精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（日新班）

丰城九中2024-2025学年上学期高二日新开学考试数学试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求，，进而逐项分析判断即可. 【详解】因为集合，， 则，， 可得，，故A正确，B错误； 且，集合不是集合的子集，故CD错误； 故选：A. 2. 已知向量，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量夹角的坐标表示计算． 【详解】因为，则， 所以. 故选：D． 3. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接求导代入即可得解. 【详解】由题，，故. 故选：A. 4. 若实数，，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断，，且，根据对数函数的性质可得，即可判断. 【详解】因为， 又，则，且，即， 因为，所以， 所以. 故选：A 5. 如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数对应的点求出复数，，计算，得复数的虚部. 【详解】在复平面内，复数，对应的点分别为，， 则，，得， 所以复数的虚部为. 故选：D 6. ，的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对两边求导可得，C错误，D正确，举出反例得到AB错误. 【详解】CD选项，两边求导得， 故，，C错误，D正确， AB选项，可令，满足， ，即，可以得到，，AB错误. 故选：D 7. 在中，角的对边分别是，，，则“”是“是锐角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理可得，但不一定为锐角；若是锐角三角形可知满足，即可得出结论. 【详解】由是锐角三角形，得，从而， 故，即，即， 可得，即必要性成立； 反之，若“”可得，即， 可得，可知，但角可能为钝角，所以充分性不成立； 故选：B 8. 在棱长为3的正方体中，点Р是侧面上的点，且点Р到棱与到棱AD的距离均为1，用过点Р且与垂直的平面去截该正方体，则截面在正方体底面ABCD的投影多边形的面积是（ ） A. B. 5 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出与垂直的平面GJKLNM，作出其投影平面AOQCKJ，已知正方体棱长为3，点Р到棱与到棱AD的距离均为1，所以点G，J，K，L，N，M均为各棱的三等分点，求出投影的面积S即可得出答案. 【详解】 由题意可以作出与垂直的平面， 利用面面平行可作出过点P且平行于平面的平面GJKLNM， 则平面GJKLNM与垂直， 作出点M，N的投影O，Q， 平面AOQCKJ的面积S即为所求， 已知正方体棱长为3，点Р到棱与到棱AD的距离均为1， 所以点G，J，K，L，N，M均为各棱的三等分点 ， 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分） 9. 已知函数，且满足，则（ ） A. 函数在处有极大值 B. 函数在区间上是增函数 C. 函数在有极大值 D. 函数在区间和上是增函数 【答案】CD 【解析】 【分析】求导，根据得，即可根据导数求解函数的单调性以及极值. 【详解】的定义域为 故 令或；令或 在和上单调递增，在和上单调递减 有极大值，有极小值. 故选：CD 10. 若正实数满足，则（ ） A. B. 有序数对有6个 C. 的最小值是 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，使用条件即可证明；对于B，设并证明整除，再验证的全部因子即可；对于C，直接证明即可否定；对于D，给出，作为反例即可否定. 【详解】对于A，由已知正实数满足，有， ，故A正确； 对于B，由于，，故是正整数，设，则，所以. 而，故整除，得. 验证知时，都满足条件， 所以符合条件的有序数对有6个，故B正确； 对于C，由于，且，， 从而， 当，时，等号成立，故C错误； 对于D，当，时，有， 故，从而. 但此时，故D错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是C选项中对基本不等式的适当运用. 11. 已知函数的定义域为R，，，则（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用赋值法求得即可判断A；利用赋值可得，并且判断出，由不等式的性质可得，即可判断B；利用函数的奇偶性以及的值即可判断C；利用等比数列的判定可得的通项公式，利用等比数列的求和公式可得，即可判断D． 【详解】令，，则，将代入得，即，故A错误； 由，令可得，若存在x使得， 则上式变为，显然不成立，所以， 又， 因为，所以， 将整理为， 因为，即，所以，故B正确； 令， 则， 且，所以为奇函数，故C正确； 当时，，， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以， 由可知， 因为，所以， 所以，故D正确； 故选：BCD． 【点睛】关键点点睛：关键是充分利用函数的奇偶性，等比数列的判定与证明以及等比数列的前n项和进行分析，由此即可顺利得解． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把正确答案填在题中横线上） 12. 的展开式中的系数为______（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式有关知识求得正确答案. 