精品解析：广东省中山市华侨中学2025届高三第一次模拟考试数学试题

保密★启用前 中山市华侨中学2025届高三上学期一模考试数学试卷 命题人：高三数学备课组 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校､姓名､班级､座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔或涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是定义域上的偶函数，在区间上单调递增，且对任意、均有成立，则下列函数中符合条件的是（ ） A. B. C. D. 4. 某市共10000人参加一次物理测试，满分100分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在的学生人数大约为（ ） （若，则） A. 1359 B. 2718 C. 3414 D. 4773 5. 的展开式中，各项的二项式系数只有第4项最大，则常数项为（ ） A. 160 B. 20 C. D. 6. 2023年第19届亚运会在杭州举行，亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如表所示：若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） 时间x 1 2 3 4 5 销售量y/万只 5 4.5 4 3.5 2.5 A. 由题中数据可知，变量y与x负相关 B. 当时，残差为0.2 C. 可以预测当时销量约为2.1万只 D. 线性回归方程中 7. 函数在区间上的零点个数为（ ） A. 1个 B. 4个 C. 2个 D. 0个 8. 已知定义在上的函数的导函数为，对于任意的实数都有，且时，．若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则的最小值为9 D. 若，则的最大值为 10. 已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在R上单调递减 D. 当时， 11. 已知函数，则下列结论中正确的有（ ） A. 必有唯一极值点 B. 若，则在(0,+∞)上单调递增 C. 若，对有恒成立，则 D. 若存在，使得成立，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数为奇函数，则的值为_____________ . 13. 某药厂用甲、乙两地收购而来的药材加工生产出一种中成药，这两个地区的供货量分别占，，且用这两地的药材能生产出优等品的概率分别为，，现从该厂产品中任意取出一件产品，则此产品是优等品的概率为______． 14. 已知函数，则不等式的解集为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）． 16. 推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择．为调查居民对垃圾处理情况，某社区居委会随机抽取400名社区居民参与问卷调查并全部收回．经统计，有60%的居民对垃圾分类处理，其中女性占；有40%的居民对垃圾不分类处理，其中男性女性各占． （1）请根据以上信息完成2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为垃圾处理与性别有关？ 性别 垃圾处理 合计 不分类 分类 男性 女性 合计 （2）为了提高社区居民对垃圾分类的处理能力，该社区成立了垃圾分类宣传小组，利用周末的时间在社区进行垃圾分类宣传活动，并在每周宣传活动结束后，重新统计对垃圾不分类处理的居民人数，统计数据如下： 周次 1 2 3 4 5 对垃圾不分类处理的人数 120 105 100 95 80 请根据所给的数据，建立对垃圾不分类处理的人数与周次之间的经验回归方程，并预测该社区第10周对垃圾不分类处理的人数． 附：，其中． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，． 17. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 18. 某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动．现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加． （1）求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率； （2）记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望； （3）若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望． 19. 已知函数. （1）当时，直线（为常数）与曲线相切，求的值； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）若有两个零点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 中山市华侨中学2025届高三上学期一模考试数学试卷 命题人：高三数学备课组 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校､姓名､班级､座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔或涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解集合中的不等式，解出的范围，再求得即可. 【详解】由，解得，即， ，. 故选：C. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定可得否定命题. 【详解】命题“”的否定是“”. 故答案为：B. 3. 已知函数是定义域上的偶函数，在区间上单调递增，且对任意、均有成立，则下列函数中符合条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质，结合函数单调性、奇偶性定义逐一判断每个选项即可得解. 【详解】对于A，因为的定义域为， 又，则是定义域上的偶函数， 当时，显然单调递增， 又，满足题意，故A正确； 对于B，因为幂函数是奇函数，而非偶函数，故B错误； 对于C，对于，有， 而，显然两者不相等，故C错误； 对于D，对于定义域为，有， ，显然两者不相等，故D错误； 故选：A. 4. 某市共10000人参加一次物理测试，满分100分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在的学生人数大约为（ ） （若，则） A. 1359 B. 2718 C. 3414 D. 4773 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求，再计算人数即可. 【详解】因为，即，， 所以, 所以, 所以抽测成绩在的学生人数大约为人. 故选：A. 5. 的展开式中，各项的二项式系数只有第4项最大，则常数项为（ ） A. 160 B. 20 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，根据二项式系数性质，可知，从而可得展开式通项，令即可求得常数项的值． 【详解】解：因为二项展开式中的各项的二项式系数只有第4项最大，所以， 则展开式的通项为， 令，解得， 所以，即展开式中常数项为． 故选：C． 6. 2023年第19届亚运会在杭州举行，亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如表所示：若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） 时间x 1 2 3 4 5 销售量y/万只 5 4.5 4 3.5 2.5 A. 由题中数据可知，变量y与x负相关 B. 当时，残差为0.2 C. 可以预测当时销量约为2.1万只 D. 线性回归方程中 【答案】B 【解析】 【分析】对于选项A，利用表中数据变化情况或看回归方程的正负均可求解；对于选项B，利用样本中心点求出线性回归方程，再利用回归方程即可求出预测值，进而可求出残差；对于选项C，利用回归方程即可求出预测值；对于选项D，利用回归方程一定过样本中心点即可求解. 【详解】对于选项A，从数据看，随的增大而减小，所以变量与负相关，故A正确； 对于选项B，由表中数据知，， 所以样本中心点为，将样本中心点代入中得， 所以线性回归方程为，所以，残差，故B错误； 对于选项C，当时销量约为（万只），故C正确． 对于选项D，由B选项可知，故D正确. 故选：B. 7. 函数在区间上的零点个数为（ ） A. 1个 B. 4个 C. 2个 D. 0个 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数零点意义得，变形为，并探讨和的最值即可得解. 【详解】当时，由得即， 当时，恒成立，而恒成立， 因此不成立， 所以函数在区间上的零点个数为0. 故选：D. 8. 已知定义在上的函数的导函数为，对于任意的实数都有，且时，．若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，由奇偶性定义判断为偶函数，再由导数结合得出其单调性，最后由单调性以及奇偶性比较大小即可. 【详解】解：令， 对于任意的实数都有，即为偶函数； ； 当时，， 当时，为增函数； 又， ，即. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则的最小值为9 D. 若，则的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由即可判断；对于B，由不等式性质即可判断；对于C，由基本不等式“1的整体代换”即可分析求解；对于D，由结合重要不等式即可判断. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，因为，所以当有，故B正确； 对于C，且， 则， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为，故C错误； 对于D，因为，，且，当且仅当时等号成立， 所以，即， 当且仅当时等号成立， 所以的最大值为，故D正确. 故选：BD. 10. 已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在R上单调递减 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，赋值法得到，，；B选项，先赋值得到，令得，故B正确；C选项，令，且，当时，，故，从而在R上单调递增；D选项，先变形得到，又，故，由函数单调性得到D正确. 【详解】A选项，中， 令中，令得， 令得，即，A正确； B选项，中，令得，解得， 中，令得， 故为奇函数，B正确； C选项，中，令，且， 故，即， 当时，，故， 即，故在R上单调递增，C错误； D选项， 由A知，， 又，故，又在R上单调递增，所以，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，则下列结论中正确的有（ ） A. 必有唯一极值点 B. 若，则在(0,+∞)上单调递增 C. 若，对有恒成立，则 D. 若存在，使得成立，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，求函数的导数，判断当 时，，即此时无极值点，判断A;对于B，求出函数的导数，判断其正负即可；对于C，构造函数，将有恒成立，转化为求函数的最值问题判断即可；对于D，将问题转化为在时，，然后构造函数，求该函数的最值即可. 【详解】由题意得，当 时，， 此时单调递增，无极值点，故A错误； 当时，，故当 时，， 则在(0,+∞)上单调递增，故B正确； 当时，对有恒成立， 当 时，恒成立， 当 时，即对恒成立， 令， 当 时，递减，当 时，递增， 故，故 ，故C错误； 若存在，使得成立，即在时， ， 令 ，当时，， 故，故，故D正确， 故选：BD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数为奇函数，则的值为_____________ . 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的定义域，再由奇函数的性质求出并验证即得. 【详解】函数中，，方程的根为， 由函数是奇函数，得，解得，此时的定义域为， ，即函数为奇函数， 所以的值为. 故答案为： 13. 某药厂用甲、乙两地收购而来的药材加工生产出一种中成药，这两个地区的供货量分别占，，且用这两地的药材能生产出优等品的概率分别为，，现从该厂产品中任意取出一件产品，则此产品是优等品的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据全概率公式计算可得. 【详解】记产品是优等品为事件，来自甲地为事件，来自乙地为事件， 则，，，， 所以， 故从该厂产品中任意取出一件产品，则此产品是优等品的概率为. 故答案为： 14. 已知函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数判断单调性，再判断奇偶性，即可求解不等式. 【详解】由得， 所以函数是R上的增函数， 又由得函数是奇函数， 则由得， 所以， 解得. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算求解； （2）根据对数的定义及运算求解． 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 ． 16. 推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择．为调查居民对垃圾处理情况，某社区居委会随机抽取400名社区居民参与问卷调查并全部收回．经统计，有60%的居民对垃圾分类处理，其中女性占；有40%的居民对垃圾不分类处理，其中男性女性各占． （1）请根据以上信息完成2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为垃圾处理与性别有关？ 性别 垃圾处理 合计 不分类 分类 男性 女性 合计 （2）为了提高社区居民对垃圾分类的处理能力，该社区成立了垃圾分类宣传小组，利用周末的时间在社区进行垃圾分类宣传活动，并在每周宣传活动结束后，重新统计对垃圾不分类处理的居民人数，统计数据如下： 周次 1 2 3 4 5 对垃圾不分类处理的人数 120 105 100 95 80 请根据所给的数据，建立对垃圾不分类处理的人数与周次之间的经验回归方程，并预测该社区第10周对垃圾不分类处理的人数． 附：，其中． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，． 【答案】（1）联列表为： 性别 垃圾处理 合计 不分类 分类 男性 80 80 160 女性 80 160 240 合计 160 240 400 认为对垃圾处理与性别有关，犯错误的概率不大于0.005． （2）；37． 【解析】 【分析】（1）由题意计算完成联列表，再计算由独立性检验的方法判断即可求解； （2）由最小二乘法求回归直线方程即可 【小问1详解】 由题意， 则联列表为： 性别 垃圾处理 合计 不分类 分类 男性 80 80 160 女性 80 160 240 合计 160 240 400 零假设为：对垃圾处理与性别无关． 根据列联表中的数据，经计算得到 ． 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即能认为对垃圾处理与性别有关，犯错误的概率不大于0.005． 【小问2详解】 ，， ，， ， 所以， 即所求的经验回归方程为； 令，得， 所以预测该社区第10周对垃圾不分类处理的人数为37． 17. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 【答案】（1） （2）设备占地面积为时，y的值最小 【解析】 【分析】（1）由题意得，解不等式即可得解. （2）将变形为，再利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 令即，整理得即， 所以解得， 所以设备占地面积的取值范围为. 【小问2详解】 ， 当且仅当即时等号成立， 所以设备占地面积为时，的值最小. 18. 某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动．现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加． （1）求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率； （2）记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望； （3）若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望． 【答案】（1） （2） 的分布列为： 0 1 2 （3） 【解析】 【分析】（1）由条件概率的计算公式即可求解； （2）参加活动的女教师人数为，则服从超几何分布，即可写出的分布列及期望. （3）根据一名女教师和一名男教师参加活动获得分数的期望，即可得，即可求得. 【小问1详解】 设“有女教师参加活动”为事件，“恰有一名女教师参加活动”为事件， 则，，所以. 【小问2详解】 依题意知服从超几何分布，且， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 . 【小问3详解】 设一名女教师参加活动可获得分数为，一名男教师参加活动可获得分数为， 则的所有可能取值为3,6，的所有可能取值为6,9， ，， ，， 有名女教师参加活动，则男教师有名参加活动，， 所以. 即两个教师得分之和的期望为分. 19. 已知函数. （1）当时，直线（为常数）与曲线相切，求的值； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）若有两个零点，求证：. 【答案】（1） （2） （3） 方法一：因为有两个零点，不妨设， 则， 即，即， 令，则， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以. 令，则单调递增， 又，所以，即. 由的单调性可知. 思路一：构造函数. 则， 故在上单调递减， 又，所以，则，即， 又，所以， 又在上单调递增，所以. 故. 思路二：要证，即证，即证. 令，即证. 构造函数. 则， 故在内单调递减，则，即. 故. 思路三：因为，即， 令，则 即 要证，即证， 即证，即证， 下同思路一，略. 方法二：因为有两个零点，不妨设， 则， 即. 令，则， 所以当时，单调递减；当时，单调递增. 所以. 令，则单调递增， 又，所以，即 由的单调性可知. 思路一：构造函数. 则 ， 令，则， 所以当时，单调递减， 所以当时，，则，所以， 故在上单调递减，又，所以，则，即， 又，所以， 又在上单调递增，所以. 故. 思路二：因为，所以， 即， 令，要证，即证， 即证. 构造函数. 则， 故在上单调递减，则. 故. 注：要证明，即证，构造函数. 则， 故在上单调递减，则.故. 思路三：令，则即. 要证，即证，即证. 下同思路二，略. 思路四：对两边取对数，得，下面同方法一. 【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义先求切点，即可得解； （2）方法一：利用导数求函数的最小值；方法二：分离参数法，等价于恒成立；方法三：由题意，分离参数法，等价于恒成立； （3）方法一：思路一：构造函数，利用导数研究函数单调性；思路二：要证，即证，令，即证；思路三：令，要证，即证，即证，即证，利用导数证明；方法二：由，令，求其最小值，由的单调性可知，思路一：构造函数，利用导数得证；思路二：令，要证，即证，即证；思路三：令，则，要证，即证，即证；思路四：对两边取对数，得，下面同方法一. 【小问1详解】 当时，. 设切点，则 消得，解得，代入得. 【小问2详解】 方法一：因为， 所以， 当时，设，则， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以. 又-axe，故恒成立，所以成立. 当时，， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增. 故，解得，又，所以， 综上所述，的取值范围为. 方法二：因为恒成立， 又，所以上式等价于恒成立. 记，则， 设，则. 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 所以. 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 所以. 故的取值范围为. 方法三：因为恒成立， 又，所以上式等价于恒成立. 记，则， 所以当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.所以. 令，则，则恒成立. 记，则， 所以在上单调递增，所以，所以. 故的取值范围为. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $