三角函数 专题特训-2025届高三数学一轮复习

三角函数小专题特训-2025年高考数学一轮复习 一、单选题 1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则A等于（    ） A． B． C． D． 2．若函数（）向左正移个单位后在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 3．若，且，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，，，，是边一点，是的角平分线，则（    ） A． B．1 C．2 D． 5．已知函数，若且，则的最小值为（    ） A．11 B．5 C．9 D．7 6．设，已知函数在上恰有6个零点，则取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知，，则（） A． B． C． D． 8．已知函数，关于该函数有下列四个说法： （1）函数的图象关于点中心对称 （2）函数的图象关于直线对称 （3）函数在区间内有4个零点 （4）函数在区间上单调递增 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．已知曲线关于y轴对称，设函数，则（    ） A． B．的最小正周期是 C．的值域是 D．在区间上单调递减 10．已知函数和， 下列说法正确的是（    ） A．和均为周期函数，且是、的周期之一 B．和均为周期函数，且是、的周期之一 C．的值域为 D．对恒成立 11．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则 . 13．已知函数的图象经过点，且在轴右侧的第一个零点为，当时，曲线与的交点有 个， 14．以表示数集中最小的数．函数的最大值是 ． 四、解答题 15．记的内角的对边分别为，已知. (1)求A； (2)设，当取得最大值时，求的面积. 16．记的角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若点是边上一点，且，求的值. 17．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)判断函数的单调区间； (3)将函数的图像向右平移个单位长度得到函数，请画出的图像． 18．某商场零食区改造，如图，原零食区是区域，改造时可利用部分为扇形区域，已知，米，米，区域为三角形，区域是以为半径的扇形，且． (1)若需在区域外轮廓地面贴广告带，求广告带的总长度； (2)在区域中，设置矩形区域作为促销展示区，求促销展示区的面积的最大值． 19．已知定义在上的函数的表达式为，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列（）. (1)求函数在区间上的值域； (2)求证：函数在区间（）上有且仅有一个零点； (3)求证：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D A D B A A BD CD 题号 11 答案 BC 1．D 【分析】本题先根据诱导公式对条件式进行化简，再用余弦定理进行边角互化，即可得出答案. 【详解】因为，所以， 即， 如图，过B点作于D，可知， ， 所以， 所以，又，所以. 故选：D. 2．B 【分析】根据图象平移规律、函数的单调性可得答案. 【详解】函数向左平移个单位后为， 当时，， ∵单调递增， 所以，即， 可得， 又，∴. 故选：B. 3．D 【分析】由两角和与差的三角函数，结合同角三角函数的关系求解． 【详解】由，得， ，整理得， 即，由，得， 所以. 故选：D 4．A 【分析】由余弦定理得到，由正弦定理和得，求出，进而得到，在中，由正弦定理得到答案. 【详解】在中，由余弦定理得， 即，解得或（舍去）， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 其中，， 所以，， 故， 又，所以， 在中，由余弦定理得， 故， 在中，由正弦定理得， 即，解得. 故选：A 5．D 【分析】根据可知函数的一条对称轴为，可得，求得，再根据正弦函数在处取得最小值，列出方程可求得结论. 【详解】由可知，在取得最小值，所以函数的一条对称轴为， 又，因此，即； 所以， 又在取得最小值，可知， 解得， 又，所以时，取得最小值为7. 故选：D 6．B 【分析】令，解方程得或，在区间取6个零点即可. 【详解】由题意可知， 令， 即或， 即或， 当时，零点从小到大依次为， 因此有， 即． 故选：B． 7．A 【分析】由已知先利用和差角的正切公式进行化简可求，然后结合二倍角公式及同角基本关系对所求式子进行化简，即可求解. 【详解】因为，， 所以，， 解得或（舍， 则 . 故选：A. 8．A 【分析】根据题意，利用三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于（1），由， 所以不是函数的图象的对称中心，所以（1）错误； 对于（2）中，由， 所以不是函数的图象的对称轴，所以（2）错误； 对于（3）中，令，可得， 当时，可得；当时，可得；当时，可得； 当时，可得，所以在内，函数有4个零点，所以（3）正确； 对于（4）中，由，可得，此时函数不是单调函数，所以（4）错误. 故选：A. 9．BD 【分析】选项A，利用条件得到，即可判断选项A的正误；选项B，根据条件，通化简得到当时，，当时，，再利用，即可求解；选项B，利用选项B和函数的图象与性质，即可求解；选项D，由，得到，，利用函数的图象与性质，即可求解. 【详解】对于选项A，因为曲线关于y轴对称，所以即，所以选项A错误； 对于选项B，由选项A知， 当时，， 当时，， 易知最小正周期，所以选项B正确； 对于C，由选项B及函数的图象与性质知，，所以选项C错误； 对于D，由选项B知，当k为奇数时，， 当k为偶数时，， 当时，，， 所以无论k为奇数还是偶数，均单调递减，所以选项D正确． 故选：BD. 10．CD 【分析】由周期函数的定义得出不是周期函数，即可判断AB；由周期函数的定义得出是周期为的周期函数，分别求出和时的值域，即可判断C；由正弦和余弦函数的图象及诱导公式即可判断D． 【详解】对于AB，因为为偶函数，但不是周期函数，所以不是周期函数， 例如，，故AB错误； 对于C，因为，周期为，周期为，所以是周期为的周期函数， 所以当时，， 因为，所以， 所以当时，， 因为，所以， 所以，故C正确； 对于D，当时， ， ，即，故D正确； 故选：CD． 11．BC 【分析】先根据两角差正弦结合正切间关系得出再分别计算各个选项即可. 【详解】因为，故,. 所以，A错误，B正确； 所以， ， 又因为，所以，故D错误，C正确. 故选：BC. 12． 【分析】利用三角函数的定义先计算，再利用二倍角公式计算即可. 【详解】由题意可知， 所以， 故答案为： 13．6 【分析】根据题意，求得函数的解析式为，画出与在区间上的图象，结合图象，即可求解. 【详解】因为函数的图象经过点，可得，即，又因为，所以， 因为在轴右侧的第一个零点为所以， 解得，所以， 画出与在区间上的图象，如图所示， 由图可知曲线与的交点有6个. 故答案为：6. 14．/． 【分析】根据函数的最小值函数定义列式再结合换元，最后应用导函数正负得出单调性即可得出最大值. 【详解】． 令，则． 而． 令，其中，则由，可知, 令，得， 即在上为增函数，在上为减函数．故，即， 当且仅当，即时等号成立．故的最大值为. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出，即可得角A的值； （2）根据题意可得，利用正弦定理结合三角恒等变换可得，进而可得，利用正弦定理结合面积公式运算求解. 【详解】（1）因为，即， 由正弦定理可知：， 即，则， 因为，则，且， 可得（不合题意），或，即， 又因为由三角形内角和定理可知，所以. （2）若，则， 由正弦定理得. 由（1）可知， 所以， 所以当，即时，取得最大值. 由正弦定理可知，即，解得， 又， 所以此时. 16．(1) (2) 【分析】（1）应用正弦定理化简再结合余弦定理，结合特殊角即可解； （2）先设角减少未知量，应用正弦定理求出正切，再结合同角三角函数关系计算求出正弦. 【详解】（1）由及正弦定理得，整理得， 又由余弦定理及三角形内角性质得，. （2）， 记，则. 在Rt中，.① 在中，由正弦定理得.② 由①②及得，即，解得. 由，解得，故. 17．(1) (2)单调增区间为，，单调减区间为， (3)作图见解析 【分析】（1）由正弦函数的周期公式求解； （2）由正弦函数的单调性求解； （3）先通过平移得到，再由“五点法”作图即可． 【详解】（1）函数的最小正周期为：； （2）， 由，得， 则函数的单调递增区间为：， 由，得， 则函数的单调递减区间为：． （3）依题意，得， 列表： 0 0 0 1 0 -1 0 0 3 0 -3 0 作一个周期的图象如下： 根据周期性，函数的图象为上述图象向左右无限延伸． 18．(1)（米） (2)平方米． 【分析】（1）根据弧长公式以及直角三角形的边角关系即可求解， （2）根据锐角三角函数可得，，即可利用面积公式，结合三角恒等变换以及三角函数的性质即可求解最值. 【详解】（1）因为，，， 所以，， 则，，的长为， 所以广告带的总长度为（米）． （2）如图，连接．设． 因为，所以，， 因为，所以，所以， 所以 ， 因为，当，即时取得最大值． 所以， 所以促销展示区的面积的最大值为平方米． 19．(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求得的导数，判断的单调性，可得所求值域； （2）讨论为奇数，或偶数时，的单调性，结合函数零点存在定理，可得证明； （3）由（2）可知函数在（）上且仅有一个零点，再由零点存在定理、以及正切函数的性质和不等式的性质，可得证明. 【详解】（1）由， 当时，，即函数在区间上是严格增函数， 且，， 所以在区间上的值域为. （2）当时， ①当是偶数时，， 函数在区间上是严格增函数； ②当是奇数时，， 函数在区间上是严格减函数； 且，故， 所以由零点存在定理可知， 函数在区间上有且仅有一个零点. （3）由（2）可知函数在上有且仅有一个零点， 且满足，即（几何意义：是与交点的横坐标） 又因为，故，   所以由零点存在性定理可知， 函数在上有且仅有一个零点，       于是， ①因为，得 所以，即； （或者 ） ② 因为 由（1）可知，当时，有 故，所以； 由①②可知. 【点睛】关键点点睛：本题第三问，借助在（）上且仅有一个零点，利用正切函数的性质和不等式的性质求解. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$