广西柳州市柳城县中学2024-2025学年高二上学期中秋数学大礼包（椭圆）

高二数学中秋大礼包 一、单选题 1．已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（ ） A．6 B．3 C．4 D．2 2．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的左焦点为为上任意一点，则的最大值为（ ） A．5 B．9 C．10 D．18 4．已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（ ） A．10 B．13 C．14 D．16 5．方程表示椭圆的充要条件是（ ） A． B． C． D．或 6．已知焦点在轴上的椭圆的短轴长为2，则其离心率为（ ） A． B． C． D． 7．已知点为椭圆上的一点，分别为椭圆的上、下顶点，若△的面积为，则满足条件的点的个数为（ ） A． B． C． D． 8．在日常生活中，可以看见很多有关直线与椭圆的位置关系的形象，如图，某公园的一个窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，则该窗户的最短的竖直窗棂的长度为（ ）    A． B． C．2 D．3 二、多选题 9．直角坐标系中椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，点，均在椭圆上，则（ ） A．椭圆的离心率为 B．直线：与椭圆相交 C．椭圆的短轴长为2 D．椭圆上两点中点坐标为，则直线的斜率 10．椭圆C：的焦点为，，上顶点为A，直线与椭圆C的另一个交点为B，若，则（ ） A．椭圆C的焦距为2 B．的周长为8 C．椭圆C的离心率为 D．的面积为 11．阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为（ ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知椭圆：，则过点且斜率为的直线被椭圆所截线段的长度为 ． 13．已知是椭圆的焦点，点是上的动点，则的取值范围为 . 14．已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆C的离心率为 ． 四、解答题 15．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)，； (2)焦点坐标为，，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10； (3)焦点在x轴上，，且经过点； (4)，且经过点. 16．如图，一动圆与圆外切，与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程．    17．已知动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数． (1)求动点M的轨迹E； (2)在E上是否存在一点使得它到直线的距离最小？若存在，请求出最小距离；若不存在，请说明理由． 18．已知椭圆的离心率，且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线与轴交于定点. 19．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点在该椭圆上，且该椭圆的右焦点F的坐标为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)如图，过点F且斜率为k的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为，直线BN的斜率为，求证：． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B D D A C B BCD ABD 题号 11 答案 AD 1．D 【分析】根据椭圆的定义即可求出. 【详解】由椭圆，得，即，设左焦点为，右焦点为， 则，因为，所以，即点到左焦点的距离为2. 故选:D. 2．A 【分析】根据题意，结合根据椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆，进而求得椭圆的方程，得到答案. 【详解】由动点满足方程， 根据椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆， 且，可得，则， 所以动点P的轨迹方程为. 故选：A. 3．B 【分析】由标准方程求得，设并利用两点间距离公式可得，结合二次函数性质可求得其最大值为9. 【详解】易知， 设，则，可得， 所以 ； 由二次函数性质可得当时，取得最大值为9. 故选：B 4．D 【分析】根据方程可得，结合椭圆的定义运算求解. 【详解】由题意可知：， 则， 所以的周长为. 故选：D. 5．D 【分析】借助椭圆定义与充要条件的定义计算即可得. 【详解】若表示椭圆，则有， 解得或. 故选：D. 6．A 【分析】根据椭圆的定义和性质即可求解. 【详解】由椭圆的短轴长为2，知，，即，， 因此， 又椭圆的离心率， 故选：A. 7．C 【分析】根据椭圆方程求出，设椭圆上点P的坐标为，利用三角形面积公式求出m，进而求出n的值，即可得出结果. 【详解】在椭圆中，，则短轴， 设椭圆上点P的坐标为，由的面积为6， 得，解得， 将代入椭圆方程，得， 所以符合题意的点P为或，共4个满足条件的点P. 故选：C 8．B 【分析】根据题意，建立坐标系得椭圆的标准方程为，再结合题意计算即可得答案. 【详解】解：根据题意，建立如图所示的坐标系， 因为窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状， 所以椭圆的标准方程为， 因为其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段， 所以当时，，所以最短窗棂的长度为． 故选：B    9．BCD 【分析】A选项，利用待定系数法求椭圆方程，然后求离心率；B选项，根据直线恒过定点，点在椭圆内得到直线与椭圆相交；C选项，根据椭圆方程求短轴长；D选项，利用点差法求斜率. 【详解】设椭圆方程为，，且， 则，解得， 所以椭圆方程为， 所以，，，，故A错； 直线的方程可整理为，令，解得， 所以直线恒过定点， 因为，所以点在椭圆内， 所以直线与椭圆相交，故B正确； ，所以短轴长为2，故C正确； 设，，则，， 两式相减得， 因为中点为，所以，， 所以，整理得，故D正确. 故选：BCD. 10．ABD 【分析】由已知结合椭圆的定义及性质先求出，，，即可根据焦距，焦点三角形的周长以及离心率求解ABC，根据余弦定理以及三角形面积公式可得D. 【详解】由题意可知，，， 故为等边三角形，则，， 又， 所以，，， 所以焦距，A正确； 离心率，C错误； 由椭圆定义可知，的周长，B正确． 设，则，又， 由余弦定理可得， 所以，D正确， 故选：ABD． 11．AD 【分析】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则由题意可得，，再结合可求出，从而可求得椭圆方程. 【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 则由题意可知，又， 解得，，， 所以椭圆的标准方程为或． 故选：AD 12．/ 【分析】设出直线方程，直曲联立得出一元二次方程，利用韦达定理即可求出长度 【详解】根据题意知过点且斜率为的直线的方程是．① 设此直线与椭圆的交点为，． 联立直线方程和椭圆方程，得消去，化简得，② 故，． 所以 ．③ 故答案为：． 13． 【分析】根据椭圆标准方程可得焦点坐标，得出的表达式再由椭圆的范围利用二次函数性质可得出结果. 【详解】不妨取为椭圆的左焦点，设， 由椭圆可得，且满足，即； 因此， 又易知，所以可得， 所以的取值范围为. 故答案为： 14．/ 【分析】由题意得圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式列方程化简可求出离心率. 【详解】以线段为直径的圆的圆心为原点，半径，该圆与直线相切， 则圆心到直线的距离， 整理可得， 所以． 故答案为： 15．(1)或 (2) (3) (4)或 【分析】(1)直接联立方程组，求出、的值，再利用椭圆的基本性质求出的值，然后分别讨论焦点所在的坐标轴，直接写出标准方程即可； (2)由椭圆的定义，直接写出、的值，并可判断焦点所在坐标轴，再利用椭圆的基本性质求出的值，即可直接写出椭圆的标准方程； (3)由题意，设出椭圆的标准方程，再把点代入求解即可； (4)由题意结合椭圆的性质，可列出、的关系式，再设出椭圆的标准方程，然后把点代入求解即可. 【详解】（1）由题意，联立，解得： ， 则由椭圆的性质得：， 所以当椭圆的焦点落在轴上时，椭圆的标准方程为：； 当椭圆的焦点落在轴上时，椭圆的标准方程为：， 故椭圆的标准方程为：或. （2）由题意可得，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为，即， 又椭圆的两个焦点坐标为，，则，且焦点落在轴上， 所以由椭圆的性质得：， 故椭圆的标准方程为：. （3）因为椭圆的焦点在轴上，且， 所以可设椭圆的标准方程为， 又因为椭圆经过点， 所以，解得：， 故椭圆的标准方程为：. （4）因为，由椭圆的性质得，则， 所以可设椭圆的标准方程为或 又因为椭圆经过点， 所以或，解得：或， 所以，当时，椭圆的焦点落在轴上，此时椭圆的标准方程为：； 当时，椭圆的焦点落在轴上，此时椭圆的标准方程为：， 故椭圆的标准方程为：或. 16． 【分析】根据椭圆的定义求得动员圆心的轨迹方程. 【详解】圆的圆心为，半径. 圆的圆心为，半径， ，所以圆与圆的关系是内含. 设动圆圆心为，动圆半径为， 由于， 所以点的轨迹是以为焦点，即，，的椭圆， 所以点的轨迹方程为.    17．(1) (2)存在， 【分析】（1）根据题意，结合两点间距离公式进行求解即可； （2）根据平行线的性质，结合直线与椭圆的相切的性质、一元二次方程根的判别式进行求解即可. 【详解】（1）设d是点M到直线的距离， 根据题意，动点M的轨迹E就是集合． 由此得．将此式两边平方，并化简，得， 所以M的轨迹E为． （2）由直线方程方程可知与坐标轴的交点为， 易知此直线与椭圆无公共点， 设直线m与该直线平行，则直线m的方程可以写成． 由方程组，消去y，得． 令其根的判别式，解得或， 当时，直线与椭圆的公共点到直线的距离最小，最小距离． 18．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）通过已知条件以及之间的关系，求出，即可得椭圆的方程； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，可得两根之和与两根之积，列直线的方程，令，求得点的横坐标，化简可得定点坐标. 【详解】（1）设椭圆半焦距为， 由题意得 解得， 椭圆的标准方程为：. （2）设点，则，直线的方程为， 直线与椭圆联立， 消去，得， 则， ，得， 由题意，直线的方程为， 令，所以点的横坐标， 所以直线与轴交于定点. 19．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的半焦距和椭圆上的已知点列出方程组，计算即得椭圆方程； （2）先考虑直线斜率为0时满足，再设直线的横截距式方程，与椭圆方程联立消元后得到一元二次方程，写出韦达定理，并发现内在关系，计算并消去，得其分子为，代入前式，计算即得分子为0，则得证. 【详解】（1）依题意，可得，解得， 故椭圆C的标准方程为：； （2） 如图，当直线l的斜率时，可得，显然满足； 当时，不妨设直线，由消去，整理得，， 显然，设，则由韦达定理，故， 因,则， 则， 此式的分子为：， 故得，即，得证. 答案第12页，共12页 答案第11页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$