用导数研究函数的单调性讲义-2025届高三数学一轮复习

用导数研究函数的单调性 求函数单调性的常用思路： （1） 确定函数的定义域 （2） 对原函数求导， （3） 通过（或）来确定极值点和函数的单调区间。的解集是的单调增区间；的解集是的单调减区间； 一、通过导数解不等式 1若函数，则的解集为 【答案】： 2 若函数，则的解集为 【答案】： 3 若函数，则的解集为 【答案】： 二、求函数的单调区间 1函数的单调递增区间是 【答案】： 2函数的单调递减区间为 【答案】： 3已知函数， 求的单调递增区间；, 【答案】： 4设函数，，求的单调增区间； 【答案】： 5设函数，，求的单调增区间； 【答案】： 6设函数,求的单调增区间； 【答案】： 7已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为，求函数的单调减区间. 【答案】： 8已知函数，求函数的单调减区间。 【答案】： 9已知函数，下列正确的是 A 则在单调递增 B 则在单调递减 C 的图像关于直线对称 D．的图像关于点对称 【答案】：C 三、求函数的极值点和极值 1求函数的极小值。 【答案】：-16 2求函数的极值点。 【答案】： 3 设函数，求的极大值。 【答案】： 4设其中，曲线在点处的切线垂直于轴，求函数的极小值。 【答案】：3 5设，其中，曲线在点处的切线与轴相交于点，求函数的极值。 【答案】：极小值 6（2011年安徽高考卷）设，当时，求的极大值点； 【答案】：极大值点是 7已知函数，求函数的极值点 【答案】：极小值0 8已知在时的极值为0，求函数的单调减区间 【答案】： 四、通过函数的极值点来求参数的值 1已知是函数的一个极值点，求的值； 【答案】：1 2已知函数（）在处取得极值，求的值， 【答案】： 3设函数，若在处取得极大值，求实数的取值范围。 【答案】： 4函数在点处取得极值，求的值 【答案】：-11 5已知是函数的一个极值点，求的值 【答案】：2 6已知是函数的极值点，求常数的值； 【答案】：3 7已知是函数两个极值点，且满足，求的值 -1 【答案】：-1 8若是函数的极值点，则的极小值为（ ） 【答案】：-1 9已知函数（），其中，若函数仅在处有极值，求的取值范围； 【答案】： 10已知为常数，函数有两个极值点，则的取值范围是 【答案】： 11已知函数，若有两个极值点，求实数的取值范围． 【答案】： 12已知为自然对数的底数，设函数，则（　　） A．当时，在处取得极小值 B．当时，在处取得极大值 C．当时，在处取得极小值 D．当时，在处取得极大值 【答案】：C 13已知函数，当时取得极大值，当时取得极小值，则 的取值范围 【答案】： 14已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点。 若，这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围。 【答案】： 五、求函数的最值 1已知函数，求函数的最小值 【答案】：3 2函数，若有极大值28，求在上的最小值。 【答案】：-4 3已知函数的最值 -1 【答案】：-1 4设函数，若在上的最大值为，求的值。 【答案】： 5已知函数，求函数在区间上的最小值。 【答案】： 6已知函数，若在上的最大值为，求实数的值； 【答案】： 7直线分别与直线，曲线交于两点，则的最小值为 【答案】： 8直线分别与直线，曲线交于两点，则的最小值为 【答案】： 9设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为 【答案】： 10已知函数，当时，在上的最小值为，求函数在该区间上的最大值． 【答案】： 11已知，当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围．(0,1). 【答案】： 12设函数，当时，有，则的最大值是 【答案】： 13已知函数，求在区间上的最大值。 【答案】： 14已知函数，设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值． 【答案】：3 15在平面直角坐标系中，已知点是函数的图象上的动点，该图象在处的切线交轴 于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的纵坐标为，则的最大值是_ 【答案】： 16已知函数，若，求的最大值。 【答案】： 六、函数零点的问题 1已知函数的图象与轴恰有两个公共点,则的值 【答案】： 2若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是__(－2,2)______． 【答案】： 3设为实数，函数,当曲线与轴仅有一个零点，的取值范围是。 【答案】： 4已知函数有唯一零点，则的值 【答案】： 5已知函数=，若存在唯一的零点，且，则的取值范围为 【答案】： 6设，已知定义在上的函数在区间内有一个零点，求的解集； 【答案】： 7设函数设，若函数有三个不同零点，求的取值范围； 【答案】：1 8已知函数，若（实数是与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是，求的值. 【答案】：1 9【2016云南统测一】已知实数都是常数，若函数的图象在切点处的切线方程为与的图象有三个公共点，则实数的取值范围是 . 【答案】： 七、通过单调性求参数的取值范围 1若函数在区间单调递增，则的取值范围是 【答案】： 2若函数在是增函数，则的取值范围是 【答案】： 3若上是减函数，则的取值范围是 【答案】： 4设函数，若在上为增函数，求的取值范围. 【答案】： 5已知，函数，设在上是单调函数，求的取值范围． 【答案】： 6设函数，若在上为减函数，求的取值范围。 【答案】： 7设函数,,其中在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围 【答案】： 8若函数在单调递增，则的取值范围是（ ） 【答案】： 8、 存在性问题 1已知函数，存在单调递减区间，求的取值范围； 【答案】： 2设，若在上存在单调递增区间，求的取值范围； 【答案】： 3已知函数与的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是 【答案】： 4设函数,其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ） 【答案】： 5设函数.若存在的极值点满足，则的取值范围是（ ） 【答案】： 6已知函数，设,函数,若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围。 【答案】： 7已知函数，对任意的，存在，则的最小值为 【答案】： 8已知函数，若至少存在一个，使得成立，则实数的取值范围是(　　) 【答案】： 9设函数，若存在使得，求的取值范围。 【答案】： 10已知是函数的一个极值点，其中，当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围. 【答案】： 11已知函数,若对于任意存在，满足， 且成立，求的取值范围。 【答案】： 八、与0有关对参数的讨论 1已知，讨论的单调性。 2设函数,讨论的单调性。 3设，讨论导函数的单调性； 4（2016 商丘三模）已知函数，讨论函数的单调性 9、 与判别式有关对参数的讨论 1已知函数，讨论函数的单调性。 2已知函数,讨论的单调性。 3已知函数，当时，讨论的单调性。 4设函数，讨论的单调性； 5已知函数，设，求的单调区间 6函数，，令，讨论的单调性 7已知函数，设函数，讨论的单调性 8已知函数，设，讨论的单调性； 十、通过讨论零点来研究函数的单调性 1设函数，若为整数，且当时，，求的最大值 【答案】：2 2已知函数，当时，函数有最小值，设的最小值为，求函数的值域。 【答案】： 十一、函数恒成立问题 1设函数，若对于任意，都有成立，则实数的值为______． 【答案】：4 2已知函数，若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围； 【答案】： 3（2016 商丘三模）已知函数，若时，恒成立，求实数的取值范围 【答案】： 4已知函数，若，求的值 【答案】：1 5已知函数，且，求的值； 【答案】：1 6已知函数，若，求的取值范围。 【答案】：1 7已知函数,其中是自然对数的底数，若关于的不等式≤在上恒成立，求实数的取值范围； 【答案】： 8设函数，其中，若成立，求的取值范围. 【答案】： 9设函数，若对于任意，都有，求的取值范围． 【答案】： 10函数，若，求的取值范围； 【答案】： 11已知函数，若，求a的取值范围 【答案】： 12设为实数，函数，若，求的取值范围； 【答案】： 13已知函数，设实数使得对恒成立，求的最大值． 【答案】：2 14设，.已知函数，,已知函数和的图象在公共点处有相同的切线，若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围. 【答案】： 15已知,对一切的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】： 16已知函数，当时，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】： 17已知函数，若对任意，恒有，求的取值范围． 【答案】： 十一、构造模型函数的类型 (1)型的问题 （2）型的问题 （3）型的问题 （4）型的问题 （5）型的问题 （6）或型的问题 1定义域为的可导函数的导函数为，且满足，则下列关系正确的是 A B C D 【答案】：A 2定义域为的可导函数的导函数为，且满足，则下列关系正确的是 A B C D 【答案】：A 3定义域为的可导函数的导函数为，其图像关于点中心对称，当时，，则不等式的解集 【答案】： 4定义域为的可导函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为 【答案】： 5定义域为的可导函数的导函数为，且满足，则不等式一定成立的是 A B C D 【答案】：A 6定义域为的可导函数的导函数为，当，且函数：①，②，则范围是 【答案】： 7定义域为的可导函数的导函数为，且，均有，则有 A ， B ， B ， D ， 【答案】：D 8函数的导函数为，满足，则当时，与之间的大小关系有A A B C D 不能确定，与或有关 【答案】：A 9函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则的解集 【答案】： 10函数是定义在上的奇函数，当时，满足，则在区间内 A 没有零点 B 恰有一个零点 C 至少一个零点 D 至多一个零点 【答案】：B 11 已知定义在函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为 【答案】： 12 已知定义在函数的导函数为，满足，则 A B C D 【答案】：A 13已知定义在函数的导函数为，满足，且，则正确的是B A 函数在上单调增 B 函数在上单调减 C 函数在上有极大值 D函数在上有极小值 【答案】：B 14已知函数的定义域为，导函数为，且，则满足的实数的取值范围为（　　） 【答案】： 15函数的定义域是，，对任意，则不等式的解集为 【答案】： 16设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为 【答案】： 17已知为上的可导函数，且，均有，则有： A B C D 【答案】：D 18设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得 成立的的取值范围是（ ） 【答案】： 19函数在上可导，其导函数为，若满足：， 则下列判断一定正确的是 A B C D 【答案】：B 20函数在定义域内可导，若，且当时，，设，则的大小关系(　　) 【答案】： 21对于上可导的任意函数，若满足，则必有(　　) A． B． C． D． 【答案】：A 22若，则(　　) A B C D 【答案】：D 23已知函数，当时，在上为减函数，如果对任意，求的取值范围。 【答案】： 十二、最值比较法求参数 1已知函数，若当时，，求的取值范围 【答案】： 2已知函数，若当时，，求的取值范围 【答案】： 3已知函数，若当时，，求的取值范围。 【答案】： 4已知函数，若当时，，求的取值范围. 【答案】： 5已知函数，若当时，，求的取值范围 【答案】： 6设函数.当时，，求的取值范围. 【答案】： 7已知函数=，设，当时，，求的最大值； 【答案】：2 8已知函数，若在上恒成立，求的取值范围 【答案】： 9设，已知，若对所有，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】： 10设函数，设当时，，求的取值范围． 【答案】： 十三、两根式求参数的取值范围 1已知函数，若有两个零点，求的取值范围 【答案】： 2已知函数，若有两个零点，求的取值范围 【答案】： 3已知函数，当时，，求的取值范围 【答案】： 14、 判别式求参数的取值范围 1已知函数，如果当，且时，，求的取值范围． 【答案】： 2设函数，其中，若成立，求的取值范围. 【答案】： 十五、导数中对函数根的研究 1已知函数，讨论的导函数零点的个数； 【答案】：若时，有0个零点；若时，有1个零点； 2函数与直线有三个交点，求实数的取值范围。 【答案】： 3设函数，其中，讨论函数极值点的个数，并说明理由； 【答案】：若时，有1个极值点；若时，无极值点；若时，有两个极值点。 4已知是函数的一个极值点，若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。 【答案】： 5若函数有极值点，，且，则关于的方程3的不同实根个数是 【答案】：3 6设为实数，函数，当时，讨论在区间内的零点个数． 【答案】：若时，有1个零点；若时，有2个零点； 7已知函数，判断方程根的个数，并证明你的结论。 