立体几何证明题复习讲义-2025届高三数学一轮复习

高考立体几何常见证明题 一、直线与平面平行的判定 直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示：。 例题1：（三角形中位线证明平行） 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点,证明：PB∥平面AEC。 证明：连结交于点，连结。 因为为矩形，所以为的中点。 又为的中点，所以， 平面平面，所以平面。 例题2：如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，是的中点，求证：平面。 方法一、（用面面平行证明线面平行）证明：取线段的中点，连接，得，所以四边形是平行四边形，得，面，面，所以面。同理，面。，所以面面。又因为面，所以平面。 方法二、（用平行四边形证明线面平行）证明：取线段的中点，连接。在中，是的中点，是的中点，，，所以四边形是平行四边形，则。又面，又面，平面。 二、平面与平面平行的判定 1两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 符号语言：。 2 判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行。 线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示：。 三、直线与平面垂直的判定 1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α。直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 L p α 2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 简记为：线线垂直，则线面垂直。 符号表示：。 3 线面垂直的性质定理：一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直平面内任何一条直线。 例1：如图，四棱锥中，，，侧面为等边三角形，， 证明：平面。 证明：（通过勾股定理证明垂直）取中点，连结，因为，，，则四边形 为矩形，所以。 连结，则因为为等边三角形，所以。 又，故，所以为直角。又因为， 得平面，所以。又，面，所以平面。 例2：如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1． 证明：BE⊥平面EB1C1。 证明：（直接利用判定定理证明）由长方体ABCD﹣A1B1C1D1，可知B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥BE，∵BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，∴BE⊥平面EB1C1。 例3：如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，求证：BD⊥平面PAC。 证明：（线面垂直的性质）∵四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∴BD⊥PA，BD⊥AC，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC。 例4：如图所示，是菱形所在平面外的一点，，求证：平面。 证明：（等腰三角形底边上的中线就是高）连接交于点，连接，因为是菱形，所以。因为，且，所以。又因为面，，所以平面。 例5：如图，四面体中，是正三角形，，证明：。 证明：（等边三角形底边上的中线就是高）取中点，连。 ∵，为中点，∴。又因为是等边三角形， ∴。又因为，∴平面，平面，∴。 四、平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形。 2、二面角的记法：二面角或。 3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 2性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 例6：如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且，证明：平面PAB⊥平面PAD。 证明：（面面垂直的判定定理），，。又,，故而可得。又，故平面平面。 例7：如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE。 证明：（面面垂直的判定定理）∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，∠ABC＝60°，∴AB⊥AE，PA⊥AE。 又因为PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，AE⊂平面PAE，平面PAB⊥平面PAE。 例8：在三棱锥中，，，为的中点。 证明：平面。 证明：（利用勾股定理证明线线垂直）连接，因为，是的中点，所以。又因为，得，，。根据，得， ，面，所以平面。 例9：三棱锥中，侧面与底面垂直，， 求证：。 证明：（面面垂直推导线面垂直）取中点，连结。因为，所以。又因为面面，所以面。为垂足， 因为，所以。可知为的外接圆直径，因此。 例10：如图，四棱锥中，底面为矩形，垂直于底面，，分别为的中点，求证：垂直于平面。 证明：（通过平行线面垂直，证明两次线面垂直）取中点, 连结，底面为矩形，，面，底面，所以。 又，面，所以面。面，，， ，，面，面。在中， 分别为的中点，，则四边形是平行四边形。又因为，所以面。 例11：如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM，证明：平面 PAM⊥平面PBD。 证明：（利用线面垂直的性质）∵PD⊥底面ABCD，AM⊂平面ABCD，∴PD⊥AM。又∵PB⊥AM，PD∩PB＝P，PB，PD⊂平面PBD，∴AM⊥平面PBD。∵AM⊂平面PAM， ∴平面PAM⊥平面PBD。 例12：如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点， 证明：平面BED⊥平面ACD； 证明：（通过三角形全等证明相等）∵AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，BD＝BD， ∴△ADB≌△CDB，∴AB＝BC。又∵E为AC的中点， ∴AC⊥BE，∵AD＝CD。E为AC的中点． ∴AC⊥DE，又∵BE∩DE＝E，∴AC⊥平面BED。 又∵AC⊂平面ACD，∴平面BED⊥平面ACD。 学科网（北京）股份有限公司 $$