专题03 整式的加法与减法重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级上册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题03 整式的加法与减法重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 同类项的判断 题型二 已知同类项求指数中字母或代数式的值 题型三 合并同类项 题型四 去括号 题型五 添括号 题型六 整式的加减运算 题型七 整式加减的应用 题型八 整式的加减中的化简求值 题型九 整式加减中的无关型问题 知识点一：合并同类项 1.同类项的概念：一个多项式中，字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。注意所有的常数项都是同类项。 比如：多项式a2b-a2c-4+3a2b+ab2-a2c+5-ab2中，a2b和3a2b是同类项， -a2c和-a2c是同类项，-4和5是同类项，ab2和- ab2是同类项，而a2b和-a2c不是同类项，因为它们字母不同， a2b和ab2不是同类项，因为它们虽然字母相同，但是相同字母的指数不同。 2.合并同类项的概念：按照乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项。 3.合并同类项法则 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。 要点诠释： (1) 注意项的系数为负数时的情况，也就是在多项式中遇到减号时，注意此时是加了一个系数为负数的项。 (2) 字母和指数不变，也就是说，合并同类项之后，仅仅是系数发生了变化，而字母和字母的指数不会发生任何变化，否则就是错误。 (3)合并同类项之前，应该先移动项，将同类项移动到一起，在移动项的时候，要注意将减号当做负号一起移动。 知识点二：去括号 1.去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 要点诠释： (1) 去括号法则实际上是根据乘法分配律得到的结论：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘。 (2) 去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号。 (3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号。 （4）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形。 2.添括号法则 （1）添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； （2）添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号。 要点诠释： (1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的。 (2)去括号和添括号的关系如下： 如：， 知识点三、整式的加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 要点诠释： （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项。 （2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来。 (3)整式加减的最后结果的要求： ①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止； ②一般按照某一字母的降幂或升幂排列； ③不能出现带分数，带分数要化成假分数。 【经典例题一 同类项的判断】 【例1】下列每组单项式中，是同类项的是（　　） A．a和0 B．和 C．和 D．和 1．下列各组式子中，是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．写出的一个同类项： ． 3．下列各组中的两项是不是同类项?为什么? (1)与 (2)与 (3)与. (4)与 (5)与 (6)与 【经典例题二 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 【例2】若单项式与是同类项，则的值是（　　） A． B．1 C．8 D．9 1．若与是同类项，则（    ） A．0 B． C．3 D．4 2．若单项式 与的和是单项式，则 3．若单项式和是同类项，求的值． 【经典例题三 合并同类项】 【例3】下列合并同类项的结果中，正确的是（   ） A． B． C． D． 1．下面计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．若总成立，则的值为 ． 3．合并同类项：． 【经典例题四 去括号】 【例4】下列各式去括号后，结果不是的是（    ） A． B． C． D． 1．在等式中，括号里应填（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则 3．化简： (1) ； (2)． 【经典例题五 添括号】 【例5】下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 1．下列代数式添括号正确的是(   ) A． B． C． D． 2．已知，则的值为 ． 3．将式子4x＋（3x﹣x）＝4x＋3x﹣x，4x﹣（3x﹣x）＝4x﹣3x＋x分别反过来，你得到两个怎样的等式？ （1）比较你得到的等式，你能总结添括号的法则吗？ （2）根据上面你总结出的添括号法则，不改变多项式﹣3x5﹣4x2＋3x3﹣2的值，把它的后两项放在： ①前面带有“＋”号的括号里； ②前面带有“﹣”号的括号里． ③说出它是几次几项式，并按x的降幂排列． 【经典例题六 整式的加减运算】 【例6】一个多项式加上，再减去等于，则这个多项式为（　　） A． B． C． D． 1．