第二章 一元二次函数、方程和不等式-【高考一线·真题研究】2025年高考数学分类必刷题

第二章 一元二次函数、方程和不等式 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 不等关系与不等式性质 【解题·小帮手】 ▶实数大小的比较 (1)a>b⇔a-b>0;a=b⇔a-b=0;a< b⇔a-b<0. (2)a∈R,b>0,ab>1⇒a>b ;a b=1⇒a=b ; a b<1⇒a<b. ▶不等式的性质 (1)a>b⇔b<a. (2)a>b,b>c⇒a>c. (3)a>b⇒a+c>b+c. (4)a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc. (5)a>b,c>d⇒a+c>b+d. (6)a>b>0,c>d>0⇒ac>bd. (7)a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2). (8)a>b>0⇒ n a> n b(n∈N,n≥2). ▶判断不等式成立的常用方法 (1)函数性质法:利用常见函数的单调性; (2)作差法:判断差值的正负; (3)特殊值法:根据题设条件合理赋给字母 特殊值,化抽象大小关系为具体数值比较 大小. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 36.(2019·新课标全国二,6)若a>b,则 ( ) A.ln(a-b)>0 B.3a<3b C.a3-b3>0 D.|a|>|b| 37.(2017·北京,8)已知x,y∈R,且x>y> 0,则 ( ) A. 1 x- 1 y >0 B.sin x-sin y>0 C.12 x - 12 y <0 D.ln x+ln y>0 38.(2015·浙江,6)有三个房间需要粉刷,粉 刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三 个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉 刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x< y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/ m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的 方案中,最低的总费用(单位:元)是 ( ) A.ax+by+cz B.az+by+cx C.ay+bz+cx D.ay+bx+cz 39.(2014·四川,5)若a>b>0,c<d<0,则 一定有 ( ) A. a c> b d B. a c< b d C. a d> b c D. a d< b c 40.(2012·湖南,7)设a>b>1,c<0,给出下 列三个结论:① c a> c b ;②ac<bc;③logb(a -c)>loga(b-c).其中所有的正确结论的 序号是 ( ) A.① B.①② C.②③ D.①②③ 41.(2010·辽宁,15)已知-1<x+y<4且 2<x-y<3,则z=2x-3y 的取值范围是 .(答案用区间表示) 42.(2010·江苏,12)设实数x,y满足3≤xy2≤ 8,4≤ x2 y ≤9,则 x3 y4 的最大值是 . 43.(2007·上海,13)已知a,b为非零实数,且 a<b,则下列命题成立的是 ( ) A.a2<b2 B.ab2<a2b C. 1 ab2 < 1 a2b D. b a< a b 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5 高考一线 真题研究 数学 2.2 一元二次不等式 【解题·小帮手】 ▶判别式、求根公式、根与系数的关系 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判 别式Δ=b2-4ac. (1)当Δ<0时,方程没有实数根. (2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根 x1=x2=- b 2a. (3)当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根 x1,x2,且x1,2= -b± b2-4ac 2a ; x1+x2=- b a ,x1x2= c a ,|x1-x2|= b2-4ac |a| (当两根的差是常数时,用此结论 方便快捷). ▶三个“二次”的关系 若不等式ax2+bx+c>0(a>0)解集为{x| x<x1 或x>x2}或ax2+bx+c<0(a>0) 的解集为{x|x1<x<x2},则x1,x2 是对应 二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根,也 是对应二次函 数f(x)=ax2+bx+c 的 零点. ▶一元二次不等式在R上恒成立问题 (1)不等式ax2+bx+c>0在R上恒成立⇔ 当a=0时,b=0,且c>0或当a>0时,且 Δ<0. (2)不等式ax2+bx+c<0在R上恒成立⇔ 当a=0时,b=0,且c<0或当a<0时,且 Δ<0. ▶一元二次不等式在某区间上恒成立问题 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则 (1)当a>0时,f(x)<0在区间[α,β]上恒 成立⇔ f(α)<0, f(β)<0. (2)当a<0时,f(x)>0在区间[α,β]上恒 成立⇔ f(α)>0, f(β)>0. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 44.(2020·新课标全国一,1)已知集合A= {x|x2-3x-4<0},B={-4,1,3,5},则 A∩B= ( ) A.{-4,1} B.{1,5} C.{3,5} D.{1,3} 45.(2020·山东春,12)已知二次函数y= ax2+bx+c 的图象如图所示,则不等式 ax2+bx+c>0的解集是 ( )  yaxbxc y xO A.(-2,1) B.(-∞,-2)∪(1,+∞) C.[-2,1] D.(-∞,-2]∪[1,+∞) 46.(2019·新课标全国一,1)已知集合 M= {x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0}, 则M∩N= ( ) A.{x|-4<x<3} 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6 第二章 一元二次函数、方程和不等式 B.{x|-4<x<-2} C.{x|-2<x<2} D.{x|2<x<3} 47.(2018·新课标全国一,1)已知集合A= {x|x2-x-2>0},则∁RA= ( ) A.{x|-1<x<2} B.{x|-1≤x≤2} C.{x|x<-1}∪{x|x>2} D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2} 48.(2015·广东,11)不等式-x2-3x+4>0 的解集为 .(用区间表示) 49.(2013·重庆,7)关于x 的不等式x2- 2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且 x2-x1=15,则a= ( ) A. 5 2 B. 7 2 C. 15 4 D. 15 2 50.(2013·安 徽,6)已 知 一 元 二 次 不 等 式 f(x)<0的解集为 x x<-1或x> 1 2 , 则f(10x)>0的解集为 ( ) A.{x|x<-1或x>-lg 2} B.{x|-1<x<-lg 2} C.{x|x>-lg 2} D.{x|x<-lg 2} 51.(2024·上海,3)已知x∈R,则不等式x2- 2x-3<0的解集为 . 52.(2014·江苏,10)已知函数f(x)=x2+ mx-1,若对于任意的x∈[m,m+1],都 有f(x)<0成立,则实数m 的取值范围为 . 53.(2012·福建,15)已知关于x 的不等式 x2-ax+2a>0在 R上恒成立,则实数a 的取值范围是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2.3 基本不等式 【解题·小帮手】 ▶重要不等式:若a,b∈R,则a2+b2≥2ab(当 且仅当a=b时取等号). ▶基本不等式:若a>0,b>0,则a+b2 ≥ ab (当且仅当a=b时取等号). ▶重要 不 等 式 链:(1)若a,b∈R,则ab≤ a+b 2 2 ≤ a2+b2 2 (当且仅当a=b时取等号). (2)若a>0,b>0,则 21 a+ 1 b ≤ ab≤ a+b 2 ≤ a2+b2 2 (当且仅当a=b时取等号). ▶利用基本不等式求最值 (1)如果积ab等于定值P,那么当a=b时, 和a+b有最小值2 P;如果和a+b等于定 值S,那么当a=b时,积ab有最大值14S 2. (2)注意事项:①“一正”就是各项必须为正 数;②“二定”就是“和或积”是定值;③“三相 等”就是验证等号能够成立. ▶常用重要变形:(1)“1”的代换(代数或三角 代换);(2)“配凑”变形;(3)整体换元. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7 高考一线 真题研究 数学 54.(2024·北京卷,9)已知(x1,y1),(x2,y2) 是函数y=2x 图象上不同的两点,则 ( ) A.log2 y1+y2 2 < x1+x2 2 B.log2 y1+y2 2 > x1+x2 2 C.log2 y1+y2 2 >x1+x2 D.log2 y1+y2 2 <x1+x2 55.(多选题)(2022·新高考全国二,12)若x, y 满足x2+y2-xy=1,则 ( ) A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 56.(2022·新课标全国甲,16)已知△ABC 中,点D 在边BC 上,∠ADB=120°,AD= 2,CD=2BD,当ACAB 取得最小值时,BD= . 57.(2021·新课标全国乙,8)下列函数中最小 值为4的是 ( ) A.y=x2+2x+4 B.y=|sin x|+ 4|sin x| C.y=2x+22-x D.y=lnx+ 4 ln x 58.(2021·新高考全国一,5)已知F1,F2 是椭 圆C:x 2 9+ y2 4=1 的两个焦点,点 M 在C 上,则|MF1|·|MF2|的最大值为 ( ) A.13 B.12 C.9 D.6 59.(2021·浙江,8)已知α,β,γ 是互不相同的 锐角,则在sin αcos β,sin βcos γ,sinγcosα三 个值中,大于1 2 的个数的最大值是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 60.(2021·天津,13)若a>0,b>0,则1a+ a b2 +b的最小值为 . 61.(多选题)(2020·新高考全国一,11)已知 a>0,b>0,且a+b=1,则 ( ) A.a2+b2≥12 B.2a-b> 1 2 C.log2a+log2b≥-2 D.a+b≤ 2 62.(2020·天津,14)已知a>0,b>0,且ab= 1,则 1 2a+ 1 2b+ 8 a+b 的最小值为 . 63.(2020·江苏,12)已知5x2y2+y4=1(x, y∈R),则x2+y2 的最小值是 . 64.(2019·天津,13)设x>0,y>0,x+2y= 5,则 (x+1)(2y+1) xy 的最小值为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8 高考一线 真题研究 数学 列,且q=1>0,但{Sn}是递减数列,即充 分性不成立;若{Sn}是递增数列,则必有 an>0,q>0;否则若{Sn}是递减数列,则必 有an<0,q<0,即必要性成立,故选B. 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 不等关系与不等式性质 36.C 解析:∵f(x)=x3 在 R上是增函数, 且a>b,∴f(a)>f(b),即 a3 >b3, ∴a3-b3>0,故选C. 37.C 解析:∵f(x)= 1 2 t 在 R上是减函 数,且 x>y>0,∴f(x)<f(y),即 1 2 x < 12 y ,∴ 12 x - 12 y <0,故选C. 38.B 解析:∵x<y<z,a<b<c,x-z<0, a-c<0,b-c<0, ∴(ax+by+cz)-(az+by+cx)=a(x- z)+c(z-x)=(x-z)(a-c)>0, ∴ax+by+cz>az+by+cx. ∵(ay+bz+cx)-(ay+bx+cz)=b(z- x)+c(x-z)=(z-x)(b-c)<0, ∴ay+bz+cx<ay+bx+cz. ∵(az+by+cx)-(ay+bz+cx)=a(z- y)+b(y-z)=(z-y)(a-b)<0, ∴az+by+cx<ay+bz+cx,故选B. 39.D 解析:由题意,令a=2,b=1,c=-2, d=-1,则ac=-1 ,b d=-1 ,a d=-2 ,b c= - 1 2 ,∴ a d< b c ,故选D. 40.D 解析:∵a>b>1,∴0<1a< 1 b.∵c< 0,∴ c a> c b ,∴①正确;∵幂函数f(x)= xc(c<0)在 R上是减函数,且a>b>1, ∴f(a)<f(b),即ac<bc,∴②正确; ∵c<0,∴-c>0,∵a>b>1,a-c>b- c>1-c>1.∵ 对 数 函 数 g(x)= logax(a>1)底数越大,图象越低,且a> b>1,∴logb(a-c)>loga(b-c),∴③正 确,故选D. 41.(3,8) 解析:设z=2x-3y=m(x+y)+ n(x-y)=(m+n)x+(m-n)y,则 m+n=2, m-n=-3, 解得 m=- 1 2 , n= 5 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴z=2x- 3y=- 1 2 (x+y)+ 5 2 (x-y).∵-1<x+ y<4,2<x-y<3,∴-2<- 1 2 (x+y)< 1 2 ,5< 5 2 (x-y)< 15 2 ,∴3<- 1 2 (x+y)+ 5 2 (x-y)<8,∴z∈(3,8). 42.27 解析:∵3≤xy2≤8,4≤ x2 y ≤9,∴ 1 8≤ 1 xy2 ≤ 1 3 ,16≤ x 2 y 2 ≤81,∴2≤ x 2 y 2 · 1 xy2 ≤27,∵ x3 y4 = x 2 y 2 · 1 xy2 ,∴2≤ x3 y4 ≤ 27,∴ x3 y4 的最大值是27. 43.C 解析:取a=-2,b=-1,则a2=4, b2=1,a2>b2,排除 A;令a=0,b=1,则 ab2=a2b=0,排除B;令a=1,b=2,则 b a=2> a b= 1 2 ,排除D,故选C. 2.2 一元二次不等式 44.D 解析:∵A={x|x2-3x-4<0}= {x|-1<x<4},B={-4,1,3,5},∴A∩ B={1,3},故选D. 45.A 解析:不等式ax2+bx+c>0的解集 是函数y=ax2+bx+c的图象位于x 轴上 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 184 详解答案 方的部分对应的x 的取值范围,即-2< x<1,故选A. 46.C 解析:∵M={x|-4<x<2},N= {x|x2-x-6<0}={x|-2<x<3}, ∴M∩N={x|-2<x<2},故选C. 47.B 解析:∵A={x|x2-x-2>0}= {x|x<-1或x>2},∴∁RA={x|-1≤ x≤2},故选B. 48.(-4,1) 解析:∵-x2-3x+4>0, ∴x2+3x-4<0,∴(x+4)(x-1)<0, ∴-4<x<1,∴不等式-x2-3x+4>0 的解集为(-4,1). 49.A 解析:由|x1-x2|= b2-4ac |a| ,得 15= (-2a)2-4×(-8a2) 1 ,化简得15= 6a,则a=52 ,故选A. 50.D 解析:∵一元二次不等式f(x)<0的 解集为xx<-1或x> 1 2 ,∴可设f(x)= (-x-1)x- 1 2 ,∴f(10x)>0可化为 (10x+1)10x- 1 2 <0,∴10x<12,∴x< lg 1 2=-lg 2,故选D. 51.{x|-1<x<3} 解析:因为x2-2x-3< 0⇔(x+1)(x-3)<0,所以不等式x2- 2x-3<0的解集为{x|-1<x<3}. 52.- 2 2 ,0 解析:∵函 数 f(x)=x2+ mx-1的图象为开口向上的抛物线,∴若 对于任意的x∈[m,m+1],都有f(x)<0成 立,则 f(m)=m2+m2-1<0, f(m+1)=(m+1)2+m(m+1)-1<0, 解得- 2 2<m<0 ,∴实数m 的取值范围 为 - 2 2 ,0 . 53.(0,8) 解析:∵关于x 的不等式x2- ax+2a>0在R上恒成立,∴判别式Δ= (-a)2-4×1×2a<0,即a2-8a<0,解 得0<a<8,∴实数a的取值范围是(0,8). 2.3 基本不等式 54.B 解析:不妨设x1<x2,因为函数y= 2x 是增函数,所以0<2x1<2x2,即0<y1< y2.对于AB, 2x1+2x2 2 > 2 x1·2x2 =2 x1+x2 2 , 即y1+y2 2 >2 x1+x2 2 >0,所以log2 y1+y2 2 > log2 x1+x2 2 = x1+x2 2 ,B正确,A错误;对于 C,例如x1=0,x2=1,则y1=1,y2=2,则 log2 y1+y2 2 =log2 3 2∈0 ,1 ,即log2 y1+y2 2 < 1=x1+x2,C错误;对于D,例如x1=-1,x2= -2,则y1= 1 2 ,y2= 1 4 ,则log2 y1+y2 2 = log2 3 8 =log23-3∈ (-2,-1),即 log2 y1+y2 2 >-3=x1+x2 ,D 错误,故 选B. 55.BC 解析:∵(x+y)2=x2+y2+2xy, ∴x2+y2-xy=(x+y)2-3xy,∵x2+ y2-xy=1,∴(x+y)2-1=3xy≤ 3x+y2 2 ,∴(x+y)2-1≤3 x+y 2 2 ,解 得-2≤x+y≤2,当且仅当时x=y= -1时,x+y=-2;当且仅当x=y=1时, x+y=2,∴A错误,B正确;∵x2+y2- xy=1,∴(x2+y2)-1=xy≤ x2+y2 2 ,解得 x2+y2≤2,当且仅当x=y=±1时取等号, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 185 高考一线 真题研究 数学 ∴C正确;∵x2+y2-xy=1,∴x-y2 2 + 3 4y 2=1,∴可设x-y2=cos θ,32y=sin θ, 则x=cos θ+1 3 sin θ,y= 2 3 sin θ,∴x2+ y2=cos2θ+ 5 3sin 2θ+2 3 sin θcos θ=1+ 1 3 sin 2θ-13cos2θ+ 1 3= 4 3+ 2 3sin2θ- π 6 ∈ 2 3 ,2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,∴当x= 33 ,y=- 3 3 时满足等 式,∵x2+y2≥1不成立,∴D错误,故选 BC. 56.3-1 解析:如图,设 BD=m>0,则 CD=2m. A D CB 在△ABD 中,AB2=BD2+AD2-2BD· AD·cos∠ADB=m2+4+2m,在△ACD 中,AC2=AD2+CD2-2AD ·CD · cos∠ADC=4m2 +4-4m,则 AC 2 AB2 = 4m2+4-4m m2+4+2m = 4(m2+4+2m)-12(m+1) m2+4+2m = 4- 12(m+1) (m+1)2+3 =4- 12 (m+1)+ 3 m+1 ≥4- 12 2 (m+1)· 3 m+1 =4-2 3,当且仅当 m+1= 3m+1 ,即m= 3-1时取等号,故 当AC AB 取得最小值时,BD=m= 3-1. 57.C 解析:∵y=x2+2x+4=(x+1)2+ 3≥3,当且仅当x=-1时取等号,∴ymin= 3,排除 A;令t=|sin x|∈(0,1],则y= t+4t 在(0,2]上单调递减,∴当t=1时, ymin=5,排除B;y=2x+22-x 的定义域为 R,∵2x>0,∴y=2x+22-x=2x+ 4 2x ≥ 24=4,当且仅当2x= 4 2x ,即2x=2,即x= 1时取等号,∴ymin=4;y=ln x+ 4ln x 的定义 域为(0,1)∪(1,+∞),∵ln x∈R,ln x≠0, ∴当ln x=-1时,y=ln x+ 4ln x=-5 , 排除D,故选C. 58.C 解析:∵椭圆C 的方程是x 2 9+ y2 4=1 , ∴a2=9,a=3,∴|MF1|+|MF2|=2a=6, ∴|MF1|·|MF2|≤ |MF1|+|MF2| 2 2 =9, 当且仅当|MF1|=|MF2|=3时取等号, 故选C. 59.C 解析:∵sin αcos β≤ sin2α+cos2β 2 , sin βcos γ≤sin 2β+cos2γ 2 ,sin γcos α≤ sin2γ+cos2α 2 ,∴sin αcos β+sin βcos γ+ sin γcos α≤sin 2α+cos2β 2 + sin2β+cos2γ 2 + sin2γ+cos2α 2 = 3 2 ,∴sin αcos β,sin βcos γ, sin γcos α不可能均大于12. 取α=π6 ,β= π 3 , γ=π4 ,则sin αcos β= 1 4< 1 2 ,sin βcos γ= 6 4> 1 2 ,sin γcos α= 64> 1 2 ,故三个值中 大于1 2 的个数的最大值为2,故选C. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 186 详解答案 60.22 解析:∵a>0,b>0,∴ 1 a+ a b2 +b≥ 2 1 a ·a b2 +b=2b+b≥2 2 b ·b=22, 当且仅当1 a= a b2 且2 b=b ,即a=b= 2时等 号成立,∴ 1 a+ a b2 +b的最小值为22. 61.ABD 解析:∵ a2+b2 2 ≥ a+b 2 2 = 1 4 , ∴a2+b2≥12 ,当且仅当a=b=12 时取等 号,∴A正确;∵a+b=1,∴b=1-a,a> 0,∴a-b=2a-1>-1,∴2a-b>2-1= 1 2 ,∴B正确;∵log2a+log2b=log2ab≤ log2 a+b 2 2 =log2 1 4=-2 ,当且仅当a= b= 12 时,等 号 成 立,∴C 不 正 确;∵ a+b 2=1+2 ab≤1+a+b=2, ∴ a+b≤ 2,当且仅当a=b= 1 2 时,等 号成立,∴D正确,故选ABD. 62.4 解析:∵a>0,b>0,ab=1,∴12a+ 1 2b+ 8 a+b= ab 2a+ ab 2b+ 8 a+b= a+b 2 + 8 a+b≥2 a+b 2 × 8 a+b =4 ,当 且 仅 当 a+b 2 = 8 a+b ,即a+b=4且ab=1,即a= 2- 3,b=2+ 3或a=2+ 3,b=2- 3时等号成立,∴ 1 2a+ 1 2b+ 8 a+b 的最小值 为4. 63. 4 5 解析:∵5x2y2+y4=1,∴y≠0且 x2=1-y 4 5y2 ,∴x2+y2= 1-y4 5y2 +y2= 1 5y2 + 4y2 5 ≥2 1 5y2 × 4y2 5 = 4 5 ,当且仅当 1 5y2 = 4y2 5 ,即y2= 1 2 ,x2=310 时取等号,∴x2+ y2 的最小值为 4 5. 64.43 解析:∵x>0,y>0,x+2y=5, ∴ xy > 0, ∴ (x+1)(2y+1) xy = 2xy+x+2y+1 xy = 2xy+6 xy ≥ 2 2xy×6 xy = 43,当且仅当2xy=6,即xy=3且x+ 2y=5,即x=3,y=1或x=2,y= 3 2 时取等 号,∴ (x+1)(2y+1) xy 的最小值为43. 第三章 函 数 3.1 计算基础 65.3 解析:因为f(x)= x,x>0, 1,x≤0, 所以 f(3)= 3. 66.64 解 析:由 1 log8a - 1 loga4 = - 5 2 ,得 3 log2a - 1 2log2a=- 5 2 ,整理得(log2a)2- 5log2a-6=0,解得log2a=-1或log2a= 6.又a>1,所以log2a=6=log2 6,则a= 26=64. 67.D 解析:由题意得 S-1 ln N1 =2.1, S-1 ln N2 = 3.15,则2.1ln N1=3.15ln N2,即2ln N1= 3ln N2,所以N32=N21,故选D. 68.ACD 解析:由题意得60≤20×lg p1 p0 ≤ 90,解得1 000p0≤p1≤10 00010p0.同理可 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 187