第八章 复数-【高考一线·真题研究】2025年高考数学分类必刷题

第八章 复 数 第八章 复 数 8.1 复数的有关概念及运算 【解题·小帮手】 ▶虚数单位i:i2=-1. ▶复数z=a+bi(a,b∈R),a 称为“实部”,b 称为“虚部”.当a=0,b≠0时,复数z 称为 纯虚数,|z|= a2+b2 称为复数的模.z= a-bi称为z的共轭复数. ▶复数相等.两个复数相等⇔两个复数的实部 与虚部分别相等. ▶四则运算:z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c, d∈R), (1)z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+ (b+d)i; (2)z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+ (b-d)i; (3)z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i; (4) z1 z2 = a+bi c+di= (a+bi)(c-di) (c+di)(c-di)= ac+bd c2+d2 + bc-ad c2+d2 i. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 522.(2024·新高考全国一,2)若 z z-1=1+i , 则z= ( ) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 523.(2024·新高考全国二,1)已知z=-1- i,则|z|= ( ) A.0 B.1 C.2 D.2 524.(2024·新课标全国甲理,1)设z=5+i, 则i(z+z)= ( ) A.10i B.2i C.10 D.-2 525.(2024·北京,2)已知 z i=i-1 ,则z= ( ) A.1-i B.-i C.-1-i D.1 526.(2024·天津,10)已知i是虚数单位,复数 (5+i)·(5-2i)= . 527.(2023·新高考全国一,2)已知z=1-i2+2i , 则z-z= ( ) A.-i B.i C.0 D.1 528.(2023·新课标全国甲理,2)若复数(a+i) (1-ai)=2,a∈R,则a= ( ) A. -1 B.0 C.1 D.2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 73 高考一线 真题研究 数学 529.(2023·新课标全国甲文,2) 5(1+i3) (2+i)(2-i) = ( ) A.-1 B.1 C.1-i D.1+i 530.(2023· 新 课 标 全 国 乙 理,1)设 z= 2+i 1+i2+i5 ,则z= ( ) A.1-2i B.1+2i C.2-i D.2+i 531.(2023·全国课标全国乙文,1)|2+i2+2i3| = ( ) A.1 B.2 C.5 D.5 532.(2022·新课标全国乙,2)设(1+2i)a+ b=2i,其中a,b为实数,则 ( ) A.a=1,b=-1 B.a=1,b=1 C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1 533.(2022·北京,2)若复数z满足i·z=3- 4i,则|z|= ( ) A.1 B.5 C.7 D.25 534.(2021·新高考全国一,2) 设z=2-i,则 z(z+i)= ( ) A.6-2i B.4-2i C.6+2i D.4+2i 535.(2021·新课标全国甲,1)设2(z+z)+ 3(z-z)=4+6i,则z= ( ) A.1-2i B.1+2i C.1+i D.1-i 536.(2021·北京,2)在复平面内,复数z 满足 (1-i)·z=2,则z= ( ) A.1 B.i C.1-i D.1+i 537.(2021·新课标全国甲,3) 设(1-i)2z= 3+2i,则z= ( ) A.-1- 3 2i B.-1+ 3 2i C.- 3 2+i D.- 3 2-i 538.(2020·新高考全国二,2)(1+2i)(2+i) = ( ) A.4+5i B.5i C.-5i D.2+3i 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8.2 复数的几何意义 【解题·小帮手】 ▶复数z=a+bi(a,b∈R) → 一一对应 点Z(a, b) → 一一对应 向量OZ→. ▶“z”的几何意义:与z关于x 轴对称. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 539.(2023·新高考全国二,1)在复平面内, (1+3i)(3-i)对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 74 第八章 复 数 540.(2023·北京,2)在复平面内,复数z 对应 的点的坐标是(-1,3),则z 的共轭复数 z= ( ) A.1+ 3i B.1- 3i C.-1+ 3i D.-1- 3i 541.(2019·新课标全国一,1)设复数z 满足 |z-i|=1,z 在复平面内对应的点为(x, y),则 ( ) A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1 C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1 542.(2019·新课标全国二,2)设z=3+2i,则 在复平面内z对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 543.(2018·北京,2)在复平面内,复数 1 1-i 的 共轭复数对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 544.(2018·江西,1)在复平面内,复数z= sin 2+icos 2对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 545.(2017·北京,2)若复数(1-i)(a+i)在平 面内对应的点在第二象限,则实数a 的取 值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-1,+∞) 546.(2014·新课标全国二,2)设复数z1,z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1= 2+i,则z1z2= ( ) A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i 547.(2013·四川,2)如图所示,在复平面内, 点A 表示复数z,则图中表示z 的共轭复 数的点是 ( ) D C A B O y x A.A B.B C.C D.D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 75 详解答案 以a⊥b. (2)由题意知a+b=(cos α+cos β,sin α+ sin β),又a+b=c=(0,1),则cos α+ cos β=0,sin α+sin β=1,因为0<β<α< π,且由cos α+cos β=0得α+β=π,则 sin α+sin β=sin α+sin(π-α)=2sin α= 1,则α=π6 或5π 6 ,又β<α,则α= 5π 6 ,β= π 6. 521.解:(1)由题意知|a|=|b|,则|a|2= |b|2,即3sin2x+sin2x=cos2x+sin2x,化 简得tan2x=13 ,因为x∈ 0, π 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 , 所以tan x= 33 ,故x=π6. (2)由题意知f(x)=a·b=3sin xcos x+ sin2x= 32sin 2x+1-cos 2x 2 = 3 2sin 2x- 1 2cos 2x+12=sin2x- π 6 +12,则当x∈ 0, π 3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 时,2x-π6∈ - π 6 ,π 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,f(x)单调递 增;当x∈ π3 ,π 2 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 时,2x-π6∈ π 2 ,5π 6 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 , f(x)单调递减. 所以,f(x)max=f π 3 =32. 第八章 复 数 8.1 复数的有关概念及运算 522.C 解析:因为 z z-1=1+i ,所以 z z-1- 1=1+i-1,即 1 z-1=i ,则z=1i+1=1- i,故选C. 523.C 解 析:由 z= -1-i,得|z|= (-1)2+(-1)2= 2,故选C. 524.A 解析:由z=5+i,得z=5-i,z+z= 10,i(z+z)=10i,故选A. 525.C 解析:因为 z i=i-1 ,所以z=i(i- 1)=i2-i=-1-i,故选C. 526.7- 5i 解析:(5+i)·(5-2i)=5+ 5i-25i+2=7- 5i. 527.A 解析:因 为z= 1-i2+2i= 1-i 2(1+i)= (1-i)2 2(1+i)(1-i)= -2i 4 =- 1 2i ,所以z=12i , z-z=-i,故选A. 528.C 解析:因为(a+i)(1-ai)=a-a2i+ i+a=2a+(1-a2)i=2,所以 2a=2, 1-a2=0, 解得 a=1,故选C. 529.C 解析: 5(1+i3) (2+i)(2-i)= 5(1-i) 5 =1-i , 故选C. 530.B 解 析:由 题 意 得 z= 2+i 1+i2+i5 = 2+i 1-1+i= i(2+i) i2 = 2i-1 -1 =1-2i ,则z= 1+2i,故选B. 531.C 解析:由题意可2+i2+2i3=2-1- 2i=1-2i,则|2+i2+2i3|=|1-2i|= 12+(-2)2= 5,故选C. 532.A 解析:(1+2i)a+b=(a+b)+2ai= 2i,根据复数相等的含义,“实部”=“实部”, “虚部”=“虚部”,则有 a+b=0, 2a=2, 即a=1 , b=-1. 故选A. 533.B 解析:∵i·z=3-4i,∴|i·z|= |3-4i|,∴|i||z|=5,|z|=5,故选B. 534.C 解析:原式=(2-i)(2+i+i)=(2- i)(2+2i)=4+4i-2i-2i2=4+2i+2= 6+2i,故选C. 535.C 解析:设z=a+bi,z=a-bi,2[(a+ bi)+(a-bi)]+3[(a+bi)-(a-bi)]= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 263 高考一线 真题研究 数学 4a+6bi=4+6i,则 4a=4, 6b=6, 即 a=1 , b=1, 故 z=a+bi=1+i,故选C. 536.D 解析:z= 21-i=1+i ,故选D. 537.B 解析:∵(1-i)2z=3+2i,∴z= 3+2i (1+i)2 = 3+2i -2i= (3+2i)i 2 = -2+3i 2 = -1+ 3 2i ,故选B. 538.B 解析:(1+2i)(2+i)=2+i+4i+2i2= 5i,故选B. 8.2 复数几何意义 539.A 解析:因为(1+3i)(3-i)=3+8i- 3i2=6+8i,所以该复数在复平面内对应的 点为(6,8),位于第一象限,故选A. 540.D 解析:因为z 在复平面对应的点是 (-1,3),所以z=-1+ 3i,z=-1- 3i,故选D. 541.C 解析:几何角度:z对应的点Z 是与点 (0,1)之间的距离为1的点的集合,即圆心 (0,1),r=1的圆,方程为x2+(y-1)2= 1,故选C. 代数角度:设z=x+yi,|z-i|=|x+(y-1)i|= x2+(y-1)2=1,则x2+(y-1)2=1, 故选C. 542.D 解析:从几何角度:z 对应点坐标(3, 2),z与z关于x 轴对称,则z 对应的点坐 标(3,-2),故选D. 从代数角度:z=3-2i,则z 对应点坐标 (3,-2),故选D. 543.D 解析:原式= 1 2 · 2 1-i= 1 2 (1+i),对 应点位于第一象限,求共轭复数再关于 x 轴对称,故选D. 544.D 解析:对应点坐标(sin 2,cos 2),不知 道sin 2,cos 2是多少? 要好好学习三角函 数的定义啦! π 2<2<π⇒sin 2>0,cos 2< 0,故选D. 545.B 解析:原式=a+i-ai-i2=(a+1)+ (1-a)i,对应坐标(a+1,1-a)在第二象 限,则 a+1<0, 1-a>0, 即a<-1,故选B. 546.A 解析:关于y 轴对称,z2=-2+i, z1z2=(2+i)·(-2+i)=i2-22=-5,故 选A. 547.B 解析:共轭⇒关于x 轴对称,故选B. 第九章 数 列 9.1 等差数列 548.B 解析:由S5=S10,得S10-S5=a6+ a7+a8+a9+a10=5a8=0,则a8=0.又 a5=1,所以等差数列{an}的公差d= a8-a5 3 = 0-1 3 =- 1 3 ,则a1=a5-4d= 1-4× - 1 3 =73,故选B. 549.95 解析:因为数列{an}为等差数列,则 由题 意 得 a1+2d+a1+3d=7, 3(a1+d)+a1+4d=5, 解 得 a1=-4, d=3, 所 以 S10=10a1+10×92 d= 10×(-4)+45×3=95. 550.解:由等差数列的性质,得,a1,a2,…, a4m+2 是(i,j)—可 分 数 列 ⇔1,2,…, 4m+2是(i,j)—可分数列. (1)相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数 i和j(i<j),使得剩下四个数是等差数 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 264