“燕几”是世界上最早的组合家具，由七张桌子（包括2张长桌、2张中桌和3张小桌）拼成，每张桌子高度、宽度均相同，只有桌面的长度不同，七张桌面可以拼成不同的图形．如图是《燕几图》中名为“回文”的桌面拼合方式．如果设长桌的长为尺，中桌的长为尺，小桌的长为尺，那么下列关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 3．若的最小值记为，的最大值记为，则 ． 3．化简： (1) (2) 【经典例题七 整式加减的应用】 【例7】如图，大小两个正方形的边长分别是4和3，叠放在一起后两个阴影部分的面积分别为，则的值为（　　） A．2 B．7 C．14 D．25 1．如图，大长方形的长为，宽为，将6个完全相同的小长方形如图所示放置（不重叠无缝隙），那么图中的阴影部分的周长之和是（    ）    A． B． C． D． 2．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“阶梯数”．例如：四位数1235，∵∴1235是“阶梯数”；又如：四位数2356，∵∴2356不是“阶梯数”．若一个“阶梯数”，则这个数为 ；若一个“阶梯数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最小值是 ． 3．【观察思考】 如图，第1个图案是由边长为1的两个等边三角形组成的1个菱形（包含两条对角线），第2个图案由2个相同的菱形组成，第3个图案由3个相同的菱形组成，以此类推．．． 【规律发现】 第1个图案中含有长为1的线段条数是5，含有三角形个数是8；第2个图案中含有长为1的线段条数是9，含有三角形个数是18；第3个图案中含有长为1的线段条数是13，含有三角形个数是28；…… （1）第n个图案中含有长为1的线段条数是__________，含有三角形个数是__________．（用含n的式子表示） 【规律应用】 （2）结合图案中长为1的线段条数和三角形个数的规律，每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多吗？请说明理由． 【经典例题八 整式的加减中的化简求值】 【例8】试确定关于x，y的方程的整数解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 1．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．已知，则多项式的值等于 ． 3．先化简，再求式子的值： ，其中 【经典例题九 整式加减中的无关型问题】 【例9】已知：，，若代数式的的值与a无关，则此时b的值为（    ） A． B．0 C． D． 1．已知，，若的值与的取值无关，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．若多项式经化简后不含项，则k的值为 ． 3．已知，． (1)求的值； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 1．下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．错写成，结果比原来（ ）． A．多4 B．少4 C．多24 3．若，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 4．若，则多项式的值为(   ) A．9 B． C．15 D． 5．小丽和小乐用相同的正方形手工纸剪圆片，小丽剪了一个，小乐剪了4个（如图），剩下的边角料相比较（　　）    A．同样多 B．小丽的多 C．小乐的多 D．无法确定 6．若与是同类项，则合并后的结果为 ． 7．一个多项式加上得到，这个多项式是 ． 8．已知，那么的值为 ． 9．若整式的值与字母x的取值无关，则的值为 ． 10．把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分周长的和是 ．（用含x或y的代数式来表示） 11．指出并合并一次式中的同类项． 12．化简： (1)； (2)． 13．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 14．已知，． (1)化简； (2)若的值与y的值无关，求x的值． 15．一个容器内注满了水．将大、中、小三个铁球这样操作：第一次，沉入小球；第二次，取出小球，沉入中球；第三次，取出中球，沉入大球．已知第一次溢出的水量是第二次的3倍，第三次溢出的水量是第一次的2倍．求小、中、大三个球的体积比． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 整式的加法与减法重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 同类项的判断 题型二 已知同类项求指数中字母或代数式的值 题型三 合并同类项 题型四 去括号 题型五 添括号 题型六 整式的加减运算 题型七 整式加减的应用 题型八 整式的加减中的化简求值 题型九 整式加减中的无关型问题 知识点一：合并同类项 1.同类项的概念：一个多项式中，字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。注意所有的常数项都是同类项。 比如：多项式a2b-a2c-4+3a2b+ab2-a2c+5-ab2中，a2b和3a2b是同类项， -a2c和-a2c是同类项，-4和5是同类项，ab2和- ab2是同类项，而a2b和-a2c不是同类项，因为它们字母不同， a2b和ab2不是同类项，因为它们虽然字母相同，但是相同字母的指数不同。 2.合并同类项的概念：按照乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项。 3.合并同类项法则 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。 要点诠释： (1) 注意项的系数为负数时的情况，也就是在多项式中遇到减号时，注意此时是加了一个系数为负数的项。 (2) 字母和指数不变，也就是说，合并同类项之后，仅仅是系数发生了变化，而字母和字母的指数不会发生任何变化，否则就是错误。 (3)合并同类项之前，应该先移动项，将同类项移动到一起，在移动项的时候，要注意将减号当做负号一起移动。 知识点二：去括号 1.去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 要点诠释： (1) 去括号法则实际上是根据乘法分配律得到的结论：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘。 (2) 去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号。 (3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号。 （4）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形。 2.添括号法则 （1）添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； （2）添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号。 要点诠释： (1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的。 (2)去括号和添括号的关系如下： 如：， 知识点三、整式的加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 要点诠释： （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项。 （2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来。 (3)整式加减的最后结果的要求： ①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止； ②一般按照某一字母的降幂或升幂排列； ③不能出现带分数，带分数要化成假分数。 【经典例题一 同类项的判断】 【例1】下列每组单项式中，是同类项的是（　　） A．a和0 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了同类项的定义，关键是掌握同类项的定义：①所含字母相同，②相同字母的指数相同． 根据同类项的定义，结合选项即可作出判断． 【详解】解：A、a与0所含字母不同，所以不是同类项，故本选项不合题意； B、和所含字母相同，但相同字母的指数不相同，所以不是同类项，故本选项不合题意； C、和所含字母不相同，不是同类项，故本选项不合题意； D、和所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，所以是同类项，故本选项符合题意． 故选：D． 1．下列各组式子中，是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”所含字母相同，相同字母的指数相同，是易错点，还有注意同类项定义中隐含的两个“无关”：与字母的顺序无关；与系数无关． 根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，可得答案．注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关； 【详解】解：A、所含字母相同，但相同字母指数不相同，不是同类项，故A不符合题意； B、所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故B符合题意； C、所含字母相同，但相同字母指数不相同，不是同类项，故C不符合题意； D、所含字母不尽相同，不是同类项，故D不符合题意； 故选：B． 2．写出的一个同类项： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【详解】解：的一个同类项可以是：（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 3．下列各组中的两项是不是同类项?为什么? (1)与 (2)与 (3)与. (4)与 (5)与 (6)与 【答案】(1)不是同类项，理由见分析 (2)不是同类项，理由见分析 (3)是同类项，理由见分析 (4)是同类项，理由见分析 (5)不是同类项，理由见分析 (6)是同类项，理由见分析 【分析】根据同类项的定义逐个判断即可（所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项）． 【详解】（1）与中两项所含相同的字母的指数不同，不是同类项. （2）与中两项所含的字母不同，不是同类项. （3）与中两项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项. （4）与中两项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项. （5）与中两项不含相同字母，不是同类项. （6）与中两项是常数项，是同类项 【点睛】本题主要考点是同类项的定义，根据同类项的定义逐个判断即可，应当熟练掌握． 【经典例题二 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 【例2】若单项式与是同类项，则的值是（　　） A． B．1 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查同类项的定义、代数式求值，根据同类项的定义：“字母相同，字母的指数也相同的项叫做同类项，”可得，，即，，再代入求解即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， 解得，， ∴ 故选：A． 1．若与是同类项，则（    ） A．0 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】此题考查了同类项的概念，根据同类项的概念可求，的值，从而求出代数式的值，解题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：（）所含字母相同；（）相同字母的指数相同． 