江西省宜春市2024-2025学年高二上学期开学诊断考试数学试题

试卷第 1页，共 2页 2026 届高二上学期诊断考试数学试卷 本试卷分第 I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分，考试时长 120分钟. 第 I卷（选择题共 58分） 一､选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1．若复数 z满足  i 2 i 0z    ，则 z在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如 图所示，其中外弧长与内弧长之和为89cm，连接外弧与内弧的两端的线段长均为18cm，且该扇环的圆 心角的弧度数为 2.5，则该扇环的外弧长为（ ） A．63cm B．65cm C．67cm D．69cm 3．已知函数� � 对任意� ∈ �满足� 1 − � = � 1 + � ，� � + 2 =− � � ，且�(0) = 0，则� 26 等于（ ） A．1 B．0 C．2 D．−1 4．已知向量  1, 2a   ，  3,1b    ，则 a在b  上的投影向量为（ ） A． 3 1( , ) 2 2  B． 1( ,1) 2  C.（ − 5 5 ， 2 5 5 ） D.（ − 3 10 10 ， 10 10 ） 5．已知α，β均为锐角，p：���� <sin(� + �) ；q：� + � < � 2 ．则 p是 q的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 6．已知函数� = 3���(� + � 5 )图象为C，为了得到函数� = 3���(2� − �5 )的图象，只要把C上所有点（ ） A. 先向右平移 � 5个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变 B. 先向右平移 2� 5 个单位长度，再将横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变 C. 先将横坐标缩短到原来的 1 2 ，纵坐标不变，再向右平移 � 5个单位长度 D. 先将横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再向右平移 � 5个单位长度 7．在∆���中，内角�, �, �的对边分别为 a，b，c，且  sin sina A b c B  ，则 a b c  的取值范围是（ ） A．（ 1 3 ， 1 2 ） B．（ 1 3 ，1） C．（ 3 3 ，1） D．（ 3 3 ， 1 2 ） 8.已知定义在R上的偶函数  f x ，当  0,2πx 时，   cos cosf x x x  ，对任意  0,x  总有    2π 2f x f x  .当  , ,a b m n 时，     4f a f b  恒成立，则 n m 的最大值为（ ） A.6π B. 19π 3 C. 28π 3 D. 31π 3 二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分．共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得 6分．部分选对的得部分分．有选错的得 0分. 9．有一组样本数据：1，1，2，4，1，4，1，2，则（ ） A．这组数据的众数为 4 B．这组数据的极差为 3 C．这组数据的平均数为 1.5 D．这组数据的 40% 分位数为 1 10．若 0, 0a b  ，则下列结论正确的有（ ） A． 2 2 2 2 a b a b    B．若 1 4 2 a b   ，则 9 2 a b  C．若 2 2ab b  ，则 3 4a b  D．若� > � > 0，则 1 1a b b a    11．半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体. 某半正多面体由 4 个正三角形和 4 个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面 体中，若其棱长为 1，则下列结论正确的是（ ） A．该半正多面体的表面积为 21 3 4 B． BE与平面 ABC所成角的正弦值为 6 3 C．该半正多面体外接球的表面积为 11 2 π D．若点M ， N分别在线段DE，BC上，则 FM MN AN  的最小值为 19 试卷第 2页，共 2页 第 II卷（非选择题共 92分） 三､填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12．(1 + ���13°)(1 + ���32°) = . 13．如图，在∆���中， 2BO OC   ，过点O的直线分别交直线 AB，AC于不同的两点M ，N .设 AB mAM   ， AC nAN   ，则 1 1 m n  的最小值为 . 14.如图，莲花县荷塘乡重阳木古树已有 800 年左右的历史，该古树枝繁叶茂，以优美的形状挺立在文 塘村，几百年来历经风霜守护村民繁衍生息.小明为了测量该古树高度，在古树旁水平地面上共线的三 点�，�，�处测得古树顶点�的仰角分别为 45°，45°，30°，若 28AB BC  米，则该古树的高度为___ 米. 四､解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15．（本小题13分）已知二次函数 y  f (x)的图象过点( − 1,3)，且不等式 f (x)  7x  0的解集为（ 1 4 ，1）. (1)求 f (x)的解析式； (2)设 g(x)  f (x)  mx，若 g(x)在(2,4)上是单调函数，求实数 m的取值范围. 16．（本小题 15 分）在如图所示的多面体������中，四边形����是边长为 2的正方形，其对角线 的交点为�，�� ⊥平面����，��//��，�� = 2�� = 2.点�是棱��的中点. (1)求证：�� ⊥平面���； (2)求多面体������的体积. 17．（本小题 15 分）甲、乙两人组成“九章队”参加宜春中学数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比 赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为 2 3 ，乙每轮猜对的概率为 3 4 ．在每轮比赛中，甲 和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率； (2)求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率． 18．（本小题 17 分）在∆���中， a，b， c分别是角�, �, �的对边，向量 21 2cos ,cos 2 Bm C       ，  , 2n c a b  ，且m n  . （1）求C； （2）若 2a b  ， 3c  ， C 的平分线交 AB于点D，求CD的长. 19 ． （ 本 小 题 17 分 ） 设 O 为 坐 标 原 点 ， 定 义 非 零 向 量  ,OM a b  的 “ 友 函 数 ” 为    sin cos Rf x a x b x x   ，向量  ,OM a b  称为函数    sin cos Rf x a x b x x   的“友 向量”. （1）记  1,1OM   的“友函数”为  f x ，求函数  f x 的单调递增区间； （2）设    πcos 2cos 6 h x x x         ，其中 R  ，求  h x 的“友向量”模长的最大值； （3）已知点  ,M a b 满足 2 26 5 0a ab b   ，向量OM  的“友函数”  f x 在 0x x 处取得最大 值.当点M 运动时，求   0 00 0 0 cos sin sin cos x xg x x x    的取值范围.