第二十一章 一元二次方程（B卷·培优卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（人教版，江西专用）

第二十一章一元二次方程（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．关于x的方程x²＋mx＋6＝0的一个根为－2，则另一个根是（　　） A．－3 B．－6 C．3 D．6 【答案】A 【解析】解：设方程的另一根为， 又， 根据根与系数的关系可得：， 解得：，． 故答案为：A． 2．关于x的方程 是一元二次方程，则它的一次项系数是（　　） A．－1 B．1 C．3 D．3或－1 【答案】B 【解析】解：由题意得：m2-2m-1=2，m-3≠0， 解得m=-1或m=3． m=3不符合题意，舍去， 所以它的一次项系数-m=1． 故答案为：B． 3．据兰州市旅游局最新统计，2014年春节黄金周期间，兰州市旅游收入约为11.3亿元，而2012年春节黄金周期间，兰州市旅游收入约为8.2亿元．假设这两年兰州市旅游收入的平均增长率为x，根据题意，所列方程为（　　） A．11.3（1﹣x%）2=8.2 B．11.3（1﹣x）2=8.2 C．8.2（1+x%）2=11.3 D．8.2（1+x）2=11.3 【答案】D 【解析】解：设这两年兰州市旅游收入的平均增长率为x， 由题意得，8.2（1+x）2=11.3． 故选D． 4．等腰三角形的两条边是方程x2-13x+36=0的两根，则这个三角形的周长是（　　） A．17 B．22 C．13 D．17或22 【答案】B 【解析】把方程左边利用十字相乘法分解因式，根据两数积为0，两数至少有一个为0化为两个一元一次方程，分别求出两方程的解得到原方程的解为4或9，然后根据4为腰，4为底边分两种情况考虑，分别根据三角形的边角关系判断满足题意的底边和腰，进而求出三角形的周长． x2-13x+36=0， 因式分解得：（x-4)（x-9)=0， 可得：x-4=0或x-9=0， 解得：x1=4，x2=9， 若4为腰，9为底边，由4+4＜9，得到三边不能构成三角形，故4不能为腰； 若4为底边，9为腰，三角形三边分别为4，9，9，此时三角形周长为4+9+9=22． 故选B 5．已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是(　　) A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】解：根据条件知： ∴ 即，同时=0 解得m=3 故选A 6．已知关于x的一元二次方程 与 ，下列判断错误的是（　　） A．若方程 有两个实数根，则方程 也有两个实数根； B．如果m是方程 的一个根，那么 是 的一个根； C．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1； D．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1或-1. 【答案】C 【解析】解：A．∵方程ax2+bx+c=0有两个实数根，∴△1=b2﹣4ac≥0． ∵△2=b2﹣4ac≥0，∴方程cx2+bx+a=0也有两个实数根，不符合题意； B．∵m是方程ax2+bx+c=0的一个根，∴am2+bm+c=0，∴ ，∴ 是cx2+bx+a=0的一个根，故不符合题意； C．由题意知，a≠c，设相等的根是m，则am2+bm+c=0①，cm2+bm+a=0②，①﹣②得am2﹣cm2+c﹣a=0，整理得：（a﹣c）（m2﹣1）=0． ∵a≠c，∴m2﹣1=0，∴m=±1，故C符合题意，D不符合题意． 故答案为：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则代数式x12+3x1+x2＝　 　． 【答案】1 【解析】∵x1，x2是方程x2+2x-3=0的两个根， ∴x12+2x1-3=0，即x12+2x1=3，x1+x2=-2， 则x12+3x1+x2 =x12+2x1+x1+x2 =3-2 =1. 故答案是：1． 8．若一元二次方程x2+2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第　 　象限． 【答案】一 解:由已知得:△=b2-4ac=22-4x1x(-m)=4+4m<0, 解得:m<-1. ∵一次函数y=(m+1)x+m-1中，k=m+1<0，b=m-1<0该一次函数图象在第二、三、四象限，不经过第一象限故答案为一. 9．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有　 　人. 【答案】10 【解析】解：设该群一共有x人，则每人收到（x﹣1）个红包， 依题意，得：x（x﹣1）＝90， 解得：x1＝10，x2＝﹣9（舍去）. 故答案为：10. 10．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是　 　． 【答案】 【解析】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根， 由公式法解一元二次方程可得， 根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是， 故答案为：． 11．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根，则▱ABCD的周长是　 　 【答案】 【解析】解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根， ∴（x﹣1）（x+3）=0， 即x=1或﹣3， ∵AE=EB=EC=a， ∴a=1， 在Rt△ABE中，AB==a=， ∴▱ABCD的周长=4a+2a=4+2． 故答案为： 12．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有　 　（填序号）． ①方程 是“倍根方程”； ②若 是“倍根方程”，则 ； ③若 满足 ，则关于x的方程 是“倍根方程”； ④若方程 是“倍根方程”，则必有 ． 【答案】②③④ 【解析】①解方程 ，得 ， ， 方程 不是“倍根方程”．故①不符合题意；② 是“倍根方程”，且 ， 因此 或 ． 当 时， ， 当 时， ， ，故②符合题意；③ ， ， ， ， 因此 是“倍根方程”，故③符合题意；④方程 的根为 ， 若 ，则 ， 即 ， ， ， ， ， ， 若 ，则 ， ， ， ， ， ．故④符合题意， 故答案为：②③④． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．解下列方程 （1）x2﹣6x﹣16＝0 （2）x（2x﹣5）＝4x﹣10 【答案】（1）；（2） 解：（1）（x+2）(x-8)=0 x+2=0,x-8=0 （2）2x2-9x+10=0 (2x-5)(x-2)=0 2x-5=0,x-2=0 14． （1）先化简，再求值：，其中满足 【答案】（1）；3；（2）；6 【解析】【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）先根据分式混合运算法则进行化简，然后解一元二次方程，求出x的值，再代入求值即可． 解：（1） ， 解方程得： ， ， ∵ ，x=2 ， ∴原式= 2-1=1 15． 若等腰△ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根，求△ABC的周长. 【答案】解： 为等腰三角形， 或者 之中有一个为 ， ①当 时， b，c的长度恰好是关于x的一元二次方程 x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根， ， 解得 ， 原方程为 ， 解得 ，即 ， ， 能构成三角形，该三角形的周长为 ， ②当 或 之中一个为 ，将 代入原方程，得， ， 解得 ， 原方程为 ， 解得 ， 能组成三角形， 该三角形的周长为 . 综上所述， 的周长为 或 . 16．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 （1）求的取值范围； （2）若此方程的两实数根满足，求的值 【答案】（1）；（2） 17．如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）． （1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB； （2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？ 【答案】（1）AB=-2x+44；（2）6；32 解:(1)AD+BC-2+AB-2=40，AD=BC=x AB=-2x+44; (2)由题意得-2x+44>x， 解得x< 由题意得(-2x+44)·x=192 即2x2-44x+192=0 解得=6，x2=16, ∵x2=16>44(舍去) AD=6. AB=-2x6+44=32 答:AD长为6米，AB长为32米 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．已知关于x的一元二次方程 . （1）请判断这个方程的根的情况，并说明理由； （2）若这个方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，求m的取值范围. 【答案】（1）解：依题意得： ， ∴方程 有两个实数根. （2）解：依题意得： ∴ ，即 ， . ∵方程的一个实根大于1，另一个实根小于0， ∴ ， ∴ . 19．为倡导积极健康的生活方式、丰富居民生活，区推出系列文化活动，其中的乒乓球比赛采用单循环赛制（即每两名参赛者之间都要进行一场比赛）经统计，此次乒乓球比赛男子组共要进行28场单打. （1）参加此次乒乓球男子单打比赛的选手有多少名？ （2）在系列文化活动中，社区与某旅行社合作组织“丰收节”采摘活动收费标准是：如果人数不超过20人，每人收费200元；如果超过20人，每增加1人，每人费用都减少5元经统计，社区共支付“采摘活动”费用4500元求参加此次“丰收节”采摘的人数. 【答案】（1）解：设参加此次乒乓球男子单打比赛的选手有x名， 根据题意，得： . 解得： ， （错误，舍去）； ∴参加此次乒乓球男子单打比赛的选手有8名. （2）解：设参加此次“丰收节”采摘的人数为y人， ∵ ， ∴ ； 根据题意，得 . 解得： . ∴参加此次“丰收节”采摘的人数为30人. 20．已知关于x的方程x2﹣（3k+3）x+2k2+4k+2＝0， （1）求证：无论k为何值，原方程都有实数根； （2）若该方程的两实数根x1、x2为一菱形的两条对角线之长，且x1x2+2x1+2x2＝36，求k值及该菱形的面积. 【答案】（1）证明：根据题意得：△＝[﹣（3k+3）]2﹣4（2k2+4k+2）＝（k+1）2. ∵无论k为何值，总有（k+1）2≥0， ∴无论k为何值，原方程都有实数根； （2）解：∵关于x的方程x2﹣（3k+3）x+2k2+4k+2＝0的两实数根是x1、x2， ∴x1+x2＝3k+3，x1x2＝2k2+4k+2， ∴由x1x2+2x1+2x2＝36，得2k2+4k+2+2（3k+3）＝36， 整理，得（k+7）（k﹣2）＝0. 解得k1＝﹣7（舍去），k2＝2. ∴ x1x2＝ ×2（k+1）2＝（2+1）2＝9. 即菱形的面积是9. 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得，100（1+x）2＝144， 解得x＝20%或x＝﹣2.2（舍去）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为m元， 由题意得（m﹣30）[600﹣10（m﹣40）]＝10000， 整理得m2﹣130m+4000＝0， 解得m＝50或m＝80， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴m＝50， ∴该品牌头盔的实际售价应定为50元． 22．阅读下面的材料，解答问题． 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： ①当时，原方程化为，解得，（舍去）； ②当时，原方程化为，解得，（舍去）． 综上所述，原方程的解是，． 请参照上述方法解方程． 【答案】解：①当 ，即 时， 原方程可化为 ，即 ， 分解因式得 ， 可得 或 ，解得 ， ． ②当 ，即 时， 原方程可化为 ，即 ， 分解因式得 ， 可得 或 ，解得 （舍去）， （舍去）， 则原方程的解为 ， ． 六、解答题（本大题共12分） 23．如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）． （1）求AB与BC的长； （2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为时运动时间t的值； （3）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】 （1）解：∵x2－7x＋12＝(x－3)(x－4)＝0 ∴ ＝3或 ＝4 . 则AB＝3，BC＝4 （2）解：由题意得   ∴ ， (舍去) 则t＝4时，AP＝ . （3）解：存在点P，使△CDP是等腰三角形. ①当 PC=CD ＝3时， t＝  ＝10(秒). ②当PD＝PC(即P为对角线AC中点)时，AB＝3，BC＝4. ∴AC＝  ＝5，CP1＝ AC＝2.5     ∴t＝  ＝9.5(秒) ③当PD＝CD＝3时，作DQ⊥AC于Q. ， ∴PC＝2PQ＝     ∴ (秒) 可知当t为10秒或9.5秒或 秒时，△CDP是等腰三角形 【考点】因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的性质，勾股定理，几何图形的动态问题 【解析】【分析】（1）利用十字相乘法，将方程的左边分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则这两个因式至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解，从而得出AB,BC的长； （2）根据路程等于速度乘以时间及线段的和差得出BP的长为（t-3），在Rt△ABP中，利用勾股定理建立方程，求解并检验即可； （3） 存在点P，使△CDP是等腰三角形. 首先根据勾股定理算出AC的长，然后根据路程等于速度乘以时间及线段的和差得出CP的长为（t-7），然后分 ①当PC＝CD＝3时 , ②当PD＝PC 时， ③当PD＝CD＝3时 三种情况一一列出方程，求解即可。 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章一元二次方程（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．关于x的方程x²＋mx＋6＝0的一个根为－2，则另一个根是（　　） A．－3 B．－6 C．3 D．6 2．关于x的方程 是一元二次方程，则它的一次项系数是（　　） A．－1 B．1 C．3 D．3或－1 3．据兰州市旅游局最新统计，2014年春节黄金周期间，兰州市旅游收入约为11.3亿元，而2012年春节黄金周期间，兰州市旅游收入约为8.2亿元．假设这两年兰州市旅游收入的平均增长率为x，根据题意，所列方程为（　　） A．11.3（1﹣x%）2=8.2 B．11.3（1﹣x）2=8.2 C．8.2（1+x%）2=11.3 D．8.2（1+x）2=11.3 4．等腰三角形的两条边是方程x2-13x+36=0的两根，则这个三角形的周长是（　　） A．17 B．22 C．13 D．17或22 5．已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是(　　) A． B． C．或 D．或 6．已知关于x的一元二次方程 与 ，下列判断错误的是（　　） A．若方程 有两个实数根，则方程 也有两个实数根； B．如果m是方程 的一个根，那么 是 的一个根； C．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1； D．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1或-1. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则代数式x12+3x1+x2＝　 　． 8．若一元二次方程x2+2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第　 　象限． 9．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有　 　人. 10．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是　 　． 11．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根，则▱ABCD的周长是　 　 12．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有　 　（填序号）． ①方程 是“倍根方程”； ②若 是“倍根方程”，则 ； ③若 满足 ，则关于x的方程 是“倍根方程”； ④若方程 是“倍根方程”，则必有 ． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．解下列方程 （1）x2﹣6x﹣16＝0 （2）x（2x﹣5）＝4x﹣10 14． （1）先化简，再求值：，其中满足 15． 若等腰△ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根，求△ABC的周长. 16．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 （1）求的取值范围； （2）若此方程的两实数根满足，求的值 17．如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）． （1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB； （2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．已知关于x的一元二次方程 . （1）请判断这个方程的根的情况，并说明理由； （2）若这个方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，求m的取值范围. 19．为倡导积极健康的生活方式、丰富居民生活，区推出系列文化活动，其中的乒乓球比赛采用单循环赛制（即每两名参赛者之间都要进行一场比赛）经统计，此次乒乓球比赛男子组共要进行28场单打. （1）参加此次乒乓球男子单打比赛的选手有多少名？ （2）在系列文化活动中，社区与某旅行社合作组织“丰收节”采摘活动收费标准是：如果人数不超过20人，每人收费200元；如果超过20人，每增加1人，每人费用都减少5元经统计，社区共支付“采摘活动”费用4500元求参加此次“丰收节”采摘的人数. 20．已知关于x的方程x2﹣（3k+3）x+2k2+4k+2＝0， （1）求证：无论k为何值，原方程都有实数根； （2）若该方程的两实数根x1、x2为一菱形的两条对角线之长，且x1x2+2x1+2x2＝36，求k值及该菱形的面积. 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 22．阅读下面的材料，解答问题． 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： ①当时，原方程化为，解得，（舍去）； ②当时，原方程化为，解得，（舍去）． 综上所述，原方程的解是，． 请参照上述方法解方程． 六、解答题（本大题共12分） 23．如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）． （1）求AB与BC的长； （2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为时运动时间t的值； （3）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$