9.1.2余弦定理教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

9.1.2余弦定理教学设计 一、教材分析 “余弦定理”是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一,也是初中“勾股定理”内容的直接延拓,它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用,是解可转化为三角形计算问题的其他数学问题及生产、生活实际问题的重要工具,是高考的必考内容之一。本节的主要内容是引入并证明余弦定理;余弦定理及其推论;余弦定理解三角形;余弦定理判断三角形的形状及在几何计算等方面的应用。突破难点的关键是在推导余弦定理之前复习平面向量的相关知识,引导学生注意向量在几何中的用途是通过给线段赋予方向,由数量积可以将线段之间的长度、角度之间的关系联系起来,为推导余弦定理的思维埋下伏笔。 二、学情分析 学生在已有的认知基础上，已经学习了解直角三角形的内容,又学习了三角函数的有关知识和平面向量的相关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量知识已形成一定的知识框架,另外,前面学生已经学习了正弦定理的有关内容,对正弦定理的探究过程有了一定的掌握，对于三角形中的边角关系有了较深一步的认识。但学生可能还会遇到问题:由于学生缺乏应用数学知识的意识,创造力较弱,看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度,即如何联想到用向量、解析方法和三角方法等多种途径证明余弦定理有困难，即将求边的问题转化为求向量的模、两点间的距离的问题有困难。 三、教学过程 课标要求 1. 掌握余弦定理及其推论 2.会用平面向量方法证明余弦定理 3.能利用余弦定理解决两类解三角形问题 教学目标 学科素养 直观想象 逻辑推理 数学抽象与数学运算 特色目标 匠心筑梦 琢玉成器 育人目标 在探索余弦定理的过程中，培养学生探索精神和创新意识，形成严谨的数学思维方式，培养用数学观点解决问题的能力和意识 教学重难点 重点 余弦定理及其推论在解三角形中的应用 难点 余弦定理的发现与证明 教学方式 启发式教学 探究式教学 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 创设情境 引出课题 多媒体展示岫岩山峰图片，以及喜鹊大岭施工照片，引出情境与问题: 高速公路的路线规划经过一座小山丘，我县施工队现需要挖一段隧道.开挖前需要测量出山脚的长度，但两山脚之间的距离无法直接测量. 若在点C 用测量仪已经测出 AC、BC 的距离及∠ACB 的大小，请问要如何才能知道山脚AB的长度呢？ 问题1该问题给出了三角形中哪些元素？用来解决什么问题？ 问题2.该问题能直接用正弦定理求解吗？ 教师操作多媒体.师生共同得出问题的答案,问题1:知道了三角形的两边AC、BC和夹角C,求另一边AB。 问题2:不能,正弦定理不能直接解已知两边及其夹角的三角形。并多媒体展示学习目标。 通过设置情境，激发学生的学习热情，培养学生学习数学的兴趣，在情境中提出问题，引导学生探究问题，调动学生的积极性，使他们以强烈的求知欲和饱满的热情来学习新知识。 设置问题 学习新知 目标 1：借助向量的运算推导余弦定理 问题 1：情境导入中的问题转抽象成数学模型，已知 AC，BC 和角 C，如何求AB？ 用向量坐标表示或者其他方法可以求出AB吗？作为本节课第一个课后作业。 2. 得出新知：余弦定理，公式表达： 语言叙述：三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的 2 倍. 3.回到导入中的问题：在△ABC中，已知 a = 3km，b = 5km，C = 120°，求 c． 教师引导学生用向量法求AB，师生得出余弦定理求边c的表达式，多媒体演示动态图归纳出余弦定理表达式。师生共同总结余弦定理的公式表达与语言叙述，教师板书，学生观察公式的特点，熟记。 师生共同解决导入问题。 通过情境导入抽象成数学模型培养学生数学建模的核心素养，从而引出余弦定理的表达式,让学生感受公式的推导过程，多媒体动态展示让学生更容易归纳出余弦定理表达式，培养学生直观想象和数学运算的核心素养。完成学习目标1。 通过余弦定理的学习，解决导入问题。提升学生数学应用能力。 应用举例 归纳方法 目标 2：掌握余弦定理及其推论，能用余弦定理解三角形 1.例1 已知 △ABC 中，a = 3，b = 6，C = 60°，求 c. 归纳:余弦定理可以解已知两边及其夹角的三角形. 变式训练:本题条件不变，结论改为求解这个三角形 2.例2 已知 △ABC 中，a = 6，b = 4，c = 2√7，求 C. 归纳：余弦定理可以解已知三边的三角形. 【链接高考】：（2023上海.8）已知 △ABC 中，a = 4，b = 5，c = 6，sinA= . 3.提出问题：借助余弦定理，怎样用三条边来表示三个角？ 4.得出新知:余弦定理的推论。 5.提出问题，根据余弦定理和推论你能得出余弦定理可以解什么条件的三角形吗？ 6.如果把夹角变成一边对角，如何用余弦定理进行求解呢？在△ABC 中， 教师操作课件，引导学生自己解决问题，教师环视。 学生独立思考变式训练，判断解三角形的其他元素的先后顺序，以及使用的定理. 师生共同总结出余弦定理可以解已知三边的三角形。 学生独立思考，一名同学上黑板板演，教师检查学生解答过程，并巡视。 师生得出余弦定理的推论教师板书余弦定理的推论学生记忆公式。 学生回答加深记忆 学生小组讨论，教师巡视，并指导。总结正弦定理和余弦定理解本题的优缺点。 帮助学生深化对余弦定理的理解，感受数学知识的应用，锻炼学生的应用能力和计算能力。培养学生养成及时进行归纳的意识,提高其总结能力。 进一步加深学生对余弦定理及其推论的认识，理解其应用，培养学生的逻辑推理和数学运算的学科素养。 通过高考题引发学生兴趣，板演看过程。 对余弦定理变形，引出余弦定理的推论，培养学生大胆探索、勤于发现新知识的意识。 帮助学生记准余弦定理及其推论。 进一步加深学生对余弦定理公式中知三求一的理解，培养学生的归纳推理能力。 归纳小结 回顾新知 由学生总结本节课的重点知识，教师加以补充。用程序框图的方式多媒体展示。 培养学生归纳总结能力。 布置作业 1.思考证明余弦定理的其他方法 2.独立完成课后习题练习A，练习B：1，2，3，4 3.能力提升（选做）. 板书设计 9.1.2余弦定理 1.余弦定理： 2.推论： 3.适用条件： 学生板演 学科网（北京）股份有限公司 $$