第二十一章 一元二次方程（A卷·提升卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（人教版，江西专用）

第二十一章一元二次方程（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．下列方程，哪个是关于 的一元二次方程（　　） A． B． C． D． 2．方程的根的情况是（　　） A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．方程没有实数根 D．方程的根的情况与的取值有关 3．演讲比赛前，每个同学都与其他同学握手一次，表示问好，如果有x名同学参加演讲，握手总次数为435次，根据题意，求人数x可列出方程为：（　　） A．x（x-1）=435 B．x（x+1）=435 C．2x（x+1）=435 D． 4．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1.小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　） A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0 5．已知关于x的方程 的两实数根互为相反数，则k的值等于（　　） A． B．1 C．1或 D．0 6．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2＋2x－3=0的根，则▱ABCD的周长为（　　） A．4＋2 B．12＋6 C．2＋2 D．2＋ 或12＋6 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．一元二次方程x2+4x﹣3＝0的一次项系数、二次项系数、常数项的和是 　 　． 8．关于x的一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为　 　. 9．我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则可列方程　 　． 10．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x12+x22的值是　 　 11．已知三角形两边长分别是2和9，第三边的长为一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为　 　． 12．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则　 　． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．用合适的方法解下列方程 （1） （2）． 14． 已知关于的一元二次方程的一个根是，求的值及方程的另一个根． 15．已知关于x的一元二次方程 有两不相等的实数根． ①求m的取值范围． ②设x1，x2是方程的两根且 ，求m的值． 16．已知平行四边形ABCD的两邻边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx＋2＝0的两个实数根． （1）若AB＝2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？ （2）当m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长． 17．如图，在宽为20m，长为27m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为450m2，求道路的宽． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ∵ ∴ ∴的最小值是1． （1）求代数式的最小值； （2）为构建“五育并举”教育体系，某学校综合实践课程要在一块靠墙（墙长）的空地上建一个长方形的劳动田园，田园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设，请问：当x取何值时，田园的面积最大？最大面积是多少？ 19．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，. （1）若为正整数，求的值； （2）若，满足，求的值. 20．阅读与理解：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （2）已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．如图已知直线AC的函数解析式为y＝ x+8，点P从点A开始沿AO方向以1个单位/秒的速度运动，点Q从O点开始沿OC方向以2个单位/秒的速度运动．如果P、Q两点分别从点A、点O同时出发，经过多少秒后能使△POQ的面积为8个平方单位？ 22．已知△ABC的两边AB、AC的长恰好是关于x的方程x2＋(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边BC的长为5 （1）求证：AB≠AC （2）如果△ABC是以BC为斜边的直角三角形，求k的值 （3）填空：当k＝　 　时，△ABC是等腰三角形，△ABC的周长为　 　 6、 解答题（本大题共12分） 23．为迎接义乌市森博会，某商家计划从厂家采购A，B两种产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数.下表提供了部分采购数据. （1）设A产品的采购数量为x（件），采购单价为y1（元/件），求y1与x的关系式； （2）经商家与厂家协商，采购A产品的数量不少于B产品数量的 ，且A产品采购单价不低于1200元.求该商家共有几种进货方案； （3）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价售出A，B两种产品，且全部售完.在（2）的条件下，求采购A种产品多少件时总利润最大，并求最大利润. 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章一元二次方程（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．下列方程，哪个是关于 的一元二次方程（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A中a的值未知，故不符合题意； B是关于y的一元二次方程，故不符合题意‘ C是关于x的一元二次方程，故符合题意； D中最高次幂为1，故不符合要求； 故答案为：C. 2．方程的根的情况是（　　） A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．方程没有实数根 D．方程的根的情况与的取值有关 【答案】B 【解析】解：，，， ， 方程有两个不相等的实数根． 故答案为：B． 3．演讲比赛前，每个同学都与其他同学握手一次，表示问好，如果有x名同学参加演讲，握手总次数为435次，根据题意，求人数x可列出方程为：（　　） A．x（x-1）=435 B．x（x+1）=435 C．2x（x+1）=435 D． 【答案】D 【解析】解：设人数为x， 则每人握手（x-1）次， ∴握手总次数： =435. 故答案为：D. 4．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1.小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　） A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0 【答案】B 【解析】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1， 所以此时方程为： 即： 小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4， 所以此时方程为： 即： 从而正确的方程是： 故答案为：B 5．已知关于x的方程 的两实数根互为相反数，则k的值等于（　　） A． B．1 C．1或 D．0 【答案】A 【解析】解：设两个根分别为x1，x2，且x2=-x1， 则 ， 即 ， 解得 ， 当k=1，方程变为：x2+1=0，△=-4＜0，方程没有实数根，所以k=1舍去； 当k=-1，方程变为：x2-1=0，△=4＞0，方程有两个不相等的实数根. 故答案为：A. 6．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2＋2x－3=0的根，则▱ABCD的周长为（　　） A．4＋2 B．12＋6 C．2＋2 D．2＋ 或12＋6 【答案】A 【解析】解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根， ∴a2+2a﹣3=0，即（a﹣1）（a+3）=0， 解得，a=1或a=﹣3（不合题意，舍去）． ∴AE=EB=EC=a=1． 在Rt△ABE中，AB= ， ∴BC=EB+EC=2， ∴□ABCD的周长═2（AB+BC）=2（ +2）=4+2 ． 故答案为：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．一元二次方程x2+4x﹣3＝0的一次项系数、二次项系数、常数项的和是 　 　． 【答案】2 【解析】解：∵一元二次方程x2+4x﹣3＝0， ∴一次项系数、二次项系数、常数项分别为1，4，-3， ∴它们的和为1+4+（-3）=2， 故答案为：2. 8．关于x的一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为　 　. 【答案】9 【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根， ， ， ， ∴Δ=62-4×1×m=0， 解得m=9， 故答案为：9. 9．我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则可列方程　 　． 【答案】x（x+12）=864 解：设阔（宽）为x步，则所列方程为x（x+12）=864 10．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x12+x22的值是　 　 【答案】7 【解析】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2， ∴， ∴x12+x22=， 故答案为：7． 11．已知三角形两边长分别是2和9，第三边的长为一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为　 　． 【答案】19 【解析】解： 解得：或 ∵2+6=8<9，不能构成三角形， 2+8=10>9，能构成三角形，则三角形的周长=2+8+9=19． 故答案为：19． 12．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则　 　． 【答案】1 或 -1 【解析】解：∵关于x的方程 的参数同时满足 和 ， ∴方程的两根为 ， ∵ ， ∴ ， ∵ 与 互为“同伴方程”， ∴ 或 ． 故答案为： 或 ． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．用合适的方法解下列方程 （1） （2）． 【答案】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 14． 已知关于的一元二次方程的一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】解：设方程的另一根为． 关于的一元二次方程的一个根是， 满足关于的一元二次方程， ，即， ， 解得，或； 又由韦达定理知， 解得，即方程的另一根是． 15．已知关于x的一元二次方程 有两不相等的实数根． ①求m的取值范围． ②设x1，x2是方程的两根且 ，求m的值． 【答案】解：①根据题意得： ， 解得： ， ②根据题意得： ， ， ， 解得： ， （不合题意，舍去）， ∴m的值为 ． 16．已知平行四边形ABCD的两邻边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx＋2＝0的两个实数根． （1）若AB＝2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？ （2）当m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长． 【答案】（1）6；（2），菱形边长为 解:(1)当x=2时，4-2m+2=0 解得:m=3， ∴x²-3x+2=0 解得:x1=2，x2=1 ∴平行四边形的周长为2x(1+2)=6; (2) 当AB=AD时，平行四边形ABCD是菱形，即:△=0 17．如图，在宽为20m，长为27m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为450m2，求道路的宽． 【答案】2m 解：设道路的宽为x,由题意得:(20-x)(27-x)=450, 整理理得x2-47x+90=0, (x-45)(x-2)=0, ∴x=2或x=45(舍去) ∴.道路的宽为2m. 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ∵ ∴ ∴的最小值是1． （1）求代数式的最小值； （2）为构建“五育并举”教育体系，某学校综合实践课程要在一块靠墙（墙长）的空地上建一个长方形的劳动田园，田园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设，请问：当x取何值时，田园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）最小值是； （2） 当时，田园的面积最大，最大值是 答:当x=10时，田园的面积最大，最大面积是200平方米 19．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，. （1）若为正整数，求的值； （2）若，满足，求的值. 【答案】（1），2；（2） 解:(1)∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴△=b2-4ac= 解得：a<3 ∵a为正整数 ∴a=1,2 (2)∵ ∵ ∴（ ∴解得a1=-1,a2=6 ∵a<3 ∴a=-1 20．阅读与理解：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （2）已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 【答案】（1）是 （2）或 解:(1)x2-9x+20=0 (x-4)(x-5)=0. 解得:x1=4，x2=5， ∵5-4=1. 故方程x2--9x+20=0是“邻根方程”; (2)x2--(m-1)x-m=0 (x-m)(x+1)=0. 解得:x=m，x=-1, ∵方程x2--(m-1)x-m=0(m是常数)是“邻根方程” ∴m=-1+1=0，或m=-1-1=-2 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．如图已知直线AC的函数解析式为y＝ x+8，点P从点A开始沿AO方向以1个单位/秒的速度运动，点Q从O点开始沿OC方向以2个单位/秒的速度运动．如果P、Q两点分别从点A、点O同时出发，经过多少秒后能使△POQ的面积为8个平方单位？ 【答案】解：直线y＝ x＋8与x轴，y轴的交点坐标分别为A(－6，0)，C(0，8)，∴OA＝6，OC＝8.设点P，Q移动的时间为x s，根据题意得 ×2x·(6－x)＝8.整理，得x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4.当x＝2时，AP＝2，OQ＝4，点P，Q分别在OA，OC上，符合题意；当x＝4时，AP＝4，OQ＝8，此时点Q与点C重合，同样符合题意．答：经过2 s或4 s，能使△PQO的面积为8个平方单位 22．已知△ABC的两边AB、AC的长恰好是关于x的方程x2＋(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边BC的长为5 （1）求证：AB≠AC （2）如果△ABC是以BC为斜边的直角三角形，求k的值 （3）填空：当k＝　 　时，△ABC是等腰三角形，△ABC的周长为　 　 【答案】（1）证明：∵△＝(2k＋3)2－4(k2＋3k＋2)＝1＞0 ∴方程有两个不相等的实数根 ∴AB≠AC （2）解：依题意得，AB2＋AC2＝BC2＝25 ∵AB＋AC＝－(2k＋3)，AB·AC＝k2＋3k＋2 ∴AB2＋AC2＝(AB＋AC)2－2AB·AC＝2k2＋6k＋5＝25 解得k1＝－5或k2＝2 ∵AB＋AC＝－(2k＋3)＞0 ∴k＜ ∴k＝－5 （3）k1＝－6，k2＝－7；14或16 【解析】(3)依题意得，BC为等腰三角形的腰 将x＝5代入方程中，得25＋5(2k＋3)＋k2＋3k＋2＝0 解得k1＝－6，k2＝－7 此时周长为14或16 6、 解答题（本大题共12分） 23．为迎接义乌市森博会，某商家计划从厂家采购A，B两种产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数.下表提供了部分采购数据. （1）设A产品的采购数量为x（件），采购单价为y1（元/件），求y1与x的关系式； （2）经商家与厂家协商，采购A产品的数量不少于B产品数量的 ，且A产品采购单价不低于1200元.求该商家共有几种进货方案； （3）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价售出A，B两种产品，且全部售完.在（2）的条件下，求采购A种产品多少件时总利润最大，并求最大利润. 【答案】（1）解：设y1与x的关系式y1=kx+b， 由表知 解得k=-20，b=1500， 即 （2）解：根据题意可得 解得 ∵x为整数， ∴x可取的值为：11，12，13，14，15， ∴该商家共有5种进货方案 （3）解：解法一：y2=-10（20-x）+1300=10x+1100， 令总利润为W， 则W=（1760-y1）x+（20-x）×[1700-（10x+1100）]=30x2-540x+12000， =30（x-9）2+9570， ∵a=30>0， ∴当x≥9时，W随x的增大而增大， ∵11≤x≤15， ∴当x=15时，W最大=10650； 解法二：根据题意可得B产品的采购单价可表示为： y2=-10（20-x）+1300=10x+1100， 则A、B两种产品的每件利润可分别表示为： 1760-y1=20x+260， 1700-y2=-10x+600， 则当20x+260>-10x+600时，A产品的利润高于B产品的利润， 即 时，A产品越多，总利润越高， ∵11≤x≤15， ∴当x=15时，总利润最高， 此时的总利润为（20×15+260）×15+（-10×15+600）×5=10650. 答：采购A种产品15件时总利润最大，最大利润为10650元。 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$