平面向量的常考知识点复习讲义-2025届高三数学一轮复习

业精于勤荒于嬉，行成于思而毁于随 博观而约取，厚积而薄发 不积跬步，无以至千里 ( 平面向量 ) 一、平面向量的知识点 1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为的向量． 单位向量：长度等于个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：． ( )⑷运算性质：①交换律：； ②结合律：；③． 3、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． 4、向量数乘运算： ⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作． ①； ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，． ⑵运算律：①；②；③． 二、平面向量的线性运算 1 在中，是线段的中点，则，。 2 在中，是线段的点，且，则。 3在中，是线段的点，且，则。 4在中，是线段的点，若，求的值。 解：因为三点共线，所以。 5设分别是的边上的点，，，若（为实数），则的值为 ． 解：由题意结合向量的运算可得，＝ ＝＝ ＝＝， 又由题意可知若＝λ1+λ2， 故可得λ1＝，λ2＝，所以λ1+λ2＝。 6设为所在平面内一点，则（ ） （A） (B) （C） (D) 解：如图，＝+＝+＝﹣，故选：D． 三、坐标运算 1平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底） 若向量，，则 （1）向量和差；（2）向量和差； （3）向量点乘；（4）向量数乘； （5）两个非零向量平行, 则当且仅当有唯一一个实数，使，或者，或者。 （6）向量的模；。 （7）向量单位化，就是与同方向的单位化向量，。 （8）设、两点的坐标分别为，，则。 2平面向量的数量积： ⑴是与的夹角，，零向量与任一向量的数量积为． ①当，表示和同向，； ②当，； ③当，表示，； ④当，； ⑤当，表示与反向时，。 ⑵性质：设和都是非零向量，则①．。 （3）或．，。 （4）运算律：①；②；③． （5）向量的夹角：设、都是非零向量，，，是与的夹角，则． （6）向量的模运算：， 。 （7）极化恒等式求数量积的值 ( A B C M )在中，是线段的点，则 公式：（必须共起点） 例：在中，是的中点，，则____ . 解：因为是的中点，由极化恒等式得：=9-= 。 四、例题分析 1已知向量＝（2，1），＝（﹣2，4），则|﹣|＝（　　） 解：，故。 2已知向量＝（1，3），＝（3，4），若（﹣λ）⊥，则λ＝　 　． 解：因为向量＝（1，3），＝（3，4），则﹣λ＝（1﹣3λ，3﹣4λ），又（﹣λ）⊥， 所以（﹣λ）•＝3（1﹣3λ）+4（3﹣4λ）＝15﹣25λ＝0，解得λ＝． 3设向量，的夹角的余弦值为，且||＝1，||＝3，则（2+）•＝　 　 解：由题意可得，则。 4设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ＝　 　． 解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行，∴λ+＝t（+2）＝， ∴，解得实数λ＝． 5设向量，满足|+|＝，|﹣|＝，则•＝（　　） 解：∵|+|＝，|﹣|＝，∴分别平方得+2•+＝10，﹣2•+＝6， 两式相减得4•＝10﹣6＝4，即•＝1。 6已知两个单位向量，的夹角为60°，＝t+（1﹣t）．若•＝0，则t＝　 　 解：∵，，∴＝0，∴tcos60°+1﹣t＝0，∴1＝0，解得t＝2。 第3页 第4页 第1页 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$