2.4.2 简单幂函数的图象和性质-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

§4函数的奇偶性与简单的幂函数 4.2简单幂函数的图象和性质 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式 学习目标 1 2结合幂函数y=xy=y=x,y=√丘y=x'的图象，理解它们的变化规律 3.能利用幂函数的基本性质解决相关问题. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1幂函数的定义 思考辨析 般地，形如 (a为常数)的函 y=1是幂函数吗？ 数，即 是自变量、 是常数的函 数称为幂函数， 自主诊断 名师点睛】一 1.判断正误.（正确的画√，错误的画×） 1.暴值前面的系数是1，否则不是暴函数，如函 (1)函数f(x)=x2与函数∫(x)=8x2都是幂 函数 () 数y=5.x就不是幂函数 (2)一元二次函数都是幂函数 () 2.暴函数的定义城是使x"有意义的所有x的 集合，因a的不同，定义域也不同. 2在函数①y=,②y=3x,③y=x+2红中，是 幂函数的为 (填序号) 知识点2幂函数的图象和性质 续表 1.常见的五种幂函数的图象 (-∞，0)U 值域 R (0,+∞) = 奇偶 奇函数 性 y日 在[0，十o∞) 在[0，在(0，十∞)上 上 在R上 单调在R上 +0∞) ,在是 性 是 上是增在（一∞，0） (一 函数 0]上 2.幂函数的性质 公共 (1,1) 点 幂函 y=x y=x 数 y=z? y=x y=x- 名师点晴 暴函数y=x”的上述性质可归纳如下： 定义 (-∞，0)U (1)当a>0时，图象都经过点(0,0)，(1,1)；在第 R R R 域 (0,十o∞) 一象限内，函数单调递增。 91 。数学「第二章函数 (2)当a<0时，图象都经过点(1,1)；在第一象 2.如图所示，图中的曲线是幂 限内，函数单调递减，图象向上与y轴无限接近，向 函数y=x”在第一象限的 右与x轴无限接近 图象，已知n取士2，士 2 思考辨析 四个值，则曲线C1,C2, 通过对5个幂函数图象的观察，哪个象限一定有 Cs,C4对应的解析式中n 幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？ 的值依次为() A-,日22 2-2 -22号 1 n22-2,号 1 3.3.171与3.711的大小关系为 4.(人教A版教材习题)已知幂函数y=f(x)的图象 自主诊断 过点(2，号》，试求出此函数的解析式，并面出图 象，判断奇偶性、单调性 1,判断正误.（正确的画√，错误的画×） (1)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0).( (2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定 是原点 ( 重难探究·能力素养速提升 探究点一 暴函数的概念 【例1】函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂 1变式训练1如果幂函数y=(m2一3m+ 函数，且当x∈(0，+c∞)时，f(x)单调递增，试确 3)x的图象不过原点，求实数m的值 定m的值， [课堂笔记] 规律方法判断一个西数是否为暴函数的依据 是该函数是否为y=x(a为常数)的形式，即(I)系 数为1：(2)指数为常数；(3)后面不加任何项.反之， 若一个函数为暴函数，则该函数必具有这种形式 92 §4函数的奇偶性与简单的幂函数 探究点二 幂函数的图象 【例2】下列关于函数y=x与y=ax(a∈ (2)当x∈(0,1)时，指数越大，暴函数图象越靠近 (一1,72,3)的图象正确的是( x轴（简记为“指大图低"）：当x∈(1，十∞)时，指数越 ) 大，幂函数的图象越远离x轴（简记为“指大图高”）. (3)由幂函数的图象确定幂指效α与0,1的大小 关系，即根据幂函效在第一象限内的图象（类似于 y=x1或y=x,y=x)来判断. (4)当a>0时，幂函数在区间(0，十∞)上都单调递 增；当a<0时，暴函数在区间(0，十∞)上都单调递减 1变式训练2如图所示，曲线C1与C2分别 是函数y=xm和y=x"在第一象限内的图象， 则下列结论正确的是() [课堂笔记] C 0 缸规律方法对于函数y=x(a为常数)而言，其 A.n<m<0 B.m<n<0 图象有以下特点： C.n>m>0 D.m>n>0 (1)恒过点(1,1) 探究点三利用暴函数的单调性比较大小 【例3】比较下列各组中两个数的大小： 年中中年中卡年作年行年年年年年年中年中年年中中年年中年年年中中中年中年卡生中中时中中年卡卡年年1中中卡中手于年中中 a)与)， 2(-)与()· [课堂笔记] 位规律方法1.比较幂的大小的三种常用方法 直接法☐ 当暴指数相同时，可直接利用暴函数 的单调性来比较 种 当暴指数不同时，可以先转化为相同 转化法 罩指数，再运用暴函数的单调性比较 法 大小 当底数不同且暴指数也不同时，不能 中间量法 运用暴函数的单调性比较大小，可选 取适当的中间值与两数分别比校，从 而达到比较大小的目的 2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题 比较大小的两个实数必须转化为同一个函数的 同一个单调区间内，否则无法比较大小 93 数学「第二章函数 标究点四 暴函数图象的应用 【例4】已知点(2,2)在幂函数f(x)的图象 1变式训练3|已知幂函数f(x)=x的图 上，点(-2，)在幂函数gx)的图象上，问当工 象过点(2,4)： (1)求函数f(x)的解析式； 满足什么条件时，有(1)f(x)>g(x), (2)设函数h(x)=2f(x)一kx-1在[-1,1] (2)f(x)=g(x),(3)f(x)<g(x)? 上具有单调性，求实数k的取值范围。 [课堂笔记] 4444444+44444444444444444444444444444444444444444444444444444444 444+444444 本节要点归纳 1.知识清单： (1)幂函数的定义； (2)几个常见幂函数的图象： (3)暴函数的性质. 2.方法归纳：待定系数法、数形结合法， 3.常见误区：对幂函数形式的判断易出错，只 有形如y=x°(a为常数)的函数为幂函数，其他 形式都不是幂函数 学以致用·随堂检测促达标 1.已知幂函数f(x)=x(a∈R)的图象过点(4， 2),则a=() A-4B-2 c 2.幂函数y=x2,y=x1,y=x3,y=x在第 A.C2,C1,C3,C4 B.CC1,C3,C2 一象限内的图象依次是下图中的曲线( C.C3,C2,C1,C4 D.C1,C4,C2,C3 94 本章总结提升 3.(2025贵州毕节高一期末)已知函数y= 到密文“2”.若接收方接到密文“3”，则解密后得 (2m一1)x"十n一2是幂函数，一次函数y= 到的明文是 虹+6>0，b>0)的图象过点m,a,则+ 6.比较下列各组中两个值的大小： (1)1.5与1.6； 君的最小值是 (2)0.6.3与0.71.3； 4.函数y=x3在区间[2,4幻]上的最小值是 (3)3.5号与5.3号， (4)0.18a3与0.1503 5.为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系 统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文 (加密)，接收方由密文到明文（解密）.现在加密 密钥为y=x(a为常数)，如“4”通过加密后得 本章总结提升 ©知识网络·整合构建 D.(-0)U(0.+o) 函数 ★(2)若函数y=f(x)的定义域是[-2,4]， 则函数g(x)=f(一x)的定义域是() 函数概念 函数表示 函数性质 两类函数 A.[-4,4] B.[-4,2] C.[-4,-2] D.