第1章 预备知识 单元巩固卷（集合+逻辑+不等式）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第一册）

第1章 预备知识 单元巩固卷 时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则　　 A．， B．， C．， D． 2．下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是　　 A．， B．每个等腰三角形都有内切圆 C．， D．存在一个正整数，它既是偶数又是质数 3．“”是“”的　　条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4．已知关于的不等式恰有四个整数解，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C．，， D．，， 5．条件，条件，若是的充分条件，则的最小值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 6．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为　　 A．，， B．，， C． D． 7．对于实数，规定表示不大于的最大整数，那么不等式成立的充分不必要条件是　　 A． B．， C．， D．， 8．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为　　 A．2 B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分。 9．下列命题中，正确的有（　　） A．集合{1，2}的所有真子集为{1}，{2} B．若{1，a}＝{2，b}（其中a，b∈R），则a+b＝3 C．{x|x是菱形}⊆{x|x是平行四边形} D．{x|x＝3k，k∈N}⊆{x|x＝6z，z∈N} 10．下面的结论中正确的是　　 A．若，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，则 11．下列几种说法中，正确的是　　 A．若，则的最小值是4 B．命题“，”的否定是“，” C．若不等式的解集是，则的解集是 D．“，”是“不等式对一切都成立”的充要条件 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，0，2，，，若，则的最小值为 　 　． 13．已知函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围为　 　． 14．若对，关于的不等式恒成立，则整数的最小值为 　 　． 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知集合，，． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 16．（15分）已知关于的不等式． （1）当，时，求不等式的解集； （2）若不等式仅有一个解，求的最小值． 17．（15分）已知命题，，命题． （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件，求的取值范围． 18．（17分）已知函数． （1）当时，解不等式； （2）若不等式的解集为，若，，求的取值范围． 19．（17分）对任意正整数，记集合，，，，，，均为非负整数，且，集合，，，，，，均为非负整数，且．设，，，，，，，，若对任意，2，，都有，则记． （Ⅰ）写出集合和； （Ⅱ）证明：对任意，存在，使得； （Ⅲ）设集合，，，求证：中的元素个数是完全平方数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 预备知识 单元巩固卷 时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则　　 A．， B．， C．， D． 【答案】 【分析】由交集的定义直接求解即可． 【解答】解：，，则，． 故选：． 2．下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是　　 A．， B．每个等腰三角形都有内切圆 C．， D．存在一个正整数，它既是偶数又是质数 【答案】 【分析】由量词的情况判断；再判断命题的真假即可判断． 【解答】解：与均为全称量词命题，与均为存在量词命题，错误； 因为，，则“，”是假命题，错误； 正整数2既是偶数又是质数，则“存在一个正整数，它既是偶数又是质数”是真命题，正确． 故选：． 3．“”是“”的　　条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】 【分析】根据题意，化简不等式，然后根据包含关系，结合充分、必要条件的定义得出结论． 【解答】解：由，解得；由，解得． 因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：． 4．已知关于的不等式恰有四个整数解，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C．，， D．，， 【答案】 【分析】不等式化为，讨论和，求出不等式的解集，根据不等式的解集中恰有4个整数求出的取值范围． 【解答】解：关于的不等式可化为， 当时，解不等式得；当时，解不等式得； 因为不等式的解集中恰有4个整数， 所以时，不等式的整数解是2、3、4、5，的取值范围是； 时，不等式的整数解是、、和0，的取值范围是； 综上知，的取值范围是，，． 故选：． 5．条件，条件，若是的充分条件，则的最小值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】条件，可得：．条件，根据是的充分条件，则，，即可得出． 【解答】解：条件，可得：．条件， 若是的充分条件，则，， ，． 则的最小值为3． 故选：． 6．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为　　 A．，， B．，， C． D． 【答案】 【分析】由题意可得且，将转化为，即可求解． 【解答】解：因为关于的不等式的解集是， 所以，得且， 所以不等式等价于， 解得或， 所以不等式的解集为，，． 故选：． 7．对于实数，规定表示不大于的最大整数，那么不等式成立的充分不必要条件是　　 A． B．， C．， D．， 【答案】 【分析】，解得．进而判断出结论． 【解答】解：，解得． ，时，得． 可得：，时是不等式成立的充分不必要条件． 经过验证不满足条件． 故选：． 8．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为　　 A．2 B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意设，，由一次函数以及不等式分析得时，，变形后代入，然后利用基本不等式求解． 【解答】解：设，， 因为，所以当时，； 当时，； 当时，； 由不等式恒成立，得：或， 即当时，恒成立， 当时，恒成立， 所以当时，，则，即， 则当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 故选：． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分。 9．下列命题中，正确的有（　　） A．集合{1，2}的所有真子集为{1}，{2} B．若{1，a}＝{2，b}（其中a，b∈R），则a+b＝3 C．{x|x是菱形}⊆{x|x是平行四边形} D．{x|x＝3k，k∈N}⊆{x|x＝6z，z∈N} 【答案】BC 【分析】根据集合间的关系判断各个选项． 【解答】解：集合{1，2}真子集是∅，{1}，{2}共3个，所以A错误； 由{1，a}＝{2，b}，知a＝2，b＝1，则a+b＝3，则B正确； 菱形是特殊的平行四边形，所以C正确； {x|x＝6z＝3×（2z），z∈N}，所以{x|x＝6z，z∈N}⊆{x|x＝3k，k∈N}，所以D错误． 故选：BC． 10．下面的结论中正确的是　　 A．若，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，则 【答案】 【分析】利用不等式的性质及基本不等式计算即可． 【解答】解：因为，所以，则，故正确； 不妨令，，，则，故错误； ， 则， 当且仅当时取得等号，所以，故正确； 易知，当且仅当时取得等号， 所以，则， 当且仅当时，等号成立，故正确． 故选：． 11．下列几种说法中，正确的是　　 A．若，则的最小值是4 B．命题“，”的否定是“，” C．若不等式的解集是，则的解集是 D．“，”是“不等式对一切都成立”的充要条件 【答案】 【分析】中，由基本不等式的充要条件，判断出的真假；中，由命题的否定，判断出的真假；中，由不等式的解集，可得方程的根，进而求出，的值，再求不等式的解集，判断出的真假；中，求出不等式恒成立的充要条件，可得的范围，判断出的真假． 【解答】解：中，若，即，只有当，，可得，可得的最小值是4，所以不正确； 中，命题“，”的否定是“，”，所以正确； 中，不等式的解集是，则，3为方程的根， 所以，解得，， 所以不等式为，解得，即不等式的解集是，所以正确； 中，要使不等式对一切都成立， 则当时，不等式为，显然成立， 当时，满足条件的为，解得， 综上所述，不等式对一切都成立的充要条件为，，所以正确． 故选：． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，0，2，，，若，则的最小值为 　5　． 【分析】由可得，解出集合后结合集合的关系计算即可得． 【解答】解：由，故， 由，得， 故有，即，即， 即的最小值为5． 故答案为：5． 13．已知函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围为　，　． 【分析】利用二次函数的性质可得，由此求得的范围． 【解答】解：二次函数的图象开口向上， 对于任意，，都有成立，， 即，解得， 故答案为：，． 14．若对，关于的不等式恒成立，则整数的最小值为 　2　． 【答案】2． 【分析】利用分离常数法可得在上恒成立，构造函数，结合函数的单调性及零点判定定理即可求解． 【解答】解：对，关于的不等式恒成立， 可得，在上恒成立， 因为， 所以在上恒成立， 令，， 则，令，， 则恒成立，故在上单调递增， 因为 ，（1）， 所以，使得， 所以当时，，，函数单调递增， 当，时，，，函数单调递减， 所以， 所以，即整数的最小值2． 故答案为：2． 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知集合，，． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据已知条件，解出分式不等式即可． （2）根据已知条件，分是否为空集讨论，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得，解得，则； （2）因为， 当时，，解得，满足题意； 当时，因为，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围为． 16．（15分）已知关于的不等式． （1）当，时，求不等式的解集； （2）若不等式仅有一个解，求的最小值． 【答案】（1）； （2）9． 【分析】（1）根据题意，把，代入，解不等式即可； （2）根据条件利用根的判别式列式，化简可得，且，再利用基本不等式算出的最小值． 【解答】解：（1）当，时，不等式可化为，即， 整理得，解得，即不等式的解集为； （2）若不等式仅有一个解，则， 即，，由，两边除以得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为9． 17．（15分）已知命题，，命题． （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】（1）或； （2）． 【分析】（1）讨论和时，利用判别式△求出的取值范围． （2）分别求出命题为真和命题为真时的取值集合，利用必要不充分条件列不等式求出的取值范围． 【解答】解：（1）时，方程化为，不存在使方程成立； 时，一元二次方程有实数解，所以判别式△，即，解不等式得或； 所以的取值范围是，． （2）若命题为真，则，即， 因为，所以，即，当且仅当时等号成立． 设命题为真时的取值集合为，命题为真时的取值集合为， 因为命题为真是命题为真的必要不充分条件，所以是的真子集， 所以，解得， 所以的取值范围是． 18．（17分）已知函数． （1）当时，解不等式； （2）若不等式的解集为，若，，求的取值范围． 【答案】（1）时，不等式的解集为，； 时，不等式的解集为，，； 时，不等式的解集为，． （2），． 【分析】（1）分，和三种情况讨论，从而求出不等式的解集； （2）根据题意得出对任意的，，不等式恒成立，转化为不等式恒成立，再构造函数，求出函数的最大值即可． 【解答】解：（1）因为函数，所以不等式可化为，即； ①当时，即时，不等式为，解得； ②当时，即时，不等式为，因为，所以解不等式得，或； ③当时，即时，不等式为， 因为，所以，所以，解不等式得； 综上知，时，不等式的解集为，； 时，不等式的解集为，，； 时，不等式的解集为，． （2）因为不等式的解集为，且，， 所以对任意的，，不等式恒成立，即恒成立， 因为恒成立，所以恒成立， 设，，，则，所以， 因为，当且仅当，即时取“”， 所以，当且仅当时取“”， 所以当时，的最大值为， 所以的取值范围是，． 19．（17分）对任意正整数，记集合，，，，，，均为非负整数，且，集合，，，，，，均为非负整数，且．设，，，，，，，，若对任意，2，，都有，则记． （Ⅰ）写出集合和； （Ⅱ）证明：对任意，存在，使得； （Ⅲ）设集合，，，求证：中的元素个数是完全平方数． 【答案】（Ⅰ），，， ，，，，； （Ⅱ）证明见解答； （Ⅲ）证明见解答． 【分析】（Ⅰ）根据已知即可求出集合和； （Ⅱ）对任意，，，，设，2，3，，，令，，，，可得，即可得证； （Ⅲ）设集合中的元素个数为，设，，，，设集合，，2，，，，2，，，推导出，，从而可得．由集合中的元素个数为，即可得证． 【解答】 解：（Ⅰ），，，，，，，． （Ⅱ）对任意，，，，设，2，3，，， 则，，，均为非负整数，且，2，3，，． 令，，，，则， 所以，且． （Ⅲ）对任意，，，，，，，， 记，，，， 则，，，均为非负整数， 且， 所以，且，． 设集合中的元素个数为，设，，，． 设集合，，2，，，，2，，． 对任意，2，，，都有，，，， 且，，2，，． 所以． 若，其中，，，，，，，， 设，2，，，因为，所以， 记，，，，则 ， 所以，并且有，所以，所以． 所以． 因为集合中的元素个数为， 所以中的元素个数为，是完全平方数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$