精品解析：浙江省舟山市定海区金衢山等校2024-2025学年九年级上学期开学检测数学试题

2024年金衢山五校联考九年级上册开学质量监测数学试题卷 1．全卷共三大题，24小题，共8页．满分120分，考试时间120分钟． 2．全卷分卷I（选择题）和卷II（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷I的答案必须用2B铅笔填涂；卷II的答案必须用黑色钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上． 3．考试时不能使用计算器． 第I卷（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. 关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程中，求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为2， ∴， ∴． 故选：C 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 3. 一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法——配方法过程步骤为：1．把原方程化为一般形式．先移常数项，再将二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，从而得出配方的结果． 【详解】解： ， 故选：A． 4. 将矩形和菱形按如图放置，若图中矩形面积是菱形面积的倍，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了矩形和菱形的性质，根据矩形的面积公式以及菱形的面积公式解答即可，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】解：∵矩形的面积，菱形的面积， ∴， ∴， 故选：． 5. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 水温从加热到，需要4min B. 水温下降过程中，与的函数关系式是 C. 在一个加热周期内水温不低于的时间为 D. 上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．根据题意和图象，先求得函数的解析式，进而反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，所需时间：，故A选项说法正确，不合题意； B、由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项说法正确，不合题意； C、当水温升至时，用时， 当水温降至时，，解得：， ∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，故C选项说法错误，符合题意； D、在中，令，则， 即：每20分钟，饮水机重新加热， ∴上午10点接通电源，当天时饮水机是第二次加热， 把代入，得：， 即：时的水温为，不低于，故D选项说法正确，不合题意； 故选：C． 6. 二次函数的图象的最高点在轴上，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，由二次函数有最高点得到，求出抛物线顶点坐标为，由题意得方程求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数的图象有最高点， 二次函数图象开口向下，即， 二次函数的顶点坐标为， 当二次函数的图象的最高点在轴上时，，即，解得或（正值舍去）， 故选：B． 7. 已知二次函数（、、为常数，）图象如图所示，则a，b，c的值可能是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．由二次函数(a、b、c为常数，)的图象开口向下可知，对称轴在y轴的右侧可知，由抛物线交y轴的正坐标可知，据此判断即可． 【详解】解：由二次函数(a、b、c为常数，)的图象可知，，， 故选项A符合题意， 故选：A． 8. 已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．根据二次函数的解析式求出顶点坐标，再根据二次函数的性质求出的值即可． 【详解】解：， 二次函数的顶点坐标为，且二次函数的图象开口向下， 当时，， ， 当时，， 解得或（舍去）， 故选：A． 9. 已知点M是抛物线（m为常数）的顶点，直线与坐标轴分别交于两点，则的面积为（ ） A. B. 6 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、一次函数 图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及三角形的面积公式，通过解直角三角形求出点中边上的高是解题的关键. 将抛物线解析式变形为顶点式，即可找出点在直线上，利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标，过点作直线于点，延长交直线 于点，利用勾股定理及等腰直角三角形的性质可求出的长度，同理可求出的长度，进而可求出的长度，再利用三角形的面积公式即可求出的面积. 【详解】解：， ∴点的坐标为 ∴点在直线 上. ∵直线与坐标轴分别交于点两点， ∴点的坐标为点的坐标. 过点作直线于点，延长交直线 于点，如图所示. ∵点的坐标为, 点B的坐标, ， ， 同理，可求出： ， ， 故选: B. 10. 已知等腰直角的斜边，正方形的边长为，把和正方形如图放置，点与点重合，边与在同一条直线上，将沿方向以每秒个单位的速度匀速平行移动，当点与点重合时停止移动．在移动过程中，与正方形重叠部分的面积与移动时间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图，二次函数图像的性质，根据题意得出相应的函数关系式是解答本题的关键．分别求出，，，的函数关系式即可判断． 【详解】解：①当时，， 函数图像为开口方向向上的抛物线； ②当时，如图， 设交于，则， 则， ， 函数图像为开口方向向下的抛物线； ③当时，； ④当时，同理可得， 函数图像为开口方向向下的抛物线； 故只有选项C符合题意． 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分） 11. 若有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于x的一元一次不等式，求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件为被开方数是非负数．有意义， ∴． 解得． 12. 已知是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】2023 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得，，再代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2023． 13. 已知，，，…，的平均数，求，，…，的平均数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平均数．由题意知，，，，，的和为，则可计算出，，，的和，除以10，即为新数据的平均数． 【详解】解：，，，，的平均数为 ，，，的平均数． 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，点在上，，，将沿直线翻折至的位置，使得点在边上，作于点，为的中点，连接．则______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，，由矩形的性质得，，进而利用勾股定理得，又由折叠性质得垂直平分，进而证明、、三点共线，是的中位线，利用三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∵将沿直线翻折至的位置，使得点在边上， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴，所在直线重合，即、、三点共线， ∵平分，为的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握三角形的中位线性质是解题的关键． 15. 如图，已知，，，…，是x轴上的点，且，分别过点，，，…，，作x轴的垂线交反比例函数（）的图象于点，，，…，，过点作于点，过点作于点，…，记的面积为，的面积为，…，的面积为，则等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象找规律的问题，熟练掌握反比例函数的基础知识，用数学归纳法由个例总结出一般规律是解决本题的关键． 由可得，，，…，的坐标，根据三角形的面积计算公式底高，计算出每一个三角形的底和高之后，分别列出每一个三角形的面积计算式，观察规律即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴设，，，…，， ∵，，，…，在反比例函数的图象上， ∴，，，…，， ∴； ∴； ； ； … ； ∴． ∴． 故答案为：． 16. 如图，抛物线在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为，，…，将抛物线沿直线：向上平移，得到一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点，，…，都在直线：上；②抛物线依次经过点，，…；则顶点的坐标为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则以为顶点的抛物线为，进而可根据，求坐标，根据题意确定，则；同理可求，；；进而可得，最后代值求解即可． 【详解】解：设，，， ∵抛物线沿直线：向上平移，抛物线的顶点，，…，都在直线：上， ∴以为顶点的抛物线为， ∵与的交点为， ∴，即， 解得：， ∵为整数点， ∴，； ∴以为顶点的抛物线为， ∵与的交点为， ∴，即， 解得：， ∵为整数点， ∴，； ∴以为顶点的抛物线为， ∵与的交点为， ∴，即， 解得：， ∵为整数点， ∴，； ∴， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的顶点式，交点坐标，点的规律探究．熟练掌握二次函数图象的平移，二次函数的顶点式，交点坐标并推导一般性规律是解题的关键． 三、解答题 17. （1）先化简，再从中选取一个你喜欢的整数a的值代入求值； （2）已知的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 【答案】（1），时，原式；当时，原式；（2）1 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，分母有理化，无理数的估算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． （1）根据分式的运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件选数代值即可求出答案． （2）先分母有理数化简原式，再利用无理数的估算可得和的值，然后代入求值即可． 详解】解：（1）原式 ， ，2，1，，且a为整数， ∴a为0或 时，原式； 当时，原式； （2） ； ， ， 设的整数部分为，小数部分为， ，， ∴． 18. 如图，在平行四边形中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接． （1）求证：平分； （2）若点E为中点，，，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）15 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质等知识． （1）由四边形是平行四边形得到，则，由得到，则，即可得证； （2）由平行四边形的性质和证得和是等边三角形，则，利用平行四边形的周长公式即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分； 【小问2详解】 解：∵四边形平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的周长． 19. 我们已经历了“一次函数”的学习过程，请你根据已有的经验和方法结合假期的预习尝试完成下列问题： 已知：二次函数中的和满足下表： ⋯ 0 1 2 3 4 5 ⋯ ⋯ 3 0 0 8 ⋯ （1）可求得的值为________； （2）求出这个二次函数的解析式； （3）画出函数图象； （4）当时，则的取值范围为________． 【答案】（1）3 （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． （1）利用表中数据和抛物线的对称性得到当和所对应的函数值相等，从而得到的值； （2）设交点式，然后把把代入得求出的值即可； （3）利用描点法画出二次函数图象； （4）先计算出和所对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和， 抛物线的对称轴为直线， 当和所对应的函数值相等， ； 故答案为：； 【小问2详解】 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ， 即抛物线解析式； 【小问3详解】 如图， 【小问4详解】 当时，， 当时，有最小值， 当时，， 当时，则的取值范围为． 故答案为：． 20. 如图，在和中，，，，为边上一点． （1）求证： （2）若点是的中点，求证：四边形是正方形． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质： （1）只需要证明，即可证明； （2）根据直角三角形的性质得到，再由三线合一定理得到，再证明，即可证明四边形是正方形． 【小问1详解】 证明：， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 证明：中，D是中点的，， ， 又， ， 四边形是菱形． 