精品解析：2021年江苏省南京市第一中学特长生考试数学试题

2021年一中特长生考试数学部分 1. 解方程：． 2. 如图，在中，．请你设计两种不同的分法，将分割成四个小三角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似但不全等的直角三角形、请画出分割线段，并在两个全等三角形中标出一对相等的内角的度数（画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法）． 3. 讨论关于x的方程根的情况． 4. 如图，等腰中，，以为直径作半圆，取半圆上一点D，连接，点M为中点，求取值范围． 5. 解答下列各题． （1）求的值． （2）求的值． （3）______． 6. 某博物馆出土了一件文物，文物长度为，摆放在高度为的展示架上，一老师打算带舞蹈团去参观，舞蹈团的平均身高为，为了保证观看视角最大（视角：人眼与被观看物两边构成的角），栅栏应摆放在距多远的位置？ 7. 如图，、P为内一点，，A、B分别为、上动点，求周长最小值． 8. 点G为的中点，，，△沿翻折使点落在上，四边形为矩形，求______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021年一中特长生考试数学部分 1. 解方程：． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查高次方程，正确运用因式分解是解题关键． 先进行因式分解得到两个方程，再分别进行计算即可． 【详解】解：， 或， 若，则， ，则， 原方程的解： ，，． 2. 如图，在中，．请你设计两种不同的分法，将分割成四个小三角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似但不全等的直角三角形、请画出分割线段，并在两个全等三角形中标出一对相等的内角的度数（画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法）． 【答案】 解：根据全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作图如下， 【解析】 【分析】本题主要考查作图—应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，分割过程中需注意两个相似三角形必须为有一个角是的直角三角形，两个全等三角形不一定是直角三角形． 【详解】略 3. 讨论关于x的方程根的情况． 【答案】当且时，，方程有两个相等实数根，当或时，，方程有两个不等实数根 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式，进行分类讨论是解题的关键． 利用一元二次方程根的判别式结合分类讨论的数学思想即可解决问题． 【详解】解： ， 当且时，， 方程有两个相等实数根， 当或时，， 方程有两个不等实数根． 4. 如图，等腰中，，以为直径作半圆，取半圆上一点D，连接，点M为中点，求取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】取AB，CB中点P，Q，连接，，，，，取的中点O，过点O作于H，连接，，连接交半圆O于N，利用三角形中位线的性质得，，从而得到，则点M在以为直径的半圆上，当M在与半圆交点N处时，，当M在Q时，，再利用勾股定理求出，的长即可求解． 【详解】解：取AB，CB中点P，Q，连接，，，，，取的中点O，过点O作于H，连接，，以O为圆心，为直径作半圆O，连接交半圆O于N，如图， ∵点D在以为直径的半圆上， ∴， ∵点P，Q，M分别为AB，CB，的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴点M在以为直径的半圆上， ∴当M在与半圆交点N处时，， 当M在Q时，， ， ， ∴， ∴， ∵O为的中点，， ∴， ∵， ∴，即点H为的中点， ∴，， ，， ， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理的推论，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，平行线的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 5. 解答下列各题． （1）求的值． （2）求的值． （3）______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算的应用，主要考查学生的理解能力和阅读能力，题目是一道比较好的题目，有一定的难度． （1）根据已知先求出，再相减，即可得出答案； （2）根据已知先求出，再相减，即可得出答案； （3）由题意得原式，仿照（1）（2）即可求得答案． 【小问1详解】 解：设①， 则②， ，得：， ∴； 【小问2详解】 解：设①， 则， ，得：， ∴； 【小问3详解】 解：原式， 设①， 则②， ，得：， ∴， ∴原式， 故答案为：． 6. 某博物馆出土了一件文物，文物长度为，摆放在高度为的展示架上，一老师打算带舞蹈团去参观，舞蹈团的平均身高为，为了保证观看视角最大（视角：人眼与被观看物两边构成的角），栅栏应摆放在距多远的位置？ 【答案】 【解析】 【分析】本题综合考查了与圆相切的位置关系和勾股定理，找出最大视角即与圆相切的位置关系是解决问题的关键． 根据题意画出图形找到最大视角，运用与圆有关的位置相切和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，在上截取，则在过，且与地面平行的直线上， 当过，，的与相切时，最大， 过作，则， ， ， 栅栏应摆放在距的位置． 7. 如图，、P为内一点，，A、B分别为、上动点，求周长最小值． 【答案】12 【解析】 【分析】作P关于、的对称点、，连接、，则与、交点为A、B时，则，，所以周长，根据两点之间线段最短可得此时，周长最小，最小值为长度，由轴对称的性质知，，再过O作垂足为H，解可得，即可求解． 【详解】解：作P关于、的对称点、， 连接、，则与、交点为A、B时， ∴，， ∴周长， ∴此时，周长最小，最小值为长度， ∵P关于、的对称点、， ∴，， 过O作垂足为H， 则，， ∴， ， ∵，， ，即周长最小值为12． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题、解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 8. 点G为的中点，，，△沿翻折使点落在上，四边形为矩形，求______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，结合矩形的性质、旋转的性质可得，根据全等三角形的判定证明，可得．再证明，可得，即可求得，利用勾股定理可得，进而可得答案． 【详解】解：连接， 四边形为矩形， ． 点为的中点， ． 由翻折得，，，， ，， ， ∴， ，． ， 即， ． ， ． ， ， ， 即， ． 由勾股定理得，． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $