第12章 因式分解【单元卷·测试卷】-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（沪教版2024）

第12章 因式分解【单元卷·测试卷】 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：90分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．下列各式中，从左到右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义，掌握理解定义是解题关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 根据因式分解的定义逐项判断即可得． 【详解】A、是整式的乘法，此项不符题意； B、没有将一个多项式转化成几个整式的乘积的形式，此项不符题意； C、没有将一个多项式转化成几个整式的乘积的形式，此项不符题意； D、，此项符合题意； 故选：D． 2．已知多项式分解因式为，则、的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的意义，利用了因式分解的意义． 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案． 【详解】解：由多项式分解因式为，得 ． ，， 故选：D． 3．若分解因式能用完全平方公式分解因式，则的值为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，先根据两平方确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解：∵多项式能用完全平方公式分解因式， 又∵， ∴ ， 解得 ． 故选：C． 4．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相减的结果是(  ) A． B．5 C．1 D． 【答案】D 【分析】此题考查了十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相减即可． 【详解】解：∵甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数， ∴甲为，乙为，丙为， 则甲与丙相减的差为：； 故选：D 5．有一种用“因式分解”法产生的密码记忆法，方法是：取一个多项式，如：，将此多项式因式分解的结果是：．再取两个值，如：，那么各个因式的值是：，于是就可以把“162130”作为一个六位数密码．如果取多项式以及，那么下列密码不可能是用上述方法产生的是（    ） A．221820 B．222018 C．222180 D．201822 【答案】C 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式将因式分解，根据题意即可进行解答． 【详解】解：， 当时，， ∴可以产生的密码是：202218，201822，222018，221820，182220，182022； 不能产生的密码是222180， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤． 6．已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了提取公因式、完全平方式进行因式分解以及非负数的性质等知识点，正确进行因式分解成为解题的关键． 先将，通过提取公因式、运用完全平方式、添加项转化为．再根据a、b均为正数以及非负数的性质，得到，进而解出a、b的值，代入求得结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵a、b均为正数， ∴， ∴，即，解得或（不合题意，舍去）， ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，先提公因式，再用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8．利用平方差公式计算：= ． 【答案】8016 【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解，先将原式利用平方差公式变形，再进行计算． 【详解】解：， 故答案为：8016． 9．如果一个多项式因式分解后有一个因式为，那么符合条件的多项式可以是 ．（只需写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查多项式的因式分解，根据提取公因式、平方差公式或完全平方公式等知识解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先运用分解分组法，得，再进行提公因式，得，即可作答． 【详解】解： 故答案为：． 11．如果关于的二次三项式可以用十字相乘法进行因式分解，那么整数等于 ． 【答案】 【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，根据5可以分成或即可求解． 【详解】解：，， ，， 如果关于的二次三项式可以用十字相乘法进行因式分解，那么整数等于． 故答案为：． 12．在实数范围内因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．若，那么代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值、因式分解的应用，由已知条件得出，，，再将式子化为，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 14．已知，则的值为 【答案】 【分析】先根据完全平方公式的变形求出，再把所求式子提取公因式得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的变形求值，正确得到是解题的关键． 15．已知是多项式的因式，则 ． 【答案】/0.25 【分析】根据题意，，根据整式的乘法求得，，进而得出的值，根据负整数指数幂进行计算即可求解． 【详解】解：∵是多项式的因式， ∴设 ∵ ∴ ∴①，，②，③ 由①②得④， 由③④得， 代入解得：， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，因式分解，负整数指数幂的运算，掌握多项式乘以多项式是解题的关键． 16．若可以分解成两个一次整系数多项式的乘积，其中a、b为整数，那么的最小值是 ． 【答案】 【分析】先分解因式得到，则可设分解因式的结果为，再根据多项式乘以多项式的乘法展开，得到，，再根据m、n都是整数进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴可设， ∵ ＝， ∴，， 又∵m、n都是整数， ∴或或或， ∴或或或 ∴当时，的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确设出分解因式的结果为是解题的关键． 17．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，第9个智慧优数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据，均为正整数，得出，，，，…，从而得出，，，，…，把平方差公式中的换成和相关的式子，得到新的式子，然后将，，，…一次代入计算即可，理解题意，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：，均为正整数， ，，，，…， ，，，，…， ， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，…， 把这些“智慧优数”从小到大排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…， 第9个智慧优数是， 故答案为：． 18．正数满足，那么 ． 【答案】64 【分析】将式子因式分解为(a-c)(b+2)=0，求得a=c,同理可得a=b=c,再=12可化为a2+4a-12=0，求出a的值，再求得值即可． 【详解】解：∵， ∴ab-bc+2(a-c)=0, 即(a-c)(b+2)=0, ∵b﹥0, ∴b+2≠0, ∴a-c=0, ∴a=c, 同理可得a=b,b=c, ∴a=b=c, ∴=12可化为a2+4a-12=0 ∴(a+6)(a-2)=0, ∵a为正数， ∴a+6≠0, ∴a-2=0, ∴a=2, 即a=b=c=2, ∴(2+2) ×(2+2) ×(2+2)=64 故答案为64． 【点睛】本题考查因式分解的应用；能够将所给式子进行正确的因式分解是解题的关键． 3、 解答题（本大题共7小题，共64分） 19．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式即可； （2）直接提取公因式3a，进而利用完全平方公式分解因式即可； （3）直接提取公因式2，进而利用平方差公式、完全平方公式分解因式即可． 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 20．已知，用因式分解法求的值． 【答案】 【分析】此题考查的是因式分解和整体代入法求值，先将原式提公因式进行因式分解，最后整体代入求解． 【详解】解： ∵， ∴原式 21．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是______________，共应用了_________次； (2)将下列多项式分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是_________． 【答案】(1)提取公因式法；2 (2) (3)2023； 【分析】（1）根据题意可知题干的因式分解方法是提公因式法，一共应用了2次； （2）仿照题意进行提取公因式进行分解因式即可得到答案； （3）根据题意可得规律，提n次公因式，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，题干的因式分解方法是提公因式法，一共应用了2次， 故答案为：提公因式法；2； （2）解：原式 ； （3）解：，提1次公因式 ，提2次公因式 ，提3次公因式 …… ∴依次类推，，提n次公因式， ∴，提2023次公因式， 故答案为：2023；． 【点睛】本题主要考查了分解因式，正确理解题意掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 22．小杨同学正在研究关于某一个数是否能被7整除的相关规律，他以整数7为代表，他发现，根据去尾相加法，可以得知，以下是他对数字1176的探究过程： 1176去掉个位6得117，并加上6的5倍得到147，去掉147的个位7，加上7的5倍，得到，故1176可以被7整除． (1)请判断4165是否能被7整除，并证明小杨方法的正确性 (2)小浦同学在小杨同学研究的基础上，发现了去尾相减法，请写出小浦同学的方法，并判断数字9163是否能被7整除 (3)你还能探究出其他判断一个数能否被7整除的方法吗，请直接写出你的方法（无需证明） 【答案】(1)能，证明见解析 (2)见解析，能 (3)见解析 【分析】本题考查有理数运算，因式分解的应用： （1）根据去尾相加法，进行判断和证明即可； （2）一个数，去掉它的末位数字之后，再减去末位数字的2倍，如果所得的差能被7整除，这个自然数就能被7整除，利用此种方法判断9163能够被7整数即可； （3）去头相加法：一个自然数(至少有3位)，去掉它的首位数，把首位数的2倍加在其余的数的前两位数上，如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除． 【详解】（1）解：4165去掉个位5得416，并加上5的5倍得到441，去掉441的个位1，加上1的5倍，得到，故4165可以被7整除； 证明：一个数，若，则：， ∴， 即：可以被7整数； （2）解：方法为：一个数，去掉它的末位数字之后，再减去末位数字的2倍，如果所得的差能被7整除，这个自然数就能被7整除； 9163去掉个位3，得到916，再减去3的2倍得到910，去掉910的个位0，减去0的2倍，得到，故9163能被7整除； （3）解：去头相加法：一个自然数(至少有3位)，去掉它的首位数，把首位数的2倍加在其余的数的前两位数上，如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除． 23．【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： 【应用新知】 （1）用十字相乘法分解因式：； （2）用十字相乘法分解因式：； 【拓展提升】 （3）结合本题知识，分解因式：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． （1）利用十字相乘法进行求解即可； （2）利用十字相乘法进行求解即可； （3）将看成一个整体，再利用十字相乘法进行求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3） 24．如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的． 观察猜想：请根据此图填空：（______）（______）． 说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （______）（______）（提示：提公因式）（______）（______）． 于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解． 尝试运用：例题：把多项式因式分解． 请利用上述方法将下列多项式因式分解： （1）； （2）． 【答案】观察猜想：，；说理验证：，，，；（1）；（2） 【分析】本题主要考查了因式分解在几何图形中的应用，十字相乘法分解因式： 观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，据此求解即可； 说理验证：先提取公因式x和q分组分解因式，再提取公因式进行分解因式即可； （1）仿照题意分解因式即可； （2）把看作一个整体仿照题意分解因式即可． 【详解】解；观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，即， 故答案诶：； 说理验证：由题意得， 故答案为：，，，； （1） ； （2） ． 25．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． (1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤． (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为则的值为______．（直接写出结果） 【答案】(1)①③④⑤ (2)画图见解析， (3)9或21或12 【分析】本题考查整式乘法与图形面积的关系，掌握数形结合思想成为解题关键． （1）根据图形表示出两个正方形边长与a、b的关系、，结合面积加减计算逐个判断即可； （2）根据整式得到两个大正方形、两个小正方形、五个长方形，然后画出图形即可解答； （3）根据因式分解平方项凑长宽展开求解即可解答． 【详解】（1）解：由图形可得，、，故①正确， ∴，即②错误； 由图形可得，，即，即③正确； ∵、， ∴，即，即④正确； ∵，，即故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． （2）解：由题意可得，图形如图所示， ∴． 故答案为：． （3）解：由题意可得， ①当，， ②当，， ③当，． 故答案为：9或21或12． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 因式分解【单元卷·测试卷】 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：90分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．下列各式中，从左到右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．已知多项式分解因式为，则、的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．若分解因式能用完全平方公式分解因式，则的值为（    ） A．10 B． C． D． 4．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相减的结果是(  ) A． B．5 C．1 D． 5．有一种用“因式分解”法产生的密码记忆法，方法是：取一个多项式，如：，将此多项式因式分解的结果是：．再取两个值，如：，那么各个因式的值是：，于是就可以把“162130”作为一个六位数密码．如果取多项式以及，那么下列密码不可能是用上述方法产生的是（    ） A．221820 B．222018 C．222180 D．201822 6．已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．因式分解： ． 8．利用平方差公式计算：= ． 9．如果一个多项式因式分解后有一个因式为，那么符合条件的多项式可以是 ．（只需写一个） 10．因式分解： ． 11．如果关于的二次三项式可以用十字相乘法进行因式分解，那么整数等于 ． 12．在实数范围内因式分解： 13．若，那么代数式的值为 ． 14．已知，则的值为 15．已知是多项式的因式，则 ． 16．若可以分解成两个一次整系数多项式的乘积，其中a、b为整数，那么的最小值是 ． 17．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，第9个智慧优数是 ． 18．正数满足，那么 ． 3、 解答题（本大题共7小题，共64分） 19．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 20．已知，用因式分解法求的值． 21．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是______________，共应用了_________次； (2)将下列多项式分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是_________． 22．小杨同学正在研究关于某一个数是否能被7整除的相关规律，他以整数7为代表，他发现，根据去尾相加法，可以得知，以下是他对数字1176的探究过程： 1176去掉个位6得117，并加上6的5倍得到147，去掉147的个位7，加上7的5倍，得到，故1176可以被7整除． (1)请判断4165是否能被7整除，并证明小杨方法的正确性 (2)小浦同学在小杨同学研究的基础上，发现了去尾相减法，请写出小浦同学的方法，并判断数字9163是否能被7整除 (3)你还能探究出其他判断一个数能否被7整除的方法吗，请直接写出你的方法（无需证明） 23．【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： 【应用新知】 （1）用十字相乘法分解因式：； （2）用十字相乘法分解因式：； 【拓展提升】 （3）结合本题知识，分解因式：． 24．如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的． 观察猜想：请根据此图填空：（______）（______）． 说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （______）（______）（提示：提公因式）（______）（______）． 于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解． 尝试运用：例题：把多项式因式分解． 请利用上述方法将下列多项式因式分解： （1）； （2）． 25．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． (1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤． (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为则的值为______．（直接写出结果） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$