精品解析：2021年江苏省南京市中华中学特长生考试数学真题

2021年中华中学特长生考试数学部分 1. 在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC长的取值范围是_______． 2. 已知三角形三边长为6，8，10，则它内切圆半径是________. 3. 作图（尺规），作，、分别直线a、b上，作等腰直角三角形并作简要说明（不全等） （1）平行：① ② （2）不平行： ① ② 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2021年中华中学特长生考试数学部分 1. 在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】作△ABC的外接圆，求出当∠BAC＝90°时，BC是直径最长＝；当∠BAC＝∠ABC时，△ABC是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4，而∠BAC＞∠ABC，即可得出答案． 【详解】解：作△ABC的外接圆，如图所示： ∵∠BAC＞∠ABC，AB＝4， 当∠BAC＝90°时，BC是直径最长， ∵∠C＝60°， ∴∠ABC＝30°， ∴BC＝2AC，AB＝AC＝4， ∴AC＝， ∴BC＝； 当∠BAC＝∠ABC时，△ABC是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4， ∵∠BAC＞∠ABC， ∴BC长的取值范围是4＜BC≤； 故答案为4＜BC≤． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系、直角三角形的性质、等边三角形的性质；作出△ABC的外接圆进行推理计算是解题的关键． 2. 已知三角形三边长为6，8，10，则它内切圆半径是________. 【答案】2 【解析】 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，设△ABC内切圆的半径为R，切点分别为D、E、F，再根据题意画出图形，先根据正方形的判定定理判断出四边形ODCE是正方形，再根据切线长定理即可得到关于R的一元一次方程，求出R的值即可． 【详解】 如图所示：中， 即 是直角三角形， 设的内切圆半径为R，切点分别为D，E，F， ，，， 四边形是正方形，即 ，即 ，即 联立解得：R=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，以及到勾股定理的逆定理、正方形的判定与性质、切线长定理，解题的关键是熟练掌握三角形的内切圆与内心的相关概念． 3. 作图（尺规），作，、分别在直线a、b上，作等腰直角三角形并作简要说明（不全等） （1）平行：① ② （2）不平行： ① ② 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，熟练掌握此知识点是解此题关键． （1）①根据垂线的画法作图即可；②根据垂线的画法作图即可； （2）①根据垂线画法作图即可；②根据垂线的画法作图即可． 【小问1详解】 解：①如图： 过点作直线于点交直线于点，截取，，连接，则即所求； ②如图： 过点作直线于点交直线于点，截取，过点交直线于点，连接，即为所求； 【小问2详解】 解：①如图： 作点关于直线的对称点，交直线于点，以为圆心，为半径作弧交直线于点，作直线交直线于点，连接，作线段的垂直平分线交直线于点，连接，，即为所求； ②如图： 作点关于直线对称点，交直线于点，以为圆心，为半径作弧交直线于点，作直线交直线于点，连接，作线段的垂直平分线交直线于点，连接，，即为所求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$