精品解析：2023年贵州省遵义市第四中学自主招生数学试题

遵义四中2023年自主招生考试 数学 （考试时间：120分钟；试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 2．答题时，用黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、填空题：本题共12小题，每小题6分，共72分． 1. 若，则的所有可能值之和为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了化简绝对值以及有理数的加法运算，因为，所以分类讨论，即全是正数或者两个正数，一个负数，分别化简计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴当 则 ∴当 则 ∴当 则 ∴当 则 则 故答案为：4 2. 现有50本书分发给n名同学，无论怎样分配，总有1名同学所得书不少于4本，则n的最大值为__________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了分数除法的应用，理解题意，找到数量关系是解题的关键． 根据题意假设每人分本，列式，则，推出，进而求出答案． 【详解】解：假设每人分本， ∴， ∵无论怎样分配，总有1名同学所得的书不少于4本， ∵ ∴ ∴的最大值为． 故答案为：16． 3. 已知整数，则的个位数字是__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查数字变化规律，根据算式可得都是奇数，而，再求出的个位数字是5，从而可得结论． 【详解】解： 而都是奇数，且， 所以，的个位数字是5， 故答案为：5 4. 如图，在中，点在边上，且，连接，在线段上取一点，使得，连接，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形面积的计算，设的面积为，求出的面积为，的面积为，再计算出的面积为，从而可求出． 【详解】解：设的面积为， ∵， ∴的面积为，的面积为， 又， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 5. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质以及完全平方公式的变形运算，先整理原式，再结合，得出，进行化简求值，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵ 则 ∴原式 故答案为： 6. 如图，在中，，，，是边的中点，是边上一点，连接，将沿直线折叠，当点的对应点落在边上时，线段的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】该题主要考查了解直角三角形，三角形内角和定理，折叠的性质等知识点，解题的关键是解出的长． 在，过点B作，求出；根据折叠可得：，得出，，即可得． 【详解】解：如图，过点B作， ∵，， ， 设，则，， 则， 解得：， ∴； 根据折叠可得：， ∴， ， ∴． 故答案为：． 7. 某景区统计某天游客总量，已知游览景点1的有102人，游览景点2的有95人，游览景点3的有88人，景点1、景点2都游览的有47人，景点1、景点3都游览的有35人，景点2、景点3都游览的有24人，3个景点都游览的有16人，则这天景区游客的总量是__________人． 【答案】195 【解析】 【分析】本题考查了用图表示各个量之间的关系，熟练掌握图是解决本题的关键，直接用图求解即可． 【详解】解：根据题意填图如下，三个圆代表三个景点的人数， 所以这天景区游客的总量是（人）， 因此，这天景区游客的总量是195人． 8. 若二次函数的最小值为0，且点，在该函数的图像上，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的对称性． 根据点，纵坐标相同，且都在二次函数的图像上，得出对称轴为直线，求出，根据，关于对称轴对称，且，得出，即可求解； 【详解】解：∵点，纵坐标相同，且都在二次函数的图像上， ∴对称轴为直线， ∴，解得：， ∵二次函数的最小值为0， ∴， 解得：， ∵点，都在二次函数的图像上，且，即， ∴， ∴， 故答案为：． 9. 如图，是内一点，，，，，则的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】构造的外接圆，连接，延长交于点，连接，由圆周角定理可得为等边三角形，再由求解即可． 【详解】解：构造的外接圆，连接，延长交于点，连接， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴由勾股定理得， ∵四点共圆， ∴由托勒密定理得，， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，三角形的外接圆，托勒密定理，正确构造外接圆运用托勒密定理是解题的关键． 10. 符号表示不超过的最大整数，如，，则数组，，，…，中，共有__________个不同的数． 【答案】1518 【解析】 【分析】本题考查了有理数的新定义问题，涉及有理数乘方运算，读懂题目信息，理解是解题的关键． 根据题意得，即可当时，，当时，，进行计算即可求解． 【详解】解：， 当时，， ，， ∴0~505之间所有整数都可取， ∵彼此差最大为1， ∴共有506个， 当时，， 则n为1012、1013……2023时，所取整数互不相等， ∴共有（个）， ∴（个）． 故答案为：1518． 11. 