第二十一章 一元二次方程综合测试卷　 2024—2025学年人教版九年级数学上册

第二十一章 一元二次方程综合测试卷 时间100分钟，总分120分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．x2＝0 D．3x2﹣2xy﹣5y＝0 2．一元二次方程x2＝x的根是（　　） A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝x2＝0 D．x1＝x2＝1 3．若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2024﹣6a2+2a的值是（　　） A．2026 B．2025 C．2023 D．2022 4．关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2 5．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少（1丈＝10尺，1尺＝10寸）？若设门的宽为x寸，则下列方程中，符合题意的是（　　） A．x2+12＝（x+0.68）2 B．x2+（x+0.68）2＝12 C．x2+1002＝（x+68）2 D．x2+（x+68）2＝1002 6．若三角形三边的长均能使代数式（x﹣6）（x﹣3）的值为零，则此三角形的周长是（　　） A．9或18 B．12或15 C．9或15或18 D．9或12或15 7．为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都要比赛一场），计划安排28场比赛，则参赛的足球队个数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 8．定义新运算“a※b”：对于任意实数a、b，都有a※b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，例4※2＝（4+2）（4﹣2）﹣1＝12﹣1＝11．则方程x※1＝x的根的情况为（　　） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 9．若关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（﹣x﹣m+1）2+b＝0的解是（　　） A．x1＝1，x2＝﹣2 B．x1＝1，x2＝0 C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝3，x2＝0 10．古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是（如图）：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC，AC＝b，再在斜边AB上截取BD．则该方程的一个正根是（　　） A．CD的长 B．AC的长 C．AD的长D．BC的长 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．如果x＝﹣1是方程的根，则△ABC是　 　三角形． 12．已知方程（m﹣2）x|m|﹣x﹣9＝0，当m＝　 　时，是关于x的一元二次方程． 13．直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数有　 　． 14．《念奴娇•赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为 　 　岁． 15．若x1，x2是一元二次方程x2﹣6x﹣3＝0的两个根，则的值为 　 　． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（12分）解方程： （1）（2x+3）2＝24；（用直接开平方法）； （2）x（x﹣2）＝2﹣x（用因式分解法）； （3）4x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）； （4）7x2﹣23x+6＝0（用公式法）． 17．（8分）下面是小明同学解一元二次方程2x2﹣2＝3x的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 2x2﹣2＝3x． 解：二次项系数化为1，得，第一步 移项，得，第二步 配方，得，第三步 变形，得，第四步 开方，得，第五步 解得，，第六步 （1）上面小明同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是　 　，其中“配方法”依据的一个数学公式是　 　； （2）上述解题过程，从第　 　步开始出现错误，请写出正确的解答过程． 18．（8分）阅读下面的材料并解答后面的问题： 小力：能求出x2+4x+3的最小值吗？如果能，其最小值是多少？ 小强：能．求解过程如下：因为x2+4x+3＝x2+4x+4﹣4+3＝（x2+4x+4）+（﹣4+3）＝（x+2）2﹣1，而（x+2）2≥0，所以x2+4x+3的最小值是﹣1． 问题：（1）小强的求解过程正确吗？ （2）你能否求出x2﹣8x+5的最小值？如果能，写出你的求解过程． 19．（9分）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0． （1）当方程有一个根为﹣1时，求k的值及另一个根； （2）当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围； （3）若方程有两个实数根x1，x2且满足x12+x22＝5，求k的值． 20．（9分）甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m． （I）甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？ （II）如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？ 21．（9分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A沿AB边向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合）；动点Q从点B沿BC边向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）． （1）设时间为t，则BP＝　 　cm，BQ＝　 　cm； （2）如果P、Q分别从A、B同时出发，出发多少秒后，四边形APQC的面积为16cm2？ 22．（9分）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同． （1）求该公司销售A产品每次的增长率； （2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？ 23．（11分）综合与探究 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程：x2+x＝0是“邻根方程”． （1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ①x2+x﹣6＝0； ②2x2﹣2x+2＝0． （2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x﹣2m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值． （3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a、b是常数，且a＜0）是“邻根方程”，令t＝16+b2，请化简． 参考答案 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．解：x21是分式方程，则A不符合题意； ax2+bx+c＝0中当a＝0时它不是一元二次方程，则B不符合题意； x2＝0符合一元二次方程的定义，则C符合题意； 3x2﹣2xy﹣5y＝0中含有两个未知数，则D不符合题意； 故选：C． 2．解：x2＝x， x2﹣x＝0， x（x﹣1）＝0， x＝0，x﹣1＝0， x1＝0，x2＝1， 故选：A． 3．解：∵a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根， ∴3a2﹣a＝1， ∴2022﹣6a2+2a＝2024﹣2（3a2﹣a）＝2024﹣2×1＝2022， 故选：D． 4．解：根据题意得k≠0且Δ＝42﹣4k×（﹣2）≥0， 解得k≥﹣2且k≠0． 故选：C． 5．解：1丈＝100寸，6尺8寸＝68寸． 设门的宽为x寸，则门的高度为（x+68）寸， 依题意得：x2+（x+68）2＝1002． 故选：D． 6．解：令（x﹣6）（x﹣3）＝0， 可化为：x﹣6＝0或x﹣3＝0， 解得：x1＝6，x2＝3， （i）当三角形为等腰三角形时，三边分别为3，3，6时，不能构成三角形，舍去； 三边分别为6，6，3时，三角形的周长为6+6+3＝15； （ii）当三角形为等边三角形时，边长为3或6，此时三角形周长为9或18， 综上，三角形的周长为9或15或18． 故选：C． 7．解：设共有x个球队参赛， 根据题意得：x（x﹣1）＝28， 整理得：x2﹣x﹣56＝0， 解得：x1＝8，x2＝﹣7（不符合题意，舍去）， ∴共有8个球队参赛． 故选：C． 8．解：由新定义得（x+1）（x﹣1）﹣1＝x， 整理得x2﹣x﹣2＝0， ∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 9．解：∵a（﹣x﹣m+1）2+b＝0， ∴a（x+m﹣1）2+b＝0， 又∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a，m，b均为常数，a≠0）， ∴方程a（x+m﹣1）2+b＝0中x﹣1＝2或x﹣1＝﹣1， 解得x1＝3，x2＝0， 故选：D． 10．解：∵∠ACB＝90°，BC，AC＝b， ∴AB， ∴AD； x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）用求根公式求得：x， ∴x1，x2， ∴AD的长就是方程的正根， 故选：C． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．如果x＝﹣1是方程的根，则△ABC是　等腰　三角形． 解：把x＝﹣1代入（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0得a+c﹣2b+a﹣c＝0， 所以a＝b， 所以△ABC为等腰三角形． 故答案为等腰． 12．已知方程（m﹣2）x|m|﹣x﹣9＝0，当m＝　﹣2　时，是关于x的一元二次方程． 解：∵方程（m﹣2）x|m|﹣x﹣9＝0是关于x的一元二次方程， ∴|m|＝2且m﹣2≠0， ∴m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 13．直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数有　1或2　． 解：∵直线y＝x+a不经过第二象限， ∴a≤0， 当a＝0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元一次方程，解为x， 当a＜0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程， ∵Δ＝22﹣4a＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为1或2． 14．《念奴娇•赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为 　36　岁． 解：设这位风流人物去世的年龄十位数字为x，则个位数字为x+3， 则根据题意：10x+（x+3）＝（x+3）2， 整理得：x2﹣5x+6＝0，解得x1＝2，x2＝3， 由题意，而立之年督东吴，则x＝2舍去， ∴这位风流人物去世的年龄为36岁， 故答案为：36． 15．若x1，x2是一元二次方程x2﹣6x﹣3＝0的两个根，则的值为 　﹣2　． 解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣6x﹣3＝0的两个根， ∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣3， ∴2． 故答案为：﹣2． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（12分）解方程： （1）（2x+3）2＝24；（用直接开平方法）； （2）x（x﹣2）＝2﹣x（用因式分解法）； （3）4x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）； （4）7x2﹣23x+6＝0（用公式法）． 解：（1）（2x+3）2＝24， ， ， ∴； （2）x（x﹣2）＝2﹣x， ∴x（x﹣2）+（x﹣2）＝0 （x+1）（x﹣2）＝0， ∴x+1＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝2； （3）4x2﹣4x﹣1＝0， ∴4x2﹣4x＝1， 4x2﹣4x+1＝1+1， ∴（2x﹣1）2＝2， ， ， ∴； （4）∵7x2﹣23x+6＝0， ∴Δ＝232﹣4×7×6＝361＞0， ∴， ∴． 17．（8分）下面是小明同学解一元二次方程2x2﹣2＝3x的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 2x2﹣2＝3x． 解：二次项系数化为1，得，第一步 移项，得，第二步 配方，得，第三步 变形，得，第四步 开方，得，第五步 解得，，第六步 （1）上面小明同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是　降次　，其中“配方法”依据的一个数学公式是　完全平方式　； （2）上述解题过程，从第　三　步开始出现错误，请写出正确的解答过程． 解：（1）解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是完全平方公式； 故答案为：降次，完全平方式； （2）解题过程，从第三步开始出现错误，正确的解答过程如下： 解：2x2﹣2＝3x， ， ， ， ， ， 解得，． 18．（8分）阅读下面的材料并解答后面的问题： 小力：能求出x2+4x+3的最小值吗？如果能，其最小值是多少？ 小强：能．求解过程如下：因为x2+4x+3＝x2+4x+4﹣4+3＝（x2+4x+4）+（﹣4+3）＝（x+2）2﹣1，而（x+2）2≥0，所以x2+4x+3的最小值是﹣1． 问题：（1）小强的求解过程正确吗？ （2）你能否求出x2﹣8x+5的最小值？如果能，写出你的求解过程． 解：（1）正确 （2）能．过程如下： x2﹣8x+5＝x2﹣8x+16﹣16+5＝（x﹣4）2﹣11， ∵（x﹣4）2≥0， 所以x2﹣8x+5的最小值是﹣11． 19．（9分）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0． （1）当方程有一个根为﹣1时，求k的值及另一个根； （2）当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围； （3）若方程有两个实数根x1，x2且满足x12+x22＝5，求k的值． 解：（1）把x＝﹣1代入一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0得：（﹣1）2﹣（2k+1）+k2+1＝0， 整理得：k2﹣2k+1＝0， 解得：k＝1， 即原方程为：x2+3x+2＝0， ∴x1•x2＝2， ∵x1＝﹣1， ∴x2＝﹣2， 即k的值为1，另一个根为﹣2； （2）根据题意得：Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＝4k﹣3＞0， 解得：， 即k的取值范围为． （3）根据题意得x1+x2＝﹣2k﹣1，x1•x2＝k2+1， ∵x21+x22＝5， ∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（﹣2k﹣1）2﹣2（k2+1）＝5， 整理得k2+2k﹣3＝0，解得k1＝﹣3，k2＝1， ∵方程有两个实数根时，k， ∴k＝1． 20．（9分）甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m． （I）甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？ （II）如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？ 解：（1）设n分钟后第1次相遇，依题意，有5n＝70， 整理得n2+13n﹣140＝0， 解得n＝7，n＝﹣20（舍） 第1次相遇是在开始后7分钟． （2）设n分钟后第2次相遇，依题意，有5n＝3×70， 整理得n2+13n﹣420＝0， 解得n＝15，n＝﹣28（舍） 故第2次相遇是在开始后15分钟． 21．（9分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A沿AB边向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合）；动点Q从点B沿BC边向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）． （1）设时间为t，则BP＝　（6﹣t）　cm，BQ＝　2t　cm； （2）如果P、Q分别从A、B同时出发，出发多少秒后，四边形APQC的面积为16cm2？ 解：（1）设时间为t，依题意，BP＝6﹣t，BQ＝2t， 故答案为：（6﹣t）；2t． （2）设t秒后，四边形APQC的面积为16cm2， ∴S△ABC﹣S△BPQ＝16， ∴， 即， 解得：t1＝2，t2＝4， 当t＝4时，BQ＝2×4＝8， ∵Q不与点C重合， ∴t＝4不合题意舍去， 答：2秒后，四边形APQC的面积为16cm2． 22．（9分）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同． （1）求该公司销售A产品每次的增长率； （2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？ 解：（1）设该公司销售A产品每次的增长率为x， 依题意，得：20（1+x）2＝45， 解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）． 答：该公司销售A产品每次的增长率为50%． （2）设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出（3020）套， 依题意，得：（2﹣y）（3020）＝70， 整理，得：4y2﹣5y+1＝0， 解得：y1，y2＝1． ∵尽量减少库存， ∴y＝1． 答：每套A产品需降价1万元． 23．（11分）综合与探究 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程：x2+x＝0是“邻根方程”． （1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ①x2+x﹣6＝0； ②2x2﹣2x+2＝0． （2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x﹣2m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值． （3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a、b是常数，且a＜0）是“邻根方程”，令t＝16+b2，请化简． 解：（1）①解方程得：（x+3）（x﹣2）＝0， ∴x1＝﹣3，x2＝2， ∵2≠﹣3+1， ∴x2+x﹣6＝0不是“邻根方程”； ②x， ∴x1，x2， ∵1， ∴2x2﹣2x+2＝0是“邻根方程”； （2）解方程得：（x﹣m）（x+2）＝0， ∴x1＝m，x2＝﹣2， ∵方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”， ∴m＝﹣2+1或m＝﹣2﹣1， ∴m＝﹣1或﹣3； （3）方法一、解方程ax2+bx+2＝0得： x1，x2， ∵关于x的方程ax2+bx+2＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”， ∴1， ∴1， ∴a， 等号两边平方得：b2﹣8a＝a2， ∵b2＝a2+8a＝a（a+8）， ∵关于x的方程ax2+bx+2＝0（a、b是常数，a＜0）是“邻根方程”， ∴a≤﹣8， ∵t＝16+b2， ∴t＝a2+8a+16＝（a+4）2， ∴（a+4）＝﹣a﹣4． 方法二、设方程ax2+bx+2＝0的两个根为x1，x2， ∵该方程是“邻根方程”， ∴（x1﹣x2）2＝1， 由根与系数的关系，得x1+x2，x1•x2， ∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x21， ∴b2﹣8a＝a2， ∴b2＝a2+8a＝a（a+8）， ∵a＜0， ∴a≤﹣8， ∵t＝16+b2， ∴t＝a2+8a+16＝（a+4）2， ∴（a+4）＝﹣a﹣4． 学科网（北京）股份有限公司 $$