精品解析：辽宁省抚顺市雷锋高级中学2024-2025学年高二上学期开学质量检测数学试卷

抚顺市雷锋高级中学2024-2025学年度第一学期开学质量检测 高二数学 考试时间：60分钟 满分：100分 命题教师：刘海刚 一、选择题：（每小题6分，共6道小题，满分36分.每小题只有一个正确选项.） 1. 在正方体中，为的中点，则下列直线中与平面平行的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，AB为圆的直径，点C在圆上，PA⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 长方体中，,为中点，则异面直线与所成角为 A B. C. D. 4. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=，则PC与平面ABCD所成角的大小为(　 　) A B. C. D. 5. 已知正方体的棱长为1，且，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 6. 已知点在平面内，并且对空间任意一点，都有，则的值是（ ） A. 1 B. 0 C. 3 D. 二、多项选择题：（每小题6分，共2道小题，满分12分.每小题的正确选项都至少有2个，全选对得6分，部分选对得部分.若两个正确选项，选对1个得3分，选对2个得6分；若三个正确选项，选对1个，得2分，选对2个得4分，选对3个得6分） 7. 已知，.若，则与的值可以是（ ） A. B. C. D. 8. 已知 中，，是斜边上高，以为折痕，将折起，使成直角，则以下结论正确的有（ ） A. 折后是直角三角形 B. 面⊥面 C. 二面角的大小为 D. 三、填空题：（每小题5分，共3道小题，满分15分） 9. 若平面平面，A，，B，，线段AB与线段CD交于点P，且，，，则________． 10. 正方形ABCD在平面的同侧，若A，B，C三点到平面的距离分别为2，3，4，则BD所在直线与平面的位置关系是______. 11. 棱长为正四面体相邻两面形成二面角的余弦值为______，外接球的体积______. 四、解答题：（共3道小题，共37分.） 12. 如图，在棱长为的正方体 中，E为的中点. （1）求点D到平面AEC的距离； （2）已知球O与该正方体的12条棱相切，求该球的表面积. 13. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，其中，，底面，E是PC的中点. （1）求证:平面； （2）求证: 14. 已知，如图，二面角的大小为，在棱上取线段，分别在平面和平面内，它们都垂直于交线，并且，求的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 抚顺市雷锋高级中学2024-2025学年度第一学期开学质量检测 高二数学 考试时间：60分钟 满分：100分 命题教师：刘海刚 一、选择题：（每小题6分，共6道小题，满分36分.每小题只有一个正确选项.） 1. 在正方体中，为的中点，则下列直线中与平面平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正方体性质判断A、C、D的正误，连接交于，连接，由中位线性质、线面平行的判定证平面判断B. 【详解】由，而面，A错误； 如图所示，连接交于，连接， 所以是的中点，又为的中点， 所以，而面，面， 所以平面，B正确. 由，而面，C错误； 由，而面，D错误； 故选：B 2. 如图，AB为圆的直径，点C在圆上，PA⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据是圆的直径，得出是直角三角形；平面，得出、是直角三角形；平面，得出是直角三角形，即可得结论. 【详解】是圆的直径， ， 是直角三角形； 又平面，平面 ，，； 、是直角三角形； 又平面， 平面，面， ， 是直角三角形； 四面体的四个面中，直角三角形有4个． 故选：A． 3. 长方体中，,为中点，则异面直线与所成角为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据，可得异面直线与所成的角为，解三角形求得的大小. 【详解】画出长方体如下图所示，连接，由于，所以异面直线与所成的角为，在三角形中，，故三角形是等边三角形，所以. 故选C. 【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间想象能力，属于基础题. 4. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=，则PC与平面ABCD所成角的大小为(　 　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题得∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角，解直角△PCA得解. 【详解】由题得∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角， 在△PAC中，AC=,PA=, 所以. 故选C 【点睛】本题主要考查空间线面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 5. 已知正方体的棱长为1，且，，，则（ ） A 1 B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的数量积公式及运算律计算即可. 【详解】根据题意知，则， 所以. 故选：B 6. 已知点在平面内，并且对空间任意一点，都有，则的值是（ ） A. 1 B. 0 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：因为，且四点共面，所以必有，解得，故选D． 考点：空间向量的共面问题． 二、多项选择题：（每小题6分，共2道小题，满分12分.每小题的正确选项都至少有2个，全选对得6分，部分选对得部分.若两个正确选项，选对1个得3分，选对2个得6分；若三个正确选项，选对1个，得2分，选对2个得4分，选对3个得6分） 7. 已知，.若，则与的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】依题意利用空间向量平行的坐标表示，解方程即可得出结果. 【详解】根据题意，有且，得，解得，； 即可得，解得或； 因此与的值可以是或. 故选：AB 8. 已知 中，，是斜边上的高，以为折痕，将折起，使成直角，则以下结论正确的有（ ） A. 折后是直角三角形 B. 面⊥面 C. 二面角的大小为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据三角形边长的关系可判断AD，由面面垂直的定义证明判断B，根据二面角的平面角定义判断C． 【详解】由题意，，等边三角形，，A错，D正确； 由于平面，所以平面，又平面，所以面⊥面，B正确； 由，知是二面角的平面角，又，因此C正确． 故选：BCD． 三、填空题：（每小题5分，共3道小题，满分15分） 9. 若平面平面，A，，B，，线段AB与线段CD交于点P，且，，，则________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据题意平面平面，利用平面平行的性质定理，可得，再根据点P的位置，利用成比例线段，即可求出的值． 【详解】平面平面 即，． 【点睛】本题主要考查面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 10. 正方形ABCD在平面的同侧，若A，B，C三点到平面的距离分别为2，3，4，则BD所在直线与平面的位置关系是______. 【答案】平行 【解析】 【分析】取，的中点，由梯形中位线定理求得，又可证平行四边形，从而得线线平行，进而由判定定理证明线面平行. 【详解】如图，正方形ABCD在平面的同侧，分别过作垂直于平面， 垂足为. 取，中点， 则， 所以，由已知得， 则， 所以四边形是平行四边形，则. 即，平面，平面， 所以平面. 故答案为：平行. 11. 棱长为的正四面体相邻两面形成二面角的余弦值为______，外接球的体积______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第1空，先利用等腰三角形三线合一得垂直关系找到二面角的平面角，再由余弦定理可求二面角的余弦值；第2空，先求正四面体的高，设出球心，在直角三角形中由勾股定理求球半径可得. 【详解】如图，正四面体中，取中点，连接，. 则，， 故即为正四面体相邻两面形成的二面角的平面角. 在中，，. 由余弦定理可得 故棱长为的正四面体相邻两面形成二面角的余弦值为； 取底面的中心，连接，则平面. 设外接球球心为，由正四面体的性质可知，球心在线段上.连接. 在中，， 则正四面体的高， 设外接球半径为，则在中，， 且， 则，解得. 故外接球的体积. 故答案为：；. 四、解答题：（共3道小题，共37分.） 12. 如图，在棱长为的正方体 中，E为的中点. （1）求点D到平面AEC的距离； （2）已知球O与该正方体的12条棱相切，求该球的表面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等体积法求得正确答案. （2）先求得球的半径，进而求得球的表面积. 【小问1详解】 因为正方体中，平面， 由于平面，所以，. 因为正方体的棱长为，E为的中点， 所以. 因为，所以. 设到平面的距离为，， ，解得. 【小问2详解】 设球的半径为，该球的直径为面对角线长，即，， 所以该球的表面积. 13. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，其中，，底面，E是PC的中点. （1）求证:平面； （2）求证:. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设PD中点为F，利用线面平行的判定推理即得. （2）由（1）的信息，利用线面垂直的判定、性质推理即得. 【小问1详解】 设PD的中点为F，连接EF和AF，由E是PC的中点，得，且， 由为直角梯形，其中，得，又， 则，四边形平行四边形， 于是，而平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由平面，平面，得， 而，平面，则平面， 又平面，因此，由（1）知， 所以. 14. 已知，如图，二面角的大小为，在棱上取线段，分别在平面和平面内，它们都垂直于交线，并且，求的长. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，作，且使，利用二面角的定义，结合勾股定理、余弦定理求解即得. 【详解】作，且使，连接DE，则四边形为平行四边形，， 由，得，又，，，，则为二面角的平面角， 于是，而， 则， 又易得平面，则平面，可得， 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$