如图，在等边三角形中，，在边上取一点，连接，，为边上一动点，于点，于点，连接，则长度的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，取中点，连接，，则有，由，即，故最小时，最小，根据垂线段最短可知，当时，最小，此时，由是等边三角形， 得，，根据直角三角形的性质得，，设，则，求出，，，则，从而可知，，，最后证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接，取中点，连接，， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴最小时，最小， 根据垂线段最短可知，当时，最小，此时， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，三角形三边关系，垂线段最短，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，角所对直角边是斜边的一半，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 12. 已知是正整数，且．若，则的最大值为__________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了数字规律以及 有理数的乘方运算，先根据当有最大值，则最大，最小，再结合条件“．且，”分别分类讨论计算，即当，则，不符合题意，故舍去；若当，符合题意，则，，即可作答． 【详解】解：∵要求的最大值 ∴最大，最小， ∵是正整数， ∴最小值为： ∵．且， ∴当 ∴ ∵最小值为 则，不符合题意，故舍去； ∴当 则 则此时符合题意， 则此时， ∴ 则的最大值为14 故答案为：14 二、解答题：本题共6小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 13. 已知的值为，0，3中的一个，且，，求的值． 【答案】673 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，解二元一次方程组等知识点，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键． 设这列数中有x个，有y个3，根据题意可列得，进行计算求出x，y的值，再代入求解即可． 【详解】解：设这列数中有x个，有y个3， 则， 解得， 则． 14. 解方程：． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程和绝对值方程，先根据绝对值意义将方程转化为两个一元二次方程，再求解即可． 【详解】解： ∴解得，； ∴ ∴ ∴①或②， 由①得， ∵ ∴， ∴，； 由②得，， 解得，， 综上，方程的解为，，． 15. （1）如图1，在正方形中，，点E，F分别在边上，连接．若，，求线段的长度； （2）如图2，将（1）中“在正方形中，”改为“在矩形中，，”，其他条件不变，求线段的长度． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质和矩形的性质，勾股定理和解直角三角形等知识： （1）连接，过点F作，由勾股定理得出，得出，得出，证明是等腰直角三角形，得设则，由可得出，求出，从而求出； （2）过点D作截取过点H作交于点P，交于点Q，过点P作于点G，得证明得，由勾股定理得，求得，，设则，证明得所以，求得，再由勾股定理可求出的值，从而可得出结论． 【详解】解：（1）连接，过点F作，如图， ∴, ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， 又， ∴是等腰直角三角形， ∴ 设则， 又 ∴ 解得，， ∴； （2）过点D作截取过点H作交于点P，交于点Q，过点P作于点G，如图， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∵, ∴ 又, ∴， ∴， 又 ∴ 又 ∴ ∴，， 设则， ∵ ∴ ∴ ∴，即， ∴， 又 ∴， 解得，， ， ∴． 16. 如图，在平面直角坐标系中，，（，且），以为直径的圆与轴交于点，二次函数的图像经过M，N，P三点． （1）若，求证：； （2）在（1）的条件下，若，，均为整数，求二次函数的解析式．提示：． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，运用三次勾股定理得到，解出含有p的根，即可得到； （2）可得，则，得到，故，而，得，，得到，分类讨论，解方程即可，只有时符合题意，则，，则，解得或（舍），，因此，，设解析式为：，代入得，，即可求解． 【小问1详解】 解：连接， ∵， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则 ∴ ， ∴，（舍）， 而， ∴； 【小问2详解】 解：如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， ∵， 由得，， ∴， 当时，则，， 则， ∴（舍）， 当时，则，， 则， 解得或（舍）， ∴， ∴，， 设解析式为：， 代入得，， ∴， ∴解析式为：； 当时，则，， 则，无整数解（舍）， ∴解析式为：． 【点睛】本题考查了二次函数与圆的综合题，待定系数法求函数解析式，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形等相关知识点，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 17. （1）【知识感悟】如图1，线段交于点，且，过点作交AC于点，求证；． （2）【知识应用】如图2，是等边三角形的外接圆，为上任意一点，连接并延长交的延长线于点E，交于点，连接，求证：． 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）由平行得到，，得到比例式，再将两式相加即可求证； （2）构造的外接圆，记为，延长交于点，连接，根据圆周角定理可证明是等边三角形，由得到，由得到，两式相加化简即可求解． 