C 和BD; (2)求四边形ABCD 的面积. 447.(2014·湖南理,18)如图,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC= 7. (1)求cos∠CAD 的值; (2)若cos∠BAD=- 714 ,sin∠CBA= 21 6 ,求BC 的长. D A B C 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6.8 射影定理 【解题·小帮手】 ▶内容:在△ABC 中, a=bcos C+ccos B, b=acos C+ccos A, c=acos B+bcos A. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 ▶说明:对于高考选填题,直接使用射影定理 可快速获解,对于解答题不建议直接使用射 影定理,避免扣除步骤分.此时,可使用正弦 定理,化角为边求解. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 448.(2017·山东理,9)在△ABC 中,角A,B, C 的对边分别为a,b,c.若△ABC 为锐角 三角 形,且 满 足 sin B(1+2cos C)= 2sin Acos C+cos Asin C,则下列不等式 成立的是 ( ) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 449.(2014·广东理,12)在△ABC 中,内角A, B,C 的对边分别为a,b,c,已知bcos C+ ccos B=2b,则ab= . 450.(2017·新课标全国二文,16)△ABC 的内 角A,B,C 的对边分别为a,b,c,2bcos B= acos C+ccos A,则B= . 451.(2013·辽宁理,6)在△ABC 中,内角A, B,C 的对边分别为a,b,c,asin Bcos C+ csin Bcos A=12b ,且a>b,则B=( ) A. π 6 B. π 3 C. 2π 3 D. 5π 6 452.(2013·陕西理,7)设△ABC 的内角A, B,C 的对边分别为a,b,c,若bcos C+ ccos B=asin A,则△ABC 的形状为 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 453.(2008·山东理,15)已知a,b,c为△ABC 的内角A,B,C 的对边,向量 m=(3, -1),n=(cos A,sin A).若 m⊥n,且 acos B+bcos A =csin C,则 角 B = . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 65 高考一线 真题研究 数学 ∴g(x)=Asin ωx 2.∵g (x)的最小正周期为 2π,∴ω=2,g(x)=Asin x,又∵g π 4 =2, ∴Asinπ4=2 ,∴A=2,∴g(x)=2sin x, ∴f(x)=2sin 2x,∴f 3π 8 =2sin2×3π8 = 2sin 3π 4= 2 ,故选C. 388. 2 3 解析:∵f(x)≤f π 4 对任意的实数 x 都成立,∴当x=π4 时f(x)取得最大值, ∴cosωπ4- π 6 =1,∴ωπ4 -π6=2kπ(k∈ Z),∴ω=8k+23 (k∈Z),又∵ω>0,∴k= 0时,ω 取得最小值为23. 389.解:(1)∵f(x)=sin2x+ 3sin xcos x= 1 21-cos 2x + 3 2sin 2x=sin2x- π 6 +12, ∴f(x)的最小正周期T= 2π 2=π. (2)∵f(x)在 - π 3 ,m 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 上的最大值为3 2 , ∴sin2x- π 6 =1, ∴2x-π6=2kπ+ π 2 (k∈Z), ∴x=kπ+π3 (k∈Z),令k=0,得x=π3 , ∴ π 3∈ - π 3 ,m 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 , ∴m≥π3 ,∴m 的最小值为π3. 第六章 解三角形 6.1 正弦定理 390.解:(1)由sin A+3cos A=2,得12sin A+ 3 2cos A=1,即sinA+ π 3 =1. 因为A∈0,π ,所以A+ π 3∈ π 3 ,4π 3 , 所以A+π3= π 2 ,A=π6. (2)因为 2bsin C=csin 2B, 所以 2sin Bsin C =sin Csin 2B = 2sin Csin Bcos B. 又因为B,C∈(0,π),所以sin Bsin C≠ 0,所以cos B= 22 ,所以B=π4 , 所以C=π-A-B=π-π6- π 4= 7π 12 , sin C=sin(A +B)=sin Acos B + cos Asin B= 2+ 64 . 因为 a sin A= b sin B= c sin C , 所以 2 sin π 6 = b sin π 4 = c sin 7π 12 , 所以b=22,c= 6+ 2, 所以△ABC 的周长为2+ 6+32. 391.C 解析:因为acos B-bcos A=c,所以 sin Acos B-sin Bcos A=sin C,即sin Acos B- sin Bcos A=sin(A+B)=sin Acos B+ sin Bcos A,整理得sin Bcos A=0.因为 B∈(0,π),所以sin B>0,所以cos A=0, A=π2 ,则B=π-A-C=π-π2- π 5= 3π 10 , 故选C. 392.解:∵ a sin A= c sin C ,∴sin A=asin C c = 22sin π 4 13 = 2 13 = 2 13 13 . 393.解:∵cos A=18 ,cos B=916 ,∴sin A= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 236 详解答案 1-cos2A = 37 8 ,sin B= 1-cos2B = 57 16.∵ a sin A = b sin B ,∴ a b = sin A sin B = 37 8 × 16 57 = 6 5 ,∴b=5a6. 又∵a+b=11, ∴a+5a6=11 ,解得a=6. 394.解:∵ sin A a = cos B 2b ,∴ a sin A= 2b cos B. 又 ∵ a sin A= b sin B ,∴ 2b cos B= b sin B ,∴2sin B= cos B,∴tan B=12 ,∴cos B=2 5 , ∴sinB+ π 2 =cos B=25=255 . 395.解:∵cos B=-12 , ∴sin B= 32 ,且B 为钝角. ∵ b sin B= c sin C ,∴sin C=csin B b = 53 14. ∵cos C= 1-sin2C= 11 14 , ∴sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C= 3 2× 11 14+ 1 2× 53 14= 43 7 . 396. 21 7 ,3 解析:∵ a sin A= b sin B , ∴sin B=bsin A a = 2sin60° 7 = 3 7 = 21 7 , ∴cos B= 1-sin2B= 2 7 . ∵sin C=sin(A+B)=sin Acos B+ cos Asin B= 32× 2 7 + 1 2× 3 7 = 33 27 , ∵ a sin A= c sin C , ∴c=asin C sin A = 7× 33 27 × 2 3 =3. 397.75° 解析:∵ c sin C= b sin B ,∴sin B= bsin C c = 6sin60° 3 = 2 2.∵b<c ,∴B<C, ∴B=45°,∴A=180°-(B+C)=180°- (45°+60°)=75°. 398.解:(1)∵cos B=45 ,∴sin B=35. ∵ AB sin C= AC sin B , ∴AB=ACsin C sin B =6sin π 4× 5 3=52. (2)∵cos A=-cosB+C =-cos Bcos C+ sin Bsin C= 22 3 5- 4 5 =- 210, ∴sin A= 1-cos2A= 72 10 , ∴cosA- π 6 = 32cos A+12sin A= 32× - 2 10 +12×7210=72- 620 . 6.2 余弦定理 399.解:(1)设a=2t,c=3t,t>0,由余弦定理 得b2=a2+c2-2accos B, 即25=4t2+9t2-2×2t×3t×916 ,解得 t=2(负舍),则a=4,c=6. (2)方法一:因为B 为三角形内角, 所以sin B= 1-cos2B= 1- 916 2 = 57 16 , 由正弦定理得 a sin A= b sin B ,即 4 sin A= 5 57 16 ,解得sin A= 74. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 237 高考一线 真题研究 数学 方 法 二:由 余 弦 定 理 得 cos A = b2+c2-a2 2bc = 52+62-42 2×5×6 = 3 4. 因为A∈0,π ,则sin A= 1- 34 2 = 7 4. (3)方法一:因为cos B=916>0 ,且B∈ 0,π ,所以B∈0, π 2 . 由(2)方法一知sin B=5716. 因为a<b,则A<B, 所以cos A= 1- 7 4 2 = 3 4 , 则sin 2A=2sin Acos A=2× 74× 3 4= 37 8 ,cos 2A=2cos2A-1=2× 34 2 -1= 1 8 , 所以 cos(B -2A)=cos Bcos 2A + sin Bsin 2A=18× 9 16+ 57 16× 37 8 = 57 64. 方法二:sin 2A=2sin Acos A=2× 74× 3 4= 37 8 ,则cos 2A=2cos2A-1=2× 3 4 2 -1= 1 8. 因为B 为三角形内角, 所以sin B= 1-cos2B = 1- 916 2 = 57 16 , 所以 cos(B -2A)=cos Bcos 2A + sin Bsin 2A=916× 1 8+ 57 16× 37 8 = 57 64. 400.D 解析:设AB=c,AC=b,BC=a,则 b2=a2+c2-2accos B,即19=a2+4- 4acos120°,整理得a2+2a-15=0,解得 a=3,故选D. 401.- 1 4 解析:∵AB⊥AC,AC=1,AB=3, ∴BC= AB2+AC2=2,同理得BD=6. 由三棱锥的平面展开图知,展开前点F 与 点P 重合, ∴BF=BD= 6,AE=AD= 3. 在△ACE 中,AC=1,AE= 3,∠CAE= 30°, ∴CE2=AC2+AE2-2AC·AE·cos 30°=1, ∴CF=CE=1. 在△BCF 中,BC=2,BF= 6,CF=1, ∴ cos ∠FCB = CF 2+BC2-BF2 2CF·BC = 1+4-6 2×1×2=- 1 4. 402.A 解析:设a=BC=3,b=AC=4,c= AB,则cos C=a 2+b2-c2 2ab = 2 3 ,∴3(9+ 16-c2)=48,解 得c=3,∴cos B = a2+c2-b2 2ac = 9+9-16 2×3×3= 1 9 ,故选A. 403.解:(1)∵cos2 π2+A +cos A=54, ∴sin2A+cos A=54 , ∴1-cos2A+cos A=54 ,解得cos A=12. ∵0<A<π,∴A=π3. (2)∵A=π3 ,∴cos A=b 2+c2-a2 2bc = 1 2 , ∴b2+c2-a2=bc. 又∵b-c= 33a , ∴a= 3(b-c), ∴b2+c2-3(b-c)2=bc, ∴2b2+2c2-5bc=0,解得b=2c(b>c), ∴a= 3c, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 238 详解答案 ∴b2=a2+c2,即△ABC 是直角三角形. 404.解:∵b-c=2,∴c=b-2.∵b2=a2+ c2-2accos B,∴b2=9+(b-2)2+3(b- 2),解得b=7,∴c=5. 405.A 解析:设a=BC=1,b=AC=5,c= AB,∵cosC2= 5 5 ,∴cos C=2cos2C2- 1=- 3 5 ,∴c2=a2+b2-2abcos C=1+ 25-2×1×5× - 3 5 =32,∴c=42,故 选A. 406.解:∵b2=a2+c2-2accos B,∴64=49+ c2+2c,解 得c=3,∴AC 边 上 的 高 为 csin A=3sinπ3= 33 3 . 6.3 正弦、余弦定理综合 407.C 解析:因为B=π3 ,b2=94ac ,所以由正 弦定理得sin Asin C=49sin 2B=13. 