三角函数的知识点汇总讲义-2025届高三数学一轮复习

黑发不知勤学早，白首方悔读书迟 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟 ( 三角函数的知识点总结 ) 一、三角函数 1定义：在平面直角坐标系中，利用单位圆，定义三角函数。设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么： （1） 正弦函数；（2）余弦函数； （3）正切。 2 三角函数的图像 ①在区间上取足够多的值，画出足够点的点。 ②定义域为的正弦函数图像将形成一条“波浪式”连续光滑曲线。 ③定义域为的正弦函数图像向左平移个单位，也形成一条“波浪式”连续光滑曲线。 ④正切函数在上，图像逐渐向靠近，但是不相交。 二、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质 图象 定义域 值域 最值 当时，；当 时，． 当时， ；当 时，． 既无最大值也无最小值 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 上是增函数； 在 上是减函数． 在上是增函数；在 上是减函数． 在 上是增函数． 对称中心 对称轴 对称轴 对称轴 无对称轴 三、平移后的正弦函数的研究 ①定义域为上的值域为 ② 最小正周期 ③ 当时取到最大值，；当时取到最小值，。 ④ 对称轴 ⑤ 中心对称点 四、函数图像的平移 ①的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象． ②函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象． 5、 例题分析 1 已知函数在区间（，）单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f（x）的图像的两条对称轴，则f（﹣）＝（　　） 解：根据题意可知＝，∴T＝π，取ω＞0，∴ω＝＝2， 又根据“五点法“可得，k∈Z， ∴φ＝，k∈Z，∴f（x）＝sin（2x）＝sin（2x﹣）， ∴f（﹣）＝sin（﹣）＝sin（﹣）＝sin＝． 2函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，求函数的解析式 解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A＝2， ＝，故T＝π，ω＝2，故y＝2sin（2x+φ）， 将（，2）代入可得：2sin（+φ）＝2， 则φ＝﹣满足要求，故y＝2sin（2x﹣）， 3 若将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为 解：将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝2sin2（x+）＝2sin（2x+）， 由2x+＝kπ+（k∈Z）得：x＝+（k∈Z），对称轴方程为x＝+（k∈Z）。 4下列函数中，以为周期且在区间（，）单调递增的是（　　） A．f（x）＝|cos2x| B．f（x）＝|sin2x| C．f（x）＝cos|x| D．f（x）＝sin|x| 解：f（x）＝sin|x|不是周期函数，可排除D选项；f（x）＝cos|x|的周期为2π，可排除C选项； f（x）＝|sin2x|在处取得最大值，不可能在区间（，）单调递增，可排除B．故选：A． 5若f（x）＝cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（　　） 解：f（x）＝cosx﹣sinx＝﹣（sinx﹣cosx）＝﹣sin（x﹣），由﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，k∈Z，得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，取k＝0，得f（x）的一个减区间为[﹣，]， 由f（x）在[0，a]是减函数，得a≤． 6已知ω＞0，函数f（x）＝sin（ωx+）在区间（，π）上单调递减，则实数ω的取值范围是（　　） A． B． C． D．（0，2] 解：法一：令：不合题意 排除（D） 合题意 排除（B）（C），选A。 ( 2 ) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$