精品解析：河南省郑州市登封市嵩阳中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

登封市嵩阳中学2024-2025学年上学期九年级9月月考数学试卷 一、单选题(每题3分，共30分) 1. 在平面中，下列说法正确的是（ ） A. 四边相等的四边形是菱形 B. 对角线互相平分的四边形是菱形 C. 四个角相等的四边形是正方形 D. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形,矩形,菱形和筝形的定义即可解题. 【详解】解：A. 四边相等的四边形是菱形,正确 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形,故此选项错误, C. 四个角相等的四边形是矩形, 故此选项错误, D. 对角线互相垂直的四边形是菱形, 故此选项错误, 综上,选择A. 【点睛】本题考查了平行四边形和特殊的平行四边形的定义,属于简单题,熟悉特殊的平行四边形的定义是解题关键. 2. 若一元二次方程的常数项为，则的值为（ ） A. 1 B. -1 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】令常数项为0求出m的值，代入检验即可． 【详解】解：∵一元二次方程（m-1）x2+（m2+1）x+m2-1=0的常数项为0， ∴m2-1=0，即m=1或-1， 当m=1时，m-1=0，不合题意，舍去， 则m=-1， 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 3. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方即可． 【详解】解：利用配方法如下： ． 故选D． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤是解题关键． 4. 如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ） A. B. 4 C. 7 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质以及直角三角形斜边中线定理进行求解． 【详解】解：∵四边形为菱形，且周长为28， ∴， ∵H为边的中点， ∴． 5. 已知，依据下表，它的一个解的范围是（ ） 2.5 2.6 2.7 2.8 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察表格轴的数据，得到x=2.6时，函数值y＜0；当x=2.7时，函数值y＞0，则当2.6＜x＜2.7时，有一个x的值使得y=0，即可得到答案. 【详解】解：∵x=2.6时，y=ax2+bx+c=-0.04＜0； x=2.7时，y=ax2+bx+c=0.19＞0， ∴当2.6＜x＜2.7时，y=ax2+bx+c的函数值有机会为0， ∴一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围为：2.6＜x＜2.7； 故选择：B. 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 6. 如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 如图，连接，由正方形的性质可得，，则，由 H是的中点，可得，根据勾故定理求、的值，根据，求出的值，进而可求． 【详解】解：如图，连接， 由正方形的性质可得，，， ∴， ∵ H是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选B． 7. 对于任意实数k，关于x的方程的根的情况为 A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【详解】判断一元二次方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号即可： ∵a=1，b=，c=， ∴． ∴此方程有两个不相等的实数根．故选C． 8. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞ B. k≥ C. k＞且k≠1 D. k≥且k≠1 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意得：k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0， 解得：k＞且k≠1． 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 9. 如图，在菱形中，，，点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时PK+QK的最小值，然后求解即可． 【详解】解：如图，菱形ABCD中， ∵AB=2，∠A=120°， ∴AD=2，∠ADC=60°， 过A作AE⊥CD于E， 则AE=P′Q， ∵AE=AD•cos60°=2×=， ∴点P′到CD的距离为， ∴PK+QK的最小值为． 故选C. 【点睛】本题考查了菱形的性质,轴对称确定最短路线问题,熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键. 10. 如图，将长方形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点上．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 4.5 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了列方程求解的能力．解题的关键是找出线段的关系． 先求出BC′，再由图形折叠特性知，，在中，运用勾股定理求解． 【详解】解：∵点是AB边的中点，， ∴， 由图形折叠特性知，， 在中，， ∴， 解得，， 故选：A． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB＝8，E是CD的中点，则OE的长等于___________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝AB＝8，AC与BD的交点O是BD的中点． ∵E是CD的中点，∴OE是△DBC的中位线， ∴． 故答案为：4． 12. 菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比为1：2，则较长的对角线长度是________cm． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：根据题意可得菱形的每一条边长为5cm，相邻的两个内角的度数为：60°，120°，则两条对角线的一半与菱形的一半构成的三角形为含有30°角的直角三角形，则三角形中较长的直角边长为cm，则较长的对角线长度为cm. 考点：菱形的性质 13. 对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据新定义运算对式子进行变形得到关于x的方程，解方程即可得解. 【详解】由题意得，（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2）=6， 整理得，3x+3=6， 解得，x=1， 故答案为1． 【点睛】本题考查了解方程，涉及完全平方公式、多项式乘法的运算等，根据题意正确得到方程是解题的关键． 14. 已知是方程的根，则代数式的值为_____． 【答案】-6 【解析】 【分析】利用一元二次方程解的定义得到a2-3a=5，再把4-2a2+6a变形为4-2（a2-3a），然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】把代入方程，得，则，所以． 【点睛】本题考查一元二次方程解的定义，解题的关键是掌握一元二次方程解的定义. 15. 准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，(如图所示)四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为_____米． 【答案】1.25 【解析】 【分析】设小路的宽度为，根据图形所示，用表示出小路的面积，由小路面积为80平方米，求出未知数. 【详解】设小路的宽度为，由题意和图示可知，小路的面积为 ，解一元二次方程，由，可得. 【点睛】本题综合考查一元二次方程的列法和求解，这类实际应用的题目，关键是要结合题意和图示，列对方程. 三、解答题（共75分，写出必要的文字说明和步骤） 16. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的配方法和因式分解法． （1）用配方法求解即可； （2）整理后，用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：移项得， 方程配方得：，即， 开平方得： 解得：，； 【小问2详解】 解：整理得，即， 原方程可化为：， ∴或， 解得：，． 17. 已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD． （1）求证：AB=AF； （2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴∠AFC=∠DCG， ∵GA=GD，∠AGF=∠CGD， ∴△AGF≌△DGC， ∴AF=CD， ∴AB=AF． （2）解：结论：四边形ACDF是矩形． 理由：∵AF=CD，AF∥CD， ∴四边形ACDF是平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD=∠BCD=120°， ∴∠FAG=60°， ∵AB=AG=AF， ∴△AFG是等边三角形， ∴AG=GF， ∵△AGF≌△DGC， ∴FG=CG，∵AG=GD， ∴AD=CF， ∴四边形ACDF是矩形． 【解析】 【分析】（1）只要证明AB=CD，AF=CD即可解决问题； （2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可； 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 18. 已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣k﹣2=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）给k取一个负整数值，解这个方程． 【答案】（1）k＞﹣3；（2）取k=﹣2，x1=0，x2=2． 【解析】 【分析】（1）利用判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）＞0，然后解不等式即可； （2）在（1）中的k的范围内取﹣2，方程变形为x2﹣2x=0，然后利用因式分法解方程即可． 【详解】（1）根据题意得△=（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）＞0， 解得：k＞﹣3； （2）取k=﹣2，则方程变形为x2﹣2x=0， 解得：x1=0，x2=2． 【点睛】本题考查了根的判别式，解一元二次方程．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 19. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？ 【答案】56 【解析】 【分析】设降价x元，表示出售价和销售量，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件， 根据题意得，（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080， 解得x=1或x=4， 又∵要让顾客得实惠，故取x=4，即应定价为56元， 答：应将销售单价定位56元． 20. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． （1）求证：； （2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 【答案】（1） 证明：∵， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； （2） 解：四边形是菱形， 理由如下：∵为中点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 为中点， ， ∴四边形是菱形； （3） 解：当或时，四边形是正方形， 理由：∵，， ， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 或：当时，∵， ∴， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，斜边上的中线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，进而得到四边形是平行四边形，即可得证； （2）中点得到，证明四边形是平行四边形，斜边上的中线得到，得到四边形是菱形； （3）根据有一个角是直角的菱形时正方形，得到当或时，四边形是正方形，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 如图所示，在中．，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动． （1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的面积为． （2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的长度等于． （3）在（1）中的面积能否等于？说明理由． 【答案】（1）1秒 （2）2秒 （3）不可能等于，理由见详解 【解析】 【分析】（1）设P，Q分别从A，B同时出发，x秒后，，，，则，令，列出方程即可求出符合题意得解； （2）利用勾股定理列出方程求解即可； （3）的面积能否等于，只需将，化简该方程后，判断该方程的判别式与0的关系，大于等于0则可以，否则不可以． 【小问1详解】 解：设x秒后，的面积为， 此时，，，， 则， 令，即， 整理得：， 解得：或， 当时，，说明此时点Q越过点C，不合要求，舍去， 答：1秒后的面积为； 【小问2详解】 解：由，得， 整理得， 解方程得：（舍去），， 所以2秒后的长度等于； 【小问3详解】 解：的面积不可能等于，理由如下： 设 即，整理得， ∵， ∴方程没有实数根， 所以的面积不可能等于． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在． 22. 某单位于“三八”妇女节期间组织女职工到金宝乐园观光旅游．下面是领队与旅行社导游就收费标准的一段对话． 领队：组团去金宝乐园旅游每人收费是多少？ 导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元． 领队：超过25人怎样优惠呢？ 导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．该单位按旅行社的收费标准组团游览金宝乐园结束后，共支付给旅行社2700元． 请你根据上述信息，求该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有多少人． 【答案】该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有30人． 【解析】 【分析】先根据支付给旅行社的钱数得到旅游的人数超过25人，设该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有人，根据题意找到等量关系列出方程即可求解. 【详解】解：因为元元，所以旅游的人数超过25人． 设该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有人，则平均每人的费用为元． 根据题意，得， 解得，． 又因为人均费用不低于70元，得． 解不等式得，所以不合题意；舍去， =30． 答：该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有30人． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系和不等关系进行求解. 23. 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF． （1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD； （2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析． 【解析】 【分析】（1）根据已知得出AF=AD，AB=BC=AC，∠BAC=∠DAF=60°，求出∠BAD=CAF，由SAS证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可． （2）求出∠BAD=∠CAF，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出BD=CF即可． （3）画出图形后，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可： 【详解】解：（1）证明：∵四边形AFED是菱形， ∴AF=AD ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF ∴∠BAC－∠DAC=∠DAF－∠DAC，即∠BAD=∠CAF ∵在△BAD和△CAF中， AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF， ∴△BAD≌△CAF（SAS） ∴CF=BD ∴CF+CD=BD+CD=BC=AC． 即①BD=CF，②AC=CF+CD． （2）AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF－CD．理由如下： 由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°， ∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，即∠BAD=∠CAF ∵在△BAD和△CAF中，AC=AB，∠BAD=∠CAF ，AD=AF， ∴△BAD≌△CAF（SAS） ∴BD=CF ∴CF－CD=BD－CD=BC=AC，即AC=CF－CD． （3）补全图形如下，AC、CF、CD之间的数量关系为AC=CD－CF． ∵∠BAC=∠DAF=60°， ∴∠DAB=∠CAF， ∵在△BAD和△CAF中， AB=AC，∠DAB=∠CAF， AD=AF， ∴△BAD≌△CAF（SAS）． ∴CF=BD． ∴CD－CF=CD－BD=BC=AC． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 登封市嵩阳中学2024-2025学年上学期九年级9月月考数学试卷 一、单选题(每题3分，共30分) 1. 在平面中，下列说法正确的是（ ） A. 四边相等的四边形是菱形 B. 对角线互相平分的四边形是菱形 C. 四个角相等的四边形是正方形 D. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 2. 若一元二次方程的常数项为，则的值为（ ） A. 1 B. -1 C. D. 0 3. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ） A. B. 4 C. 7 D. 14 5. 已知，依据下表，它的一个解的范围是（ ） 2.5 2.6 2.7 2.8 A. B. C. D. 6. 如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是（ ） A. B. C. D. 2 7. 对于任意实数k，关于x的方程的根的情况为 A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 8. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞ B. k≥ C. k＞且k≠1 D. k≥且k≠1 9. 如图，在菱形中，，，点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. D. 10. 如图，将长方形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点上．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 4.5 D. 5 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB＝8，E是CD的中点，则OE的长等于___________． 12. 菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比为1：2，则较长的对角线长度是________cm． 13. 对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为_____． 14. 已知是方程的根，则代数式的值为_____． 15. 准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，(如图所示)四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为_____米． 三、解答题（共75分，写出必要的文字说明和步骤） 16. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 17. 已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD． （1）求证：AB=AF； （2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论． 18. 已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣k﹣2=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）给k取一个负整数值，解这个方程． 19. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？ 20. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． （1）求证：； （2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 21. 如图所示，在中．，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动． （1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的面积为． （2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的长度等于． （3）在（1）中的面积能否等于？说明理由． 22. 某单位于“三八”妇女节期间组织女职工到金宝乐园观光旅游．下面是领队与旅行社导游就收费标准的一段对话． 领队：组团去金宝乐园旅游每人收费是多少？ 导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元． 领队：超过25人怎样优惠呢？ 导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．该单位按旅行社的收费标准组团游览金宝乐园结束后，共支付给旅行社2700元． 请你根据上述信息，求该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有多少人． 23. 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF． （1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD； （2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $