立体几何常考知识点汇总讲义-2025届高三数学一轮复习

黑发不知勤学早，白首方悔读书迟 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟 ( 立体几何知识点 ) 一、空间体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 1 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 2 画三视图的原则： 长对正（正视图与俯视图）,高平齐（正视图与侧视图）,宽相等（侧视图与俯视图）. 3直观图：斜二测画法 4斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积 4 圆台的表面积 5 球的表面积 （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 2锥体的体积 3台体的体积 4球体的体积 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。 3 三个公理： ( D C B A α )（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 ( L A · α )A∈L B∈L => L α A∈α B∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 ( C · B · A · α )（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A∈α、B∈α、C∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 ( P · α L β )符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： ( 共面直线 ) 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c是三条直线 ( =>a ∥ c )a∥b c∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 a α a∩α=A a∥α 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 符号语言： 2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示： 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示： α∥β α∩γ= a a∥b β∩γ= b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1直线与平面垂直的判定 1、定义 如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 L p α 2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 简记为：线线垂直，则线面垂直。 符号表示： 2.3.2平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 2性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 证明类问题 ( ② ) ( ① ) ( ④ ) ( ③ )线线 线面 面面 平行问题： ① 由线线平行证明线面平行，用直线平行平面的判定定理。 ② 由线面平行证明面面平行，用面面平行的判定定理。 ③ 线面平行证明线线平行，用线面平行的性质定理。 ④ 面面平行证明线面平行，用面面平行的性质定理。 线面平面的判定定理： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： 线面平面的性质定理： 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示： 面面平面的判定定理： 平面外两条相交直线与此平面平行，则这两条相交直线所在的平面与此平面平行。 简记为：线面平行则面面平行。 符号表示： 面面平面的性质定理： 两平面平行，则在这个平面内的一条直线与另一个平面也平行。 简记为：面面平行则线面平行。 符号表示： 证明：线面平行的核心问题是线线平行 证明线线平行的常用方法： （1） 内错角相同，两直线平行。 （2） 同位角相同，两直线平行。 （3） 同旁内角互补，两直线平行。 （4） 平行于同一条直线的两直线平行。 （5） 梯形中，上下底平行。 （6） 三角形中位线与底边平行。 （7） 梯形中位线与上下底平行。 （8） 在平面内，如果两条直线没有公共点 则两直线平行。 （9） 平行四边形，对边分别平行。 （10）如果两个三角形，两边对应成比例，夹角相等，两个三角形相似，且两底边平行。(存在性) 例1：如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，E为PD的中点,证明：PB∥平面AEC； 证明：连结交于点，连结 因为为矩形，所以为的中点， 在中，为的中点， 所以，平面平面， 由直线平行平面的判定定理，得平面。 例2：如图，四棱锥P-ABCD中，，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点，证明MN∥平面PAB; 解：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，. 又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，由直线平行平面的判定定理，所以平面. 垂直问题： ① 由线线垂直证明线面垂直，用直线垂直平面的判定定理。 ② 由线面垂直证明面面垂直，用面面垂直的判定定理。 ③ 线面垂直证明线线垂直，用线面垂直的性质定理。 ④ 面面垂直证明线面垂直，用面面垂直的性质定理。 证明：线面垂直的核心问题是线线垂直 证明线线垂直的常用方法： （1） 菱形，正方形，对角线互相垂直。 （2） 矩形，正方形，临边互相垂直。 （3） 等腰三角形，等边三角形，底边的中线也是底边上的高。 （4） 一条直线垂直一个平面，则这条直线将垂直平面内的任何一条直线。 （5） 在圆内，直径所对的圆周角是直角。 （6） 勾股定理的逆定理。 （7） 两个三角形相似，一个是直角三角形，另一个也是。 线面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 简记为：线线垂直，则线面垂直。 符号表示： 线面垂直的性质定理： 一条直线垂直一个平面，则这条直线将垂直这个平面内的任何一条直线。 简记为：线面垂直，则线线垂直。 符号表示： 面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 简记为：线面垂直，则面面垂直。 符号表示： 面面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 简记为：面面垂直，则线面垂直。 符号表示：。 高考立体几何常见证明题 一、直线与平面平行的判定 直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示：。 例题1：（三角形中位线证明平行） 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点,证明：PB∥平面AEC。 证明：连结交于点，连结。 因为为矩形，所以为的中点。又为的中点，所以， 平面平面，所以平面。 例题2：如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，是的中点，求证：平面。 方法一、（用面面平行证明线面平行）证明：取线段的中点，连接，得，所以四边形是平行四边形，得，面，面，所以面。同理，面。，所以面面。又因为面，所以平面。 方法二、（用平行四边形证明线面平行）证明：取线段的中点，连接。在中，是的中点，是的中点，，，所以四边形是平行四边形，则。又面，又面，平面。 二、平面与平面平行的判定 1两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 符号语言：。 2 判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行。 线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示：。 三、直线与平面垂直的判定 1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α。直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 L p α 2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 简记为：线线垂直，则线面垂直。 符号表示：。 3 线面垂直的性质定理：一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直平面内任何一条直线。 例1：如图，四棱锥中，，，侧面为等边三角形，， 证明：平面。 证明：（通过勾股定理证明垂直）取中点，连结，因为，， ，则四边形为矩形，所以。连结， 则因为为等边三角形，所以。又，故 ，所以为直角。又因为 ，得平面，所以。 又，面，所以平面。 例2：如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．证明：BE⊥平面EB1C1。 证明：（直接利用判定定理证明）由长方体ABCD﹣A1B1C1D1，可知B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥BE，∵BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，∴BE⊥平面EB1C1。 例3：如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，求证：BD⊥平面PAC。 证明：（线面垂直的性质）∵四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∴BD⊥PA，BD⊥AC，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC。 例4：如图所示，是菱形所在平面外的一点，，求证：平面。 证明：（等腰三角形底边上的中线就是高）连接交于点，连接，因为是菱形，所以。因为，且，所以。又因为面，，所以平面。 例5：如图，四面体中，是正三角形，，证明：。 证明：（等边三角形底边上的中线就是高）取中点，连。 ∵，为中点，∴。又因为是等边三角形，∴。又因为，∴平面，平面，∴。 四、平面与平面垂直的判定 两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 2性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 例6：如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且，证明：平面PAB⊥平面PAD。 证明：（面面垂直的判定定理），，。又,，故而可得。又，故平面平面。 例7：如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE。 证明：（面面垂直的判定定理）∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，∠ABC＝60°，∴AB⊥AE，PA⊥AE。 又因为PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，AE⊂平面PAE，平面PAB⊥平面PAE。 例8：在三棱锥中，，，为的中点。 证明：平面。 证明：（利用勾股定理证明线线垂直）连接，因为，是的中点，所以。又因为，得，，。根据，得， ，面，所以平面。 例9：三棱锥中，侧面与底面垂直，，求证：。 证明：（面面垂直推导线面垂直）取中点，连结。因为，所以。又因为面面，所以面。为垂足， 因为，所以。可知为的外接圆直径，因此。 例10：如图，四棱锥中，底面为矩形，垂直于底面，，分别为的中点，求证：垂直于平面。 证明：（通过平行线面垂直，证明两次线面垂直）取中点, 连结，底面为矩形，，面，底面，所以。 又，面，所以面。面，，， ，，面，面。在中，分别为的中点，，则四边形是平行四边形。又因为，所以面。 例11：如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM，证明：平面PAM⊥平面PBD。 证明：（利用线面垂直的性质）∵PD⊥底面ABCD，AM⊂平面ABCD，∴PD⊥AM。又∵PB⊥AM，PD∩PB＝P，PB，PD⊂平面PBD，∴AM⊥平面PBD。∵AM⊂平面PAM，∴平面PAM⊥平面PBD。 例12：如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点， 证明：平面BED⊥平面ACD； 证明：（通过三角形全等证明相等）∵AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，BD＝BD， ∴△ADB≌△CDB，∴AB＝BC。又∵E为AC的中点， ∴AC⊥BE，∵AD＝CD。E为AC的中点． ∴AC⊥DE，又∵BE∩DE＝E，∴AC⊥平面BED。 又∵AC⊂平面ACD，∴平面BED⊥平面ACD。 ( 2 ) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$