【详解】∵与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：． 2．若单项式 与的和是单项式，则 【答案】0 【分析】本题考查同类项的定义、代数式求值，根据同类项的定义可得，，即，，再代入求值即可． 【详解】解：∵单项式 与的和是单项式， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：0． 3．若单项式和是同类项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同类项，根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得二元一次方程组，根据解方程组，可得的值根据代数求值，可得答案． 【详解】解：由单项式和是同类项，得，解得． 当，时，． 【经典例题三 合并同类项】 【例3】下列合并同类项的结果中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：，故选项A中计算错误，不符合题意； ，故选项B中计算错误，不符合题意； ，故选项C中计算错误，不符合题意； ，故选项D中计算正确，符合题意； 故选：D． 1．下面计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查了合并同类项的知识，解答本题的关键是掌握合并同类项法则．根据合并同类项的法则求解． 【详解】 解：A、，原式计算错误，故本选项错误； B、和不是同类项，不能合并； C、3和x不是同类项，不能合并； D、，计算正确，故本选项正确． 故选：D． 2．若总成立，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据合并同类项法则得到、、的值，进而代入求解即可． 【详解】解：总成立， ，，， ． 【点睛】本题考查了合并同类项，合并同类项是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变． 3．合并同类项：． 【答案】 【分析】此题考查了合并同类项，利用加法交换律把同类项放在一起，再利用合并同类项法则计算即可． 【详解】解： ． 【经典例题四 去括号】 【例4】下列各式去括号后，结果不是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了去括号，当括号前面是“＋”号时，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里的各项都不改变符号，当括号前面是“－”号时，把括号和前面的“－”号去掉，括号里的各项都改变符号，根据去括号法则逐项进行判断即可，熟练掌握去括号法则是解题的关键． 【详解】、，不符合题意， 、，不符合题意， 、，符合题意， 、，不符合题意， 故选：． 1．在等式中，括号里应填（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的减法，熟练掌握添括号法则是解题的关键．根据减法性质解答即可． 【详解】解： 故选B． 2．已知，，，则 【答案】0 【分析】根据去括号法则化简，再代入数字计算即可得到答案． 【详解】解：原式 ， 当，，时， 原式 ， 故答案为0． 【点睛】本题考查整式化简求值，解题关键是去括号时注意符号的选取． 3．化简： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减． （1）按照合并同类项法则进行计算即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 熟练掌握去括号法则及合并同类项法则是解题的关键．注意：和是同类项， 和是同类项． 【详解】（1） （2） 【经典例题五 添括号】 【例5】下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据去括号和添括号法则，即去括号时，括号前是正号的，去括号后，括号里的每一项都不变符号；括号前是负号的，去括号后，括号里的每一项都要变符号；添括号法则：括号前是正号，括到括号里的各项都不变符号；括号前是负号，括到括号里各项都改变符号，即可一一判定． 【详解】解：A.，故该选项错误，不符合题意； B.，故该选项正确，符合题意； C.，故该选项错误，不符合题意； D.，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了去括号和添括号法则，熟练掌握和运用去括号和添括号法则是解决本题的关键． 1．下列代数式添括号正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了添括号，根据添括号法则：若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号；进行运算即可判断求解，掌握添括号法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故该选项错误，不合题意； B、，故该选项错误，不合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、，故该选项错误，不合题意； 故选：C． 2．已知，则的值为 ． 【答案】3.5 【分析】代数式可变形为，将整体代入后计算即可． 【详解】解：， 故答案为：3.5． 【点睛】本题考查代数式求值和添括号．掌握整体法代入并能对代数式正确变形是解题关键． 3．将式子4x＋（3x﹣x）＝4x＋3x﹣x，4x﹣（3x﹣x）＝4x﹣3x＋x分别反过来，你得到两个怎样的等式？ （1）比较你得到的等式，你能总结添括号的法则吗？ （2）根据上面你总结出的添括号法则，不改变多项式﹣3x5﹣4x2＋3x3﹣2的值，把它的后两项放在： ①前面带有“＋”号的括号里； ②前面带有“﹣”号的括号里． ③说出它是几次几项式，并按x的降幂排列． 【答案】（1）添括号的法则见解析；（2）①﹣3x3﹣4x2＋（3x3﹣2）；②﹣3x3﹣4x2﹣（﹣3x3＋2）；③五次四项式，﹣3x5＋3x3﹣4x2﹣2 【分析】（1）将式子4x＋（3x﹣x）＝4x＋3x﹣x，4x﹣（3x﹣x）＝4x﹣3x＋x分别反过来，得到4x＋3x﹣x＝4x＋（3x﹣x），4x﹣3x＋x＝4x﹣（3x﹣x），比较即可得到添括号法则； （2）①②利用添括号法则即可求解； ③利用多项式的定义，以及降幂排列的顺序求解即可． 【详解】解：（1）将式子4x＋（3x﹣x）＝4x＋3x﹣x，4x﹣（3x﹣x）＝4x﹣3x＋x分别反过来， 得到4x＋3x﹣x＝4x＋（3x﹣x），4x﹣3x＋x＝4x﹣（3x﹣x）， 添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号； （2）①﹣3x5﹣4x2＋3x3﹣2＝﹣3x3﹣4x2＋（3x3﹣2）； ②﹣3x5﹣4x2＋3x3﹣2＝﹣3x3﹣4x2﹣（﹣3x3＋2）； ③它是五次四项式，按x的降幂排列是﹣3x5＋3x3﹣4x2﹣2． 【点睛】本题考查了整式的加减，添括号，注意：（1）添括号是添上括号和括号前面的符号．也就是说，添括号时，括号前面的＋或﹣也是新添的不是原来多项式的某一项的符号移出来的．（2）添括号的添括号与去括号互为逆变形，添括号是否正确，可以用去括号进行检验． 【经典例题六 整式的加减运算】 【例6】一个多项式加上，再减去等于，则这个多项式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减运算，用加上，再减去，即可得出结果． 【详解】解： ； 故选：B． 1．“燕几”是世界上最早的组合家具，由七张桌子（包括2张长桌、2张中桌和3张小桌）拼成，每张桌子高度、宽度均相同，只有桌面的长度不同，七张桌面可以拼成不同的图形．如图是《燕几图》中名为“回文”的桌面拼合方式．如果设长桌的长为尺，中桌的长为尺，小桌的长为尺，那么下列关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用代数式表示几何图形的长度，结合图形表示出小桌、中桌、长桌的长是解题的关键． 设每张桌面的宽为a尺，结合图形分别表示出小桌、中桌、长桌的长，即可得出正确的结论． 【详解】如下图，设每张桌面的宽为a尺， 根据图形可得：长桌的长为尺，中桌的长为尺，长桌的长为尺， ∴， 故选：A． 3．若的最小值记为，的最大值记为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简，整式的加减，首先找到驻点，确定的取值范围，分类讨论确定和的值，再计算的值，运用分类讨论是解题的关键． 【详解】解：∵当时，， 当时，， 当时，， ∴， ∵当时，； 当时，，； 当时，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式加减，熟练掌握去括号与合并同类项法则是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 【经典例题七 整式加减的应用】 【例7】如图，大小两个正方形的边长分别是4和3，叠放在一起后两个阴影部分的面积分别为，则的值为（　　） A．2 B．7 C．14 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减，根据图形得出空白面积（空白面积）大正方形面积小正方形面积，再将变形为，即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵两个边长分别为4，3的图形叠放在一起，两个阴影部分的面积分别为， ∴空白面积（空白面积）大正方形面积小正方形面积． ∴， 故选：C． 1．如图，大长方形的长为，宽为，将6个完全相同的小长方形如图所示放置（不重叠无缝隙），那么图中的阴影部分的周长之和是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减、列代数式、长方形的周长，解答本题的关键是明确整式的加减运算的计算方法和整体代入的思想．设小长方形的长为，宽为，根据长方形周长公式计算可得结论． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 则， 阴影部分的周长= ， 故选：D 2．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“阶梯数”．例如：四位数1235，∵∴1235是“阶梯数”；又如：四位数2356，∵∴2356不是“阶梯数”．若一个“阶梯数”，则这个数为 ；若一个“阶梯数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最小值是 ． 【答案】 3482 1572 【分析】本题考查整式的加减，理解清楚“阶梯数”的定义是解题关键． 根据“阶梯数”的概念列方程求m的值；根据“阶梯数”的概念先求得，然后根据题意列出两个三位数字之差，然后结合能被9整除的数的特征分析满足条件的最小值． 【详解】解：由题意得：，即， ∵“阶梯数”， ∴， 解得：， 故这个数是：3482； “阶梯数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和为： ， ∵这两个三位数的和能被9整除， ∴是9的倍数， ∵a，b，c，d互不相等且均不为0，且a，b，c，d的范围均为1到9， ∴c+d只能等于9， ∴当，时，，没有符合的a，b值； 当，时，，没有符合的a，b值； 当，时，，没有符合的a，b值； 当，时，，则，，故满足条件的数的是3145； 当，时，，没有符合的a，b值； 当，时，，没有符合的a，b值； 当，时，，则，，故满足条件的数的是1572； 当，时，，则，，故满足条件的数的是4381； 故符合题意的最小值为1572． 故答案为：3482；1572． 3．【观察思考】 如图，第1个图案是由边长为1的两个等边三角形组成的1个菱形（包含两条对角线），第2个图案由2个相同的菱形组成，第3个图案由3个相同的菱形组成，以此类推．．． 【规律发现】 第1个图案中含有长为1的线段条数是5，含有三角形个数是8；第2个图案中含有长为1的线段条数是9，含有三角形个数是18；第3个图案中含有长为1的线段条数是13，含有三角形个数是28；…… （1）第n个图案中含有长为1的线段条数是__________，含有三角形个数是__________．（用含n的式子表示） 【规律应用】 （2）结合图案中长为1的线段条数和三角形个数的规律，每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多吗？请说明理由． 【答案】（1）；；（2）每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多，理由见解析 【分析】本题主要考查了根据图形的变换通过归纳总结得规律： （1）结合基础图形个数进行归纳总结，寻找规律，即可； （2）结合图案中长为1的线段条数和三角形个数的规律作差比较即可． 【详解】解：（1）第1个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是； 第2个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是； 第3个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是； …… 第n个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是； 故答案为：；． （2）每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多． 理由：第个图案中三角形个数与长为1的线段条数之差为． 为正整数， ， 每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多． 【经典例题八 整式的加减中的化简求值】 【例8】试确定关于x，y的方程的整数解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了非一次不定方程的解，先将等号左右两侧进行化简，然后根据形式可知这种情况是不存在的，所以可得到无解，熟知三个连续整数的乘积是3的倍数是解题的关键． 【详解】解：原方程可化为：， 即：， 等号左侧为三个连续整数的乘积是3的倍数，而等号右侧为除以3余2，不可能成为等式， ∴原方程无解， 故选：A． 1．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的乘方法则，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，逐一判断得出答案． 【详解】A．，故此选项不合题意； B．无法合并，故此选项不合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了合并同类项、有理数的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 2．已知，则多项式的值等于 ． 【答案】1 【分析】去括号整理后，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ， 原式， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了整式的加减—化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．先化简，再求式子的值： ，其中 【答案】， 【分析】本题考查了整式的加减，解答本题的关键在于熟练掌握整式加减法的运算法则．先将代数式进行化简，然后再结合整式加减法的运算法则进行求解即可． 【详解】 当，时， 原式． 【经典例题九 整式加减中的无关型问题】 【例9】已知：，，若代数式的的值与a无关，则此时b的值为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的化简,先将含a的项合并，并将其余字母看成常数并整理，再根据题意求出b的值． 【详解】解：∵，， ∴ ； ∵代数式的的值与a无关， ∴ 解得：， 故选：A． 1．已知，，若的值与的取值无关，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减化简求值，将化为，即可得，求出的值即可．熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】解： ， 的值与的取值无关， ， 解得． 故选：C． 2．若多项式经化简后不含项，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，根据题意列出关系式，合并后根据不含项，即可确定出k的值． 【详解】解： ； 根据题意得，， 解得，， 故答案为：． 3．已知，． (1)求的值； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，掌握去括号法则，合并同类项法则将整式正确化简是解决问题的关键． （1）先化简，再把，代入化简后的结果，去括号、合并同类项化简即可； （2）因为的值与的取值无关，则的系数为0，列出方程即可得出结果． 【详解】（1），， ； （2），， ， 的值与的取值无关， ， ． 1．下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了合并同类项、去括号等知识点，掌握合并同类项法则成为解题的关键． 根据合并同类项、去括号法则逐项判定即可． 【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意；     B. ，故该选项错误，不符合题意；     C. ，故该选项正确，符合题意；         D. 与不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意．     故选C． 2．错写成，结果比原来（ ）． A．多4 B．少4 C．多24 【答案】C 【分析】本题考查了用乘法分配律计算含字母的算式，根据乘法分配律，将算式去括号得出，计算出结果，再求与的差即可，要熟记运算律并能灵活使用． 【详解】解： 答：结果比原来多24． 故选：C． 3．若，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减运算，首先将代数式去括号，再根据加法的交换律与结合律得，然后整体代入即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ， 将，代入得，， 故选：． 4．若，则多项式的值为(   ) A．9 B． C．15 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是整式的加减，解题的关键在于把已知条件进行整理．将已知条件进行整理变形，代入计算即可． 【详解】解：解法1：， ． ， ， ， ． 解法2： ①，②， ①+②得． 故选：． 5．小丽和小乐用相同的正方形手工纸剪圆片，小丽剪了一个，小乐剪了4个（如图），剩下的边角料相比较（　　）    A．同样多 B．小丽的多 C．小乐的多 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查整式加减的实际应用，根据题意分别求出两个图形剩下边角料的面积，再作比较即可． 【详解】解：设正方形的边长为x，则小丽所剪的圆的半径为，小乐所剪的圆的半径为， 则小丽剩下的边角料面积为：， 小乐剩下的边角料面积为：， 小丽剩下的边角料与小乐剩下的边角料同样多， 故选：A． 6．若与是同类项，则合并后的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项，利用同类项是字母相同且相同字母的指数也相同得出a、b的值是解题的关键． 根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得a、b的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， 解得：，． 故原式为：与 +． 故答案为． 7．一个多项式加上得到，这个多项式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据和减去一个加数等于另一个加数即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：这个多项式是， 故答案为：． 8．已知，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值、去括号、添括号等知识点，将原式变形成是解题的关键． 先运用去括号、添括号将原式变形成，然后将已知等式代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 9．若整式的值与字母x的取值无关，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，去括号，合并同类项后，令含项的系数为0，列式计算即可． 【详解】解： ； ∵整式的值与字母x的取值无关， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 10．把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分周长的和是 ．（用含x或y的代数式来表示） 【答案】4x 【分析】设小长方形的长为a，宽为b，根据题意，列式计算即可． 本题考查了列代数式，正确列出代数式是解题的关键． 【详解】设小长方形的长为a，宽为b，根据题意得：阴影部分周长和为： ， 故答案为：． 11．指出并合并一次式中的同类项． 【答案】和是同类项，和是同类项，和5是同类项，合并同类项得 【分析】本题考查了同类项，合并同类项等知识．熟练掌握同类项，合并同类项是解题的关键． 根据同类项的定义判断同类项，然后合并同类项即可． 【详解】解：由题意知，中，和是同类项，和是同类项，和5是同类项， ∴ ． 12．化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算，掌握去括号法则成为解题的关键． （1）先去括号，然后再合并同类项即可解答； （2）按照整式的加减混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 13．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了整式的化简求值，准确应用去括号法则、合并同类项法则，代入数值准确计算是解题关键． （1）先去括号，再合并同类项，最后再求值即可； （2）先去括号，再合并同类项，最后再求值即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式 ； （2）解： ， 当，时，原式 ． 14．已知，． (1)化简； (2)若的值与y的值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算： （1）根据整式的加减运算法则，进行计算即可； （2）先化简，根据值与y的值无关，得到含的项的系数为0，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ， ∵的值与y的值无关， ∴， ∴． 15．一个容器内注满了水．将大、中、小三个铁球这样操作：第一次，沉入小球；第二次，取出小球，沉入中球；第三次，取出中球，沉入大球．已知第一次溢出的水量是第二次的3倍，第三次溢出的水量是第一次的2倍．求小、中、大三个球的体积比． 【答案】小球体积：中球体积：大球体积 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，设第二次溢出的水量为x，则第一次溢出的水量是，第三次溢出的水量是，则小球的体积就是，中球的体积就是；大球的体积就是，据此可得答案． 【详解】解：设第二次溢出的水量为x，则第一次溢出的水量是，第三次溢出的水量是， ∴小球的体积就是，中球的体积就是；大球的体积就是， ∴小球体积：中球体积：大球体积， 答：小球体积：中球体积：大球体积． 学科网（北京）股份有限公司 $$