【详解】由于， 所以的展开式中含的项为， 所以的展开式中的系数为. 故答案为： 13. 函数的值域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】令,将原函数转化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】的定义域为，令 ，当且仅当，即时取“等号” 的值域为. 故答案为： 14. 已知椭圆的左，右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，分别交轴于两点，的周长为6，过作外角平分线的垂线与直线交于点，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可得的周长为4a，结合的周长可求出a的值，再根据外角平分线性质求出，由勾股定理即可求得答案. 【详解】由题意知过点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点， 则, 故的周长为， 由于，且O是的中点，O在上，则为的中位线， 则的周长为周长的一半，而的周长为6， 即，则椭圆方程为， 则, 设外角平分线为，又过作外角平分线的垂线与直线交于点， 故，则， 故， 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算） 15. 在中，内角的对边分别为，且. （1）证明：. （2）若，，求的面积. 【答案】（1）证明如下： 根据正弦定理知， 整理得， 因为， 所以， 由正弦定理可得； （2）或 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及正弦的和角公式计算即可； （2）利用余弦定理及（1）的结论，三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 由余弦定理可得，即， 则， 因为，所以，所以， 则，即， 解得或， 当时，，此时的面积， 当时，，此时的面积. 所以的面积为或. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程. （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出、，利用直线的点斜式方程可得答案； （2）转化为的图象有2个交点，令，利用导数求出值域，结合图象可得答案. 【小问1详解】 当时，，所以, ，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 ， 由得， 的图象有2个交点， 令， ，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以， 且时，，， 所以时，，所以的大致图象如下， 所以若函数有两个零点， 则， 所以实数的取值范围为. 17. 如图，已知点列在曲线上，点列在x轴上，，，为等腰直角三角形． （1）求，，；（直接写出结果） （2）求数列的通项公式； （3）设，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明：由（1）可得， 所以， 所以， ， 所以. 【解析】 【分析】（1）直线的方程为，与抛物线方程联立可得，可求得，，同理可得； （2）由题意可得，进而可得，可求数列的通项公式； （3）由（2）可得，进而可证结论成立. 【小问1详解】 由为等腰直角三角形，所以直线的直线斜率为1， 故直线的方程为，与抛物线方程联立可得，可解得或， 从而可得，可得的横坐标为1，因为，解得， 由，所以，可得， 可得，解得； 【小问2详解】 由题意可得，所以， 所以，所以， 所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以， 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：解本题的第（3）问的关键在于利用放缩法推导出，再利用数列求和结合不等式进行推导，从而证得结论成立. 18. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记. （1）求长的最小值； （2）当的长最小时，求二面角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，建立空间直角坐标系，求出，，再利用空间两点间的距离公式，即可求出结果； （2）根据（1）结果，得到，再求出平面和的法向量，再利用两平面夹角的向量法，即可求出结果. 【小问1详解】 因为面面，又面面，，面，所以面，又， 如图，以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系， 因为两个正方形的边长为1，则， 又，则，得到， 同理可得， 所以， 又，所以当时，的长最小，最小值为. 【小问2详解】 由（1）知，的长最小时，分别为正方形对角线和的中点，可得， 设平面的一个法向量为，又， 由，取，可得， 设平面的一个法向量为，又，， 由，取，可得， 则，所以， 因此，二面角的正弦值为. 19. 已知等比数列的公比为q（），其所有项构成集合A，等差数列的公差为d（），其所有项构成集合B．令，集合C中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列． （1）若集合，写出一组符合题意的数列和； （2）若，数列为无穷数列，，且数列的前5项成公比为p的等比数列．当时，求p的值； （3）若数列是首项为1的无穷数列，求证：“存在无穷数列，使”的充要条件是“d是正有理数”． 【答案】（1）取为；为. （2）. （3） 因为数列是首项为1的无穷数列，由（2）知，数列是递增的数列； 对于公比不为1的无穷数列，必有，． 否则，若q为负，则相邻两项必有一项为负， 这与中的最小项为矛盾； 若，则当时，， 即，这与中的最小项为矛盾． 先证明充分性： 当d是正有理数时，因为数列是递增的等差数列，所以， 设（s，，s，t互质），则， 令，则，， 当时， 所以数列的第n项是数列的第项， 所以数列中的项都是数列的项，即． 再证明必要性： 假设d是正无理数，因为，即数列中的项都是数列的项，故. 令，，（i，j，），则，，， 且，因为，即， 整理得：，约去d有， 因为i，j，，且d是无理数，所以，消去j并整理得， 故，与矛盾，所以假设不成立，即d是有理数． 综上所述，“存在数列，使”的充要条件是“d是正有理数” 【解析】 【分析】（1）取为；为，可验证它们符合题设要求. （2）可证明，设的前5项为：，就或分类讨论后可求p的值． （3）可证，利用二项式定理可证明充分性，利用反证法结合等比中项可证明必要性. 【小问1详解】 取为；为， 则满足：，故为等比数列. 而，故为等差数列， 故此时，符合题意. 【小问2详解】 因为集合C中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列， 故中各项均为正数，所以中的各项均为正数， 而为无穷等差数列，故. 设的前5项为：， 因为，，，所以， 此时必有，事实上，若，则的前5项即是的前5项， 与矛盾． 所以或． 若，则，所以，此时的前5项为1，，2，，4， 即，，所以数列的公差为， 因为，所以符合题意； 若，则或 ①时，有p，，成等差数列，所以，解得，与矛盾； ②时，有，所以，所以的前5项为1，，，2，， 因为，所以，即， 所以，故，与为等差数列矛盾． 所以不可能． 综上，p的值为． 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：两类数列的交叉问题，往往需要从基本量来处理，注意合理的分类讨论，另外等比数列与等差数列的交叉问题，注意结合二项式定理来沟通两者的关系，而整数性问题注意结合整数的性质来处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中2024-2025学年上学期高二日新开学考试数学试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，， 则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 4. 若实数，，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 6. ，的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角的对边分别是，，，则“”是“是锐角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 在棱长为3的正方体中，点Р是侧面上的点，且点Р到棱与到棱AD的距离均为1，用过点Р且与垂直的平面去截该正方体，则截面在正方体底面ABCD的投影多边形的面积是（ ） A. B. 5 C. D. 8 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分） 9. 已知函数，且满足，则（ ） A. 函数在处有极大值 B. 函数在区间上是增函数 C. 函数在有极大值 D. 函数在区间和上是增函数 10. 若正实数满足，则（ ） A. B. 有序数对有6个 C. 的最小值是 D. 11. 已知函数的定义域为R，，，则（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把正确答案填在题中横线上） 12. 的展开式中的系数为______（用数字作答）. 13. 函数的值域为__________. 14. 已知椭圆的左，右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，分别交轴于两点，的周长为6，过作外角平分线的垂线与直线交于点，则__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算） 15. 在中，内角的对边分别为，且. （1）证明：. （2）若，，求的面积. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程. （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围. 17. 如图，已知点列在曲线上，点列在x轴上，，，为等腰直角三角形． （1）求，，；（直接写出结果） （2）求数列的通项公式； （3）设，证明：． 18. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记. （1）求长的最小值； （2）当的长最小时，求二面角的正弦值. 19. 已知等比数列的公比为q（），其所有项构成集合A，等差数列的公差为d（），其所有项构成集合B．令，集合C中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列． （1）若集合，写出一组符合题意的数列和； （2）若，数列为无穷数列，，且数列的前5项成公比为p的等比数列．当时，求p的值； （3）若数列是首项为1的无穷数列，求证：“存在无穷数列，使”的充要条件是“d是正有理数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $