4.3 多边形和圆的初步认识 学案 　　2024—2025学年北师大版数学七年级上册

第四章《基本平面图形》---4.3多边形和圆的初步认识 学习目标 1) 能够在具体情境中识别并理解多边形、正多边形、圆及弧、圆形角等基本平面图形的概念和特征；能够掌握多边形顶点数、边数、内角数以及对角线数量的基本规律，并能在实际情境中应用这些规律进行计算； 2) 能够了解圆的基本性质，包括圆心、半径、直径、圆弧及圆心角等概念，并能使用圆的周长和面积的计算公式解决实际问题； 3) 经历从现实世界中抽象出多边形和圆等平面图形的过程，通过观察、操作、讨论等活动，提升数学抽象思维能力和空间想象能力；掌握图形的表示方法和几何语言的运用，提升他们的数学交流能力和团队协作能力。 重点： 多边形和圆的基本概念及其相关性质的理解；圆的周长和面积的计算公式的掌握及应用；多边形顶点数、边数、内角数以及对角线数量的基本规律的掌握。 难点：正多边形的理解，包括其边、角等特征的把握；圆的关系求扇形圆心角的度数的计算。 课堂探究 基础知识导读1：多边形相关概念 从简单的三角形到复杂的n边形，每一种多边形都蕴含着独特的数学规律和美学价值。通过观察和思考，你将学会识别并理解多边形的基本概念和特征，感受几何图形的魅力所在。 从太阳到月亮，从车轮到表盘，圆无处不在，它以其独特的对称性和和谐美吸引着我们的目光。在这一部分，你将深入了解圆的基本性质，包括圆心、半径、直径等核心概念，并学会使用圆的周长和面积的计算公式来解决实际问题。同时，你还将接触到扇形这一特殊图形，了解它与圆的关系以及圆心角的计算方法。 我们知道，由三条线段首尾顺次相接组成的图形是三角形.类比一下，不难得到：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．组成多边形的各条线段叫做多边形的边，每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点. 多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形.如果一个多边形由条线段组成，那么这个多边形叫做边形．多边形用表示它的各个顶点的字母来表示，如下图的五边形，可以按照顶点的顺序记作五边形. 多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．如图中、、、为五边形的内角,为五边形的外角. 连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．由于对角线是连接两个不相邻的顶点的线段，因而三角形中没有对角线.请你画出下列多边形的全部对角线.注意，不要漏画，想想有什么规律吗？ 四边形有两条对角线，可以表示为、.五边形共有5条对角线，可以表示为、、、、.你画对了吗？ 思考：(1)n边形有多少个顶点、多少条边、多少个内角?(2)过n边形的每一个顶点有几条对角线? 等边三角形、正方形给我们的形象是：各边都相等、各角也相等.它们分别是特殊的三角形和特殊的四边形.像等边三角形、正方形这样各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．如下图，分别称为：正三角形(正三角形我们通常也称为等边三角形)、正方形、正五边形、正六边形. 基础知识导读2：圆的相关概念 在节假日期间，商家为了促销，经常开展“大转盘转动得奖”活动.顾客转动大转盘，转盘停止转动时，指针停留在哪个区域，就获得该区域事先标注的奖品. 如图，圆上任意两点、之间的部分，就是弧，记作：，读作：弧,称为圆心角. 如图，当圆心角不变，改变半径的大小时，弧长随着半径的变大而变大；当半径不变，改变圆心角的大小时，弧长随着圆心角的变大而变大.所以弧长和圆心角和半径有关。 观察思考下面几个特殊图形的圆心角的度数，并分别说出这几个圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几？ A 思考：圆心角所对的弧长是圆心角的几分之几？ 通过观察我们发现， 当圆心角是时，弧长就等于圆周长，所对应的弧长；当圆心角是时，弧长是圆周长的，所对应的弧长；当圆心角是时，弧长是圆周长的，所对应的弧长；当圆心角是度时，弧长是圆周长的，所对应的弧长. 所以，圆心角所对的弧长. 圆心角所对的弧长是圆心角所对的弧长的倍；圆心角所对的弧长. 通过以上探究，可得弧长公式：半径为的圆中，圆心角所对弧长，那么. 【例1】 一弧长为，所对圆心角为，求该弧所在圆的半径. 分析弧长公式中含有三个变量，利用公式变形，已知其中两个量，可以求出第三个量. 【例2】 如右图所示，三角形的三条边长都是毫米，以为圆心，毫米为半径画弧。求这段弧的长度。 分析：三角形是正三角形，所以圆心角是 课堂练习 一、单选题 1. 下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 2. 下列说法正确的是（  ） A．圆中的角所对的弦是直径 B．平分弦的直径垂直于弦 C．长度相等的弧是等弧 D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 3. 下列说法正确的是（    ） A．四边相等的四边形是正四边形 B．边数最少的正多边形是正方形 C．由正方形的顶点共可确定4条直线 D．正方形有两条对角线 4. 过多边形的一个顶点最多可以作出该多边形的6条对角线，则这个多边形的边数为（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 二、填空题 5. 下列结论中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）①直径是圆中最长的弦；②长度相等的两条弧是等弧；③面积相等的两个圆是等圆；④等弧所对的圆心角相等；⑤同圆中，两条相等的弦所对的弧相等；⑥顶点在圆上的角是圆周角；⑦将圆绕一点旋转一个角度可以和自身重合；⑧圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴；⑨半圆是弧；⑩过圆心的线段是直径． 6. 对角线条数和自身边数相同的正多边形的中心角度数为 ． 7. 若一个多边形的一条对角线将其分成两个四边形，则该多边形的边数是 ． 8. 正八边形的对角线的条数为 条． 三、解答题 9. 如图，圆心角．(1)判断和的数量关系，并说明理由；(2)若，求的度数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$