精品解析：2024年湖南省长沙市雅礼集团中考数学预测卷(三)

绝密★启用前 2024年湖南省长沙市雅礼集团中考数学预测卷（三） 数学 温馨提示： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸、 6．本学科试卷共 25 个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 由3个同样大小的正方体搭成的几何体如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图原点为的直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，现以O为位似中心，在第一象限内作位似图形，已知其与的位似比为2，则顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 2024年是红军长征出发90周年，某市举行了学习长征精神的“三独”比赛．独唱项目中，5名同学的得分分别是：9.6，9.2，9.6，9.7，9.4．关于这组数据，下列说法不正确的是（ ） A. 众数是9.6 B. 中位数是9.6 C. 平均数是9.5 D. 方差是0.3 6. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分．其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 7. 下列说法错误的是（ ） A. 了解我省初中生每周上网时长情况，可采用抽样调查 B. 反比例函数的y随着x的增大而减小 C. 成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件 D. 三角形三条中线的交点叫作三角形的重心 8. 如图，在中，点是边的中点，点为重心，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点．若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为（ ） A. B. 2 C. 0.5 D. 10. 如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11 分解因式：_____． 12. 如图，直线，，同时被直线所截，，则的度数为________． 13. 定义新运算：，其中，，，为实数．例如：．如果，那么__________． 14. 中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》分会场发布，辽宁沈阳、湖南长沙、陕西西安、新疆喀什四地将与北京主会场一起，在除夕之夜为全球华人带来了一台情意浓浓、热气腾腾的龙年春晚．来自澳大利亚的华人小明一家人想从中选择一个分会场进行现场观看，选中长沙的概率是________． 15. 已知，则的值为________． 16. 在平面直角坐标系中，是边长为1的等边三角形，OA与x轴重合，B点在第一象限．如图，将进行变换：第一次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到，．依次类推，得到△，则点的坐标为________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 19. 如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交，于点，． （1）证明：； （2）连接、，证明：四边形是菱形． 20. 为切实做好“十四五”期间我国眼健康工作，进一步提高人民群众眼健康水平，持续推进我国眼健康事业高质量发展，结合当前工作现状，国家卫健委制定了《“十四五”全国眼健康规划（2021-2025年）》，某校数学统计小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）调查过程中所抽取的学生样本数为________； （2）试写出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图； （3）若该校共有学生3000人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数． 21. 为推进《学生出入校门智能管理方案》的实施，图1是某校安装的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离．（计算结果精确到） （1）头部高度为、身高的小帅站在离摄像头水平距离的点处，请问小帅最少需要下蹲多少厘米才能被识别？ （2）头部高度为，身高的小美踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别，若学校工作人员及时将摄像头的仰角、俯角都调整为，此时小美能被识别吗？请计算说明．（参考数据：，，，，， 22. 为提高学生综合素养，我市某中学拟组织学生进行红色之旅研学活动，相关组织老师发现：若按原计划租用可坐乘客45人种客车若干辆，则有30人将没有座位；若租用可坐乘客60人的种客车，则比原计划可少租6辆，且恰好坐满． （1）求本次红色之旅研学活动共有多少人参加？原计划租用种客车多少辆？ （2）若该校更改计划，同时租用、两种客车共25辆，要求种客车不超过7辆，且座位有剩余，则有哪些租车方案？ （3）在（2）的条件下，若种客车租金每辆300元，种客车租金为每辆220元，应该怎样租车才最合算？ 23. 已知， 的半径为1，是圆上四点，且满足，且于点（其中点在圆内，且，． （1）请在图1中直接用尺规作出弦与点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）如图2所示，延长至点，使得，连结，的平分线交的延长线于点，，点为的中点，连结．求证：． 24. 中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平2024年3月20日下午在湖南省长沙市主持召开新时代推动中部地区崛起座谈会并发表重要讲话．他指出，上一次推动中部地区崛起座谈会召开5年来，中部区域经济总体平稳，创新发展动能不断增强，产业基础明显改善，改革开放迈出新步伐，社会事业全面发展，人民生活水平持续提升，绿色低碳转型步伐加快，中部地区发展站到了更高起点上．我们约定：如果两个函数，，存在x取同一个值，使得，那么称，为“平稳函数”，称对应x的值为，的“平稳点”；如果两个函数为，为“平稳函数”，那么的最大值称为，的“崛起值”． （1）判断函数与是否为“平稳函数”，如果是，请求出时它们的“平稳点”；如果不是，请说明理由； （2）判断函数与是否为“平稳函数”，如果是，请求出“平稳点”；如果不是，请说明理由； （3）已知函数与是“平稳函数”，且有唯一“平稳点”． ①求出m的取值范围； ②若它们的“崛起值”为24，试求出m的值． 25. 如图，等腰三角形和无重叠地拼接在一起，且，的外接圆与边交于点E（点E不与点C，D重合），过点E作线段的垂线，交的延长线于点F，交线段于点H，连接． （1）求证； （2）若半径为5， ①若，求的长； ②连接，若平分，求的值； （3）若，对于任意长度，都有的值是一个定值，求这个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2024年湖南省长沙市雅礼集团中考数学预测卷（三） 数学 温馨提示： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸、 6．本学科试卷共 25 个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握“正数大于0，0大于负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小”是解决问题的关键． 直接由负数最小即可得到答案． 【详解】解：∵，为负数， 而均是正数， ∴ 最小的数为：， 故选：A． 2. 由3个同样大小的正方体搭成的几何体如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，从左边看几何体即可得到左视图． 【详解】解：这个组合体的左视图为： 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方、合并同类项分别计算后，即可得到答案． 【详解】解：A．，故选项正确，符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4. 如图原点为的直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，现以O为位似中心，在第一象限内作位似图形，已知其与的位似比为2，则顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质．根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵与位似，与的相似比为， ∴与位似比为， ∵点C的坐标为， ∴点的坐标为，即， 故选：C． 5. 2024年是红军长征出发90周年，某市举行了学习长征精神的“三独”比赛．独唱项目中，5名同学的得分分别是：9.6，9.2，9.6，9.7，9.4．关于这组数据，下列说法不正确的是（ ） A. 众数是9.6 B. 中位数是9.6 C. 平均数是9.5 D. 方差是0.3 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了中位数、众数、平均数、方差，依据中位数、众数、平均数、方差的定义解答即可． 【详解】在这组数据中，9.6出现的次数最多，故众数是9.6，故选项A不符合题意； 把这组数据从小到大排列，排在中间的数是9.6，故中位数是9.6，故选项B不符合题意； 平均数是，故选项C不符合题意： 方差是：，故选项D符合题意． 故选：D． 6. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分．其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，理解并掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题关键．如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 7. 下列说法错误的是（ ） A. 了解我省初中生每周上网时长情况，可采用抽样调查 B. 反比例函数的y随着x的增大而减小 C. 成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件 D. 三角形三条中线的交点叫作三角形的重心 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抽样调查，反比例函数的性质，事件的分类，重心的定义，根据这些知识点逐个选项判断即可． 详解】A、了解我省初中生每周上网时长情况，可采用抽样调查，说法正确，不符合同意； B、反比例函数在每一个象限内y随着x的增大而减小，说法错误，符合题意； C、成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件，说法正确，不符合同意； D、三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，说法正确，不符合同意； 故选：B． 8. 如图，在中，点是边的中点，点为重心，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点．若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，根据三角形的中线求面积，连接，根据三角形的重心的性质可知在上，，再证明，，再根据相似三角形的性质设的面积为，则的面积为，的面积为，列出方程即可求解，熟练掌握知识点的应用及添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵点是的重心，点是边的中点， ∴在上，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的面积为，则的面积为，的面积为， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， ∴的面积为， ∴的面积是． 故选：． 9. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为（ ） A. B. 2 C. 0.5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系列式计算即可． 【详解】设另一个根为， ∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴，， ∴， 代入得， 解得， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 10. 如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查函数的图象，根据题意可分两段进行分析：当水的深度未超过球顶时；当水的深度超过球顶时．分别分析出水槽中装水部分的宽度变化情况，进而判断出水的深度变化快慢，以此得出答案． 【详解】解：当水深度未超过球顶时， 水槽中能装水的部分的宽度由下到上由宽逐渐变窄，再变宽， 所以在匀速注水过程中，水的深度变化先从上升较慢变为较快，再变为较慢； 当水的深度超过球顶时， 水槽中能装水部分宽度不再变化， 所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速度不会发生变化． 综上，水的深度先上升较慢，再变快，然后变慢，最后匀速上升． 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可： 原式， 故答案为：． 12. 如图，直线，，同时被直线所截，，则的度数为________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线，熟练掌握两直线平行，同位角相等，对顶角相等，是解题关键．先根据平行线的性质可得出，再根据对顶角的性质得出，据此可求出的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 定义新运算：，其中，，，为实数．例如：．如果，那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 即 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据题意列出方程解题的关键． 14. 中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》分会场发布，辽宁沈阳、湖南长沙、陕西西安、新疆喀什四地将与北京主会场一起，在除夕之夜为全球华人带来了一台情意浓浓、热气腾腾的龙年春晚．来自澳大利亚的华人小明一家人想从中选择一个分会场进行现场观看，选中长沙的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率公式，直接根据概率公式求解即可． 【详解】从辽宁沈阳、湖南长沙、陕西西安、新疆喀什四中选中长沙的概率是， 故答案为：． 15. 已知，则的值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，把要求的式子展开化简后，利用整体思想求值即可． 【详解】∵， ∴． 故答案为：5． 16. 在平面直角坐标系中，是边长为1的等边三角形，OA与x轴重合，B点在第一象限．如图，将进行变换：第一次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到，．依次类推，得到△，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及旋转性质，图形规律，解直角三角形的性质，先找出规律，得，结合第四象限的坐标点的特征，则即可作答． 【详解】解：由题意，，，，…， ∴ ∴的边长为， ∵， ∵与都在第四象限， ∴ ∴即点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先根据绝对值，负整数指数幂，零指数幂，特殊三角函数化简后计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】都错误，见解析 【解析】 【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可． 【详解】小丁和小迪的解法都错误； 解：去分母，得， 去括号，得， 解得，， 经检验：是方程的解． 【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 19. 如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交，于点，． （1）证明：； （2）连接、，证明：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得出，则，根据是的中点，可得，即可证明； （2）根据可得，进而可得四边形是平行四边形，根据对角线互相垂直的四边形是菱形，即可得证． 【小问1详解】 证明：如图所示， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在与中 ， ∴； 【小问2详解】 ∵ ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键． 20. 为切实做好“十四五”期间我国眼健康工作，进一步提高人民群众眼健康水平，持续推进我国眼健康事业高质量发展，结合当前工作现状，国家卫健委制定了《“十四五”全国眼健康规划（2021-2025年）》，某校数学统计小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）调查过程中所抽取的学生样本数为________； （2）试写出扇形统计图中“轻度近视”对应扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图； （3）若该校共有学生3000人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数． 【答案】（1）200 （2）；见解析 （3）1050人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用“视力正常”的人数除以其人数占比即可求出抽取的学生人数； （2）先求出“中度近视”的人数，进而求出“轻度近视”的人数，由此补全统计图即可；再用乘以“轻度近视”的人数占比即可求出对应的圆心角度数； （3）用乘以样本中“轻度近视”的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：所抽取的学生人数为：． 【小问2详解】 解；样本中“中度近视”的人数为：（人）， “高度近视”的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 扇形统计图中“轻度近视”对应扇形的圆心角的度数为：； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数约1050人． 21. 为推进《学生出入校门智能管理方案》的实施，图1是某校安装的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离．（计算结果精确到） （1）头部高度为、身高的小帅站在离摄像头水平距离的点处，请问小帅最少需要下蹲多少厘米才能被识别？ （2）头部高度为，身高的小美踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别，若学校工作人员及时将摄像头的仰角、俯角都调整为，此时小美能被识别吗？请计算说明．（参考数据：，，，，， 【答案】（1）2.9厘米 （2）能；理由见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了解解直角三角形的应用仰角俯角问题，视点、视角和盲区． （1）过作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，在中，根据三角函数的定义得到，根据全等三角形的性质得到结论； （2）如图2，过作的垂线分别交仰角、俯角线于M、N，交水平线于P，根据三角函数的定义得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论． 【小问1详解】 解：过C作的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F， 在中，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴小帅最少需要下蹲厘米才能被识别； 【小问2详解】 解：如图3，过B作的垂线分别交仰角、俯角线于M、N，交水平线于P， 在中，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴小美踮起脚尖后头顶的高度为， ∴小美头顶超出点N的高度为：， ∴踮起脚尖小美能被识别． 22. 为提高学生综合素养，我市某中学拟组织学生进行红色之旅研学活动，相关组织老师发现：若按原计划租用可坐乘客45人的种客车若干辆，则有30人将没有座位；若租用可坐乘客60人的种客车，则比原计划可少租6辆，且恰好坐满． （1）求本次红色之旅研学活动共有多少人参加？原计划租用种客车多少辆？ （2）若该校更改计划，同时租用、两种客车共25辆，要求种客车不超过7辆，且座位有剩余，则有哪些租车方案？ （3）在（2）的条件下，若种客车租金每辆300元，种客车租金为每辆220元，应该怎样租车才最合算？ 【答案】（1）1200人；26辆 （2）方案1： B种：6辆，A种：19辆；方案2：B种：7辆，A种客：18辆 （3）B种：6辆，A种：19辆 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算． （1）设原计划租用种客车辆，则这次研学去了人，根据这次去研学的人数不变，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据“租用的25辆客车可乘坐人数不少于1200人，且租用的种客车不超过7辆”，可得出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金每辆种客车的租金租用种客车的辆数每辆种客车的租金租用种客车的辆数，可分别求出选择各方案所需总租金，比较后，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了人， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：原计划租用4种客车26辆，这次研学去了1200人； 【小问2详解】 解：设租用B种客车y辆，则租用A种客车辆， 根据题意得：， 解得：， 又∵y为正整数， ∴y可以为6，7， ∴该学校共有2种租车方案， 方案1：租用6辆B种客车，19辆A种客车； 方案2：租用7辆B种客车，18辆A种客车； 【小问3详解】 解：选择方案1的总租金为（元）； 选择方案2的总租金为（元）． ∵， ∴租用6辆B种客车，19辆A种客车最合算． 23. 已知， 的半径为1，是圆上四点，且满足，且于点（其中点在圆内，且，． （1）请在图1中直接用尺规作出弦与点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）如图2所示，延长至点，使得，连结，的平分线交的延长线于点，，点为的中点，连结．求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，平行线分线段成比例，中位线的性质等知识点； （1）先作垂直的直径交于，再作垂直直径的直径所在直线，再以为圆心，为半径画弧交于，再过作直线的垂线，与圆的交点组成的线段即为，与交点即为； （2）先由平行线分线段成比例证明G是中点，即可得到是中位线，，再依据角平分线作垂直，然后依据全等证明，即，即可得到． 【小问1详解】 如图1，、点H即为所求； 【小问2详解】 过点P作于G点，过点P作于点K，于点E， 则， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 即G是中点， ∴， ∵平分，， ∴，设，则， ∴， ∴ ∴， ∴， 在中，，即 ∵点为的中点， ∴是中位线 ∴， ∴． 24. 中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平2024年3月20日下午在湖南省长沙市主持召开新时代推动中部地区崛起座谈会并发表重要讲话．他指出，上一次推动中部地区崛起座谈会召开5年来，中部区域经济总体平稳，创新发展动能不断增强，产业基础明显改善，改革开放迈出新步伐，社会事业全面发展，人民生活水平持续提升，绿色低碳转型步伐加快，中部地区发展站到了更高起点上．我们约定：如果两个函数，，存在x取同一个值，使得，那么称，为“平稳函数”，称对应x的值为，的“平稳点”；如果两个函数为，为“平稳函数”，那么的最大值称为，的“崛起值”． （1）判断函数与是否为“平稳函数”，如果是，请求出时它们的“平稳点”；如果不是，请说明理由； （2）判断函数与是否为“平稳函数”，如果是，请求出“平稳点”；如果不是，请说明理由； （3）已知函数与是“平稳函数”，且有唯一“平稳点”． ①求出m的取值范围； ②若它们的“崛起值”为24，试求出m的值． 【答案】（1）是，或 （2）当时，函数与是“平稳函数”，此时“平稳点”为；当或时，函数与不是“平稳函数” （3）①或，②或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，二次函数的性质． （1）根据平稳函数的定义列方程计算即可； （2）根据平稳函数的定义列方程计算即可； （3）①根据平稳函数的定义列方程计算即可； ②根据“崛起值”的定义求出解析式，再根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 ∵是经过第一、第三象限的直线，是经过第一、第三象限的双曲线， ∴两函数有公共点， ∴存在x取同一个值，使得， ∴函数与是“平稳函数”； 当时，， ∴，解得或， ∴“平稳点”为或； 【小问2详解】 假设函数与是“平稳函数”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，函数与是“平稳函数”，此时“平稳点”为；当或时，函数与不是“平稳函数”； 【小问3详解】 ①∵函数与是“平稳函数”， ∴， ∴， 解得或， ∵时有唯一平稳点， ∴当是唯一平稳点时，，解得， ∴当是唯一平稳点时，，解得， ∴或时，满足题意； ②∵“崛起值”， ∴对称轴为，开口向上， ∴当时，，即对应的点比对应的点到对称轴距离更远， ∴当时，在的有最大值， ∴， ∴或， ∴； 当时，，即对应的点比对应的点到对称轴距离更近， ∴当时，在的有最大值为， ∴， ∴或， ∴； 综上所述：或． 25. 如图，等腰三角形和无重叠地拼接在一起，且，的外接圆与边交于点E（点E不与点C，D重合），过点E作线段的垂线，交的延长线于点F，交线段于点H，连接． （1）求证； （2）若的半径为5， ①若，求的长； ②连接，若平分，求的值； （3）若，对于任意长度，都有的值是一个定值，求这个定值． 【答案】（1）见解析 （2）① ② （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再由圆内接四边形的性质可得，再由，可得，即可求证； （2）①连接，并延长交于点，连接，可得，从而得到，进而得到，继而得到，设，，可求出的值，从而得到，，再由勾股定理求出，再由，即可求解；②由平分，得到，由，得到，根据等量代换得到，，设，得到：，解得：，设，则，在中，在中，应用勾股定理，解得，代入，即可求解， （3）过点作于点，可得，再由平行四边形的性质可得，根据题意可得，从而得到，，再由，可得，可得，再由对于的任意长度，都有的值是一个定值，求出的值，即可求解， 本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，垂径定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形，解题的关键是：根据题意列出等量关系式． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图，连接，并延长交于点M，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，， ∴， ∵的半径为5， ∴，即，∴，， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即，解得：， ② ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴，即： 设，则：，即：，解得：，，（舍）， 设，则， 在中，， 在中，，即：，整理得：， ∴， 【小问3详解】 如图，过点A作于点G， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵对于的任意长度，都有的值是一个定值， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴当时，的值是一个定值，为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$