第17章 一元二次方程 章节测试练习卷 2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第17章 一元二次方程 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．已知方程，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 2．一元二次方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有一个实根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 3．若关于x的一元二次方程的一个根为，则b的值为（    ） A． B．1 C． D．2 4．下列方程中有两个相等的实数根的方程是（   ） A． B． C． D． 5．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少千克．现该商场要保证每天盈利元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价的金额为（    ） A．5元或元 B．5元 C．元 D．6元 6．某小区计划在一块长32m、宽20m的长方形空地上修建三条同样宽的道路（如图），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．已知a，b是一元二次方程两个实数根，则的值为 ． 8．一元二次方程的两根为，则的值是 ． 9．已知方程x2﹣6x+m=0有一个根是2，则另一个根是 ，m= ． 10．若关于x的一元二次方程的一个实数根是，则m的值为 ． 11．等腰的一边长为4，另外两边的长是关于的方程有两个实数根，则的值是 ． 12．设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 13．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 ． 14．将一元二次方程x2＝1﹣3x化为一般形式是 ． 15．已知实数，分别满足，，，则 ． 16．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ． 17．在一次聚会中，每两个参加聚会的人都互相握一次手，一共握了次手，问这次参加聚会的人数是多少？若设这次参加聚会的人数为人，则可列出的方程是 ． 18．若用因式分解法解一元二次方程，首先将左端的式子用 公式分解为，然后转化为两个一元一次方程 ，从而求得方程的根为 ． 三、解答题：（本大题共9题，19-23题每题6分，24-27题每题7分，满分58分） 19．为建设美丽儋州，我市年在某项目投入资金万元，年投入资金万元，若每年投入资金的年增长率相同，求我市在该项目投入资金的年平均增长率． 20．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． (1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，求两次下降的百分率； (2)经调查，若该商品每降价元，每天可多销售4件，那么每天要想获得512元的利润，每件应降价多少元？ 21．受益于国家对高新技术企业的大力扶持，某新材料公司的利润逐年增高，据统计，该公司2020年的利润为30亿元，2022年的利润为36.3亿元． (1)求该企业从2020年至2022年利润的年均增长率； (2)若2023年保持前两年利润的年均增长率不变，该企业2023年的利润能否超过39.9亿元？ 22．（1）计算：； （2）解方程：． 23．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个实数根，满足，求m的值． 24．（1）计算：． （2）解方程：； （3）解不等式组． 25．某商场出售的电脑原价为每台5000元，元旦期间开展了促销活动，将原价经过两次下调后，促销价为每台4050元． （1）求平均每次下调的百分率； （2）临近春节，该店决定推出力度更大的促销活动，按（1）中的百分率第三次下调销售价，若该电脑的进货价为每台3000元，则此次促销中每台电脑的利润为__________元． 26．随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． (1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率； (2)如果平均每人每月最多可投递快递万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 27．阅读下列材料，并解决问题： 阿尔·卡西的石榴问题： 阿尔·卡西（约1380-1429年）是阿拉伯数学家，在其所著《算术之钥》中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴……以此类推，后进果园的人都比前一个人多摘1个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘完.如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？”    在探讨这个问题的解法时，“希望小组”的同学通过分析发现：这些人摘的石榴的数量是从1开始的连续自然数，它们的平均数是6，那么这些连续自然数中间的数是6．据此可以很快得出这群人共有11人． “腾飞小组”的同学用列代数式并求值的方法验证了“希望小组”的答案是正确的，并向大家展示了求解过程中获取的新知识：求（n为正整数）的值时，用“倒序相加法”可以推导出的值等于． 方法：把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2． …… 问题解答： （1）若将阿尔·卡西的石榴问题中“如果平均分配，每个人可以得到6个石榴”改为“如果平均分配，每个人可以得到9个石榴”，其他条件不变，请根据“希望小组”的方法．求这群人共有多少人？ （2）请补全“腾飞小组”的推理过程； （3）若将阿尔·卡西的石榴问题中“如果平均分配，每个人可以得到6个石榴”改为“全部石榴为120个”其他条件不变．请用“腾飞小组”推出的结论，求出这群人共有多少人？ ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17章 一元二次方程 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．已知方程，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．先移项，再根据完全平方公式，在两边同时加上一次项系数的一半，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 2．一元二次方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有一个实根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】A 【分析】先算根的判别式，然后利用Δ0可判断方程根的情况． 【详解】∵Δ＝32﹣4×1×7＝-190， ∴方程没有实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 3．若关于x的一元二次方程的一个根为，则b的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，把一元二次方程的解代入方程，即可得出b的值． 【详解】解：因为关于x的一元二次方程的一个根为， 所以将代入方程可得， 解得， 故选：A． 4．下列方程中有两个相等的实数根的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：选项A，△= =4-4×1×0=4＞0，方程有两个不相等的实数根；选项B，△=（2a）2-4×1×a2=0，方程有两个相等的实数根；选项C，△=（-4）2-4×1×（-4）=32＞0，方程有两个不相等的实数根；选项D，如果a≠0，△=（2a）2-4×a×a=0，方程有两个相等的实数根，如果a等于0，此方程不存在；故答案选B． 考点：一元二次方程根的判别式． 5．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少千克．现该商场要保证每天盈利元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价的金额为（    ） A．5元或元 B．5元 C．元 D．6元 【答案】B 【分析】设每千克应涨价x元，根据每千克涨价1元，销售量将减少千克，则每天的销量为千克，根据利润等于销量乘以售价列方程，求解即可． 【详解】解：设每千克应涨价x元，则每天的销量为千克， 依题意列方程得 整理得： 解得：或 为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元； 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 6．某小区计划在一块长32m、宽20m的长方形空地上修建三条同样宽的道路（如图），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列一元二次方程解实际应用题．将三条路平移，草坪是一个长方形，如图所示，根据剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为，设道路的宽为，利用长方形面积公式得到，从而确定答案． 【详解】解：将三条路平移，如图所示： 剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为，设道路的宽为， ， 故选：C． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．已知a，b是一元二次方程两个实数根，则的值为 ． 【答案】7 【分析】利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：和是一元二次方程的两个实数根， ，， ． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 8．一元二次方程的两根为，则的值是 ． 【答案】-4 【分析】根据韦达定理进行求解即可． 【详解】解：由韦达定理可知． 故答案为：-4． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，，是解题的关键． 9．已知方程x2﹣6x+m=0有一个根是2，则另一个根是 ，m= ． 【答案】 4 8 【详解】试题分析：设另一根为a，由根与系数的关系可得 2+a=6，解得a=4，可得m=2×4=8． 考点：根与系数的关系；一元二次方程的解． 10．若关于x的一元二次方程的一个实数根是，则m的值为 ． 【答案】-9 【分析】将方程的解代入原方程求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程2x2-3x+m=0的一个实数根是x=3， ∴2×32-3×3+m=0， 解得：m=-9， 故答案为：-9． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解概念是解题关键． 11．等腰的一边长为4，另外两边的长是关于的方程有两个实数根，则的值是 ． 【答案】24或25/25或24 【分析】结合一元二次方程的解或根的判别式，分已知边长4是底边和腰两种情况讨论． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， 则，得m≤25， 当底边长为4时，则另两边相等， ∴， ∴m=25； 当腰长为4时，另两边中至少有一个是4， 则4一定是方程的根，代入得：16-40+m=0， 解得m=24． ∴m的值为24或25． 故答案为：24或25． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，等腰三角形的性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键． 12．设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】由根与系数的关系，得到，，然后根据完全平方公式变形求值，即可得到答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根 ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值，解题的关键是掌握完全平方公式和根与系数关系． 13．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 ． 【答案】 【分析】根据判别式的意义得到△=22-4m＞0，然后解关于m的不等式即可． 【详解】解：根据题意得△=22-4m＞0， 解得m＜1． 故答案为＜1． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 14．将一元二次方程x2＝1﹣3x化为一般形式是 ． 【答案】 【分析】通过移项变号化简即可； 【详解】原方程化简为； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，准确化简是解题的关键． 15．已知实数，分别满足，，，则 ． 【答案】 【分析】，可看作方程的两个实数根，根据根与系数的关系得到，，最后代入进行求值即可． 【详解】解：实数，分别满足，，， ，可看作方程的两个实数根， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了方程解的定义，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，理解方程的解的定义是解答本题的关键． 16．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 17．在一次聚会中，每两个参加聚会的人都互相握一次手，一共握了次手，问这次参加聚会的人数是多少？若设这次参加聚会的人数为人，则可列出的方程是 ． 【答案】 【分析】每个人都要和他自己以外的人握手一次，但两个人之间只握手一次，所以等量关系为：×聚会人数×（聚会人数﹣1）=总握手次数，把相关数值代入即可求解． 【详解】参加聚会的人数为x名，每个人都要握手（x﹣1）次，根据题意得： x（x﹣1）=55 故答案为x（x﹣1）=55． 【点睛】本题考查了用一元二次方程解决握手次数问题，得到总次数的等量关系是解决本题的关键． 18．若用因式分解法解一元二次方程，首先将左端的式子用 公式分解为，然后转化为两个一元一次方程 ，从而求得方程的根为 ． 【答案】 平方差 或 ， 【分析】利用平方差公式对方程左边进行因式分解,再转化为一元一次方程求解即可. 【详解】解: 或     ， 故答案为: (1). 平方差    (2). 或    (3). ， 【点睛】本题考查了平方差公式因式分解,掌握因式分解的平方差公式是解题的关键. 三、解答题：（本大题共9题，19-23题每题6分，24-27题每题7分，满分58分） 19．为建设美丽儋州，我市年在某项目投入资金万元，年投入资金万元，若每年投入资金的年增长率相同，求我市在该项目投入资金的年平均增长率． 【答案】我市在该项目投入资金的年平均增长率为． 【分析】设平均增长率为x，根据年投入资金万元列方程即可得到答案； 【详解】解：设平均增长率为x，由题意可得， ， 解得：，（不符合题意舍去）， 答：我市在该项目投入资金的年平均增长率为． 【点睛】本题考查一元二次方程解决平均增长率问题，解题的关键是找到等量关系式． 20．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． (1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，求两次下降的百分率； (2)经调查，若该商品每降价元，每天可多销售4件，那么每天要想获得512元的利润，每件应降价多少元？ 【答案】(1) (2)2元 【分析】（1）设每次降价的百分率为，根据题意列出方程求解即可； （2）设每件商品应降价元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为，由题意，得 ， （不符合题意，舍去）． 答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，两次下降的百分率为； （2）解：设每天要想获得512元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元，由题意，得 ， 解得：． 答：要使商场每天要想获得512元的利润，每件应降价2元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等量关系，列出方程，解答即可． 21．受益于国家对高新技术企业的大力扶持，某新材料公司的利润逐年增高，据统计，该公司2020年的利润为30亿元，2022年的利润为36.3亿元． (1)求该企业从2020年至2022年利润的年均增长率； (2)若2023年保持前两年利润的年均增长率不变，该企业2023年的利润能否超过39.9亿元？ 【答案】(1)10% (2)能 【分析】（1）设年均增长率为x，根据“公司2020年的利润为30亿元，2022年的利润为36.3亿元”列方程求解即可； （2）根据（1）中的增长率求出2023年的利润，再与39.9亿元比较即可． 【详解】（1）设该公司从2020年至2022年利润的年均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该企业从2020年至2022年利润的年均增长率为10%． （2）（亿元） ∴该企业2023年的利润能超过39.9亿元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． 22．（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先去括号，再把二次根式化简为最简二次根式，然后计算加减法； （2）利用因式分解法解方程，求出x的值即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ， 或 解得． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的解法，二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则，因式分解解方程是解题的关键． 23．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个实数根，满足，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 （1）根据一元二次方程根的判别式，代入计算即可解答； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，求得，，再将其代入求得的值即可． 【详解】（1） 证明：∵在方程中， ， ∴该方程有两个不相等的实数根． （2） 解：∵该方程的两个实数根分别为，， ∴①，②． ∵③， ∴联立①③，解得，． ∴， 解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟知相关公式是解题的关键． 24．（1）计算：． （2）解方程：； （3）解不等式组． 【答案】（1）2；（2），；（3）． 【分析】本题考查了实数的运算，利用因式分解法解一元二次方程，求不等式组的解集． （1）根据实数的运算法则计算即可求解； （2）利用因式分解法求解即可； （3）先求出两个不等式的解集，再求其公共解． 【详解】解：（1） ； （2）， ∴， ∴或， ∴，； （3）解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为． 25．某商场出售的电脑原价为每台5000元，元旦期间开展了促销活动，将原价经过两次下调后，促销价为每台4050元． （1）求平均每次下调的百分率； （2）临近春节，该店决定推出力度更大的促销活动，按（1）中的百分率第三次下调销售价，若该电脑的进货价为每台3000元，则此次促销中每台电脑的利润为__________元． 【答案】（1）；（2）645元． 【分析】（1）设平均每次下调的百分率为，根据电脑的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的解； （2）利用每台电脑的利润=经过两次降价后的价格（1下调率）进货价，即可求出结论． 【详解】解：（1）设平均每次下调的百分率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去） 答：平均每次下调的百分率为． （2）根据（1）所得结论及电脑利润的表达式得： （元） 故答案是：645元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程． 26．随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． (1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率； (2)如果平均每人每月最多可投递快递万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 【答案】(1)该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为 (2)至少还需增加2名业务员 【分析】本题考查了一元二次方程的应用： （1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为，根据今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和万件即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据3月份完成投递的快递总件数结合完成投递的快递总件数即可算出今年4月份的快递投递总件数，再根据投递快递总件数每人投递件数人数即可算出该公司现有的21名快递投递业务员最多能够完成的任务量，二者比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为，由题意，得 ， 解得：，（舍去）． 答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为． （2）4月：（万件）， ， 该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务． ， 至少还需增加2名业务员． 27．阅读下列材料，并解决问题： 阿尔·卡西的石榴问题： 阿尔·卡西（约1380-1429年）是阿拉伯数学家，在其所著《算术之钥》中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴……以此类推，后进果园的人都比前一个人多摘1个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘完.如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？”    在探讨这个问题的解法时，“希望小组”的同学通过分析发现：这些人摘的石榴的数量是从1开始的连续自然数，它们的平均数是6，那么这些连续自然数中间的数是6．据此可以很快得出这群人共有11人． “腾飞小组”的同学用列代数式并求值的方法验证了“希望小组”的答案是正确的，并向大家展示了求解过程中获取的新知识：求（n为正整数）的值时，用“倒序相加法”可以推导出的值等于． 方法：把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2． …… 问题解答： （1）若将阿尔·卡西的石榴问题中“如果平均分配，每个人可以得到6个石榴”改为“如果平均分配，每个人可以得到9个石榴”，其他条件不变，请根据“希望小组”的方法．求这群人共有多少人？ （2）请补全“腾飞小组”的推理过程； （3）若将阿尔·卡西的石榴问题中“如果平均分配，每个人可以得到6个石榴”改为“全部石榴为120个”其他条件不变．请用“腾飞小组”推出的结论，求出这群人共有多少人？ 【答案】（1）这群人共有17人；（2）见解析；（3）这群人共有15人 【分析】（1）根据希望小组的求法“人数×平均数-1”求解即可； （2）两式相加再除以2即可得到结论； （3）根据（2）的结论列方程求解即可． 【详解】解：（1）（人）． 答：这群人共有17人． （2）① ② ①+②，得： ． ． （3）由题意，得， 即， 解，得，（不合题意，舍去） 答：这群人共有15人． 【点睛】此题主要考查了数字变化---规律型问题以及一元二次方程的应用，读懂材料，找出等量关系是解答此题的关键． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$