1.3两条直线平行和垂直的判定【6大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）

1.3两条直线平行和垂直的判定 【考点归纳】 · 考点一：由斜率判断两条直线平行 · 考点二：由斜率判断两条直线垂直 · 考点三：已知直线平行求参数 · 考点四：已知直线垂直求参数 · 考点五：直线平行、垂直在几何中的应用 · 考点六：直线平行与垂直的综合问题 【知识梳理】 知识点一：两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 知识点二：两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【题型探究】 题型一：由斜率判断两条直线平行 1．（23-24高二上·河南·期中）“”是“直线和直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（22-23高二上·北京·期中）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；    ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则， 其中正确命题的个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二下·江苏南京·期末）“”是“两条直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 题型二：由斜率判断两条直线垂直 4．（23-24高二上·江苏淮安）直线：，：，则“或”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．（21-22高二上·吉林松原·期中）下列方程所表示的直线中，一定相互垂直的一对是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 6．（20-21高二下·浙江宁波·期末）已知直线：，：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型三：已知直线平行求参数 7．（23-24高二下·山西长治）已知直线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线与直线平行，则m的值为（    ） A．4 B．9 C． D． 9．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知两条不重合的直线和．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．或1 题型四：已知直线垂直求参数 10．（23-24高二下·湖北·期中）已知点，若直线与直线垂直，则实数（    ） A． B．2 C．3 D．4 11．（24-25高二上·浙江宁波·期中）直线和直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（24-25高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知，，直线和垂直，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型五：直线平行、垂直在几何中的应用 13．（21-22高二上·重庆沙坪坝）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A（4，0），B（0，2），且AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为（　 　） A．2x+y﹣3＝0 B．2x﹣y﹣3＝0 C．x﹣2y+3＝0 D．x﹣2y﹣3＝0 14．（20-21高一下·贵州铜仁·期末）已知的顶点坐标为. (1)试判断的形状： (2)求边上的高所在直线的方程. 15．（23-24高二上·福建厦门·期中）如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.    (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 题型六：直线平行与垂直的综合问题 16．（23-24高二上·江西九江·期末） （1）直线与直线平行，求的值； （2）直线与直线垂直，求的值. 17．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点. (1)求边所在直线的方程； (2)求对角线所在直线的方程. 18．（23-24高二上·广东广州·期中）已知分别过定点的直线，与轴交于点 (1)若为中，边上的高所在直线，求边上的中线所在直线方程； (2)若为中，边上的中线所在直线，求边上的高所在直线方程． 【高分演练】 一、单选题 19．（23-24高二上·新疆·期末）直线与平行，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 20．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 21．（23-24高二下·河南·开学考试）已知直线，䒴，，则（    ） A．或 B． C．或 D． 22．（23-24高二上·湖北武汉·期末）张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，点与点重合，则（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高二上·北京·期中）“”是“直线与直线互相垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 24．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）已知，，直线：，：，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 25．（23-24高二上·湖南邵阳·期中）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．直线在轴上的截距为1 C．若直线，则 D．过与直线平行的直线方程是 26．（23-24高二上·福建泉州·期中）的三个顶点坐标为，，，下列说法中正确的是（    ） A．边与直线平行 B．边上的高所在的直线的方程为 C．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D．过点且平分面积的直线与边相交于点 二、多选题 27．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知直线与直线，下列说法正确的是（） A．当时，直线的倾斜角为 B．直线恒过点 C．若，则 D．若，则 28．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知直线与，则（    ） A．若，则两直线垂直 B．若两直线平行，则 C．直线恒过定点 D．直线在两坐标轴上的截距相等 29．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．若直线与直线平行，则 B．直线倾斜角的范围为 C．当时，直线与直线垂直 D．直线过定点 30．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 D．经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示． 三、填空题 31．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知，则直线：和直线：的位置关系为 ． 32．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）若两条直线，垂直，则 . 33．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知直线和垂直且，则的最小值为 . 34．（23-24高二上·天津武清·阶段练习）下列说法正确的是 ． ①直线（）必过定点 ②直线在y轴上的截距为4 ③直线的倾斜角为120° ④过点且垂直于直线的直线方程为 四、解答题 35．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 36．（23-24高二上·四川成都·期中）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 37．（23-24高二上·广东珠海·期末）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求AC边的垂直平分线 38．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知直线，直线，其中． (1)若直线经过点，且，求m，n； (2)若直线，当与之间的距离取最大值时，求直线的方程． 39．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知直线恒过定点且分别交轴､轴的正半轴于两点. (1)求过定点且与直线垂直的直线的方程； (2)求当面积最小时，直线的方程. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3两条直线平行和垂直的判定 【考点归纳】 · 考点一：由斜率判断两条直线平行 · 考点二：由斜率判断两条直线垂直 · 考点三：已知直线平行求参数 · 考点四：已知直线垂直求参数 · 考点五：直线平行、垂直在几何中的应用 · 考点六：直线平行与垂直的综合问题 【知识梳理】 知识点一：两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 知识点二：两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【题型探究】 题型一：由斜率判断两条直线平行 1．（23-24高二上·河南·期中）“”是“直线和直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据两直线平行的条件及充分条件、必要条件判断即可. 【详解】当时，，，两直线斜率都为且不重合，所以两直线平行； 当两直线平行时，由，即，解得， 经检验时，两直线平行，故. 综上可知，“”是“直线和直线平行”的充要条件. 故选：C 2．（22-23高二上·北京·期中）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；    ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则， 其中正确命题的个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据两条直线平行的判定方法与结论即可判断． 【详解】由于与为两条不重合的直线且斜率分别为，，所以，故①②正确； 由于与为两条不重合的直线且倾斜角分别为，，所以，故③④正确， 所以正确的命题个数是4． 故选：D． 3．（23-24高二下·江苏南京·期末）“”是“两条直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线平行的等价条件求出，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】因为两条直线平行， 所以直线斜率相等或斜率不存在， 当两直线斜率不存在时，即，两直线为，成立； 当两直线斜率存在时，即，解得，两直线为成立， 综上或. 所以“”是“两条直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】 题型二：由斜率判断两条直线垂直 4．（23-24高二上·江苏淮安）直线：，：，则“或”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】由充分条件和必要条件的定义 【详解】当时，直线：，：，两直线倾斜角分别为和，； 当时，直线的斜率为，的斜率为9，，. 充分性成立， 直线：，：，若， 则有，解得或. 必要性成立. 所以“或”是“”的充要条件. 故选：C 5．（21-22高二上·吉林松原·期中）下列方程所表示的直线中，一定相互垂直的一对是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】两直线一条斜率为零，一条斜率不存在，此时它们垂直；或者两直线斜率均存在且不为零，斜率之积为－1，则它们垂直.据此即可求解. 【详解】A：a＝0时，两直线分别为：，此时它们垂直；当a≠0时，它们斜率之积为，则它们不垂直；故两条直线不一定垂直； B：两直线斜率之积为：，故两直线垂直； C：两直线斜率之积为：，故两直线不垂直； D：两直线斜率之积为：，故两条直线不垂直； 故选：B. 6．（20-21高二下·浙江宁波·期末）已知直线：，：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据两直线垂直时斜率的关系，结合充分、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】当时，直线：， 因为，所以，充分性成立， 当时，因为直线的斜率存在，且不为0， 所以，解得，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 题型三：已知直线平行求参数 7．（23-24高二下·山西长治）已知直线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两直线平行列式计算即可. 【详解】由题意可知，，所以，且. 故选：B. 8．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线与直线平行，则m的值为（    ） A．4 B．9 C． D． 【答案】A 【分析】由直线 和 互相平行列式求参即可. 【详解】因为直线 和 互相平行，且两直线的斜率一定存在， 所以 即 ，所以 . 故选：A 9．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知两条不重合的直线和．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．或1 【答案】B 【分析】 根据平行可解得实数，验证可得正确的选项. 【详解】因为，故，故或， 当时，的方程均为，它们重合，故舍去； 当时，，，它们平行， 故选：B. 题型四：已知直线垂直求参数 10．（23-24高二下·湖北·期中）已知点，若直线与直线垂直，则实数（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据垂直直线的斜率关系，结合斜率公式即可求解. 【详解】直线的斜率为：， 因为直线与直线垂直， 所以，解得：. 故选：B. 11．（24-25高二上·浙江宁波·期中）直线和直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由题意先求出的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由题设， 解得或. 故，. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 12．（24-25高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知，，直线和垂直，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意利用两直线垂直的性质，求得，再利用基本不等式，求得的最小值． 【详解】，，直线，，且， ，即． 则，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为8， 故选：B． 题型五：直线平行、垂直在几何中的应用 13．（21-22高二上·重庆沙坪坝）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A（4，0），B（0，2），且AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为（　 　） A．2x+y﹣3＝0 B．2x﹣y﹣3＝0 C．x﹣2y+3＝0 D．x﹣2y﹣3＝0 【答案】B 【分析】先由A（4，0），B（0，2）求出线段AB的垂直平分线，再由AC＝BC判断出其即为△ABC的欧拉线. 【详解】因为A（4，0），B（0，2）， 所以线段AB的中点为（2，1）， 所以线段AB的垂直平分线为：y＝2（x﹣2）+1，即2x﹣y﹣3＝0， ∵AC＝BC，∴三角形的外心、重心、垂心依次位于AB的垂直平分线上， 因此△ABC的欧拉线方程为2x﹣y﹣3＝0. 故选：B. 14．（20-21高一下·贵州铜仁·期末）已知的顶点坐标为. (1)试判断的形状： (2)求边上的高所在直线的方程. 【答案】(1)直角三角形 (2) 【分析】（1）求出，得到，故得到垂直关系，得到三角形形状； （2）由得到边上高线所在直线的斜率，进而由点斜式求出直线方程，得到答案. 【详解】（1），， ， ，又，， 为直角三角形 （2）因为， 所以边上高线所在直线的斜率为, 直线的方程是，即 15．（23-24高二上·福建厦门·期中）如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.    (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出线段中点坐标，再利用平行四边形的性质得为线段中点，从而利用中点坐标公式列方程组求解即可； （2）通过直线垂直求出高线的斜率，代入点斜式直线公式求解即可. 【详解】（1）设线段中点为，则点坐标为， 设点坐标为，由平行四边形性质得为线段中点，有， 解得，所以；    （2）因为直线的斜率为， 所以边上的高线所在直线的斜率为， 又，故边上的高线所在直线的方程为， 即为. 题型六：直线平行与垂直的综合问题 16．（23-24高二上·江西九江·期末） （1）直线与直线平行，求的值； （2）直线与直线垂直，求的值. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）根据两直线平行的充要条件计算即可； （2）根据两直线垂直的充要条件计算即可. 【详解】（1）因为直线与直线平行， 所以，解得， 经检验，当时，两直线重合， 所以； （2）因为直线与直线垂直， 所以，解得或. 17．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点. (1)求边所在直线的方程； (2)求对角线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据菱形的性质得；再根据相互平行直线斜率相等及斜率公式计算；最后利用点斜式方程即可解答. （2）先求出线段的中点坐标及；再根据菱形性质、相互垂直直线斜率之间关系及点斜式方程即可解答. 【详解】（1） 由菱形的性质可知:. 边所在直线过点，点坐标为， 则. 又点坐标为， 边所在直线的方程为，即. 所以边所在直线的方程为. （2）， 线段的中点为，且. 由菱形的几何性质可知：且为的中点. 则. 所以对角线所在直线的方程为， 即. 所以对角线所在直线的方程为：. 18．（23-24高二上·广东广州·期中）已知分别过定点的直线，与轴交于点 (1)若为中，边上的高所在直线，求边上的中线所在直线方程； (2)若为中，边上的中线所在直线，求边上的高所在直线方程． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）先求出，，再由为边上的高所在直线，所以，求出，再由点斜式方程求解即可； （2）由为边上的中线所在直线，求出，再由点斜式方程求解即可； 【详解】（1）由可得直线恒过定点， 由可得：， 则，则直线恒过定点， 令中，所以，所以， 因为为边上的高所在直线，所以，解得：. 所以，，所以的中点为，又因为， 所以边上的中线所在直线方程为：，即. （2）为边上的中线所在直线，因为，， 所以的中点为，即， 因为在上，所以，解得：， 解得：或， 当时，，，，， 所以边上的高所在直线方程为：，化简可得：， 当时，，，，， 所以边上的高所在直线方程为：，化简可得：， 所以边上的高所在直线方程为或. 【高分演练】 一、单选题 19．（23-24高二上·新疆·期末）直线与平行，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由两直线平行得斜率相等且截距不等，即可得解. 【详解】直线与平行，且的斜率为2， 它们在轴上的截距不相等，且直线的斜率也为2， 即. 故选：D. 20．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】当时可得，即；当时可得，结合充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】当时，， 即，则，即； 当时，，解得. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 21．（23-24高二下·河南·开学考试）已知直线，䒴，，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由两直线平行和垂直的条件，列方程求解. 【详解】已知直线， 由，得，且，解得， 由，得，故. 故选：B. 22．（23-24高二上·湖北武汉·期末）张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，点与点重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质，可知直线与过点，的直线平行，且斜率都存在，则由斜率相等列出式子即可. 【详解】设，，则点，所在直线的斜率为， 由题意知，过点，的直线与直线平行， 所以，整理得：. 故选：B 23．（23-24高二上·北京·期中）“”是“直线与直线互相垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线垂直的判定分析判断即可. 【详解】当直线与直线互相垂直时， ，得，解得或， 所以当时，直线与直线互相垂直， 而当直线与直线互相垂直时，或， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件， 故选：A 24．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）已知，，直线：，：，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】利用直线垂直的性质与基本不等式可求最小值. 【详解】因为，故即， 故，当且仅当时等号成立， 故的最小值为， 故选：C. 25．（23-24高二上·湖南邵阳·期中）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．直线在轴上的截距为1 C．若直线，则 D．过与直线平行的直线方程是 【答案】D 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可判断A，根据截距的定义即可判断B，根据垂直和平行满足的关系即可判断CD. 【详解】直线变为， 对于A，直线的斜率为，所以倾斜角为，A错误， 对于B，令，则，所以x轴上的截距为，B错误， 对于C，的斜截式方程为，斜率为，由于，所以不垂直，故C错误， 对于D，直线的斜率为，所以过与直线平行的直线方程是，即为，故D正确， 故选：D 26．（23-24高二上·福建泉州·期中）的三个顶点坐标为，，，下列说法中正确的是（    ） A．边与直线平行 B．边上的高所在的直线的方程为 C．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D．过点且平分面积的直线与边相交于点 【答案】B 【分析】求出，即可判断A，利用点斜式求出边上的高的方程，即可判断B，分过原点和不过原点两种情况讨论即可判断C，求出边的中点坐标，即可判断D. 【详解】因为，，， 所以直线的斜率，而直线的斜率为，两直线不平行，故A错误； 边上高所在直线斜率为，直线方程为，即，故B正确； 过且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为，过原点时方程为，故C错误； 过点且平分面积的直线过边中点，而的中点坐标为，故D错误． 故选：B． 二、多选题 27．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知直线与直线，下列说法正确的是（） A．当时，直线的倾斜角为 B．直线恒过点 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系判断A，利用直线过定点的求解判断B，利用直线平行与垂直的性质判断CD，从而得解. 【详解】A中，当时，直线的斜率，设其倾斜角为， 所以，则，所以A不正确； B中，直线，整理可得， 令，可得， 即直线恒过定点，所以B正确； C中，当时，两条直线方程分别为：， 则两条直线重合，所以C不正确； D中，当时，两条直线方程分别为：， 显然两条直线垂直，所以D正确. 故选：BD. 28．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知直线与，则（    ） A．若，则两直线垂直 B．若两直线平行，则 C．直线恒过定点 D．直线在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC 【分析】由，判断A；由平行关系求出，判定B；由直线的点斜式方程判断C；求出截距判断D. 【详解】当时，， ，则，所以两直线垂直，A正确； 若两直线平行，则，解得， 经检验，当时，两直线平行，B错误； 由，即， 所以直线恒过定点，C正确； 由，与两坐标轴的截距分别为，不相等，D错误. 故选：AC 29．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．若直线与直线平行，则 B．直线倾斜角的范围为 C．当时，直线与直线垂直 D．直线过定点 【答案】BC 【分析】选项A，由两直线斜率都存在，利用斜率相等且截距不等求解即可；选项B，由斜率与倾斜角关系，先求斜率范围再得倾斜角范围；选项C，利用斜率关系可得；选项D，令求解可得. 【详解】选项A，存在斜率， 直线方程可化为：， 直线也存在斜率，方程可化为， 由，则两直线平行的充要条件为， 即解得或，故A错误； 选项B，由直线的斜率， 则倾斜角的范围为，故B正确； 选项C，当时，直线，斜率为， 又直线的斜率为，则两直线斜率之积为，故两直线垂直，C正确； 选项D，，令，得， 故直线过定点，不过，D错误. 故选：BC. 30．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 D．经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示． 【答案】AD 【分析】对于A：根据可求倾斜角的取值范围；对于B：根据两直线垂直的条件求出的值即可判断；对于C：分截距是否为0两种情况求解可判断；对于D：对斜率为0、斜率不存在特殊情况讨论可以确定所求直线均可用表示. 【详解】对于A：直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故A正确. 对于B：当时，直线与直线斜率分别为，斜率之积为，故两直线相互垂直，所以充分性成立， 若“直线与直线互相垂直”，则， 故或，所以得不到，故必要性不成立，故B错误. 对于C：截距为0时，设直线方程为，又直线过点， 所以可得，所以直线方程为， 当截距不为0时，调直线方程为，又直线过点， 所以可得，所以直线方程为， 所以过点且在轴，轴截距相等的直线方程为或，故C错误； .对于D：经过平面内任意相异两点的直线： 当斜率等于0时，，方程为，能用方程表示； 当斜率不存在时，，方程为，能用方程表示； 当斜率不为0且斜率存在时，直线方程为， 也能用方程表示，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 31．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知，则直线：和直线：的位置关系为 ． 【答案】垂直或重合 【分析】求出值，再代入方程并确定位置关系即得. 【详解】由，得或， 当时，：，：，，， 显然，所以直线与垂直； 当时，：，：，所以直线与重合． 故答案为：垂直或重合 32．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）若两条直线，垂直，则 . 【答案】 【分析】由题意可得出，解方程即可得出答案. 【详解】因为两条直线，垂直， 所以，所以，解得：. 故答案为：. 33．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知直线和垂直且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据直线垂直得到方程，求出，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由题意得，故， 因为，由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 34．（23-24高二上·天津武清·阶段练习）下列说法正确的是 ． ①直线（）必过定点 ②直线在y轴上的截距为4 ③直线的倾斜角为120° ④过点且垂直于直线的直线方程为 【答案】①③④ 【分析】①③由直线方程直接确定定点坐标、斜率，进而得倾斜角判断正误；②令求截距；④根据垂直关系，应用点斜式写出直线方程. 【详解】①直线，过定点，对； ②令，则，故在y轴上的截距为，错； ③由，即斜率为，结合倾斜角与斜率关系及其范围可得倾斜角为120°，对； ④过点且垂直于直线的直线方程为，即，对. 故答案为：①③④ 四、解答题 35．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，求出参数的值，再代入检验； （2）根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可. 【详解】（1）因为，所以， 整理得，即， 解得或． 当时，，此时与重合，不符合题意； 当时，，符合题意． 故． （2）因为，所以， 解得． 36．（23-24高二上·四川成都·期中）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由条件结合中点坐标公式求的坐标，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可； （2）根据垂直直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可. 【详解】（1）因为是边的中点，所以， 所以直线的斜率， 所以所在直线的方程为：，即， （2）因为是边AB的中点，所以， 因为是边上的高， 所以，所以， 所以， 因此高所在直线的方程为：，即.    37．（23-24高二上·广东珠海·期末）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求AC边的垂直平分线 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出中点，则可得到中线的直线方程； （2）根据直线垂直得到高的斜率，则得到边上的高的直线方程； （3）求出AC的中点，再根据斜率垂直则得到斜率，即可得到直线方程. 【详解】（1），，由中点坐标公式得中点为， 又，由直线方程的两点式得边上的中线的直线方程为， 整理得：. （2），，则，所以边上的高的直线的斜率为， 又，则边上的高的直线方程为， 整理得：． （3）因为，，则其中点坐标为， 而，则AC边的垂直平分线的斜率为1，其方程为：， 即. 38．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知直线，直线，其中． (1)若直线经过点，且，求m，n； (2)若直线，当与之间的距离取最大值时，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用点在直线上，求出再利用两直线垂直的充要条件求出即可； （2）与之间的距离的最大值问题转化为两直线定点间的距离进行求解即可. 【详解】（1）因为直线经过点，将点代入直线的方程可得，解得， 又因为，所以，解得． 综上所述，． （2）根据题意，直线过定点，直线过定点． 因为，所以与之间的距离 当时，与之间的距离取得最大值． 此时， 又因为直线AB的斜率，直线的斜率为， 所以，解得， 所以直线的方程为． 39．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知直线恒过定点且分别交轴､轴的正半轴于两点. (1)求过定点且与直线垂直的直线的方程； (2)求当面积最小时，直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由已知直线确定其所过定点，再由垂直关系确定斜率，应用点斜式写出所求直线； （2）设直线的方程为，应用基本不等式及面积公式求最小面积对应参数值，即可得直线方程. 【详解】（1）直线，则， 由，得，故直线恒过定点. 又直线与直线垂直，故， 所以直线的方程为，即. （2）设直线的方程为，则， 又，即，当且仅当时取等号，. 当面积最小时，直线的方程为，即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$