又， 四边形是正方形． 21. 3月21日是世界睡眠日，某社区为了了解该社区居民的睡眠情况，随机抽取若干名居民对其每日的睡眠时间x（时）进行调查，将调查结果进行整理后分为四组：A组（），B组（），C组（），D组（），并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据所给信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图；在扇形统计图中，______． （2）此次调查中，居民每日的睡眠时间的中位数落在_______组． （3）若该社区共有4200名居民﹐请你估计这个社区有多少名居民每日的睡眠时间在6小时及以上． 【答案】（1） 补全统计图如下： ； 14 （2）C （3）估计这个社区有3738名居民每日的睡眠时间在6小时及以上 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，求中位数等等： （1）用C组的人数除以其人数占比求出参与调查的总人数，再求出B组的人数即可补全统计图；再用D组人数除以总人数即可求出m的值； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）用4200乘以样本中居民每日的睡眠时间在6小时及以上的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：名， ∴一共抽取了100名居民， ∴B组的人数为名， ， ∴； 【小问2详解】 解：把这100名居民每日的睡眠时间按照从低到高排列，处在第51名和第52名的时间都在C组， ∴此次调查中，居民每日的睡眠时间的中位数落在C组； 【小问3详解】 解：名， ∴估计这个社区有3738名居民每日的睡眠时间在6小时及以上． 22. 宜昌某农副加工厂2023年年初投入80万元经销某种农副产品，由于物美价廉，在惠农网商平台推广下，该产品火爆畅销全国各地．已知该产品的成本为20元/件，经市场调查发现，该产品的销售单价定为25元到30元之间较为合理，该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足一种函数关系，售价x（元/件）与y（万件）的对应关系如表： x … 20 26 28 31 35 … y … 20 14 12 9 5 … （1）求该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式； （2）2023年年底该工厂共盈利16万元，2024年国家惠农政策力度更大，生产技术也有所提高，使得该特产的成本平均每件减少了1元． ①求2023年该特产的售价； ②该产品2024年售价定为多少时，工厂利润最大? 最大利润是多少? 【答案】（1）每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为； （2）①2023年该特产的售价为28元；②该产品2024年售价定为29或30元时，工厂利润最大，最大利润是108万元． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用及一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意，学会构建方程或函数解决问题是关键． （1）用待定系数法求出一次函数关系式即可； （2）①由题意列出一元二次方程，并求解即可；②设2024年售价定为元，工厂利润为元，根据题意列出二次函数，并求解即可． 【小问1详解】 设该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为， 由题意得： ，解得， 每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为， 【小问2详解】 ①由题意得：， 解得：， 销售单价定为25元到30元之间， ， 2023年该特产的售价为28元； ②设2024年售价定为元，工厂利润为元，根据题意得： ， 且， 当或30时，的值最大，最大值为（万元）， 该产品2024年售价定为29或30元时，工厂利润最大，最大利润是108万元． 23. 【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： （1）①点的“纵横值”为 ； ②求出函数的“最优纵横值”； （2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； （3）若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值． 【答案】（1）①8；②2 （2）4 （3）5或 【解析】 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解最优纵横值的定义是解题的关键． （1）①根据定义直接求解即可；②根据定义先求出，即可求解； （2）先确定函数的解析式为，再由的最优纵横值为5，得到，即可求解； （3）先求，再分类讨论若，若，两种情况即可求解； 【小问1详解】 解：①由题意得：点的“纵横值”为， 故答案为： ②， ∵， ∴ ∴函数的“最优纵横值”为2 【小问2详解】 解：由题意得：抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得： ∴ ∴ ∵最优纵横值为5， ∴ ∴ 【小问3详解】 解： 若，则当时，； 即：， 解得：或（舍去）； 若，则当时，； 即：， 解得（舍）或； 综上所述：b的值为5或． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标； （2）如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； （3）如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解出抛物线的解析式，再转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．设直线的表达式为，解方程组得到直线的表达式为，则，求得，求得于是得到，解方程得到，根据平移的性质得到，将代入，解方程即可； （3）过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且，求得抛物线的顶点，得到，推出，解方程得到当时，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：抛物线过点 得 解得 抛物线的表达式为 顶点； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为． 设直线的表达式为 由题意知 解得 直线的表达式为 的面积为12 ， ， 解得（舍） 点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点 将代入 得 解得． 【小问3详解】 解：如图，过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且 抛物线的顶点 ， 易得 当时， 点横坐标最小值为，此时点到直线距离最近，的面积最小 最近距离即边上的高，高为： 面积的最小值为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，平移的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地找出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年金衢山五校联考九年级上册开学质量监测数学试题卷 1．全卷共三大题，24小题，共8页．满分120分，考试时间120分钟． 2．全卷分卷I（选择题）和卷II（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷I的答案必须用2B铅笔填涂；卷II的答案必须用黑色钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上． 3．考试时不能使用计算器． 第I卷（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. 关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 7 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（ ） A. B. C. D. 4. 将矩形和菱形按如图放置，若图中矩形面积是菱形面积的倍，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 水温从加热到，需要4min B. 水温下降过程中，与的函数关系式是 C. 在一个加热周期内水温不低于的时间为 D. 上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于水 6. 二次函数的图象的最高点在轴上，则的值为（    ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数（、、为常数，）的图象如图所示，则a，b，c的值可能是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 已知点M是抛物线（m为常数）的顶点，直线与坐标轴分别交于两点，则的面积为（ ） A. B. 6 C. 4 D. 10. 已知等腰直角的斜边，正方形的边长为，把和正方形如图放置，点与点重合，边与在同一条直线上，将沿方向以每秒个单位的速度匀速平行移动，当点与点重合时停止移动．在移动过程中，与正方形重叠部分的面积与移动时间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分） 11. 若有意义，则的取值范围是_____． 12. 已知是方程的两个实数根，则的值是______． 13. 已知，，，…，的平均数，求，，…，的平均数为________． 14. 如图，在矩形中，点在上，，，将沿直线翻折至的位置，使得点在边上，作于点，为的中点，连接．则______． 15. 如图，已知，，，…，是x轴上的点，且，分别过点，，，…，，作x轴的垂线交反比例函数（）的图象于点，，，…，，过点作于点，过点作于点，…，记的面积为，的面积为，…，的面积为，则等于______． 16. 如图，抛物线在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为，，…，将抛物线沿直线：向上平移，得到一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点，，…，都在直线：上；②抛物线依次经过点，，…；则顶点的坐标为_______________． 三、解答题 17. （1）先化简，再从中选取一个你喜欢的整数a的值代入求值； （2）已知的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 18. 如图，在平行四边形中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接． （1）求证：平分； （2）若点E为中点，，，求的周长． 19. 我们已经历了“一次函数”的学习过程，请你根据已有的经验和方法结合假期的预习尝试完成下列问题： 已知：二次函数中和满足下表： ⋯ 0 1 2 3 4 5 ⋯ ⋯ 3 0 0 8 ⋯ （1）可求得值为________； （2）求出这个二次函数的解析式； （3）画出函数图象； （4）当时，则的取值范围为________． 20. 如图，在和中，，，，为边上一点． （1）求证： （2）若点是的中点，求证：四边形是正方形． 21. 3月21日是世界睡眠日，某社区为了了解该社区居民的睡眠情况，随机抽取若干名居民对其每日的睡眠时间x（时）进行调查，将调查结果进行整理后分为四组：A组（），B组（），C组（），D组（），并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据所给信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图；在扇形统计图中，______． （2）此次调查中，居民每日的睡眠时间的中位数落在_______组． （3）若该社区共有4200名居民﹐请你估计这个社区有多少名居民每日睡眠时间在6小时及以上． 22. 宜昌某农副加工厂2023年年初投入80万元经销某种农副产品，由于物美价廉，在惠农网商平台推广下，该产品火爆畅销全国各地．已知该产品的成本为20元/件，经市场调查发现，该产品的销售单价定为25元到30元之间较为合理，该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足一种函数关系，售价x（元/件）与y（万件）的对应关系如表： x … 20 26 28 31 35 … y … 20 14 12 9 5 … （1）求该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式； （2）2023年年底该工厂共盈利16万元，2024年国家惠农政策力度更大，生产技术也有所提高，使得该特产的成本平均每件减少了1元． ①求2023年该特产的售价； ②该产品2024年售价定为多少时，工厂利润最大? 最大利润是多少? 23. 【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： （1）①点的“纵横值”为 ； ②求出函数的“最优纵横值”； （2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； （3）若二次函数，当时，二次函数最优纵横值为2，直接写出b的值． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标； （2）如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； （3）如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $