常考的函数的知识点讲义-2025届高三数学一轮复习

黑发不知勤学早，白首方悔读书迟 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟 ( 函数的知识点总结 ) 一、函数 1 区间的概念和表示：设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做；满足的实数的集合叫做开区间，记做；满足，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满足的实数的集合分别记做． 2函数的定义域和值域： 已知函数，其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 二、函数的定义域（四种） 1分式函数，分母不为。例：函数的定义域为。 2 二次根式函数，被开方数非负。 例：函数的定义域为，分析：，解得。 3 对数函数，真数大于0。例：函数的定义域为。 4 正切函数，的定义域为。 3、 函数的值域 1 一次函数，定义域为，值域也为。 2 二次函数，定义域为，当时，开口向上，值域也为； 当时，开口向下，值域也为； 3 反比例函数，定义域为，当，图像分布在一三象限；当，图像分布在二四象限，值域为为。 4 指数函数，定义域为，值域为。 5 正弦函数，定义域为，值域为。 6 余弦函数，定义域为，值域为。 7 二函数，定义域为，值域为。 8 绝对值函数，定义域为，值域为。 9 偶函数，定义域为，值域为。 10 指数的绝对值函数，定义域为，值域为。 12 指数的绝对值函数，定义域为，值域为。 13 对数中的外绝对值函数，定义域为，值域为。 14 三角函数，定义域为，值域为。 四、一元二次不等式的解法 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 （其中 无实根 的解集 或 的解集 （注：的情况，不等式两侧同时乘以-1，转化为上述情况。） 三、函数的单调性 1定义及判定方法 函数的 性 质 定义 图象 判定方法 函数的 单调性 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在这个区间上是增函数． （1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性 （3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在这个区间上是减函数． （1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性 （3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减） （4）利用复合函数 2在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． 3对于复合函数，令，若为增，为增，则为增；若为减，为减，则为增；若为增，为减，则为减；若为减，为增，则为减。 4 常见函数的单调性： ①一次函数，定义域为。 当，随的增大而增大；当，随的增大而减小。 ② 二次函数，定义域为。 当，在上单调递减，在上单调递增； 当，在上单调递增，在上单调递减。 ③反比例函数，定义域为。 当，在上单调递减，在上单调递减； 当，在上单调递增，在上单调递增。 ④指数函数，定义域为。 当，在上单调递增；当，在上单调递减。 ⑤对数函数，定义域为。 当，在上单调递增；当，在上单调递减。 ⑥正弦函数，定义域为。 在上单调递增； 在上单调递减。 ⑦余弦函数，定义域为。 在上单调递增；在上单调递减。 ⑧正切函数，定义域为。 在上单调递增。 ⑨ 已知函数的单调性 解：的两个极值点分别为，在和上单调递增；在上单调递减。 ⑩ 已知函数的单调性 解：的定义域为，在上单调递减；在上单调递增。 ⑪ 绝对值函数，定义域为，在上单调递减； 在上单调递增。 四、函数的奇偶性 1定义及判定方法 函数的 性 质 定义 图象 判定方法 函数的 奇偶性 如果对于函数定义域内任意一个，都有,那么函数叫做奇函数． （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数定义域内任意一个，都有,那么函数叫做偶函数． （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y轴对称） 2若函数为奇函数，且在处有定义，则。 3奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反。 4在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数。 5 已知函数是偶函数，必有。 6常考的奇函数有：，，，，，，，，，，，，。 7常见的偶函数有：，，，，，，，，，，，，，。 8 奇函数特有的性质：已知函数是奇函数，若，则有。 例：已知函数，则（ ） 解：已知函数是奇函数，则4。 9已知函数，，则 解：已知函数是奇函数，则，3。 10若为奇函数,则实数______. 解：因为是是奇函数，所以有特值，解得。 11已知函数是偶函数，求的值 解：特值法，，。 12既有单调性又有奇偶性 例：已知偶函数在单调递减，，若，则的取值范围是____ 解：由题意得，，解得，只需要，解得。 13已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足 ，则的取值范围是（ ） 解：由题意得，因为是偶函数，所以。在上单调递减，，则，解得。 5、 函数的周期性 已知函数的定义为，且满足，我们称为函数的最小正周期。 1 常见的最小正周期有：，则2为函数的最小正周期；，则4为函数的最小正周期；，则4为函数的最小正周期；，则4为函数的最小正周期；，则3为函数的最小正周期。 2 设是周期为2的奇函数，当时，=，则= 解：根据题意，是周期为2的奇函数，，当时，，则=。 3若是上周期为5的奇函数，且满足则= 解：根据题意，是周期为2的奇函数，，，=。 4 定义在上的奇函数满足，当时，，则= 解：根据题意，是周期为4的奇函数，. 5已知是定义域为的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（　　） 解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数， ∵f（1）＝2，∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2， f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0， 则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50） ＝f（1）+f（2）＝2+0＝2. 六、指数公式 （1）根式的概念 ①如果，且，那么叫做的次方根．当是奇数时，的次方根用符号表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示；0的次方根是0；负数没有次方根． ②式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，． ③根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时，。 （2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是：且．0的正分数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是：且． 0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ① ② ③ 1化解求值： 解：（1）原式＝ ＝36﹣9+1＝28； 2 计算求值： 解：（1）＝＝． 3若，求下列各式的值 （1）；（2） 解：（1）∵x+x﹣1＝4，∴x＞0，∴， ∴。 （2），。 指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称 指数函数 定义 ( 0 1 ) ( 0 1 )函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对 图象的影响 在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低． 七、对数与对数运算 1对数的定义 ①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：． 2 几个重要的对数恒等式 ，，． 3 常用对数与自然对数 常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）． 4 对数的运算性质 如果，那么 ①加法： ②减法： ③数乘： ④ ⑤ ⑥换底公式： ⑦ ⑧ ⑨ 5设2a＝5b＝m，且+＝2，m＝ 解：∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，由换底公式得，∴m2＝10，∵m＞0，∴。 6化简计算： 解： 7化简计算： 解：。 8 若xlog34＝1，求4x+4﹣x的值． 解：∵xlog34＝1，∴，∴4x+4﹣x＝＝． 9 设alog34＝2，则4﹣a＝（　　） 解：因为alog34＝2，则log34a＝2，则4a＝32＝9，则4﹣a＝＝。 八、对数函数及其性质 对数函数 函数 名称 对数函数 定义 函数且叫做对数函数 图象 ( 0 1 ) ( 0 1 ) 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对 图象的影响 在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高． 10对数函数中的单调性问题 （1）函数的单调递增区间为 解：由题意，第一步：求函数的定义域，，解得或，的定义域为。第二步：确定二次函数单调性，令，二次函数的对称轴，所以二次函数在上单调递增。 第三步：确定整体的单调性，因为以在上是单调递增，则在上单调递增。 （2） 函数的单调递减区间是 解：由题意，第一步：求函数的定义域，，解得或，的定义域为。第二步：确定二次函数单调性，令，二次函数的对称轴，所以二次函数在上单调递减。 第三步：确定整体的单调性，因为以在上是单调递增，则在上单调递减。 3函数的递增区间是 解：由题意，第一步：求函数的定义域，，解得或，的定义域为。第二步：确定二次函数单调性，令，二次函数的对称轴，所以二次函数在上单调递减。 第三步：确定整体的单调性，因为以在上是单调递增，则在上单调递减。 复合函数的单调性判断方法：简单来说：同增异减。 复合函数单调性 单调递增 单调递减 单调递增 单调递减 单调递增 无 无 单调递增 单调递增 单调递减 无 无 单调递减 单调递增 单调递增 单调递增 单调递减 无 无 单调递减 单调递减 单调递增 无 无 11对数函数中的分段函数问题 （1）设函数，则的值为（ ） 解：根据题意，①当，；②，当，。 （2）已知则________. 解：根据题意，①当，；②，当，；解得。 12对数函数中的比较大小 （1）设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则（　　） A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c 解：因为a＝log36＝1+log32，b＝log510＝1+log52，c＝log714＝1+log72，因为y＝log2x是增函数，所以log27＞log25＞log23，∵，， 所以log32＞log52＞log72，所以a＞b＞c，故选：D． （2）已知a＝log49，b＝log3，c＝，则a，b，c的大小关系为（　　） A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a 解：，，∴c＜b＜a． 故选：D． 13 指对数函数对底数的计算 （1）已知对数函数 ，且在区间上的最大值与最小值之积为，则 解：根据题意，不需要对底数进行讨论，，则，。 （2）设，函数=在区间上的最大值与最小值之差为，则=（ ） 解：由于，函数=在区间上的最大值与最小值之差为， 那么=，即=，解得，即=4。 （3）若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则的值为 14 对数中的外绝对值 形式：已知函数，若，则。 （1）已知函数，若且，则的取值范围是 解：根据题意，，则，由基本不等式，，的取值范围是。 （2）函数 若均不相等，且，则的取值范围是 解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c， 则 ab＝1，，则abc＝c∈（10，12）。 九、幂函数 1 幂函数的表达式：，（其中为有理数） ①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点． ③单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴． ④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数。 ⑤图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方。 例1：画出函数，，和的图像 例1：画出函数，，和的图像 10、 方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 3、函数存在定理 一般地，如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根，这就是零点存在定理。但是如果函数在区间上是单调的，那么函数在区间内的零点是唯一的。 4、二次函数的零点： 二次函数． ①△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点． ②△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． ③，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点。 11 试题分析 （1） 幂函数在上单调递减，则等于 解：根据题意，幂函数，则，解得或，那么幂函数或。又因为在上单调递减，则。 （2） 函数的零点位于区间（ ） （3） A. B. C. D. 解：根据题意，在上单调递增，，则零点在区间内。 （3）已知函数y＝f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时f（x）＝x2，那么函数y＝f（x）的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有（　　） 解：作出两个函数的图象如上∵函数y＝f（x）的周期为2，在[﹣1，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数，∴函数y＝f（x）在区间[0，10]上有5次周期性变化， 在[0，1]、[2，3]、[4，5]、[6，7]、[8，9]上为增函数，在[1，2]、[3，4]、[5，6]、[7，8]、[9，10]上为减函数，且函数在每个单调区间的取值都为[0，1]， 再看函数y＝|lgx|，在区间（0，1]上为减函数，在区间[1，+∞）上为增函数，且当x＝1时y＝0； x＝10时y＝1，再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个。 ( 2 ) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$