由余 弦定理得b2=a2+c2-ac=94ac ,即a2+ c2=134ac ,由正弦定理得sin2A+sin2C= 13 4sin Asin C=1312 ,所 以 (sin A +sin C)2=sin2A +sin2C +2sin Asin C = 7 4. 因为 A,C 为三角形内角,所 以sin A+sin C>0,则sin A+sin C= 72 ,故选 C. 408.B 解析:因为(a+c)(sin A-sin C)= b(sin A-sin B),所以由正弦定理得(a+ c)(a-c)=b(a-b),即a2-c2=ab-b2, 则 a2 +b2 -c2 =ab,所 以 cos C = a2+b2-c2 2ab = ab 2ab= 1 2. 又0<C<π,所以 C=π3 ,故选B. 409.2 解析:如图,记AB=c,AC=b,BC=a, (解法一)由余弦定理得22+b2-2×2× b×cos 60°=6,解得b=1+ 3. D C A B 由S△ABC=S△ABD+S△ACD,得 1 2×2×b× sin 60°= 1 2×2×AD×sin 30°+ 1 2×AD× b×sin 30°, 解得AD= 3b 1+ b 2 = 23(1+ 3) 3+ 3 =2. (解法二)由余弦定理得22+b2-2×2× b×cos 60°=6,解得b=1+ 3,由正弦定 理得 6 sin 60°= b sin B= 2 sin C ,解得sin B= 6+ 2 4 ,sin C= 22. 因为1+ 3> 6> 2,所以C=45°,B=180°-60°-45°= 75°.因为∠BAD=30°,所以∠ADB=75°, 即AD=AB=2. 410.解:(1)由正弦定理得 a sin A= b sin B ,即 39 sin 120°= 2 sin B ,解得sin B= 1313. (2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, 即39=4+c2-2×2×c× - 1 2 , 解得c=5或c=-7(舍去). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 239 高考一线 真题研究 数学 (3)由 正 弦 定 理 得 a sin A = c sin C ,即 39 sin 120°= 5 sin C ,解得sin C=5 1326 . 又A=120°,所以B,C 都为锐角, 因此cos C= 1-2552= 3 39 26 , cos B= 1-113= 2 39 13 , 所以sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C= 13 13× 3 39 26 - 2 39 13 × 5 13 26 =- 73 26. 411.解:(1)证 明:∵sin Csin(A -B)= sin Bsin(C-A), ∴sin Csin Acos B-sin Ccos Asin B= sin Bsin Ccos A-sin Bcos Csin A, ∴2sin Bsin Ccos A=sin Asin Ccos B+ sin Asin Bcos C, ∴2bc·b 2+c2-a2 2bc =ac ·a 2+c2-b2 2ac +ab · a2+b2-c2 2ab , ∴b2+c2-a2=a2,∴2a2=b2+c2. (2)∵a=5,∴b2+c2=50. 又∵cos A=2531 , ∴由a2=b2+c2-2bccos A,得25=50-5031bc , ∴bc=312. ∴(b+c)2=b2+c2+2bc=50+31=81, ∴b+c=9, ∴△ABC 的周长为a+b+c=5+9=14. 412.解:由sin A= 3sin B,得ab= 3. 不妨设 a= 3m,b=m(m>0),则 c2=a2+b2-2abcos C=3m2+m2-2× 3m×m× 3 2=m 2,c=m. 选择条件①,ac= 3m2= 3,得m=1,故 c=m=1. 选择条件②, ∵cos A=b 2+c2-a2 2bc = m2+m2-3m2 2m2 = - 1 2 , ∴sin A= 32 ,∴csin A= 3m2 =3 , ∴c=m=23. 选择条件③,则 c b= m m=1 ,∴c=b 与条件 c= 3b矛盾,∴三角形不存在. 413.解:∵sin A=2sin B,∴a=2b, 又∵a=2,∴b=1,cos C=-14. ∴c2=a2+b2-2abcos C=4+1-2×2× 1× - 1 4 =6, ∴c= 6. 414.解:(1)∵(sin B-sin C)2=sin2A- sin Bsin C, ∴(b-c)2=a2-bc, 整理得b2+c2-a2=bc, ∴cos A=b 2+c2-a2 2bc = bc 2bc= 1 2. ∵0°<A<180°,∴A=60°. (2)∵A=60°,∴B=120°-C. ∵ 2a+b=2c, ∴ 2sin A+sin B=2sin C, ∴ 2sin A+sin(120°-C)=2sin C, ∴ 6 2+ 3 2cos C+12sin C=2sin C, ∴ 3 2sin C- 32cos C= 62 , ∴ 3 2sin C-12cos C= 22 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 240 详解答案 ∴sin(C-30°)= 22. ∵0°<C<120°, ∴-30°<C-30°<90°, ∴C-30°=45°,C=45°+30°, ∴sin C=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+ cos45°sin30°= 2 2 × 3 2 + 2 2 × 1 2 = 6+ 2 4 . 415.解:(1)证明:∵ cos A a + cos B b = sin C c , ∴ cos A sin A+ cos B sin B= sin C sin C=1 , ∴ cos Asin B+cos Bsin A sin Asin B =1 , ∴ sin(A+B) sin Asin B=1 ,∴ sin C sin Asin B=1 , ∴sin C=sin Asin B. (2)∵b2+c2-a2=65bc , ∴cos A=b 2+c2-a2 2bc = 3 5. ∵0<A<π, ∴sin A=45 , ∴ cos A sin A= 3 4. 又∵ cos A sin A+ cos B sin B=1 , ∴ cos B sin B=1- cos A sin A= 1 4 , ∴tan B=sin B cos B=4. 416.- 1 4 解析:∵2sin B=3sin C,∴2b= 3c,又∵b-c=14a ,∴ 3 2c-c= 1 4a ,∴c= 1 2a ,∴b=32c= 3 2× 1 2a= 3 4a ,∴cos A= b2+c2-a2 2bc = 9 16a 2+ 1 4a 2-a2 2× 3 4a× 1 2a =- 1 4. 6.4 三角形面积 417.解:(1)由a2+b2-c2= 2ab,得cos C= a2+b2-c2 2ab = 2 2. 因为C∈(0,π),所以C=π4. 又sin C= 2cos B, 所以sin π 4= 2cos B,即 22= 2cos B, 所以cos B=12. 因为B∈(0,π),所以B=π3. (2)由 (1)得 sin A =sin(B +C)= sinπ3+ π 4 =sinπ3cosπ4+cosπ3sinπ4= 6+ 2 4 . 由正弦定理得b∶c=sin B∶sin C= sin π 3∶sin π 4= 3∶ 2 , 设b=3k,c=2k,则S△ABC= 1 2bcsin A= 1 2× 3k× 2k× 6+ 2 4 =3+ 3 , 解得k=2,所以c=22. 418.解:(1)由sin 2B= 37bcos B, 得2sin Bcos B= 37bcos B. 因为A 为钝角,所以cos B≠0, 则2sin B= 37b , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 241 高考一线 真题研究 数学 则 b sin B= 2 3 7 = a sin A= 7 sin A , 解得sin A= 32. 因为A 为钝角,所以A=2π3. (2)选择①,b=7,则sin B= 314b= 3 14× 7= 3 2. 因为A=2π3 ,所以B 为锐角,则B=π3 ,此 时A+B=π,不合题意,舍去; 选择②,cos B=1314 ,因为B 为三角形内 角,所以sin B= 1- 1314 2 = 33 14 , 代入2sin B= 37b ,得2× 33 14 = 3 7b ,解 得b=3. 因为sin C=sinA+B =sin2π3+B = sin 2π 3cos B+cos2π3sin B = 3 2× 13 14+ - 1 2 ×3314=5314, 所以 SΔABC = 1 2absin C=12×7×3× 53 14= 153 4 . 选择③,csin A=523 ,则c× 32= 5 23 , 解得c=5, 由正 弦 定 理 得 a sin A = c sin C ,即 7 3 2 = 5 sin C ,解得sin C=5314. 因为 C 为 三 角 形 内 角,所 以cos C= 1- 53 14 2 = 11 14 , 则sin B=sinA+C =sin2π3+C =sin 2π 3cos C+cos2π3sin C = 3 2× 11 14+ - 1 2 ×5314=3314, 所以S△ABC= 1 2acsin B=12×7×5× 33 14= 153 4 . 419.解:(1)因为A+B=3C,A+B+C=π, 所以3C+C=π,得C=π4. 又因为2sin(A-C)=sin B, 所以2sinA- π 4 =sin3π4-A , 所以2sin Acos π 4-cos Asin π 4 = sin 3π 4cos A-cos3π4sin A, 即2(sin A-cos A)=22 (cos A+sin A), 解得sin A=3cos A, 所以tan A=3,sin A=3 1010 . (2)由(1)得cos A= 1-sin2A= 1 10 ,则 sin B =2sin(A -C)= 2(sin A - cos A)=255 . 由正弦定理得 b sin B= c sin C , 所以b=csin B sin C =5× 25 5 × 2=2 10. 设△ABC 中,AB 边上的高为h,则由三角 形面积得1 2bcsin A=12ch , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 242 详解答案 所以h=bsin A=2 10×3 1010 =6. 420.解:(1)解法一:在△ABC 中,因为 D 为 BC 中点,∠ADC=π3 ,AD=1, 则S△ADC= 1 2AD ·DCsin∠ADC=12× 1× 1 2a× 3 2= 3 8a= 1 2SΔABC= 3 2 ,解得 a=4. C A EB D 在△ABD 中,∠ADB=2π3 ,由余弦定理得 c2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB, 即c2=4+1-2×2×1× - 1 2 =7,解得 c= 7,则cos B=7+4-1 27×2 = 57 14 , sin B= 1-cos2B= 1- 57 14 2 = 21 14 , 所以tanB=sin B cos B= 3 5. 解法二:在△ABC 中,因为D 为BC 中点, ∠ADC=π3 ,AD=1,则S△ADC= 1 2AD · DCsin∠ADC=12×1× 1 2a× 3 2= 3 8a= 1 2SΔABC= 3 2 ,解得a=4. 在△ACD 中,由余弦定理得b2=CD2+ AD2-2CD·ADcos∠ADB, 即b2=4+1-2×2×1×12=3 ,解得b= 3,所以AC2+AD2=4=CD2, 所以∠CAD=π2 ,C=π6. 过点A作AE⊥ BC 于E,则 CE=ACcos C=32 ,AE= ACsin C= 32 , BE=52 ,所以tanB=AEBE= 3 5. (2)解法一:在△ABD 与△ACD 中,由余 弦定理得 c2= 1 4a 2+1-2× 1 2a×1×cos (π-∠ADC), b2= 1 4a 2+1-2× 1 2a×1×cos∠ADC , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 整理得1 2a 2+2=b2+c2,而b2+c2=8,则 a=23,S△ACD= 1 2× 3×1×sin∠ADC= 3 2 ,解得sin∠ADC=1.又0<∠ADC<π, 所以∠ADC=π2 ,所以b=c= AD2+CD2=2. 解法二:在△ABC 中,因为D 为BC 中点, 所以2AD→=AB→+AC→. 又因为CB→=AB→-AC→, 所 以 4AD→2 +CB→2 = (AB→+AC→)2 + (AB→-AC→)2=2(b2+c2)=16,即4+a2= 16,解得a=23. 又S△ADC= 1 2× 3×1×sin∠ADC= 3 2 , 解得sin∠ADC=1. 又0<∠ADC<π,所以∠ADC=π2 , 所以b=c= AD2+CD2=2. 421.解:(1)因为a2=b2+c2-2bccos A, 所以b 2+c2-a2 cos A = 2bccos A cos A =2bc=2 , 解得bc=1. (2)由正弦定理得 acos B-bcos A acos B+bcos A- b c= sin Acos B-sin Bcos A sin Acos B+sin Bcos A- sin B sin C= sin(A-B) sin(A+B)- 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 243 高考一线 真题研究 数学 sin B sin(A+B)= sin(A-B)-sin B sin(A+B) =1 , 整理得sin(A-B)-sin(A+B)=sin B, 即-2cos Asin B=sinB. 因为0<sin B≤1,所以cos A=-12. 又0<A<π,所以sin A= 32 , 所以△ABC 的面积为S△ABC= 1 2bcsin A= 1 2×1× 3 2= 3 4. 422.解:(1)由余弦定理得BC2=a2=b2+c2- 2bccos A=4+1-2×2×1×cos 120°=7, 则BC= 7, cos B=a 2+c2-b2 2ac = 7+4-1 2×2× 7 = 57 14 , sin B= 1-cos2B= 1- 25 28= 21 14. (2)由三角形面积公式得 S△ABD S△ACD = 1 2×AB×AD×sin 90° 1 2×AC×AD×sin 30° =4, 则S△ACD= 1 5S△ABC= 1 5× 1 2×2×1×sin 120° = 310. 423.解:(1)由题意得S1= 3 4a 2,S2= 3 4b 2, S3= 3 4c 2, ∵S1-S2+S3= 3 2 , ∴ 3 4 a 2-b2+c2 = 3 2 , ∴a2-b2+c2=2, ∴cos B=a 2+c2-b2 2ac = 1 ac ,∴accos B=1, ∴cos B>0. 又∵sin B=13 ,∴cos B=223 , ∴ac= 1cos B= 32 4 , ∴SΔABC= 1 2acsin B=12× 32 4 × 1 3= 2 8. (2)∵ b sin B= a sin A= c sin C , ∴ b2 sin2B = a sin A · c sin C= ac sin Asin C= 32 4 2 3 = 9 4 , ∴ b sin B= 3 2 ,∴b=32sin B=32× 1 3= 1 2. 424.解:∵C∈(0,π),∴sin C>0. 又∵sin2C= 3sin C, ∴2sin Ccos C= 3sin C, ∴cos C= 32 ,∴C=π6. (2)∵b=6,△ABC 的面积为63, ∴S△ABC= 1 2absin C=3a2=63 , ∴a=43, ∴c2=a2+b2-2abcos C=48+36-2× 43×6× 3 2=12 , ∴c=23,∴△ABC 的周长为a+b+c= 63+6. 425.解:(1)∵cos C=35 ,0<C<π, ∴sin C=45. ∵4a= 5c,∴4sin A= 5sin C, ∴sin A= 54sin C= 54× 4 5= 5 5. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 244 详解答案 (2)∵4a= 5c,cos C=35 , ∴cos C=a 2+b2-c2 2ab = a2+121- 16 5a 2 22a = 11- a2 5 2a = 3 5 , ∴a2+6a-55=0,解得a=5. ∵sin C=45 ,b=11, ∴△ABC 的面积S=12absin C=12×5× 11× 4 5=22. 426.解:(1)∵2sin C=3sin A,∴2c=3a. ∵c=a+2,∴2(a+2)=3a,解得a=4, ∴c=6,b=5, ∴cos C=a 2+b2-c2 2ab = 16+25-36 40 = 1 8 , ∴sin C= 1-cos2C= 37 8 , ∴△ABC 的面积S=12absin C=12×4× 5× 37 8 = 157 4 . (2)∵c>b>a,∴若△ABC 为钝角三角 形,则C 为钝角, ∴cos C=a 2+b2-c2 2ab = a2+(a+1)2-(a+2)2 2a(a+1) = a2-2a-3 2a(a+1)<0 , ∴a2-2a-3<0,解得-1<a<3, 又∵a>0,∴0<a<3. 又∵a+b>c, ∴a+(a+1)>a+2,解得a>1, ∴1<a<3. 又∵a是整数,∴a=2. 427.解:(1)∵c=2bcos B, ∴sin C=2sin Bcos B, ∵C=2π3 ,∴sin 2B= 32 , ∴B∈0, π 3 ,2B∈0,2π3 , ∴2B=π3 ,B=π6. (2)选择①,由正弦定理得 c b= sin C sin B= 3 , c= 3b 与c= 2b 矛盾,故这样的△ABC 不存在. 选择②,由(1)得A=π6 ,设△ABC 的外接 圆半径为R,则a=b=2Rsinπ6=R ,c= 2Rsin2π3= 3R ,∴△ABC 的周长a+b+ c=2R+ 3R=4+23,解得R=2, ∴a=b=2,c=23, ∴BC 边上中线的长为 23 2+12-2×23×1×cosπ6= 7. 选择③,由(1)得A=π6 ,∴a=b. ∵△ABC 的面积为334 , ∴ 1 2absin C=12a 2× 3 2= 33 4 , 解得a= 3, ∴BC 边上中线的长为 b2+ a2 2 -2×b× a 2×cos 2π 3= 3+ 3 4+3× 1 2= 21 2 . 6.5 三角形中的最值(范围)问题 428.解:(1)∵ cos A 1+sin A= sin 2B 1+cos 2B , ∴ cos A 1+sin A= 2sin Bcos B 2cos2B = sin B cos B , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 245 高考一线 真题研究 数学 ∴sin B+sin Asin B=cos Acos B, ∴sin B=cos Acos B-sin Asin B= cos(A+B)=-cos C=-cos2π3= 1 2. ∵C=2π3 ,∴0<B<π2 ,∴B=π6. (2)由(1)知,sin B=-cos C>0, ∴ π 2<C<π ,0<C<π2. ∵sin B=-cos C=sinC- π 2 , ∴B=C-π2 ,∴C=π2+B , ∴A=π-(B+C)=π- B+ π 2+B = π 2-2B , ∴ a2+b2 c2 = sin2A+sin2B sin2C = cos22B+sin2B sin2C = cos22B+1-cos2B cos2B = (2cos2B-1)2+1-cos2B cos2B = 4cos2B+ 2 cos2B -5≥28-5=42-5, 当且仅当cos2B= 22 时取等号, ∴ a2+b2 c2 的最小值为42-5. 429.解:设BC=a,AC=b,AB=c. (1)∵sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C, ∴a2-b2-c2=bc,∴b2+c2-a2=-bc, ∴cos A=b 2+c2-a2 2bc = -bc 2bc=- 1 2 , ∵A∈(0,π),∴A=2π3. (2)∵a2=b2+c2-2bccos A,a=3,A=2π3 , ∴9=b2+c2+bc, ∴(b+c)2-bc=9,∴bc=(b+c)2-9, ∵bc≤b+c2 2 (当且仅当b=c时取等号), ∴b+c2 2 ≥(b+c)2-9, ∴ 3(b+c)2 4 ≤9 ,∴b+c≤23, ∴△ABC 周长的最大值为3+23. 430.解:(1)∵2bsin A= 3a, ∴2sin Bsin A= 3sin A. ∵sin A>0,∴sin B= 32. 又∵B 为锐角,∴B=π3. (2)∵A+B+C=π,∴C=2π3-A , ∴cos A+cos B+cos C=12+cos A+ cos2π3-A =12+cos A-12cos A+32sin A= 3 2sin A+12cos A+12=sinA+ π 6 +12. 由 0<A< π 2 , 0<C= 2π 3-A< π 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 得π 6<A< π 2 ,π 3< A+π6< 2π 3 , ∴ 3 2<sinA+ π 6 ≤1,1+32 <sinA+π6 + 1 2≤ 3 2 , ∴cos A+cos B+cos C 的取值范围是 1+ 3 2 ,3 2 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 . 431.解:(1)∵asinA+C2 =bsin A, ∴sin AsinA+C2 =sin Bsin A. ∵sin A>0,∴sinA+C2 =sin B, ∴sinπ2- B 2 =sin B,∴cosB2=sin B, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 246 详解答案 ∴cos B 2=2sin B 2cos B 2. 由B∈0,π 得 B 2∈0 ,π 2 , ∴cos B 2>0 ,∴sin B 2= 1 2 , ∴ B 2= π 6 ,B=π3. (2)∵c=1,B=π3 , ∴△ABC 的面积S=12acsin B= 34a , b2=a2+c2-2accos B=a2+1-a. ∵△ABC 为锐角三角形, ∴ a2+b2>c2, b2+c2>a2, c2+a2>b2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 ∴ a2+a2+1-a>1, a2+1-a+1>a2, 1+a2>a2+1-a, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 解得1 2<a<2 , ∴S=12acsin B= 34a∈ 3 8 ,3 2 . 432.9 解析:∵S△ABC=S△ABD+S△CBD, ∴ 1 2acsin 120°= 1 2csin 60°+ 1 2asin 60°, 化简得ac=a+c,两边同除以ac 得1a+ 1 c=1 ,∴4a+c=(4a+c)1a+ 1 c =5+ 4a c + c a ≥5+2 4ac ·ca =9,当且仅当 4a c = c a 且ac=a+c,即a=32 ,c=3时取等 号,∴4a+c的最小值为9. 433.解:(1)证 明:∵2(tan A +tan B)= tan A cos B+ tan B cos A , ∴ 2 sin A cos A+ sin B cos B = sin A cos Acos B + sin B cos Bcos A= sin A+sin B cos Acos B , ∴ 2sin Acos B+cos Asin B cos Acos B = sin A+sin B cos Acos B , ∴ 2sin C cos Acos B= sin A+sin B cos Acos B , ∴2sin C=sin A+sin B,∴2c=a+b. (2)∵cos C=a 2+b2-c2 2ab = a2+b2-a+b2 2 2ab = 4a2+b2 -a+b 2 8ab = 3(a2+b2)-2ab 8ab ≥ 3×2ab-2ab 8ab = 1 2 ,当且仅当a=b 时取等 号,∴cos C 的最小值为12. 434.解:(1)∵a2+c2=b2+ 2ac, ∴cos B=a 2+c2-b2 2ac = 2ac 2ac= 2 2. ∵B∈(0,π),∴B=π4. (2)由A+B+C=π,B=π4 ,得C=3π4-A , ∴2cos A+cos C=2cos A+cos3π4-A = 2 2cos A+ 22sin A=sinA+ π 4 . ∵A∈ 0, 3π 4 ,∴当 A+π4=π2,即 A= π 4 时,2cos A+cos C 取得最大值1. 435.解:(1)∵cos C+(cos A-3sin A)cos B=0, ∴-cos(A+B)+cos Acos B- 3sin Acos B=0, ∴sin Asin B= 3sin Acos B. ∵A∈(0,π),∴sin A>0,∴tan B= 3. 又∵B∈(0,π),∴B=π3. (2)∵a+c=1,B=π3 , ∴b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2- 2ac(1+cos B)=1-3ac. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 247 高考一线 真题研究 数学 又∵ac≤a+c2 2 = 1 4 , ∴-3ac≥-34 ,当且仅当a=c,且a+c= 1,即a=c=12 时取等号, ∴b2=1-3ac≥14 ,∴b≥12. 又∵ac>0,∴b2<1,∴b<1. 综上,b的取值范围是 12 ,1 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 . 6.6 两个三角形联解 436.解:(1)∵BDsin∠ABC=asin C, ∴BD= asin C sin∠ABC. ∵ c sin C= b sin∠ABC , ∴ sin C sin∠ABC= c b , ∴BD= asin C sin∠ABC= ac b . 又∵b2=ac, ∴BD=b. (2)∵AD=2DC,AC=b, ∴AD=2b3 ,DC=b3 , 由(1)知BD=b, ∴cos∠ADB= b2+ 4b2 9 -c 2 2b· 2b 3 = 13b2 9 -c 2 4b2 3 , cos∠CDB= b2+ b2 9-a 2 2b· b 3 = 10b2 9 -a 2 2b2 3 . ∵∠ADB=π-∠CDB, ∴ 13b2 9 -c 2 4b2 3 = a2- 10b2 9 2b2 3 , 整理得2a2+c2=11b 2 3 . 又∵b2=ac,∴2a2+b 4 a2 = 11b2 3 ,整理得 6a4-11a2b2+3b4=0, ∴6 a2 b2 2 -11 a2 b2 +3=0,解得a 2 b2 = 1 3 或 a2 b2 = 3 2. ∵2a2+c2=11b 2 3 ,b2=ac, ∴a2+c2=11b 2 3 -a 2, ∴cos∠ABC=a 2+c2-b2 2ac = 11b2 3 -a 2-b2 2b2 = 4 3- a2 2b2 , 当a 2 b2 = 1 3 时,cos∠ABC=76>1 ,不合题意; 当a 2 b2 = 3 2 时,cos∠ABC=712. 综上,cos∠ABC=712. 437.2 13 2 39 13 解析:由题意作出图形, 如图. A B M C 在△ABM 中,AM2=BA2+BM2-2BA· BM·cos B, 即12=4+BM2-2BM ×2×12 ,解 得 BM=4, ∴BC=2BM =2CM =8,在△ABC 中, AC2=BA2+BC2-2BA·BC·cos B= 4+64-2×2×8×cos60°=52, ∴AC=2 13. 在△AMC中,cos∠MAC=AM 2+AC2-MC2 2AM·AC = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 248 详解答案 52+12-16 2×2 13×23 = 2 39 13 . 438. 122 5 72 10 解析:由题意得AC=5,则 sin A=35.∵∠BDC=45° ,∴∠ADB= 135°,在△ADB 中, 由正弦定理得 AB sin∠ADB= BD sin A , ∴BD=ABsin A sin∠ADB= 4× 3 5 2 2 = 122 5 . ∵∠ABD=45°-A, ∴cos∠ABD=cos(45°-A)= 22 (cos A+ sin A)= 22 4 5+ 3 5 =7210. 439.解:(1)由sin A+ 3cos A=0, 得tan A=- 3, ∵A∈(0,π),∴A=2π3. ∵a2=b2+c2-2bccos A,∴28=4+c2+ 2c,即c2+2c-24=0,解得c=4. (2)∵ a sin A= c sin C , ∴sin C=csin A a = 3 7 , C A B D    ∴cos C= 1-sin2C= 2 7 , ∴tanC=sin C cos C= 3 2.∵AD⊥AC , ∴AD=AC·tanC= 3, ∴△ABD 的面积S=12AD ·AB· sin∠DAB=12× 3×4×sin 2π 3- π 2 = 23sin π 6= 3. 440.解:BC= AC2+AB2-2AC·AB·cos∠A= 18+36-2×32×6×cos 3π 4=3 10 , cos∠B=BA 2+BC2-AC2 2BA·BC = 36+90-18 2×6×310 = 310 10 . E B D A C 取AB 中点E,连接DE, ∵AD=BD,∴DE⊥AB,BE=12AB=3 , ∴AD=BD= BEcos∠B=3× 10 3 10 = 10. 441.6 解析:在△ABD 中,由正弦定理得 AD sin B = AB sin∠ADB ,则 sin ∠ADB = ABsin B AD = 2× 3 2 3 = 2 2 ,∴∠ADB=45°, ∴∠ADC=135°,∵B=120°,∴∠BAD= 15°,∴∠BAC=30°.在△ABC 中,由正弦定理 得 AC sin B = AB sin C ,∴AC = ABsin B sin C = 2× 3 2 1 2 = 6. 442.解:(1)∵AD 平分∠BAC,∴∠BAD= ∠CAD, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 249 高考一线 真题研究 数学 D C A B ∴SΔABD = 1 2AB ·AD ·sin∠BAD, SΔADC= 1 2AC ·AD·sin∠CAD. ∵△ABD 面积是△ADC 面积的2倍, ∴ 1 2AB ·AD·sin∠BAD=2×12AC · AD·sin∠CAD, ∴AB=2AC,ABAC=2 , 由正弦定理得sin B sin C= AC AB= 1 2. (2)设△ABC 的 边 BC 上 的 高 为h,则 S△ABD S△ADC = 1 2BD ·h 1 2DC ·h = BD DC=2 , ∵DC= 22 ,∴BD=2DC= 2.由(1)知 AB=2AC. 在△ABD 中,由余弦定理得cos∠ADB= DA2+DB2-AB2 2DA·DB = 3-4AC2 22 .① 在△ACD 中,由余弦定理得cos∠ADC= DA2+DC2-AC2 2DA·DC = 3 2-AC 2 2 .② ∵cos∠ADB=-cos∠ADC, ∴ 3-4AC2 22 =- 3 2-AC 2 2 ,解得AC=1. 443.解:(1)∵2sin Bcos A=sin Acos C+ cos Asin C, ∴2sin Bcos A=sin(A+C), ∴2sin Bcos A=sin B, ∵B∈(0,π),∴sin B>0, ∴cos A=12 ,又∵A∈(0,π),∴A=π3. (2)由题意得AD→=12 (AB→+AC→),两边平 方得, AD→2=14 (AB→2+AC→2+2AB→·AC→) = 1 41 2+22+2×1×2×cos π 3 =74, ∴|AD→|= 72 ,即AD= 72. 6.7 解四边形 444.解:(1)在 △ABD 中,∵ BDsin∠A = AB sin∠ADB , ∴sin∠ADB=ABsin∠ABD = 2sin45° 5 = 2 5 , ∵AB<BD,∠A=45°,∴∠ADB 为锐角, ∴ cos ∠ADB = 1-sin2∠ADB = 1- 2 25= 23 5 . (2)∵∠ADC=90°, ∴∠BDC=90°-∠ADB, ∴cos∠BDC=sin∠ADB= 25 , A B C D   c ∴BC2 =DB2 +DC2 -2DB ·DC · cos∠BDC=25+8-2×5×2 2× 2 5= 25,∴BC=5. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 250 详解答案 445.解:(1)∵ 1-cos A sin A = 1-1-2sin2 A 2 2sin A 2cos A 2 = sin A 2 cos A 2 =tan A 2 ,∴tan A 2= 1-cos A sin A . (2)如图,连接 BD,在△ABD 和△CBD 中,分别由余弦定理得 B C D A     BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos A= 61-60cos A,① BD2=CB2+CD2-2CB·CD·cos C= 25-24cos C,② 由①②得61-60cos A=25-24cos C, ∵A+C=180°, ∴61-60cos A=25+24cos A, 解得cos A=37 , ∴sin A= 1-cos2A= 2 10 7 . 连接AC,∵A+C=180°, ∴A,B,C,D 四点共圆,∴B+D=180°. 在△ABC 和△ACD 中,分别由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B= 45-36cos B,③ AC2=DA2+DC2-2DA·DC·cosD= 41-40cosD,④ 由③④得45-36cos B=41-40cosD, ∵B+D=180°, ∴45-36cos B=41+40cos B, 解得cos B=119 , ∴sin B= 1-cos2B= 6 10 19 , ∴tan A 2 +tan B 2 +tan C 2 +tan D 2 = 1-cos A sin A + 1-cos B sin B + 1-cos C sin C + 1-cosD sinD = 2 sin A+ 2 sin B=2× 7 2 10 +2× 19 6 10 = 4 10 3 . 446.解:(1)在△ABD 和△CBD 中,分别由余 弦定 理 得 BD2=AB2+AD2-2AB · AD·cos A=5-4cos A,① BD2=CB2+CD2-2CB·CD·cos C= 13-12cos C,② A D B C     ∵角A 与C 互补,∴cos A=-cos C, ∴由①②得5+4cos C=13-12cos C, 解得cos C=12.∵C∈ (0,π),∴C=π3. ∵BD2=13-12×12=7 ,∴BD= 7. (2)由C=π3 ,角A 与C 互补,得A=2π3 , ∴四 边 形 ABCD 的 面 积 S =SΔABD + SΔCBD= 1 2AB ·AD ·sin A+12CB · CD·sin C=122sin 2π 3+6sin π 3 =23. 447.解:(1)在△ACD 中,由余弦定理得 cos∠CAD=AC 2+AD2-CD2 2·AC·AD = 7+1-4 2×7×1 = 27 7 . (2)由(1)得 sin∠CAD= 1-cos2∠CAD= 21 7 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 251 高考一线 真题研究 数学 ∵cos∠BAD=- 714 , ∴sin∠BAD= 1-cos2∠BAD= 3 21 14 , ∴sin∠BAC=sin∠BAD-∠CAD =sin∠BAD·cos∠CAD-cos∠BAD· sin∠CAD = 3 21 14 × 27 7 - - 7 14 × 217 = 3 2. 在△ABC 中,由正弦定理得 BCsin∠BAC= AC sin∠CBA , ∴BC=ACsin∠BACsin∠CBA = 7× 3 2 21 6 =3. 6.8 射影定理 448.A 解 析:∵sin B (1+2cos C)= 2sin Acos C+cos Asin C,∴b(1+2cos C)= 2acos C+ccos A,∴b+2bcos C=acos C+b, ∴2bcos C=acos C,∵C 为锐角,∴cos C>0, ∴2b=a,故选A. 449.2 解析:∵bcos C+ccos B=2b,∴a=2b, ∴ a b=2. 450. π 3 解析:∵2bcos B=acos C+ccos A, ∴2bcos B=b,∴cos B=12. ∵B∈(0,π),∴B=π3. 451.A 解析:∵asin Bcos C+csin Bcos A=12b , ∴sin B(acos C+ccos A)=12b , ∴bsin B=12b ,∴sin B=12 , 又∵a>b,∴B 为锐角,∴B=π6 ,故选A. 452.B 解析:∵bcos C+ccos B=asin A, ∴a=asin A,∴sin A=1,∵A∈ 0,π , ∴A=π2 ,故选B. 453. π 6 解析:∵acos B+bcos A=csin C, ∴c=csin C,∴sin C=1,∵C∈(0,π), ∴C=π2.∵m⊥n ,∴ 3cos A-sin A=0, ∴tan A= 3,∵A 为 锐 角,∴A= π 3 , ∴B=π2- π 3= π 6. 第七章 平面向量及其应用 7.1 线性运算与基本定理 454.B 解析:∵CA→=m,CD→=n,∴AD→= CD→-CA→=n-m,∵BD=2DA,∴AB→= 3AD→=3(n-m),∴CB→=CA→+AB→=m+ 3(n-m)=-2m+3n,故选B. C A BD 455.C 解析:CB→=CA→+AB→=CA→+2AD→= CA→+2(CD→-CA→)=2CD→-CA→,故选C. C A BD 456.A 解析:如图,连结AC,则AC 为△ABC 的中位线,所以EF→=12AC →= 1 2a+ 1 2b ,故选A. D A E B F C 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 252