精品解析：河北省石家庄部分重点高中2022-2023学年高三下学期4月期中数学试题

2022-2023学年高三下学期4月份期中联考 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上. 1. 已知集合，，则下列说法正确的是（ ） A. B.  C.  D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，根据集合的运算以及集合的关系，判断各选项，即可得答案. 【详解】由题意得集合，则， ，则， 故，不是的真子集，，， 即ABD错误，C正确, 故选：C 2. 已知复数（a，，）满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数运算、复数相等列方程组，求得，进而求得. 【详解】将代入并整理得： ， 解得，所以，所以. 故选：D 3. 已知向量与向量共线，，，且向量与向量的夹角为锐角，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，根据模长公式以及数量积的坐标运算求解即可. 【详解】由题意可知：向量与向量共线，，可设， 因为，解得， 又因为向量与向量的夹角为锐角， 则，解得， 综上所述：，. 故选：C． 4. 已知有四个不同的小球A，B，C，D，准备放入四个不同的盒子之中，则小球A，B放入到同一个盒子中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出四个不同的小球放入四个不同的盒子的方法总数以及小球A，B放入到同一个盒子中的方法总数，由古典概率的公式代入即可得出答案. 【详解】根据题意得四个不同的小球A，B，C，D放入四个不同的盒子中的全部情况有种， 而满足小球A，B放入到同一个盒子中的情况有种， 所以小球A，B放入到同一个盒子中的概率为. 故选：B. 5. 已知函数在上有三个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由零点的定义可得在上有三个根，结合正弦函数性质列不等式可求的取值范围. 【详解】由，得， 由，得，由在上有三个零点， 得在上有三个根，则，解得， 所以的取值范围为. 故选：A. 6. 已知三棱锥中，，，则直线PA与平面ABC所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】做辅助线，分析可知为正方形，直线PA与平面ABC所成角为，结合长度关系分析求解. 【详解】作平面，垂足为，作，垂足分别为， 由，可知为矩形， 因为平面，平面，则， 且，，平面，则平面， 由平面，可得， 同理可得：， 且，则，可得， 可知为正方形， 设，则，可得， 可知直线PA与平面ABC所成角为，则， 且为锐角，所以直线PA与平面ABC所成角为. 故选：B. 7. 已知双曲线的右焦点为，直线过点且与该双曲线的渐近线分别交于点，则该双曲线的离心率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件作出图象，利用坐标关系式即可得出关系式，进而得出结果. 【详解】不妨设在第二象限，如图，垂直于轴， 代入，可得，可知， 直线过点且与该双曲线的渐近线分别交于点， 则，所以， 又在双曲线的渐近线上， 可得， 解得，即双曲线的离心率为． 故选：C 8. 已知函数在上存在极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求导函数，根据存在极值得出在给定区间有变号零点,设再根据导数求出最值即可求解. 【详解】, 函数在上存在极值，在该区间有变号零点. 即, ,单调递减,设， 单调递增; 单调递减; , , . 故选:B. 二、选择题：本题共4小题，每小颌5分，共20分.每题给出的选项中有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分. 9. 已知函数的图象关于直线对称，关于对称，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由条件可得函数为偶函数，结合偶函数定义可得，由此判断A；由条件可得函数为奇函数，结合奇函数定义可得，由此判断BC；根据，，可得，由此可判断D. 【详解】根据题意得，函数的图象关于直线对称， 所以函数为偶函数， 所以， 所以，所以选项A正确； 函数的图象关于对称， 所以函数为奇函数， 所以， 所以，所以选项B不正确，选项C正确； ， ∴， ∴，所以选项D正确. 故选：ACD. 10. 已知抛物线（）的焦点为F，过点F且斜率为的直线l与该抛物线相交于，两点（其中），则下面说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，当时，联立直线与抛物线方程结合韦达定理代入计算，即可判断ACD，由条件可得直线的方程为，与抛物线方程联立，即可判断B. 【详解】若，则抛物线的焦点坐标为， 且直线的方程为，即， 联立直线与抛物线方程消去可得， 且直线l与该抛物线相交于，两点，， 则，，故A正确； 且，， 则，原点到直线的距离， 则，故C错误； 且，故D正确； 设直线的方程为，代入抛物线中可得， 则，则，故B正确； 故选：ABD 11. 已知各项均为正数的数列满足，（），，数列的前项和为，则下面说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题设中的递推关系可得，故可得判断AB的正误，利用分组求和和错位相减法可判断C的正误，利用裂项相消法可判断D的正误. 【详解】选项A：，，正确； 选项B：，，而，所以，故， 所以数列为首项为3，公比为3的等比数列，故，错误； 选项C：， 所以， 设，则， 两式作差可得， 所以，所以，正确； 选项D：， 所以，正确. 故选：ACD. 12. 已知矩形ABCD中，，沿着BD折起使得形成二面角，设二面角的平面角为，则下面说法正确的是（ ） A. 在翻折的过程中，、B、C、D四点始终在一个球面上，且该外接球的表面积为 B. 存在，使得 C. 当时， D. 当时，直线与直线BD的夹角为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A由于，始终成立，所以BD为外接球的一条直径，计算表面积；B利用线面垂直，证明线线垂直，可发现是存在，使得的；C、D利用二面角平面角的定义，以及平面向量的三角形法则，通过计算的模长，通过转化法可求直线与直线BD所成角的余弦值. 【详解】如图，在矩形中，过分别作的垂线， 因为，所以，， A，在翻折的过程中，，始终成立，则BD为外接球的一条直径，所以， 所以、B、C、D四点始终在一个球面上，且该外接球表面积为，故A错误； B，因为，所以若，只需要面，即即可， 则即可，此时二面角是存在的，即存在，使得，故B正确； C，易知，因为，所以， 因为，所以平方得 ，所以，故C正确； D，由C知，， 所以， 所以， 所以直线与直线BD的夹角为，故D正确， 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：A选项关键过球心的两个截面圆有公共直径，则公共直径为球的直径，对于B选项的关键在于异面直线垂直转化为线面垂直来处理；对于C、D选项的关键在于把所求向量模长问题、夹角问题，通过转化法，在结合向量三角形法则，转化为其他的已知的模长和数量积问题. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知正项等差数列满足，则___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据等差数列下标和性质可得，即可得结果. 【详解】因为为等差数列，且， 则，即， 且，所以. 故答案为：1. 14. 已知病毒在某溶液中的存活个数的概率满足，已知只要该溶液中存在一个病毒，就可以导致生物死亡，则该溶液能够导致生物死亡的概率为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由的分布列可得的值，又由溶液能够导致生物死亡的概率，计算可得答案． 【详解】根据题意，病毒在某溶液中的存活个数的概率满足， 则， 若该溶液中存在一个病毒，就可以导致生物死亡， 则该溶液能够导致生物死亡的概率． 故答案为：． 15. 已知定义域为的函数，且满足，函数，若函数有7个零点，则k的取值范围为___________；若方程（）的解为、、、，则的取值范围为___________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对于第一空，有7个零点等价于函数的图象与的图象有7个交点，数形结合后可求的取值范围；对于第二空，根据图像的局部对称性可得 ，根据对数的运算性质可得，消元后利用单调性可求的范围. 【详解】因为，所以函数为奇函数，函数的图象如图所示， 有7个零点等价于函数的图象与的图象有7个交点， 当直线与相切时， 则的判别式即（负值舍去）， 此时切点横坐标为， 当直线过时，， 结合下图可得当于函数与有7个交点，. 若方程（）有四个不同的解， 由题意及图象知，， 由题意， ∴， ∴，即， ∴，∴， 又，∴， 因为在上均为单调递增， 故在上单调递增， ∴，∴. 故答案为：，. 【点睛】思路点睛：函数零点的性质讨论，应根据图象的特征结合运算性质找到不同零点之间的相互关系后将目标代数式转化为单变量函数，再结合函数的单调性或导数可求相应的范围. 16. 已知函数在上恒成立，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，先求出在上的最小值为，然后分和讨论在上是否恒成立，即可得到答案. 【详解】因为，， 所以，，设， 所以， 所以在上单调递增， 所以在上的最小值为， ①当时，即时，在上单调递增， 又，所以函数在上恒成立， 所以满足题意； ②当时，即时，又在上单调递增，且， 所以，，使得，当时，， 即在上单调递减，又， 所以当时，，不满足恒成立， 综合①②可得实数a的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：求出在上的最小值为，通过讨论的正负得到函数在上恒成立时实数a的取值范围. 四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其余每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题卡的相应位置. 17. 已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足． （1）求角A的大小； （2）若，的角平分线AD与边BC相交于点D，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，结合余弦定理可得，可求； （2）由，可得，结合余弦定理可得，可求的面积. 【小问1详解】 ∵，∴由正弦定理可得， ∴， 整理得：， ∴， 由于， 所以； 【小问2详解】 ∵的角平分线AD与边BC相交于点D， ∴，∴， ∴， 在中，由余弦定理可得， ∴，解得或（舍去）． ∴的面积． 18. 由于人们对工业高度发达的负面影响预料不够，预防不利，导致了全球性的三大危机：资源短缺、环境污染、生态破坏环境污染指自然的或人为的破坏，向环境中添加某种物质而超过环境的自净能力而产生危害的行为或由于人为的因素，环境受到有害物质的污染，使生物的生长繁殖和人类的正常生活受到有害影响由于人为因素使环境的构成或状态发生变化，环境质量下降，从而扰乱和破坏了生态系统和人类的正常生产和生活条件的现象据研究，某种污染物具有极强的污染力，现在对这种污染物的污染力进行调查研究，通过实验调查，可以得到某地区该污染物到来后的污染时间小时与该污染物的污染面积平方米的一些数据如下： 通过分析可知，数据与之间存在很强的线性回归关系． （1）求出与之间的关系式； （2）根据中的关系式，该污染物到来后的污染时间是多少时，该污染物的污染面积的平均增长最慢？ 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别，．． 【答案】（1）； （2）该污染物到来后的污染时间是小时时，该污染物的污染面积的平均增长最慢． 【解析】 【分析】（1）令，利用最小二乘法求出与的关系，进一步可得与之间的关系式； （2）令，利用导数求最值得答案． 【小问1详解】 令，则，． ，， ，． ，则，可得与之间的关系式为； 【小问2详解】 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ． 故该污染物到来后的污染时间是小时时，该污染物的污染面积的平均增长最慢． 19. 已知等差数列满足（），数列是公比为3的等比数列，． （1）求数列和的通项公式； （2）数列和中的项由小到大组成新的数列，记数列的前n项和为，求． 【答案】（1）， （2）4582 【解析】 【分析】（1）根据题意，由等差数列的定义即可得到公差，代入计算即可得到数列的通项公式，再由等比数列的通项公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由分组求和代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 ，①，（），②， 得：， ∵为等差数列，∴，， ，即， ∴， 因为数列是公比为3的等比数列，， 即，解得：， 所以； 【小问2详解】 由（1）可知，，， 且数列和中的项由小到大组成新的数列， 其中，，此时， 所以数列中数列有项，数列有项， ， ． 20. 已知在三棱锥中，，为以AC为斜边的等腰直角三角形． （1）证明：平面平面； （2）设，存在该几何体外的一点D，使得为等边三角形，平面BCD与平面ABC所成的锐二面角的正切值为，求AD的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）或. 【解析】 【分析】（1）取AC的中点O，连接OB，OP，利用等腰三角形的性质和勾股定理分别证明和，由线面垂直判定定理可得平面ABC，再由面面垂直判定定理可证； （2）以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，根据为等边三角形确定点D的横坐标，设，然后求出平面BCD的法向量，根据锐二面角的正切值求出，结合向量夹角公式求出点D坐标，然后可解. 【小问1详解】 取AC的中点O，连接OB，OP， ∵为等边三角形，O为AC的中点，∴． 设，∴，， 在中，则，即． 又，平面，∴平面ABC． ∵平面PAC，∴平面平面ABC． 【小问2详解】 ∵为等边三角形，取BC的中点E，则， ∵，∴，∴， 则，，则D的轨迹是以E为圆心，半径为的圆上，且圆所在平面与BC垂直， 建立以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，垂直于平面ABC的直线为z轴的坐标系如图： 则，设，则， 易知平面ABC的一个法向量为， 设平面BCD的法向量为，，， 则，即，得，， 设，则，即， 设平面BCD与平面ABC所成的锐二面角为，则， 因为，， 所以，解得，，即， 易知，点在线段OP上，不满足题意， 所以或， 所以，或. 【点睛】 关键点点睛：第二问解题关键在于根据为等边三角形确定点D的横坐标，进而确定点D的轨迹，然后根据平面与平面的夹角的向量公式列方程求出点D坐标即可得解. 21. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距为，左、右端点分别为，点是椭圆上不同于的一点，且满足. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的上焦点作两条互相垂直的直线，，，分别与椭圆交于点和点分别为，的中点，问直线是否过定点？如果过定点，求出该定点；如果不过定点，请说明理由. 【答案】（1） （2）过， . 【解析】 【分析】（1）利用可得，再利用即可得椭圆的方程； （2）当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程，联立椭圆方程可得，同理得，进而可得的直线方程得到定点，验证直线存在或为时，也过该点即可. 【小问1详解】 设椭圆E的方程为， 点满足，故 由已知，， ，得 又因为该椭圆的焦距为，故， 可得，，所以椭圆E的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知椭圆的上焦点为 ①当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，其中， 设点、， 联立，得， ， 所以，，， 故的中点坐标为，同理可得的中点坐标为， 所以，直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故直线过定点. ②当直线斜率不存在时，方程为，方程为， 此时，直线方程为，过点. ③当直线的斜率存在且为0时，方程为，方程为， 直线方程为，过点. 综上可知，直线过定点 【点睛】关键点点睛：本题第二问考察直线过定点问题，关键先求出点坐标，进而得到直线即可求定点. 22. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若函数在上有零点，且，求实数m的取值范围. 【答案】（1）当时，函数在R上单调递减； 当时，函数在和上为减函数， 在上为增函数； 当时，函数在和上为增函数， 在上为减函数： （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据最高次项系数是否为以及二次函数的开口与根的情况，对m进行分类讨论即可得结果； （2）令，转化为函数在内有零点，再构造函数，通过研究的极值与端点值的符号确定的单调性与零点情况即可. 【小问1详解】 已知，函数定义域为R， 可得， ①当时，，所以在R上单调递减； ②当时，因为是开口向上的二次函数，且， 若，即时，，所以，所以在R上单调递减； 若，即时，此时方程；有两个根，， 所以当或者时，即， 当时，即， 所以在和上为减函数， 在上为增函数； ③当时，因为是开口向下的二次函数，且， 此时方程有两个根，，且， 所以当或者时，即， 当时，即， 所以在和上为增函数， 在上为减函数； 综上所述，当时，函数在R上单调递减； 当时，函数在和上为减函数， 在上为增函数； 当时，函数在和上为增函数， 在上为减函数： 【小问2详解】 令，解得， 不妨设，函数定义域为， 在内有零点，即在内有零点； 不妨设为在内的一个零点，即，， 又因为，， 所以在区间和上都不单调； 不妨设，， 则在区间和上均存在零点，即在上至少有两个零点， 由，则， 其中， ①当时，，在上单调递增，不可能有两个及以上零点： ②当时，，在上单调递减，不可能有两个及以上零点； ③当时，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处取得最小值， 若有两个零点，需满足，，， 令，则， 设，， 可得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，此时恒成立， 又，， 解得. 当时，不妨设的两个零点分别为， 可得在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 则在区间内有零点，满足题意. 综上所述，实数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题，本质都是函数大致图象的确定，一般都可转化为探究函数单调性，从而转化导函数性质的讨研究，求解此类问题的关键步骤为： （1）转化构造，即通过构造函数，把问题转化为所构造函数的零点，或直接构造导函数，研究导函数的图象，讨论函数值的符号变化，进而研究原函数的图象； （2）零点判断，即通过函数端点值或极值的符号，根据零点存在性定理或结合函数图象判断零点的情况或写出零点存在的充要条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年高三下学期4月份期中联考 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上. 1. 已知集合，，则下列说法正确的是（ ） A. B.  C.  D. 2. 已知复数（a，，）满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知向量与向量共线，，，且向量与向量的夹角为锐角，则向量（ ） A. B. C. D. 4. 已知有四个不同的小球A，B，C，D，准备放入四个不同的盒子之中，则小球A，B放入到同一个盒子中的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上有三个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知三棱锥中，，，则直线PA与平面ABC所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的右焦点为，直线过点且与该双曲线的渐近线分别交于点，则该双曲线的离心率为（　　） A. B. C. D. 8. 已知函数在上存在极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小颌5分，共20分.每题给出的选项中有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分. 9. 已知函数的图象关于直线对称，关于对称，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线（）的焦点为F，过点F且斜率为的直线l与该抛物线相交于，两点（其中），则下面说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知各项均为正数的数列满足，（），，数列的前项和为，则下面说法正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知矩形ABCD中，，沿着BD折起使得形成二面角，设二面角的平面角为，则下面说法正确的是（ ） A. 在翻折的过程中，、B、C、D四点始终在一个球面上，且该外接球的表面积为 B. 存在，使得 C. 当时， D. 当时，直线与直线BD的夹角为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知正项等差数列满足，则___________. 14. 已知病毒在某溶液中的存活个数的概率满足，已知只要该溶液中存在一个病毒，就可以导致生物死亡，则该溶液能够导致生物死亡的概率为______ ． 15. 已知定义域为的函数，且满足，函数，若函数有7个零点，则k的取值范围为___________；若方程（）的解为、、、，则的取值范围为___________ 16. 已知函数在上恒成立，则实数a的取值范围为________． 四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其余每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题卡的相应位置. 17. 已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足． （1）求角A的大小； （2）若，的角平分线AD与边BC相交于点D，且，求的面积． 18. 由于人们对工业高度发达的负面影响预料不够，预防不利，导致了全球性的三大危机：资源短缺、环境污染、生态破坏环境污染指自然的或人为的破坏，向环境中添加某种物质而超过环境的自净能力而产生危害的行为或由于人为的因素，环境受到有害物质的污染，使生物的生长繁殖和人类的正常生活受到有害影响由于人为因素使环境的构成或状态发生变化，环境质量下降，从而扰乱和破坏了生态系统和人类的正常生产和生活条件的现象据研究，某种污染物具有极强的污染力，现在对这种污染物的污染力进行调查研究，通过实验调查，可以得到某地区该污染物到来后的污染时间小时与该污染物的污染面积平方米的一些数据如下： 通过分析可知，数据与之间存在很强的线性回归关系． （1）求出与之间的关系式； （2）根据中的关系式，该污染物到来后的污染时间是多少时，该污染物的污染面积的平均增长最慢？ 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别，．． 19. 已知等差数列满足（），数列是公比为3的等比数列，． （1）求数列和的通项公式； （2）数列和中的项由小到大组成新的数列，记数列的前n项和为，求． 20. 已知在三棱锥中，，为以AC为斜边的等腰直角三角形． （1）证明：平面平面； （2）设，存在该几何体外的一点D，使得为等边三角形，平面BCD与平面ABC所成的锐二面角的正切值为，求AD的长． 21. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距为，左、右端点分别为，点是椭圆上不同于的一点，且满足. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的上焦点作两条互相垂直的直线，，，分别与椭圆交于点和点分别为，的中点，问直线是否过定点？如果过定点，求出该定点；如果不过定点，请说明理由. 22. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若函数在上有零点，且，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $