2.4.2简单幂函数的图像和性质（3知识点+10题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第一册）

2. 4.2简单幂函数的图像和性质 课程标准 学习目标 1.熟练掌握幂函数的基本概念和性质。 2.理解和掌握数学概念的能力，使其能够通过图像特征来理解和解释幂函数的性质。 3.能够灵活运用幂函数的知识来解决实际问题， 1.理解幂函数的定义，即底数和指数都是正数的函数。2.通过分析幂函数的图像特征，掌握幂函数的性质，包括函数图像的形状、斜率等。 3.通过具体的实例，让学生学会如何通过图像来理解幂函数的性质。 知识点01 幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数(power function)，其中x是自变量，α是常数． 【即学即练1】（24-25高一上·全国·课后作业）若幂函数的图象过点，则该幂函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数，当取何值时： (1)该函数是正比例函数； (2)该函数是反比例函数； (3)该函数是幂函数． 知识点02幂函数的特征 1.xα的系数是1； 2.xα的底数x是自变量； 3.xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 【即学即练3】(多选)（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象经过第一象限 B．幂函数的图象都经过点 C．当时，幂函数在上单调递增 D．幂函数的定义域为 【即学即练4】（24-25高一上·上海·单元测试）函数是幂函数，则 ． 知识点03 常见幂函数的图像特征 同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)． 【即学即练5】（24-25高一·上海·课堂例题）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【即学即练6】（23-24高一上·北京昌平·期中）函数表示的图象可能是下图中的（    ） A．   B．   C．   D．   难点：分类讨论思想的运用 示例1：（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）对，，记，则函数的最小值为 ． 【题型1：幂函数的概念】 例1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 变式1．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24高一上·全国·课后作业）在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式3．（多选）（22-23高一上·重庆长寿·期末）下列函数既是幂函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 变式4．（多选）（24-25高一上·江西上饶·开学考试）下列有关幂函数（为常数）的说法正确的是（    ） A．当时，此时幂函数（为常数）为偶函数 B．当时，此时幂函数（为常数）为奇函数 C．幂函数（为常数）的图象始终经过点 D．幂函数（为常数）的定义域始终包含 变式5．（23-24高一下·全国·课后作业）判一判：判断下列函数是否为幂函数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【方法技巧与总结】 判断一个函数是否为幂函数 1.系数为1; 2.指数为常数; 3.后面不加任何项.反之,若一个函数为幂 函数,则该函数必具有这种形式. 【题型2：求幂函数的解析式】 例2．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知幂函数为偶函数在上单调递减，则的解析式可以为 写一个即可 变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）如果一个幂函数在上是严格减函数，且图像关于y轴对称，写出符合条件的幂函数的一个表达式： ． 变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若幂函数的图像经过点，则函数的表达式为 ． 变式3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若幂函数的图象经过点，则该函数的图象关于 ．（填“原点中心对称”或“y轴成轴对称”） 变式4．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知幂函数的图象过点，当时， ． 变式5．（24-25高一上·上海·课前预习）若幂函数的图象过点，则表达式为 ． 变式6．（23-24高一上·上海·假期作业）幂函数的图像经过点，此幂函数的解析式是 . 变式7．（22-23高一上·广东·阶段练习）已知幂函数 为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数m的值. 【方法技巧与总结】 幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足: 1.指数为常数; 2.底数为自变量; 3.系数为1. 【题型3：幂函数求值】 例3．（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 变式1．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知幂函数的图象经过点，则等于（    ） A． B．2 C． D． 变式2．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知定义在上的幂函数，则（    ） A．0 B． C．1 D．不确定 变式3．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知幂函数的图象经过点，求 ． 变式4．（22-23高一下·安徽合肥·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 . 变式5．（23-24高一上·北京·期末）已知函数是幂函数，若，则 ． 变式6．（23-24高一上·天津·期末）已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是 ． 变式7．（24-25高一上·上海·随堂练习）若幂函数满足，则的值为 ． 变式8．（24-25高一上·上海·课后作业）已知幂函数图象过点，当时， . 【题型4：幂函数过定点】 例4．（22-23高一上·云南西双版纳·期中）下列结论正确的是（    ） A．幂函数的图象一定过原点 B．时，幂函数是增函数 C．幂函数的图象会出现在第四象限 D．既是二次函数，又是幂函数 变式1．（20-21高一上·上海嘉定·期中）下列结论中正确的个数有（    ） （1）幂函数的图像一定过原点； （2）当时，幂函数在其定义域上是严格减函数； （3）当时，幂函数在其定义域上是严格增函数； （4）函数既是二次函数，又是幂函数. A．0 B．1 C．2 D．3 变式2．（24-25高一·上海·课堂例题）下列幂函数中，其图象关于y轴对称且过点、的是（    ） A． B． C． D． 变式3．（23-24高一上·天津滨海新·期中）已知函数，的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 变式4．（22-23高一下·山西朔州·阶段练习）幂函数（是常数）的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 变式5．（多选）（23-24高一上·山东青岛·期中）下列关于幂函数的性质，描述不正确的有（    ） A．当时，函数在其定义域上为减函数 B．当时，函数不是幂函数 C．当时，函数是偶函数 D．当时，函数与x轴有且只有一个交点 变式6．（多选）（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知函数（为常数），则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象恒过定点 B．当时，函数是减函数 C．当时，函数是奇函数 D．当时，函数的值域为 变式7．（22-23高一上·上海徐汇·期末）当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为 ． 变式8．（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为 ． 【方法技巧与总结】 幂函数的定点: 1）x>0时过定点(1，1) 2)x=0时过定点(0,0) 3)x<0时过定点(-1，-1) 【题型5：幂函数的定义域】 例5．（多选）（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知幂函数，则下列结论正确的有（    ） A． B．的定义域为 C．是奇函数 D．不等式的解集为 变式1．（24-25高一上·上海·课后作业）在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有 个． 变式2．（22-23高一上·全国·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 变式3．（23-24高一·上海·课堂例题）若幂函数（为整数）的定义域为，求的值． 变式4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知幂函数经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若当，时，有，求实数的取值范围． 变式5．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知幂函数的图象可能满足下列条件： ①函数图象过点； ②函数图象过点； ③函数的定义域为． 任选其中两个条件满足函数，同时求出时函数的值． 变式6．（24-25高一上·上海·假期作业）求函数的定义域. 变式7．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知幂函数的图像经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围． 【方法技巧与总结】 定义域的三种类型及求法： (1) 已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解； (2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解； (3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出. 【题型6：幂函数的值域与最值】 例6．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）函数的值域为 . 变式1．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）函数的最大值是 . 变式2．（23-24高一下·山东淄博·期中）函数图象的对称中心坐标是 ；函数的值域是 ． 变式3．（23-24高一上·全国·课后作业）已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的所有α的值为 . 变式4．（19-20高一上·浙江·期中）函数的单调递减区间为 ；值域为 ． 变式5．（21-22高一上·山东济南·期中）若函数在上有最小值5，则在上的最大值是 ． 【方法技巧与总结】 ①配方法:若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域; ②)换元法:常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化; ③不等式法:借助于基本不等式 求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”; ④单调性法:首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求出函数的最值; ⑤图象法:画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值 【题型7：幂函数图像的应用】 例7．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数则的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   变式1．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数，若，则函数的图象是（    ） A．   B．   C．     D．   变式2．（23-24高一上·广东肇庆·开学考试）把抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 变式3．（2022高一上·全国·专题练习）如图所示是函数（m、且互质）的图象，则（    ） A．m，n是奇数且 B．m是偶数，n是奇数，且 C．m是偶数，n是奇数，且 D．m，n是偶数，且 变式4．（多选）（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在定义域单调递减 B．的值域为 C．的图象关于对称 D．可以由函数平移得到 变式5．（24-25高一上·上海·课堂例题）函数的图象可由函数的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到. 变式6．（22-23高二下·陕西西安·期中）直线与函数图象的交点个数为 ． 变式7．（22-23高一上·上海浦东新·期末）为了得到函数的图象，可以把函数的图象右移 个单位. 变式8.（24-25高一上·上海·课堂例题）在同一坐标系内作出函数和的图像，并说明这两个图像之间的关系． 【方法技巧与总结】 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 （1）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为： ①在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)； ②在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． 依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或或y＝x3)来判断． 【题型8：幂函数解不等式】 例8．（22-23高三上·安徽·阶段练习）已知函数，若当时，恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·期中）（1）已知，求的值； （2）幂函数在上单调递增，若，求的取值范围. 变式2．（2022高一·全国·专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的实数的取值范围. 变式3．（22-23高一上·山东·期中）已知幂函数关于y轴对称，且在上单调减函数． (1)求m的值； (2)解关于a的不等式． 变式4．（23-24高一上·天津·期中）若幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为 ． 变式5．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知幂函数的图象与坐标轴无交点. (1)求的解析式； (2)解不等式. 变式6．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知幂函数为偶函数，且在上单调递减． (1)求m和k的值； (2)求满足的实数a的取值范围． 变式7．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数是幂函数，且函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若不等式成立，求实数的取值范围. 【题型9：幂函数的奇偶性】 例9．（21-22高一上·全国·课后作业）函数在上是（   ） A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数 C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数 变式1．（多选）（23-24高一上·河南新乡·阶段练习）关于幂函数，下列结论正确的是（    ） A．的图象经过原点 B．为偶函数 C．的值域为 D．在区间上单调递增 变式2．（多选）（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（    ） A．函数的图象过原点 B．函数是偶函数 C．函数的值域为 D．函数在是单调减函数 变式3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，若幂函数的图像关于原点对称，且在上是严格减函数；则取值的集合是 ． 变式4．（23-24高一上·上海虹口·期末）设，若幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数，则实数 ． 变式5．（23-24高一上·四川·阶段练习）已知.若幂函数为奇函数，且在上单调递增，则 . 变式6．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知幂函数在区间上是严格增函数，且的图象关于y轴对称，求m的值． 变式7．（2023高一·上海·专题练习）已知幂函数是偶函数，且在上为增函数，试求实数的值. 【题型10：幂函数恒成立与存在成立问题】 例10．（21-22高一上·陕西西安·期中）已知函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围是 ． 变式1．（20-21高一上·上海黄浦·期末）已知当x∈(-1，0)∪(0，1)时，不等式恒成立，则满足条件的a形成的集合为 . 变式2．（22-23高一上·福建龙岩·期末）已知幂函数为偶函数，． (1)若，求； (2)已知，若关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围． 变式3．（22-23高一上·辽宁辽阳·期末）已知幂函数为奇函数． (1)求的解析式； (2)若正数满足，若不等式恒成立．求的最大值． 变式4．（19-20高一上·河南平顶山·期末）已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增. （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）函数是幂函数，则实数的值是（    ） A． B． C．或 D．且 4．（23-24高一上·广东湛江·期中）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 5．（23-24高一上·四川广安·期末）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   6．（23-24高一上·天津·期中）函数的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·全国·课后作业）已知幂函数（且）为奇函数，且在区间上递增，则m等于（    ） A．1 B．2 C．1或3 D．3 8．（24-25高一上·全国·课后作业）已知图甲是函数的图象，图乙是由图甲变换所得，则图乙中的图象对应的函数可能是（    ）.    A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·四川德阳·期末）若四个幂函数在同一坐标系中的部分图象如图，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·广西·期末）已知点，若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（22-23高一上·河南郑州·期中）若，则的取值范围是   ． 13．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数既是二次函数又是幂函数，函数是R上的奇函数，函数，则 . 14．（25-26高一上·全国·课后作业）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为 ． 四、解答题 15．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且. (1)求与的解析式； (2)求函数在上的值域. 16．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知幂函数的图像经过点． (1)求幂函数解析式； (2)求证：幂函数在区间上是严格增函数． 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数 (1)在坐标系中作出函数的图象； (2)若时函数值等于，求a的取值集合． 18．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象； (1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 19．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，． (1)作出，的图像； (2)对任意，用表示、中的较小者，记作，请用图像法和解析法表示． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2. 4.2简单幂函数的图像和性质 课程标准 学习目标 1.熟练掌握幂函数的基本概念和性质。 2.理解和掌握数学概念的能力，使其能够通过图像特征来理解和解释幂函数的性质。 3.能够灵活运用幂函数的知识来解决实际问题， 1.理解幂函数的定义，即底数和指数都是正数的函数。2.通过分析幂函数的图像特征，掌握幂函数的性质，包括函数图像的形状、斜率等。 3.通过具体的实例，让学生学会如何通过图像来理解幂函数的性质。 知识点01 幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数(power function)，其中x是自变量，α是常数． 【即学即练1】（24-25高一上·全国·课后作业）若幂函数的图象过点，则该幂函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数设解析式，再代入点求出解析式即可. 【详解】设幂函数解析式为，代入点可得，即，所以 所以该幂函数的解析式是. 故选：B 【即学即练2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数，当取何值时： (1)该函数是正比例函数； (2)该函数是反比例函数； (3)该函数是幂函数． 【答案】(1)． (2)或2． (3) 【分析】（1）根据正比例函数的定义得到方程（不等式）组，解得即可； （2）依题意可得，解得即可； （3）根据幂函数的定义得到，解得即可. 【详解】（1）∵为正比例函数， ∴ ． （2）∵为反比例函数， ∴， ∴或． （3）∵为幂函数， ∴， ∴ 知识点02幂函数的特征 1.xα的系数是1； 2.xα的底数x是自变量； 3.xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 【即学即练3】(多选)（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象经过第一象限 B．幂函数的图象都经过点 C．当时，幂函数在上单调递增 D．幂函数的定义域为 【答案】AB 【分析】根据幂函数的图象及性质可判断选项A、B正确；取，可判断选项C、D错误. 【详解】当时，幂函数对任意都有意义，且，故经过第一象限，选项A正确； 因为，所以幂函数的图象都经过点，选项正确； 当时，函数定义域为，选项C、D错误； 故选：AB． 【即学即练4】（24-25高一上·上海·单元测试）函数是幂函数，则 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义，结合一元二次方程的解法，即可得解 【详解】因为函数是幂函数，所以且， 解得：或（舍） 故答案为：. 知识点03 常见幂函数的图像特征 同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)． 【即学即练5】（24-25高一·上海·课堂例题）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和幂函数性质即可得解. 【详解】令，则， 所以函数是偶函数，故排除D， 由幂函数性质可知函数在上单调递增，且当时的图象高于的函数图象，故排除B、C. 故选：A. 【即学即练6】（23-24高一上·北京昌平·期中）函数表示的图象可能是下图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据的正负去绝对值，再利用反比例函数的图象判断即可. 【详解】由题意可知当时，，排除BD， 当时，，排除A， 故选：C 难点：分类讨论思想的运用 示例1：（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）对，，记，则函数的最小值为 ． 【答案】/1.5 【分析】将转化为函数与在同一个处取得的两个函数值的较大的值，数形结合即可得解. 【详解】函数是函数与函数同一个取得的两个函数值的较大的值， 作函数与函数的图象如下， 由图象可知，令，得或， 故当时，的最小值为． 故答案为：． 【题型1：幂函数的概念】 例1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义即可得解. 【详解】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确 故选：D. 变式1．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义直接得出结果. 【详解】A：函数为一次函数，故A不符合题意； B：函数为二次函数，故B不符合题意； C：函数为二次函数，故C不符合题意； D：函数为幂函数，故D符合题意. 故选：D 变式2．（23-24高一上·全国·课后作业）在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用幂函数定义直接判断作答. 【详解】函数是幂函数， 函数，都是二次函数，函数是一次函数，它们都不是幂函数， 所以所给函数中幂函数的个数是1. 故选：B 变式3．（多选）（22-23高一上·重庆长寿·期末）下列函数既是幂函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据幂函数的性质，逐一判断每个函数是否满足题目中的条件即可. 【详解】对于A，函数在上单调递减但不是幂函数，故选项A错误； 对于B，函数是幂函数，在上单调递增，故选项B错误； 对于C，函数是幂函数且在上单调递减，故选项C正确； 对于D，函数是幂函数且在上单调递减，故选项D正确， 故选：CD. 变式4．（多选）（24-25高一上·江西上饶·开学考试）下列有关幂函数（为常数）的说法正确的是（    ） A．当时，此时幂函数（为常数）为偶函数 B．当时，此时幂函数（为常数）为奇函数 C．幂函数（为常数）的图象始终经过点 D．幂函数（为常数）的定义域始终包含 【答案】ABC 【分析】由幂函数的奇偶性即可判断选项AB；根据，即可判断选项C；利用的定义域，即可判断选项D. 【详解】对于A，当时，此时幂函数为偶函数，故A正确； 对于B，当时，此时幂函数（为常数）为奇函数，故B正确； 对于C，当时， ，故幂函数（为常数）的图象始终经过点，故C正确； 对于D，当时，幂函数（为常数）的定义域不包含0，故D错误. 故选：ABC 变式5．（23-24高一下·全国·课后作业）判一判：判断下列函数是否为幂函数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1)不是幂函数； (2)不是幂函数； (3)幂函数 (4)不是幂函数； (5)不是幂函数； (6)幂函数 【分析】形如的函数叫幂函数，由幂函数的定义可知（1）（2）（4）（5）不是幂函数，只有（3）（6）为幂函数. 【详解】（1），当时，不是幂函数，所以该函数不是幂函数； （2），两个幂函数和的形式，与幂函数的定义不相符，所以该函数不是幂函数； （3），满足幂函数的定义相符，所以该函数是幂函数； （4），底数不是，属于复合函数，与幂函数的定义不相符，所以该函数不是幂函数； （5），系数不为，与幂函数的定义不相符，所以该函数不是幂函数； （6），满足幂函数的定义相符，所以该函数是幂函数. 【方法技巧与总结】 判断一个函数是否为幂函数 1.系数为1; 2.指数为常数; 3.后面不加任何项.反之,若一个函数为幂 函数,则该函数必具有这种形式. 【题型2：求幂函数的解析式】 例2．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知幂函数为偶函数在上单调递减，则的解析式可以为 写一个即可 【答案】 答案不唯一 【分析】根据常见幂函数的性质即可求解. 【详解】因为幂函数 在 上单调递减，所以 ， 又因为 为偶函数， 所以 适合题意． 故答案为: 答案不唯一. 变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）如果一个幂函数在上是严格减函数，且图像关于y轴对称，写出符合条件的幂函数的一个表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由幂函数的定义以及图象与性质即可直接得到答案. 【详解】幂函数在上是严格减函数且图象关于y轴对称，符合题意， 故答案为：（答案不唯一）. 变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若幂函数的图像经过点，则函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】设出幂函数，然后将代入解析式求出参数即可. 【详解】设，因为图像经过点， 则， 所以． 故答案为： 变式3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若幂函数的图象经过点，则该函数的图象关于 ．（填“原点中心对称”或“y轴成轴对称”） 【答案】y轴成轴对称 【分析】利用待定系数法求出解析式，通过判断图象上任意一点关于y轴的对称点坐标，是否在满足解析式可得. 【详解】设，依题意可得，解得，所以， 设为函数图像上任意一点，易知其关于y轴的对称点也在的图象上， 所以其图像关于y轴成轴对称． 故答案为：y轴成轴对称 变式4．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知幂函数的图象过点，当时， ． 【答案】/ 【分析】设，根据函数过点代入求出的值，即可得到函数解析式，再代入计算可得. 【详解】设，则，即，∴，即， ∴当时，． 故答案为： 变式5．（24-25高一上·上海·课前预习）若幂函数的图象过点，则表达式为 ． 【答案】 【分析】根据待定系数法即可求解. 【详解】设幂函数为, 将代入可得，解得，故， 故答案为： 变式6．（23-24高一上·上海·假期作业）幂函数的图像经过点，此幂函数的解析式是 . 【答案】 【分析】将代入即可求解. 【详解】将代入可得，解得， 故答案为： 变式7．（22-23高一上·广东·阶段练习）已知幂函数 为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数m的值. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）利用幂函数的定义，结合性质求出即可得解. （2）根据给定条件，利用偶函数的性质计算即得. 【详解】（1）由为幂函数，得，得或， 而为偶函数，则， 所以的解析式为. （2）由为偶函数且，得，即或， 所以或. 【方法技巧与总结】 幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足: 1.指数为常数; 2.底数为自变量; 3.系数为1. 【题型3：幂函数求值】 例3．（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用分段函数的概念计算即可. 【详解】由题意知. 故选：D 变式1．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知幂函数的图象经过点，则等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】运用待定系数法求幂函数解析式，再代入求值即可. 【详解】幂函数的图象经过点， 设幂函数，将点代入解析式得到，即，解得. 故.故. 故选：A. 变式2．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知定义在上的幂函数，则（    ） A．0 B． C．1 D．不确定 【答案】B 【分析】根据常见幂函数的图象特点求解即可. 【详解】由题意函数过点，， 所以. 故选：B. 变式3．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知幂函数的图象经过点，求 ． 【答案】 【分析】设幂函数为，根据题意求得，得到，代入即可求解. 【详解】设幂函数为， 因为幂函数的图象经过点，可得，解得，即， 所以. 故答案为：. 变式4．（22-23高一下·安徽合肥·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 . 【答案】/ 【分析】由奇函数的性质即可求解 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以 故答案为： 变式5．（23-24高一上·北京·期末）已知函数是幂函数，若，则 ． 【答案】2 【分析】设，是常数，代入已知条件运算求解． 【详解】设，是常数，则，解得 则． 故答案为：2． 变式6．（23-24高一上·天津·期末）已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是 ． 【答案】4 【分析】根据函数为幂函数及函数为偶函数，求出，从而代入求值即可. 【详解】由题意得，解得或1， 当时，为奇函数，不合要求， 当时，为偶函数，满足要求， 故. 故答案为：4 变式7．（24-25高一上·上海·随堂练习）若幂函数满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】设出解析式，根据条件列方程，然后通过整体代换可得. 【详解】设，则， 所以． 故答案为： 变式8．（24-25高一上·上海·课后作业）已知幂函数图象过点，当时， . 【答案】4 【分析】根据幂函数设解析式，再代入点求出解析式，最后代入x求出函数值即可. 【详解】设幂函数解析式为， 代入点可得， 所以幂函数为， 当，所以. 故答案为：4. 【题型4：幂函数过定点】 例4．（22-23高一上·云南西双版纳·期中）下列结论正确的是（    ） A．幂函数的图象一定过原点 B．时，幂函数是增函数 C．幂函数的图象会出现在第四象限 D．既是二次函数，又是幂函数 【答案】B 【分析】利用幂函数的简单性质判断即可． 【详解】解：幂函数图象不一定过原点，例如，函数的图象不经过原点，故A不正确； 当时，幂函数，，在定义域内均为增函数，故B正确； 由函数的定义及幂函数在第一象限均有图象可知，幂函数的图象不会出现在第四象限，故C不正确； 函数是二次函数，但是不是幂函数，幂函数得形如，故D不正确. 故选：B. 变式1．（20-21高一上·上海嘉定·期中）下列结论中正确的个数有（    ） （1）幂函数的图像一定过原点； （2）当时，幂函数在其定义域上是严格减函数； （3）当时，幂函数在其定义域上是严格增函数； （4）函数既是二次函数，又是幂函数. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据幂函数的概念，及图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于幂函数，其图象不过原点，且在上为减函数， 所以（1）、（2）都不正确； 对于幂函数，在是减函数，所以（3）不正确； 由幂函数概念，幂函数，可得系数必为1，所以（4）不正确. 故选：A. 变式2．（24-25高一·上海·课堂例题）下列幂函数中，其图象关于y轴对称且过点、的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由各幂函数的性质判断各项是否符合要求即可． 【详解】A项，函数图象在第一象限，故不关于轴对称，故不符合； B项，函数图象关于原点对称，且过，符合； C项，指数小于0，故其图象不过点，故不符合； D项，函数图象关于原点对称，故不符合； 故选：B 变式3．（23-24高一上·天津滨海新·期中）已知函数，的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】求出定点A的坐标，并求出的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】依题意，，则，因此， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故选：D 变式4．（22-23高一下·山西朔州·阶段练习）幂函数（是常数）的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的图象和性质即可确定答案. 【详解】由题意可知当时，，此时函数值与取何值无关， 故幂函数（是常数）的图象一定经过点， 故选：B 变式5．（多选）（23-24高一上·山东青岛·期中）下列关于幂函数的性质，描述不正确的有（    ） A．当时，函数在其定义域上为减函数 B．当时，函数不是幂函数 C．当时，函数是偶函数 D．当时，函数与x轴有且只有一个交点 【答案】AB 【分析】根据幂函数的性质、定义判断各项的正误. 【详解】A：由，在上递减，但整个定义域上不单调，错； B：根据幂函数定义也是幂函数，错； C：由，显然且定义域为R，故为偶函数，对； D：由单调递增，仅当时，故与x轴有且只有一个交点，对. 故选：AB 变式6．（多选）（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知函数（为常数），则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象恒过定点 B．当时，函数是减函数 C．当时，函数是奇函数 D．当时，函数的值域为 【答案】AC 【分析】根据幂函数的性质逐一判断即可. 【详解】，A正确； 当时，分别在上单调递减，在定义域上不单调，B错误； 当时，的定义域为R，且， 所以函数是奇函数，C正确； 当时，的值域为，D错误. 故选：AC 变式7．（22-23高一上·上海徐汇·期末）当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数恒过定点即可求解. 【详解】由于对任意的，恒经过点，所以函数的图象恒过定点, 故答案为： 变式8．（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为 ． 【答案】 【分析】令求解即可. 【详解】令，得， 故函数图象过定点， 故答案为： 【方法技巧与总结】 幂函数的定点: 1）x>0时过定点(1，1) 2)x=0时过定点(0,0) 3)x<0时过定点(-1，-1) 【题型5：幂函数的定义域】 例5．（多选）（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知幂函数，则下列结论正确的有（    ） A． B．的定义域为 C．是奇函数 D．不等式的解集为 【答案】AD 【分析】根据幂函数的定义得到，再代入计算即可判断A；根据指数即可得到其定义域，即可判断B；根据函数奇偶性的判断方法即可判断C；根据函数奇偶性和单调性即可得到不等式，解出即可. 【详解】对A，由题知，，得，即，故A正确； 对B，函数的定义域是，故不正确； 对C，因为，所以函数是偶函数，故不正确， 对D，当时，单调递减，所以，解得，且， 即不等式的解集为，故D正确． 故选：AD. 变式1．（24-25高一上·上海·课后作业）在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有 个． 【答案】3 【分析】根据次方根，分数指数幂的意义来求解函数的定义域，利用非负数存在偶次方根，任意的实数存在奇次方根来求解函数的定义域． 【详解】解：①的定义域为； ②的定义域为； ③的定义域为； ④的定义域为； ⑤的定义域为； ⑥的定义域为． 故定义域为的有①③⑥，共3个， 故答案为：3． 变式2．（22-23高一上·全国·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】利用给定的变量范围求解抽象函数定义域即可. 【详解】因为函数的定义域是， 所以，解得，所以函数的定义域为． 要使有意义，则，解得， 所以的定义域是． 故答案为： 变式3．（23-24高一·上海·课堂例题）若幂函数（为整数）的定义域为，求的值． 【答案】0或1或2 【分析】由幂函数的性质可知，，再结合条件，即可求解. 【详解】若幂函数的定义域为， 则，得，且， 所以. 变式4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知幂函数经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若当，时，有，求实数的取值范围． 【答案】(1)；定义域为 (2) 【分析】（1）由题意，代入点计算即得函数解析式，化成根式易求得函数定义域； （2）根据幂函数在上的单调性列出不等式组，求解即得. 【详解】（1）由幂函数经过点可得，，可得，解得，故． 由可得，所以函数的定义域为． （2）由（1）可知，幂函数的定义域为，且在定义域上为减函数， 由，得可得． 即实数的取值范围为. 变式5．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知幂函数的图象可能满足下列条件： ①函数图象过点； ②函数图象过点； ③函数的定义域为． 任选其中两个条件满足函数，同时求出时函数的值． 【答案】选①③，. 【分析】利用待定系数法求出解析式，根据所选条件判断是否满足题意，然后可得函数值. 【详解】设， 选①②：由题可得，得，无实数解，不满足题意； 选①③：由函数图象过点可得，解得，则， 易知，函数的定义域为， 所以时，； 选②③：由函数图象过点可得，解得，则， 因为的定义域为，所以不满足题意． 综上，应选①③，此时，当时，. 变式6．（24-25高一上·上海·假期作业）求函数的定义域. 【答案】 【分析】根据幂函数的定义域求解即可. 【详解】由题意，，解得. 即函数的定义域为 变式7．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知幂函数的图像经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据幂函数定义借助待定系数法计算即可得其解析式，计算即可得其定义域； （2）结合函数单调性与定义域要求计算即可得. 【详解】（1）设，则有，解得， 故，即，则其定义域为； （2）由，则在上单调递减， 故有，即，即. 【方法技巧与总结】 定义域的三种类型及求法： (1) 已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解； (2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解； (3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出. 【题型6：幂函数的值域与最值】 例6．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【分析】结合函数解析式并利用幂函数单调性可求得其值域为. 【详解】由幂函数性质可知在上单调递增， 又易知为偶函数， 所以当时，可知在上单调递减， 可得. 故答案为： 变式1．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）函数的最大值是 . 【答案】/0.25 【分析】求出定义域，令，结合幂函数和二次函数性质求解. 【详解】，解得.定义域为. , 令.则. ，在单调递增，在单调递减. 则，，则. 故答案为：. 变式2．（23-24高一下·山东淄博·期中）函数图象的对称中心坐标是 ；函数的值域是 ． 【答案】 【分析】将函数解析式变形为，结合图象的平移得到其对称中心；又，结合不等式的性质求出函数的值域. 【详解】因为， 将奇函数图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到图象， 所以图象的对称中心为； ，因为，所以， 则，所以. 故答案为：； 变式3．（23-24高一上·全国·课后作业）已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的所有α的值为 . 【答案】1，3 【分析】根据幂函数的性质分析可得. 【详解】当时，，为奇函数，但值域为，不满足条件； 当时，为奇函数，值域为R，满足条件； 当时，为偶函数，值域为，不满足条件； 当时，为奇函数，值域为R，满足条件. 故答案为：1，3 变式4．（19-20高一上·浙江·期中）函数的单调递减区间为 ；值域为 ． 【答案】 【分析】首先求出定义域，由复合函数的单调性求法即可求出函数的单调区间；由定义域和函数的单调性可求值域. 【详解】函数有意义，则，解得函数的定义域为， 令，对称轴为，开口向下，所以在上为增函数，在为减函数，又在定义域内为增函数，所以的单调递减区间为； 由，，所以，即， 所以. 故答案为 ；      【点睛】本题考查复合函数的单调区间与值域，复合函数的单调性“同增异减”，注意在求单调区间时先求定义域. 变式5．（21-22高一上·山东济南·期中）若函数在上有最小值5，则在上的最大值是 ． 【答案】1 【分析】构造奇函数，利用奇函数性质求解出对应最大值. 【详解】设，定义域为关于原点对称， 又，所以为奇函数， 记为在上的最小值，为在上的最大值， 又在上的最小值为，在上的最大值为， 所以，所以， 故答案为：. 【方法技巧与总结】 ①配方法:若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域; ②)换元法:常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化; ③不等式法:借助于基本不等式 求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”; ④单调性法:首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求出函数的最值; ⑤图象法:画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值 【题型7：幂函数图像的应用】 例7．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数则的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】结合幂函数知识，画出的图象，将该图象沿轴对称即可. 【详解】结合题意可得：当时，易知为幂函数，在单调递增； 当时，易知为幂函数，在单调递增. 故函数,图象如图所示: 要得到，只需将的图象沿轴对称即可得到. 故选：C. 变式1．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数，若，则函数的图象是（    ） A．   B．   C．     D．   【答案】C 【分析】作出函数的图象，利用函数图象的对称变换可得出函数的图象. 【详解】作出函数的图象如下图所示：    因为，则将函数的图象关于轴对称，可得出函数的图象，如下图所示：    故选：C. 变式2．（23-24高一上·广东肇庆·开学考试）把抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象变换的规则，准确化简，即可求解. 【详解】将抛物线向下平移3个单位长度，得到， 再向左平移4个单位长度，所得到的抛物线为. 故选：B. 变式3．（2022高一上·全国·专题练习）如图所示是函数（m、且互质）的图象，则（    ） A．m，n是奇数且 B．m是偶数，n是奇数，且 C．m是偶数，n是奇数，且 D．m，n是偶数，且 【答案】B 【分析】根据图象得到函数的奇偶性及上单调递增，结合m、且互质，从而得到答案. 【详解】由图象可看出为偶函数，且在上单调递增， 故且为偶数，又m、且互质，故n是奇数. 故选：B 变式4．（多选）（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在定义域单调递减 B．的值域为 C．的图象关于对称 D．可以由函数平移得到 【答案】CD 【分析】化简的解析式，然后根据函数的定义域、单调性、值域、对称性、三角函数图象变换等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】， 所以的定义域是， 减区间是，在定义域上不具有单调性，A选项错误. 的值域为，所以B选项错误. ，为奇函数，图象关于原点对称， 所以关于对称，C选项正确. 向右平移一个单位，得到，再向上平移个单位，得到， 所以D选项正确. 故选：CD 变式5．（24-25高一上·上海·课堂例题）函数的图象可由函数的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到. 【答案】 右 1 下 1 【分析】根据解析式的形式，由“左加右减，上加下减”.找出图像变换规则即可. 【详解】由“左加右减，上加下减”,函数的图像可由函数的图象先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到. 故答案为：右；1；下；1 变式6．（22-23高二下·陕西西安·期中）直线与函数图象的交点个数为 ． 【答案】4 【分析】根据二次函数的性质，结合图象变换，作图，可得答案. 【详解】令，，解得或， 将代入，解得，可作图如下：    由图可知，直线与函数图象的交点个数为. 故答案为：. 变式7．（22-23高一上·上海浦东新·期末）为了得到函数的图象，可以把函数的图象右移 个单位. 【答案】1 【分析】利用函数图象的平移规律进行求解即可 【详解】为了得到函数的图象，根据平移规律，可以把函数的图象右移1个单位， 故答案为：1 变式8.（24-25高一上·上海·课堂例题）在同一坐标系内作出函数和的图像，并说明这两个图像之间的关系． 【答案】答案见解析 【分析】，．根据解析式形式，由“左加右减，上加下减”. 找出图像变换规则即可。 【详解】，而，则先向左移1个单位，然后向上移1个单位得到． 解：作图如下： 【方法技巧与总结】 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 （1）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为： ①在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)； ②在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． 依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或或y＝x3)来判断． 【题型8：幂函数解不等式】 例8．（22-23高三上·安徽·阶段练习）已知函数，若当时，恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知，在上为增函数且为奇函数，进而将问题转化为在上恒成立，再求最值即可得答案. 【详解】解：由题意，， 因为，所以为奇函数， 由幂函数的性质得在上单调递增， 所以，在上的增函数， 因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以，只需，即 所以实数a的取值范围是. 故选：C 变式1．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·期中）（1）已知，求的值； （2）幂函数在上单调递增，若，求的取值范围. 【答案】（1）（2）或 【分析】（1）以代得再根据题中条件，通过解方程组的方式可求得，令，即可求解；（2）根据幂函数的定义和性质，可求得函数的解析式，再根据函数的性质，变化不等式，求解即可. 【详解】（1）因为，① 以代得， ② ②-①得，， 即， 令得，. （2）幂函数 在上单调递增， ，故. 是偶函数，且在上单调递增. 由，得， ，即或. 即的取值范围为或. 变式2．（2022高一·全国·专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据幂函数的图象关于轴对称，求出的值．再根据幂函数的单调性，即可求出满足的的取值范围． 【详解】由题意， ∵函数在上递减， ∴即，又 ∴或， 又函数图象关于轴对称， ∴为偶数，因此， ∴函数在上为增函数， ∴等价于， ∴， 故的取值范围为． 变式3．（22-23高一上·山东·期中）已知幂函数关于y轴对称，且在上单调减函数． (1)求m的值； (2)解关于a的不等式． 【答案】(1)1 (2)或 【分析】(1)结合幂函数的奇偶性以及单调性即可求解；(2)结合(1)中结论对不等式化简，并通过解一元二次不等式即可求得答案. 【详解】（1）因为幂函数在上单调减函数， 所以且，解得或， 因为幂函数关于y轴对称， 所以是偶函数， 故为偶数，从而只有满足题意， 从而m的值为1. （2）由(1)中知，，则， 即， 解得或， 故不等式的解集为：或. 变式4．（23-24高一上·天津·期中）若幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先由函数单调性得，进而求出或，接着由幂函数奇偶性得，再结合函数的单调性分类讨论即可解不等式. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 所以，解得， 又，所以或， 当时，幂函数为，图象关于y轴对称，满足题意； 当时，幂函数为，图象不关于y轴对称，舍去， 所以，不等式为， 因为函数在和上单调递减， 所以或或， 解得或. 故答案为：. 变式5．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知幂函数的图象与坐标轴无交点. (1)求的解析式； (2)解不等式. 【答案】(1)； (2)且. 【分析】（1）利用幂函数的定义，结合图象特征求出即得. （2）由幂函数的单调性结合奇偶性求解不等式. 【详解】（1）由是幂函数，得，解得或， 由的图象与坐标轴无交点，得，则， 所以的解析式是. （2）显然函数是偶函数，且在上单调递减， 不等式， 因此，解得且， 所以原不等式的解集为且. 变式6．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知幂函数为偶函数，且在上单调递减． (1)求m和k的值； (2)求满足的实数a的取值范围． 【答案】(1)，或； (2) 【分析】（1）根据函数为幂函数，列式计算，即可求得k的值；根据幂函数的单调性求得m的值，结合奇偶性即可确定m的取值. （2）结合（1）可得，即为，利用幂函数的性质，分类求解不等式，即可求得答案. 【详解】（1）由函数为幂函数， 则，解得或； 由在上单调递减， 得，解得，而，故或2， 当时，，定义域为，且为偶函数，符合题意； 当时，，定义域为，函数为奇函数，不符合题意； 故，或； （2）结合（1）可知，即为， 故或或， 解得或或， 故实数a的取值范围为. 变式7．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数是幂函数，且函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质运算求解； （2）根据的定义域以及单调性分析求解. 【详解】（1）因为函数是幂函数， 则，即，解得或1， 又因为函数关于轴对称， 当时，则为偶函数，满足题意； 当时，则为奇函数，不满足题意； 综上所述：实数的值为. （2）函数，则函数在定义域内单调递减， 由可得:，解得， 所以实数的取值范围为. 【题型9：幂函数的奇偶性】 例9．（21-22高一上·全国·课后作业）函数在上是（   ） A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数 C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数 【答案】A 【分析】由幂函数的图象与性质求解即可. 【详解】因为，令， 因为关于原点对称， 所以， 所以是奇函数，又因为，所以在是增函数 故选：A. 变式1．（多选）（23-24高一上·河南新乡·阶段练习）关于幂函数，下列结论正确的是（    ） A．的图象经过原点 B．为偶函数 C．的值域为 D．在区间上单调递增 【答案】BC 【分析】由题意，得，利用幂函数的性质判断各选项即可. 【详解】由题意，，所以，即 对于A，的定义域为， 故的图象不经过原点，A错误； 对于B，因为的定义域为， ，故为偶函数，B正确； 对于C，由于，故值域为，C正确； 对于D，由于，故在区间上单调递减，D错误． 故选：BC． 变式2．（多选）（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（    ） A．函数的图象过原点 B．函数是偶函数 C．函数的值域为 D．函数在是单调减函数 【答案】ABD 【分析】首先求出幂函数解析式，再根据幂函数的性质及奇偶性一一判断即可. 【详解】由幂函数的图象过点， 则，即，即. 则幂函数定义域为， 又，则函数的值域为，故C错误； 当时，，则函数的图象过原点，故A正确； 由，则，所以函数为偶函数，故B正确； 因为函数在上单调递增， 由偶函数的的对称性可得函数在上单调递减，故D正确. 故选：ABD. 变式3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，若幂函数的图像关于原点对称，且在上是严格减函数；则取值的集合是 ． 【答案】 【分析】由幂函数的性质可知α是奇数，且，则答案可求. 【详解】因为， 幂函数的图像关于原点对称，且在上单调递减， 所以α是奇数，且，所以． 故答案为：. 变式4．（23-24高一上·上海虹口·期末）设，若幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数，则实数 ． 【答案】 【分析】利用幂函数的性质来解答即可. 【详解】， 若幂函数的图像关于轴对称，则， 又幂函数在区间上是严格增函数，则. 故答案为：. 变式5．（23-24高一上·四川·阶段练习）已知.若幂函数为奇函数，且在上单调递增，则 . 【答案】3 【分析】根据幂函数的奇函数性质和单调性的性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以当幂函数为奇函数时，或； 而幂函数又在上单调递增知，所以， 故答案为： 变式6．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知幂函数在区间上是严格增函数，且的图象关于y轴对称，求m的值． 【答案】 【分析】根据题意，利用幂函数的性质，求得，再结合的图象关于y轴对称，进而确定实数的值. 【详解】由幂函数在区间上是严格增函数， 可得，即， 解得且，即， 当时，可得，此时函数为奇函数，图象关于原点对称，不符合题意； 当时，可得，此时函数为偶函数，图象关于对称，符合题意； 当时，可得，此时函数为奇函数，图象关于原点对称，不符合题意， 综上可得，实数的值为. 变式7．（2023高一·上海·专题练习）已知幂函数是偶函数，且在上为增函数，试求实数的值. 【答案】 【分析】由函数是幂函数，则，解出的值，再验证函数是否为偶函数，结合单调性得出答案. 【详解】由幂函数的定义可知，，即，解得或， 则或. 若，则其定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数，不符合题意； 若，则其定义域为，关于原点对称， 又，所以为偶函数，且在上单调递增，符合题意， 所以实数的值为. 【题型10：幂函数恒成立与存在成立问题】 例10．（21-22高一上·陕西西安·期中）已知函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合奇函数的图象性质，以及不等式恒成立问题，即可求解. 【详解】根据题意，易知函数为上的奇函数，且在上单调递增. 因为在上恒成立， 所以，在上恒成立， 即在上恒成立. 令，则在上恒成立， 则，解得. 故答案为：. 变式1．（20-21高一上·上海黄浦·期末）已知当x∈(-1，0)∪(0，1)时，不等式恒成立，则满足条件的a形成的集合为 . 【答案】 【解析】直接利用幂函数的性质和分类讨论的应用求得结果. 【详解】令，由可知，幂函数的图象在的图像上方，如果函数为奇函数，则第三象限有图象，所以不是奇函数，故不符合； 由于，所以整理得 ，所以得，故 不符合；所以即 ， 故答案为： 变式2．（22-23高一上·福建龙岩·期末）已知幂函数为偶函数，． (1)若，求； (2)已知，若关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用幂函数的定义及性质求出，再利用列方程求出； （2）将问题转化为，构造函数，利用函数单调性的定义判断的单调性，根据单调性可求得，进而可得的取值范围 【详解】（1）对于幂函数，得， 解得或， 又当时，不为偶函数， ， ， ， ， 解得； （2）关于x的不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 即， 先证明在上单调递增： 任取， 则， ， ，，又， ， ，即， 故在上单调递增， ， ，又， 解得. 变式3．（22-23高一上·辽宁辽阳·期末）已知幂函数为奇函数． (1)求的解析式； (2)若正数满足，若不等式恒成立．求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数定义可构造方程求得的值，结合奇偶性可得结果； （2）由，利用基本不等式可求得的最小值，由此可得结果. 【详解】（1）为幂函数，，解得：或； 当时，，则，即为偶函数，不合题意，舍去； 当时，，则，即为奇函数，符合题意； 综上所述：. （2）由（1）得：，即，又，， （当且仅当，即，时取等号）， . 变式4．（19-20高一上·河南平顶山·期末）已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增. （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】（I）根据幂函数的奇偶性和在区间上的单调性，求得的值，进而求得的解析式. （II）先求得的解析式，由不等式分离常数得到，结合函数在区间上的单调性，求得的取值范围. 【详解】（Ⅰ）∵幂函数为偶函数，且在区间上单调递增， ，且为偶数.                又，解得， .             （Ⅱ）由（Ⅰ）可知. 当时，由得.                易知函数在上单调递减，             . ∴实数的取值范围是. 【点睛】本小题主要考查幂函数的单调性和奇偶性，考查不等式在给定区间上恒成立问题的求解策略，属于中档题. 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义求解即可》 【详解】依题意可得, 所以, 又的图象经过点, 所以, 解得, 所以. 故选：D. 2．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数解析式直接判断各选项中的函数单调性即得. 【详解】函数、在R上单调递增，AB不是； 函数在上单调递增，C不是； 函数在上单调递减，D是. 故选：D 3．（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）函数是幂函数，则实数的值是（    ） A． B． C．或 D．且 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义列方程求解即可. 【详解】由幂函数的定义知， 即，解得或． 故选：C 4．（23-24高一上·广东湛江·期中）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出的解析式，然后可求出. 【详解】设，由，得， ，则. 故选：D 5．（23-24高一上·四川广安·期末）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】待定系数法求出解析式，从而选出答案. 【详解】设幂函数解析式为，将代入得， 即，故，解得， 所以，C选项为其图象. 故选：C 6．（23-24高一上·天津·期中）函数的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数的单调性即可求解. 【详解】，即，解得或， 令，则的对称轴为， 在上单调递减，在上单调递增， 又是增函数， 在上单调递减，在上单调递增. 故选：. 7．（24-25高一上·全国·课后作业）已知幂函数（且）为奇函数，且在区间上递增，则m等于（    ） A．1 B．2 C．1或3 D．3 【答案】C 【分析】根据幂函数的单调性及奇偶性求解即可. 【详解】因为幂函数（且）在区间上递增， 所以且，所以， 当时，幂函数为奇函数，符合题意； 当时，幂函数为偶函数，不符合题意； 当时，幂函数为奇函数，符合题意，综上m等于1或3. 故选：C 8．（24-25高一上·全国·课后作业）已知图甲是函数的图象，图乙是由图甲变换所得，则图乙中的图象对应的函数可能是（    ）.    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图可知，甲、乙轴右侧部分的图象一致，再将乙图右侧的图象沿翻折即可得到图乙的图象，据此可得到答案. 【详解】设图乙对应的函数为， 由图可知当时，， 当时，， 所以. 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据①②得到为奇函数且在定义域上单调递减，从而对四个选项一一作出判断. 【详解】由①得为奇函数，由②得在定义域上单调递减， 对于A，满足要求，A正确； 对于B，，故为偶函数，B错误； 对于C，满足要求，C正确； 对于D，，故不是奇函数，D错误. 故选：AC 10．（23-24高一上·四川德阳·期末）若四个幂函数在同一坐标系中的部分图象如图，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用幂函数在第一象限内，的右侧部分的图象的特点，确定出的大小关系. 【详解】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大， 可得. 故选：BC 11．（23-24高一上·广西·期末）已知点，若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】A选项，待定系数法求出，根据的单调性得到A正确；B选项，在上单调递减，在上单调递增，B错误；C选项，根据的单调性得到C正确；D选项，在上单调递减，D错误. 【详解】A选项，设，将点代入可得，解得，则， 因为和函数在上都单调递增， 所以函数在上单调递增，，A正确； B选项，函数在上单调递减，在上单调递增， 故与的大小不确定，B错误； C选项，因为函数在上单调递增， 所以，C正确； D选项，因为函数在上单调递减， 所以，则，D错误. 故选：AC 三、填空题 12．（22-23高一上·河南郑州·期中）若，则的取值范围是   ． 【答案】 【分析】结合幂函数的单调性化简不等式求其解即可. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 所以不等式，可化为， 所以， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 13．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数既是二次函数又是幂函数，函数是R上的奇函数，函数，则 . 【答案】4049 【分析】求出函数，再利用的性质求出的值即可得解. 【详解】由函数既是二次函数又是幂函数，得，即， 又是R上的奇函数，则，， 因此 . 故答案为：4049 14．（25-26高一上·全国·课后作业）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由幂函数解析式结合图象过点得，则，由分母中根式内部的代数式大于0求解定义域. 【详解】设幂函数． 的图象过点， ，． ， ， 则，即， 的定义域为． 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且. (1)求与的解析式； (2)求函数在上的值域. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设出函数解析式，代入点的坐标，求出函数解析式； （2）写出函数，利用换元法求解函数的值域即可. 【详解】（1）设，，， 则， 解得， 则，； （2）由（1）知，， 令，，则， 记， 当时，， 当或1时，， 故在上的值域为. 16．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知幂函数的图像经过点． (1)求幂函数解析式； (2)求证：幂函数在区间上是严格增函数． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由幂函数的解析式列出方程，求解即可； （2）由函数单调性的定义结合不等式的性质证明即可. 【详解】（1）因为的图像经过点，所以，则． （2）证明：由（1）可知，， 设，可得， 所以， 即， 所以在区间上是严格增函数． 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数 (1)在坐标系中作出函数的图象； (2)若时函数值等于，求a的取值集合． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）直接根据函数解析式得出函数性质，作图即可. （2）根据分段函数性质对分类讨论，列出方程即可求解. 【详解】（1）函数的图象如下图所示： （2）当时，，可得：； 当时，，可得：； 当时，，可得； 综上所述，a的取值构成集合为. 18．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象； (1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3). 【分析】（1）利用关于原点中心对称作出图象，由图象得单调区间； （2）根据奇函数定义求解析式； （3）用二次函数性质分类讨论即可求得最小值． 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，即函数的图象关于原点对称， 则函数图象如图所示． 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）根据题意， 令，则，则， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 即， 所以. （3）当时，， 则， 其对称轴为， 当时，即，则， 当时，即，则， 故. 19．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，． (1)作出，的图像； (2)对任意，用表示、中的较小者，记作，请用图像法和解析法表示． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据绝对值的性质去绝对值，即可得函数表达式，进而根据一次函数的性质作出图象即可， （2）根据的定义，即可结合函数图象求解. 【详解】（1） 图像如图． （2）函数的图像如图． 表达式为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$