【详解】证明：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①+②得，， ∴； （2）构造的外接圆，记为，延长交于点，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， 由得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆的内接四边形，圆周角定理，等边三角形的判定与性质等知识点，解题的关键在于构造外接圆，利用圆的相关性质解题． 18. 一张三角形纸片，用剪刀沿一条不过顶点的直线将其剪成两个多边形，任取其中一个多边形，再沿一条不过顶点的直线将其剪成两个多边形，接着又从得到的3个多边形中任取其一，仍沿一条不过顶点的直线将其剪成两个多边形，…，如此下去，最后得到2023个12边形和其他若干多边形纸片．问：至少要剪多少刀？说明操作过程． 提示：n边形内角和． 【答案】18207 【解析】 【分析】本题考查了多边形的边角关系，解一元一次不等式，熟练掌握多边形内角和是解题的关键． 根据题意设一共剪了k刀，可得每剪一次，使得各部分的内角和共增加，剪了k刀后，可得个多边形，其余多边形有个，再根据多边形内角和公式列式计算即可． 【详解】解：设一共剪了k刀， 由题意得，每剪一次，使得各部分的内角和共增加， ∴剪了k刀后，可得个多边形，内角和为：， ∵个多边形中有2023个十二边形， ∴， 其余多边形有个， 而这些多边形内角和不少于， ∴， 解得， ∴至少剪18207刀． 当我们按如下方式剪18207刀，即可得到符合条件的结论． 先从三角形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个四边形；再在四边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个五边形；依次，剪了9刀后，得到9个三角形和1个十二边形．再取出9个三角形，再在每个三角形上剪9刀，得到81个三角形和9个十二边形；再取81个三角形，再在每个三角形上剪9刀，得到729个三角形和81个十二边形；再取729个三角形，再在每个三角形上剪9刀，得到6561个三角形和729个十二边形；再取1203个三角形，再在每个三角形上剪9刀，得到10827个三角形和1203个十二边形； 便可得到十二边形：（个） 三角形：（个） 共剪了：（刀）． 答：至少剪18207刀． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义四中2023年自主招生考试 数学 （考试时间：120分钟；试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 2．答题时，用黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、填空题：本题共12小题，每小题6分，共72分． 1. 若，则的所有可能值之和为__________． 2. 现有50本书分发给n名同学，无论怎样分配，总有1名同学所得书不少于4本，则n的最大值为__________． 3. 已知整数，则的个位数字是__________． 4. 如图，在中，点在边上，且，连接，在线段上取一点，使得，连接，则__________． 5. 已知，则__________． 6. 如图，在中，，，，是边的中点，是边上一点，连接，将沿直线折叠，当点的对应点落在边上时，线段的长为__________． 7. 某景区统计某天游客总量，已知游览景点1的有102人，游览景点2的有95人，游览景点3的有88人，景点1、景点2都游览的有47人，景点1、景点3都游览的有35人，景点2、景点3都游览的有24人，3个景点都游览的有16人，则这天景区游客的总量是__________人． 8. 若二次函数的最小值为0，且点，在该函数的图像上，则__________． 9. 如图，是内一点，，，，，则的长为__________． 10. 符号表示不超过的最大整数，如，，则数组，，，…，中，共有__________个不同的数． 11. 如图，在等边三角形中，，在边上取一点，连接，，为边上一动点，于点，于点，连接，则长度的最小值为______． 12. 已知是正整数，且．若，则的最大值为__________． 二、解答题：本题共6小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 13. 已知的值为，0，3中的一个，且，，求的值． 14. 解方程：． 15. （1）如图1，在正方形中，，点E，F分别在边上，连接．若，，求线段的长度； （2）如图2，将（1）中“在正方形中，”改为“在矩形中，，”，其他条件不变，求线段的长度． 16. 如图，在平面直角坐标系中，，（，且），以为直径的圆与轴交于点，二次函数的图像经过M，N，P三点． （1）若，求证：； （2）在（1）的条件下，若，，均为整数，求二次函数的解析式．提示：． 17. （1）【知识感悟】如图1，线段交于点，且，过点作交AC于点，求证；． （2）【知识应用】如图2，是等边三角形的外接圆，为上任意一点，连接并延长交的延长线于点E，交于点，连接，求证：． 18. 一张三角形纸片，用剪刀沿一条不过顶点的直线将其剪成两个多边形，任取其中一个多边形，再沿一条不过顶点的直线将其剪成两个多边形，接着又从得到的3个多边形中任取其一，仍沿一条不过顶点的直线将其剪成两个多边形，…，如此下去，最后得到2023个12边形和其他若干多边形纸片．问：至少要剪多少刀？说明操作过程． 提示：n边形内角和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $