第三章第3节探索与表达规律课件2024-2025学年北师大版七年级数学上册

北师大版七年级数学上册课件 第3章第3节　探索与表达规律 课时目标 素养达成 1.经历由特殊到一般和由一般到特殊的过程,体会代数推理的特点和作用 推理能力、运算能力 2.能用代数式表示并借助代数式运算验证所探索规律的一般性 模型观念、推理能力、运算能力 3.能用代数式表示并借助代数式运算解释具体问题中蕴含的一般规律或现象 模型观念、推理能力、运算能力、应用意识 【课前预习】 【要点归纳】 探索规律的一般步骤: 【对点小练】 观察下列等式:4×12-12=3,4×22-32=7,4×32-52=11,…,根据上述规律,则第2 020个 等式的值是( ) A.8 079　 B.8 073　 C.8 075　 D.8 076 A 【典例微课】  【重点1】数字规律(模型观念、推理能力、运算能力) 【典例1】(教材再开发·P96尝试·思考拓展)按规律排列的一列数如下:,,,,…,则第n个数是________.(用含n的代数式表示)  【自主解答】由分子2,4,8,16,…,得第n个数的分子是2n, 由分母5,7,9,11,…,得第n个数的分母是2n+3,因此得第n个数是. 答案: 【变式训练】 (2024·滁州期中)观察下列关于x的单项式,探究其规律:-2x,4x2,-6x3,8x4,-10x5, 12x6,…,按照上述规律,第2 023个单项式是( ) A.-4 046x2 022 B.4 046x2 022 C.-4 046x2 023 D.4 046x2 023 【解析】根据所给单项式发现第奇数个单项式的系数为负,第偶数个单项式的系数为正,第n个单项式系数的绝对值是2n,指数是n,即公式为2n·(-x)n, 所以第2 023个单项式是-4 046x2 023. C 【重点2】图形规律(模型观念、推理能力、运算能力、应用意识) 【典例2】(教材再开发·P98习题3.3T1强化)用火柴棒按如图所示的规律排列成一串图形. (1)第4个图形中有几根火柴棒?第5个呢?第n个呢? (2)小吴发现:按照这种方式搭图形会产生若干个六边形.若使用1 603根火柴搭图形,则图形中会产生多少个六边形? 【自主解答】(1)第1个图形:11=8×1+3; 第2个图形:19=8×2+3; 第3个图形:27=8×3+3; 第4个图形:35=8×4+3; 第5个图形:43=8×5+3; 第n个图形:8×n+3=8n+3. 答:第4个图形中有35根火柴棒,第5个有43根火柴棒,第n个有(8n+3)根火柴棒. (2)依题意,得8n+3=1 603, 解得n=200, 因为第1个图形中有2个六边形;第2个图形中有4个六边形;第3个图形中有6个六边形…… 所以第n个图形中有2n个六边形, 所以2n=400,即图形中会产生400个六边形. 【变式训练】 (2024·北京期末)观察下列图形,则第n个图形中三角形的个数为( ) A.2n+1 B.4n+4 C.4n-4 D.4n 【解析】第1个图形有1×4=4个三角形, 第2个图形有2×4=8个三角形, 第3个图形有3×4=12个三角形, … 所以第n个图形有4n个三角形. D 【课堂小测（8分钟）】 1.按一定规律排列的单项式:-x2,x4,-x6,x8,-x10,…,第n个单项式是( ) A.(-1)nx2n B.(-1)n-1x2n C.(-1)n+1x2n D.(-1)nxn 【解析】因为-x2,x4,-x6,x8,-x10,…, 所以第n个单项式为:(-1)nx2n. A 2.如图所示是用棋子摆成的“上”字图案,按照这种规律继续摆下去,通过观察、对比、总结,找出规律,解答下列问题. (1)摆成第1个图形需要________枚棋子,摆成第2个图形需要________枚棋子,摆成第3个图形需要________枚棋子;  (2)摆成第n个图形需要________枚棋子(用含n的代数式表示);  (3)七(1)班有50名学生,把每名学生当成一枚“棋子”,能否让这50枚“棋子”按照以上规律恰好站成一个“上”字?若能,请问能站成第几个图形?并计算最下面一“横”的学生数;若不能,请说明理由. 【解析】(1)由题图可知:摆成第1个图形需要6枚棋子,摆成第2个图形需要10枚 棋子,摆成第3个图形需要14枚棋子; 答案:6　10　14 (2)由题图可知,后一个图形比前一个图形多4枚棋子,所以摆成第n个图形需要 6+4(n-1)=4n+2(枚)棋子; 答案:(4n+2) (3)能. 当4n+2=50时,n=12,所以能站成,能站成第12个图形.由题图可知,最下面一“横”上的 棋子的个数是从3开始的连续的奇数, 所以3+2×(12-1)=25,即最下面一“横”的学生数是25. 【课后提升】 【基础练】 1.(2024·河源和平期末)用木棒按如图所示的规律摆放图形,第100个图形需要的 木棒根数是( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.501 B.502 C.503 D.504 A 【解析】因为第1个图形需要的木棒根数为6, 第2个图形需要的木棒根数为11=6+5=6+5×1, 第3个图形需要的木棒根数为16=6+5+5=6+5×2, …, 所以第n个图形需要的木棒根数为6+5(n-1)=5n+1, 所以第100个图形需要的木棒根数为5×100+1=501. 2.(2024·揭阳揭西期末)如图所示的运算程序中,若开始输入的x值为36,我们发现第 1次输出的结果为18,第2次输出的结果为9……第2 022次输出的结果为____.  6 【解析】第1次输出的结果为18, 第2次输出的结果为×18=9, 第3次输出的结果为9+3=12, 第4次输出的结果为×12=6, 第5次输出的结果为×6=3, 第6次输出的结果为3+3=6, 第7次输出的结果为×6=3,…, 如此循环,从第4次开始第偶次输出的是6,第奇次输出的是3. 第2 022次输出的结果为6. 【能力练】 3.如图所示的图形都是由大小相同的小正方形按一定的规律组成的,且每个小 正方形的边长都是1,则第7个图形的周长是_______.  　42　 【解析】观察题中图形的变化可知: 第1个图形的周长是6, 第2个图形的周长是12=6+6=6×2, 第3个图形的周长是18=6+6+6=6×3 …, 所以第n个图形的周长是6n, 所以第7个图形的周长是6×7=42. 4.(2024·东莞期末)将正整数按如图所示的位置顺序排列,我们称每一个阶段的最 高点为“峰”,最低点为“谷”.例如,数字3的位置称为“峰1”,数字6的位置称为“谷1”, 数字9的位置称为“峰2”,则“峰7”位置的数字为_______.  【解析】由题干所给图形可知, “峰1”位置的数为3=1×6-3; “峰2”位置的数为9=2×6-3; “峰3”位置的数为15=3×6-3; …, 所以“峰i”位置的数为(6i-3)(i为正整数), 当i=7时,6i-3=6×7-3=39,即“峰7”位置的数为39. 　39　 【培优练】 5.(推理能力、几何直观、运算能力)(2024·珠海斗门期末)综合与实践:观察下图,解答下列问题. (1)第1个图形中的一些圆圈被直线分层隔开,第1层有 1个圆圈,第2层有3个圆圈,第3层有5个圆圈……如果 要你继续画下去,第6层有________个圆圈,第n层有 ________个圆圈.  (2)对比下面的两个图形,感受图形的转化,数图形中的圆圈个数可以有多种不同的方法.比如:前两层的圆圈个数和为(1+3)或22,由此得,1+3=22.据此总结规律,从1开始的n个连续奇数之和是多少?用含n的代数式把它表示出来:________.  (3)运用(2)中的规律计算:41+43+45+…+199. 【解析】(1)由题知, 第1层的圆圈个数为1=2×1-1; 第2层的圆圈个数为3=2×2-1; 第3层的圆圈个数为5=2×3-1; …, 所以第n层的圆圈个数为(2n-1), 当n=6时,2n-1=2×6-1=11(个), 即第6层的圆圈个数为11. 答案:11　(2n-1) (2)因为1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42, … 所以1+3+5+…+2n-1=n2. 答案:n2 (3)由(2)的发现可知,原式=1+3+5+…+199-(1+3+5+…+39)=1002-202=10 000-400 =9 600. 谢谢大家欣赏 $$