【答案】：1个实根 8已知函数，，用表示中的最小值，设函数 ，讨论零点的个数。 【答案】：若或时，有1个零点；若或时，有2个零点；若，有三个零点。 十六、导数中对称性的问题 1若函数的图像关于直线对称，则的最大值为____________. 【答案】：16 2设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ） 【答案】： 3已知函数过点，且关于点中心对称，若有三个不同的根，求的取值范围 【答案】： 十七、通过对导数中根的讨论 1已知函数，讨论的单调性； 2已知函数，讨论的单调性； 3已知函数，讨论的单调性。 4已知函数,讨论的单调性。 5设函数，求的单调性； 十八、函数的图像问题 1函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是D Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 2设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是 （A）函数有极大值和极小值 （B）函数有极大值和极小值 （C）函数有极大值和极小值 （D）函数有极大值和极小值 5设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图像可能是 一、直接利用导数证明不等式 1已知函数，证明： 2已知函数证明： 3已知函数，证明： 4已知函数，，证明： 5已知函数，，证明： 6已知函数，证明：当， 7已知函数，证明：当时，。 8已知函数，证明： 9已知函数，证明： 10已知函数，证明： 11已知函数，证明： 12已知函数，证明： 13已知函数，证明：当， 14已知函数，证明： 15设函数，证明：当时，； 16当时，求证： 17函数，证明：当时， 18已知函数，，证明： 19已知函数，求证：当时，。 二、构造新函数思想 1已知函数，证明：当时，； 2设函数，证明：。 3设函数，证明当时，； 4已知，当时，证明：。 三、分类讨论证明不等式 1已知函数，证明： 2已知函数，证明：当，且时，． 四、利用新函数证明不等式 1已知函数，从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为，，证明：。 2已知函数，当时，证明：。.5.u.c 3设函数，设，证明当时，。 五、通过零点确定最值 1已知函数，证明：当时，曲线与直线只有一个交点。 2设函数，证明：当时. 3已知函数，当时，证明＞0。 4已知函数，证明：存在唯一的极大值点，且..k 六、利用分析法证明不等式 1设函数，证明：当时，； 2设函数，证明：。 3已知函数，求证：， 4设函数有两个极值点，且,，证明： w.w 七、利用放缩法证明不等式 1已知函数，，证明：. 2设，证明：当时，。 3已知函数，证明：对任意。 4已知函数，设，证明：对任意ZXX 5已知函数. (Ⅰ) 证明: 对任意的， 存在唯一的, 使; (Ⅱ) 设(Ⅰ)中所确定的s关于t的函数为, 证明: 当时, 有。 6已知函数．（I）讨论的单调性； （II）设，证明：当时，；（III）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为，证明：. 7已知函数，其中.证明：存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解. 8已知函数，对任意的，满足，其中为常数．已知，求证：； 14设函数 （1）设是函数图象上 任意不同的两点，线段的中点为C，直线AB的斜率为. 证明：； 15已知函数，，当时，函数的图象上有两点，，过点，作图象的切线分别记为，，设与的交点为，证明。 16已知函数，若,证明:。 17已知函数，设，若函数是关于的一次函数，且函数有两个不同的零点，求证： 18已知函数，证明：。 19设是函数的零点． （1）证明：；（2）证明：． 20设函数(为自然对数的底数)， （1） 证明：；（2）证明： 21设函数，若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于。 22设，已知定义在上的函数在区间内有一个零点，为的导函数. （Ⅱ）设，函数，求证：； （Ⅲ）求证：存在大于的常数，使得对于任意的正整数，且 满足. 24已知函数，证明： 25已知函数，设，证明： 26已知函数．（I）求函数的极值； （II）证明：当时，； （III）若函数的图像与直线的两个交点于，线段AB中点的横坐标为，证明：. 27 已知函数，函数。证明：当时，不等式恒成立。 28 已知函数，求证：。 学科网（北京）股份有限公司 $$