[2,4] 量 应 (3)函数y=1一x 画函数 1+x的值域为 刻 的不函数 [课堂笔记] ⊙专题突破·素养提升 专题一求函数的定义域、值域 规律方法求函数的定义域，始终记住是求使 函数有意义的自变量x的取值范围：求函数的值域， 1.定义域：关注解析式中的根号、分母、零次 别忘了定义城优先的原则，另外，定义城、值城一定要 幂有意义：抽象函数的定义域一般用代入法求解. 写成集合或区间的形式 2.值域：首先考查函数类型，再确定函数在定义 域上的单调性，最后计算最值解题过程中要灵活应 I变式训练1(1)函数f(x)= 2x2 用换元法、配方法等方法，含字母的要分情况讨论. /1-x (2x一1)°的定义域为( 【例1】(1)函数y=√2x+1十√3一4z的定 义域为() A(-,》 A(别 B(2 c(2》 c(引 n.(←o,2u(2l 95·m2一1=0，解得m=士1 探究点四函数奇偶性与单调性的综合应用 【例4一1】A:f(x)在R上是偶函数，f(一2)= f(2),f(-3)=f(3).f(x)在区间[0，+∞)上单调递增，且 2<3r,.f(2)<f(3)<f(π)，.f(一2)<f(一3)<f(π).故 选A 【变式探究】解(1)图为当x∈[0，十∞)时，f(x)单调递 减，所以有f(2)>f(3)>f(π).又国为f(x)是R上的偶函数， 所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),从而有f(-2)> f(-3)>f(π). (2)因为函数为定义在R上的奇函数，且在[0，十∞)上单 调造增，所以函数在R上是增函数， 周为一3<一2<π，所以f(一3)f(一2)<f(π). 【例4一2】解周为f(x)在区间[一2,2]上为奇函数，且在 区间[0,2]上单调递减，所以f(x)在区间[一2,2]上单调递减. 「-2≤1-m≤2， 「一1m≤3， 文f(1一m)<f(m),所以一2≤n≤2， 即 -2≤m≤2， 1一m>m: n<t. 解得一1<m<受故实数m的取值范周是[-1，)】 【变式探究】解因为函数为区间[一2,2]上的偶函数，又函 数在[一2,0]上单调递减，所以函数在[0,2]上单调递增 不等式可化为f(11一m)<f(m|), -2≤1一m≤2， 一1m≤3， 故可得一2m≤2，即 -2≤m≤2， 1-m<m,m>2, 解得号<m<2,故实数m的取植范围为（侵，]， ⊙学以致用·随堂检测促达标 1.ABD 2Df(-x)=f(x),.f(2)=f(-2),:-2< -是<-1，又f)在(-0，-1门上单洞递增f(-2)< f(-)<(-1),即f2)<f(-2)<f(-1).故选D 3.D因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(一x)= 一f(x),因为g(x)是定义在R上的偶函数，所以g(一x)= g(x),则f(一x)g(一x)=一f(x)g(x),所以f(x)g(x)为奇 函数，故A错误；f(g(一x)=f(g(x),所以f(g(x)为偶函 数，故B错送：f(-x)一g(-x)=一f(x)-g(x),则 f(工)一g(x)既不是奇函数，也不是偶函数，故C错误： g(f(一x)=g(-f(x)=g(f(x),放g(f(x)为偶函数， 故D正确.故选D. 4.一26令h(x)=x5+ax3十bx,易知h(x)为奇函数.因 为f(x)=h(x)-8,h(x)=f(x)+8,所以h(-2)=f(-2)+ 8=18.h(2)=-h(-2)=-18,所以f(2)=h(2)-8= -18-8=-26. 5.解函数的定义域为（一∞，0）U(0,十∞)，当x>0时， -x<0,f-0=-2-x-1=-(22+1)=-j. 当x<0时，-x>0f(-x)=(-x+1=2+ 1=-(2-)=-f. 综上所迷，在（一∞，0）U(0,+∞)上总有f(-x)= 一f(x).因此函数f(x)是奇函数 6.解，f(3a-10)十f(4-2a)<0,.f(3a-10)< -f(4-2a). ∫(x)为奇函数， .-f(4-2a)=f(2a-4. .f(3a-10)<f(2a-4). 又f(x)在R上是减函数， .3a-10>2a-4..a>6. 故实数a的取值范围为(6，十∞). 4.2简单幂函数的图象和性质 ○基础落实·必备知识一遍过 知识点1 y=x底数指数 【思考辨析】 提示不是，它与y=x°(x≠0)不是同一函数 【自主诊断】 1.(1)×(2)× 20画数y子-为茶数：画数y=3中的 系数不是1，所以它不是暴函数：函数y=x2十2x不是y=x“(a 为常数)的形式，所以它不是暴函数 知识点2 2.[0,十∞)[0，十o∞)[0，十∞)奇函数偶函数 既不是奇函数，也不是偶函数奇函数增函数单调递增 单调递减增函数单调递诚单调递减 【思考辨析】 提示第一象限一定有暴函数的困象，第四桑限一定没有暴 函数的图象。 【自主诊断】 1.(1)×(2)/ 2,B由题可知C的n=2,C的n=2:当n<0时，n越 05 大，南线越徒坊，所以南钱C的=一号，曲线C。的=一2故 选B 3.3.17-1>3.71 4.解依题意设∫(x)=x°，则2=)1 解得a=是所以f)= √2 函数f(x)=x的图象如图所示， f(x)既不是奇函数也不是偶函数，函数f(x)在(0，十©o)上单 调递减。 ⊙重难探究·能力素养速提升 探究点一幂函数的概念 【例1】解根摇暴函数的定义，得m2一m一5=1， 解得m=3,或m■一2. 当m=3时，f(x)=x2在区间(0，十0∞)上单调递增： 当m=一2时，f(x)=x3在区间(0，十o∞)上单调递减， 不符合要求.故m■3 【变式训练1】解由暴函数的定义，得m2一3m十3=1，解 得m=1,或m=2; 当m=1时，m一m一2■一2，函数为y■x,其图象不过 原点，满足条件： 当m=2时，m3一m一2=0，西数为y=x°，其图象不过原 点，满足条件 棕上所述，m=1戏m=2. 探究点二幂函数的图象 【例2】C函数y=x”是幂函数，而y=ax是一次函数，选 项A,直线对应函数为y■x,曲线对应面数为y■x:选项B, 直线对应函数为y=2x,期线对应函数为y=x;选项C,直线 对应函数为y=2x,曲线对应函数为y=x,选项D,直线对应 函数为y=一x,曲线对应函数为y=x或y=x故选C 【变式训练2】A画出直线y=x°的图象，作出直线x 2,与三个函数图象交于点(2,2°)，(2,2”)，(2,2").由三个点的 位置关系可知，n<m<0.故选A 1229 12.2 122)ic C 0 12 xe2 探究点三利用幂函数的单调性比较大小 【例3】解(1)：暴函数y=x2在[0，十∞)上是增函数， 号>3()>（传） (2):幂函数y=x1在区间（一∞，0）上单调递减， 又-<-()() 探究点四幂函数图象的应用 【例4】解设f(x)=x(a∈R) :点(W瓦，2)在幂函数f(x)的图象上， .2■(W2)°，解得a■2..f(x)=x2. 设g(x)=x(b∈R). ~点(-2，)在幂函数g(x)的图象上， ∴=（一2，解得6=-2g)=x 在同一直角坐标系中作出 f(x)=x2和g(x）=x的图象，如 图所示。 (1)当x>1或x<-1时， f(x)>g(x): (2)当x=1或x=-1时，f(x)=g(x)； (3)当-1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x). 【变式调练3】解(1)图为暴函数f(x)=x°的图象过点 (2,4),所以4=2，解得a=2,所以函数f(x)=x2 (2)h(x)=2f(x)-x-1=2x2-r-1,其图象的对称轴 为支线x=一专-=冬周为6G)在[一1，门上果有单满性，所 以<-1或号≥1，解得≤-4我>4，所以实教无的取值 范圈为（引≤一4或≥4}. ©学以致用·随堂检测促达标 1B景画数f(x)=x(a∈R)的图象过点(4，），则 心=之样得a=一立故选B 2.D暴函数图象在第一象限内直线x=1右侧的“高低” 关系是“指大图高”，故展函数y=x”在第一象限内的图象为 Cy=x在第一象限内的图象为C4,y=x在第一象限内 的图象为C2y=x李在第一象限内的图象为C 3号由题老释 2m一1=1，， m=1, 解得 n-2-0,n=2, 将(1,2)代入一 次画数得+b=2,故+方号(+君）+6)（计 1+典+)≥(5+2√僧·票)-是，声仅当奖-号 即0=青6=号时，等号成立，故+乃的最小值为号 4高国为画数y=上在(0，十∞)上单调递减， 所以多x=4时，y取得最小值4= 5.9由随目可知加密密钥y=x是一个幂蓝数模型，所 以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值.由题意， 得2，解得a-分则y=子.由x=3,得x=9,即明文 是9 6.解(1)？茶画数y=工导在区间(0，十∞)上单调递增，且 1.5<1.61.53<1.63 (2):暴函数y一x在区间(0，+∞)上单调递增，且 0.6<0.7,0.63<0.713 (3八幂画数y=x导在区间(0，十∞)上单调递减，且 355.3,3.5>5.3号 (4):暴函数y=xa3在区间(0，十∞)上单调遂减，且 0.18>0.15,.0.18a3<0.15-8 本章总结提升 【专题突破·素养提升】 2x+120, 【例1】(1)B(2)B(3)(-1,1](1)由 解 3-4x≥0， 得-名<<，所以画数y=z币十尽-红的定义越为 [2], (2)由题知-2≤-x≤4，得-4≤x≤2 所以函数g(x)=f(一x)的定义域是[一4,2]. 1-x° @周为y号=-1+子 又函数的定义城为R, 所以x+1≥1，所以01十≤2，则y∈（一1.1 1-x>0, 【变式训练1】(1)D(2)C(1)由题意得 解得 2x-1≠0， x1且x≠号 (2)由一1≤x2,得-2x一1≤1， 所以一2≤1一3x≤1，解得0≤x1 【例2】解(1)设x<0,刚一x>0,∴f(-x)=-(一x)2+ 2(-x)=一x2-2x,又fx)为奇函数，∴f(-x)=一f(x),∴.当 x<0时，f(x)=x2+2x-x2+mx,m-2 (2)要使f(x)在[一1，a一2]上单调 递增，结合∫(x)的图象（如图所示），知 a-2>-1, a-2≤1， .1<a≤3，故实数a的取值范图是(1,3] -x2-ar-5x≤1， 【变式调练2】C图为函数f(x)= 是> 是R 上的增函数，则每一段函数都单调递增，则实数口满足 a<0, a<0, 号≥1，中a<-2,所以-3a≤-2 一6一a≤a, a≥-3， 【例3】解：f(x)是定义在R上的函数，且f(一x)=f(x), f(x)为偶函数.又f(x)在（一6∞，0）上单调递增， f(x)在(0，十∞)上单调递减. 又2a+a+1=2(e+)+话>0.2a-+8= 2(a-1)2+1>0,由f(2a2+a+1)<f(2a2-4a+3)知，2a2+ a+1>2a-如+3得6>2a>号， 实数a的取值范调是（号，+）， 【变式训练3】解(1)f(x)是奇函数，f(一x)■一f(x), 异者-号 又1@=音-号解得m=2 .实数m和n的值分别是2和0. 南a如)2法2号+是号+》 任取x1,x∈[-2，-1]，且x1<x2,则f(x1)-f(x2)= 号4-）-号 -2≤x1<x2≤-1，∴x1-x<0,x1x2>1,x1x%-10, ∴f(x1)-f(x)<0,即f(x1)<f(x). .函数f(x)在[-2，-1门上单调递增.f(x)的最大值为 f(-1)=-子f)的最小值为f(-2)=-吾 【例1①-号画数y=z-a-1 的图象如图所示，因为直线y=2a与函 数y=|x一a|一1的图象只有一个交 点，故2a=-1,将得a=子 (2)解①图为定义战[-3,3]关于原点对称，∫（一x)= (-x)2-2-x|+a=x2-2|x|+a=f(x),即f(-x)= f(x),所以f(x)是偶函数. ②当0≤x≤3时，f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2: 当-3≤x<0时，f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2. (x-1)2-2,0≤x≤3， 故f(x)= (x+1)2-2,-3≤x<0.