第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末测试卷-2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 第二章一元二次函数、方程和不等式章末测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．设集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 4．设，命题，命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 6．存在三个实数，使其分别满足下述两个等式： （1） （2） 其中M表示三个实数中的最小值，则（    ） A．M的最大值是 B．M的最大值是 C．M的最小值是 D．M的最小值是 7．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．为提高市民的健康水平，拟在半径为200米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中区域是休闲健身区，以为底边的等腰三角形区域是儿童活动区，P，C，D三点在圆弧上，中点恰好在圆心O，则当健身广场的面积最大时，的长度为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．关于的不等式的解集可以是 B．关于的不等式的解集可以是或 C．函数的图象与轴有一个交点时，可能大于 D．“关于的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“” 11．已知实数a，b满足，则下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．的最小值为2 C．若，则 D．若，则的最小值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知，则的取值范围是 ． 13．已知对任意恒成立，则 ． 14．以表示数集中最大的数．已知，，，则的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（1）解不等式：； （2）解关于的不等式. 16．（15分）（1）求函数的最小值； （2）求函数的最大值. 17．（15分）如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C，已知AB长为4米，AD长为3米，设米．    (1)要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内； (2)要使矩形花坛AMPN的扩建部分铺上大理石，则AN的长度是多少时，用料最省？ 18．（17分）已知函数． (1)求关于x的不等式的解集； (2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围． 19．（17分）已知关于x的不等式的解集为M. (1)若，求k的取值范围； (2)若存在两个不相等负实数a，b，使得或，求实数k的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 第二章一元二次函数、方程和不等式章末测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，，，故选项A错误； 当时，，故选项B错误； ，，故选项C正确； 当时，，故选项D错误. 故选：C. 2．已知，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【详解】因为，则， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为4. 故选：A. 3．设集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不等式，解得，即集合， 又集合，所以. 故选：D. 4．设，命题，命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题意 ， 即命题的充要条件为， 所以命题是命题的充分不必要条件. 故选：A. 5．若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解集为， 当时， 的解集为， 因为关于x的不等式组的整数解只有， 所以，即， 当时，的解集为空集，不满足题意， 当时，的解集为，不满足题意， 综上，的取值范围. 故选：D 6．存在三个实数，使其分别满足下述两个等式： （1） （2） 其中M表示三个实数中的最小值，则（    ） A．M的最大值是 B．M的最大值是 C．M的最小值是 D．M的最小值是 【答案】B 【详解】由已知得，中必有个正数，1个负数， 设，，则， 因为，所以， 所以，即， 所以，由得，，即， 所以， 故选：B． 7．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ，要使得不等式有解，只需有解即可， 解得或者， 故选：D 8．为提高市民的健康水平，拟在半径为200米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中区域是休闲健身区，以为底边的等腰三角形区域是儿童活动区，P，C，D三点在圆弧上，中点恰好在圆心O，则当健身广场的面积最大时，的长度为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】如图，设半圆的半径是，并设，则，由知.    由于，故四边形和四边形都是上底为，下底为，高为的梯形. 所以，健身广场的面积. 从而，健身广场的面积最大的时候，恰好就是最大的时候，而我们又有： ，第一个不等号使用了基本不等式. 等号成立当且仅当且，即且. 由于时，故等号成立当且仅当. 以上结论表明，的最大值是，且取到最大值当且仅当. 由，我们得到当健身广场的面积最大时，的长度为. 最后，由是半圆的半径，再根据题目条件，知等于200米，所以的长度为米，D选项正确. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为，所以， 则有，AD选项正确，B选项错误； 与的大小不确定，C选项不恒成立. 故选：AD 10．已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．关于的不等式的解集可以是 B．关于的不等式的解集可以是或 C．函数的图象与轴有一个交点时，可能大于 D．“关于的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“” 【答案】ABC 【详解】A选项，当时，，解集为，A正确； B选项，当时，，解得或，B正确； C选项，当时，函数的图象与轴有一个交点， 此时，C正确； D选项，由题意可得两根之积小于0，即，解得， 故“关于的方程有一个正根和一个负根”的充要条件不是，D错误 故选：ABC 11．已知实数a，b满足，则下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．的最小值为2 C．若，则 D．若，则的最小值为1 【答案】ACD 【详解】对于选项A，由，，得，解得，A正确. 对于选项B，取，满足，此时，B不正确. 对于选项C，由，得，取，， 则，由，得，则，则， 当且仅当，时，等号成立，从而，C正确. 对于选项D，由，得， 则. 因为 ，当且仅当， 即时，等号成立， 所以的最小值为1，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】可令， 即，解得， 所以， 又，所以， 即，可得； 所以的取值范围是. 故答案为： 13．已知对任意恒成立，则 ． 【答案】/ 【详解】由，可得，从而，再由，，对任意恒成立，利用判别式法求解，得解. 令，解得，故，即， 则，所以对任意恒成立， 所以即解得， 同理对任意恒成立可得， 综上得， 则 故答案为： 14．以表示数集中最大的数．已知，，，则的最小值为 【答案】2 【详解】由题意可知, 所以有，因为 所以， 当且仅当，即时取等号， 另外，当且仅当即时取等号， 综合上述，所以有即，当且仅当时取等号. 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（1）解不等式：； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）不等式，即，解得， 故不等式的解集为； （2）不等式变形为，则， 解得，故不等式的解集为. 16．（15分）（1）求函数的最小值； （2）求函数的最大值. 【答案】（1）5；（2） 【详解】解：（1）由， 因为，可得，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，当时，函数的最小值为. （2）由，当且仅当，即时取等号， 所以，当时，函数取得最大值. 17．（15分）如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C，已知AB长为4米，AD长为3米，设米．    (1)要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内； (2)要使矩形花坛AMPN的扩建部分铺上大理石，则AN的长度是多少时，用料最省？ 【答案】(1) (2)米时，用料最省． 【详解】（1）解：由，可得，则，则， 花坛AMPN面积等于， 由题意，可得，即， 解得或，所以AN的长应在范围内. （2）解：根据题以，可得扩建部分面积， 令，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，即米时，用料最省．    18．（17分）已知函数． (1)求关于x的不等式的解集； (2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）解：由已知易得即为：， 令可得与， 所以，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； （2）解：由可得， 由，得， 所以可得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以的取值范围是. 19．（17分）已知关于x的不等式的解集为M. (1)若，求k的取值范围； (2)若存在两个不相等负实数a，b，使得或，求实数k的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，或. 当时，恒成立； 当时，，解得，不恒成立，舍去. 当时， 解得或. 综上可知，k的取值范围为或. （2）由可得或. 因为不等式解集的两个端点就是对应方程的实数根， 所以关于x的方程有两个不相等的负根， 设为，，则， 解得， 综上可知，k的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$