1.2.5 空间中的距离 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

1.2.5　空间中的距离 第一章　空间向量与立体几何 人教B版 数学 选择性必修第一册 课标定位 素养阐释 1.了解空间中两点之间的距离、点到直线的距离及两平行平面的距离等. 2.能够利用向量法求各种空间距离. 3.重点提升数学运算、直观想象和逻辑推理素养. 自主预习 新知导学 一、两点之间的距离 1.给定空间中不重合的两点A,B,以A,B为端点的曲线段有多少条?是否存在长度最短的线段? 提示:无数.存在. 2.空间中两点之间的距离指的仍是这两个点连线的线段长. 3.如图,空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于a,点M,N分别是边AB,CD的中点,则M,N两点之间的距离是　　　　　.  二、点到直线的距离 1.已知点A在直线l外,点P是直线l上的一个动点,AP是否存在最小值?若存在,请说明AP最小时点P的位置. 提示:存在.当AP⊥l时,AP存在最小值. 2.给定空间中一条直线l及l外一点A,因为l与A能确定一个平面,所以过A可以作直线l的一条垂线段,这条垂线段的长称为点A到直线l的距离. (1)点到直线的距离是这个点与直线上点的最短连线的长度. (2)如果点A是直线l上的点,则约定A到直线l的距离为0. 3.在正四面体PABC中,若棱长均为a,D为AB的中点,则点P到CD的距离为　　　　　.  解析:由题意知,P到CD的距离就是正四面体PABC的高PO,如图. 2.给定空间中一个平面α及α外一点A,过A可以作平面α的一条垂线段,这条垂线段的长称为点A到平面α的距离. (1)点到平面的距离是这个点与平面内点的最短连线的长度. (2)如果点A是平面α内一点,则约定A到平面α的距离为0. (3)一般地,若A是平面α外一点,B是平面α内一点,n是平面α的一个法向量,则点A到平面α的距离 3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E是上底面A1B1C1D1的中心,则点E到平面ABC1D1的距离是　　　　　.  四、相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 1.若直线l∥平面α,P∈l,Q∈l,则P,Q到平面α之间的距离有什么关系? 提示:相等. 2.若平面α∥平面β,点P,Q是平面α内的任意两点,点P,Q到平面β的距离有什么关系? 提示:相等. 3.当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离;当平面与平面平行时,一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离.一般地,与两个平行平面同时 垂直的直线,称为这两个平面的公垂线,公垂线夹在平行平面间的部分,称为这两个平面的公垂线段.显然,两个平行平面之间的距离也等于它们的 公垂线段的长. 相互平行的直线与平面之间的距离、相互平行的平面与平面之间的距离,都可以归结成点到平面的距离,因此同样可以通过空间向量来求得. 4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=4,则B1D1到平面ABCD的距离为　　　　　;平面AA1D1D到平面BB1C1C的距离为　　　　　.  答案:4　1 【思考辨析】 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)点到直线的距离就是点和直线上任意一点之间的距离.(　　) (2)若直线与平面平行,则直线到平面的距离即为直线上的任意一点到平面的距离.(　　) (3)两平行平面的距离即为其中一平面上任意一点到另一平面的距离. (　　) (4)若空间两点已定,则它们之间的距离是定值.(　　) (5)若直线l与平面α相交,则直线l到平面α的距离无法确定.(　　) × √ √ √ × 合作探究 释疑解惑 探究一 两点之间的距离及点到直线的距离 【例1】 如图,在二面角α-l-β中,AB⊂α,且AB⊥l,CD⊂β,CD⊥l,B,C∈l,且AB,CD的夹角为60°.若AB=BC=CD=1,求A与D两点间的距离. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 2.点到直线的距离往往转化为这个点到直线上点的最短距离. 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练1】 已知矩形ABCD,AB=4,AD=3.沿对角线AC折叠,使平面ABC与平面ADC垂直,求B,D两点间的距离. 探究一 探究二 探究三 思想方法 解:过点D和点B分别作DE⊥AC并交AC于点E,BF⊥AC交AC于点F,则由已知条件可知AC=5, 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究二 点到平面的距离 【例2】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别是C1C,D1A1,AB的中点,求点A到平面EFG的距离. 分析:建立空间直角坐标系,利用向量法求解. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 在本例条件下,求点F到直线EG的距离. 探究一 探究二 探究三 思想方法 用向量法求点到平面的距离 (1)结合图形建立恰当的空间直角坐标系. (2)在坐标系中,求出点到平面内任一点对应的向量 (3)求出平面的法向量n. 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练2】 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,E,F分别是AB,PD的中点.若PA=AD=3,CD= ,求点F到平面PCE的距离. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究三 相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 【例3】 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱AA1=3,底面边长AB=2, E,F分别为棱BC,B1C1的中点. (1)求证:平面BD1F∥平面C1DE; (2)求平面BD1F与平面C1DE间的距离. 分析:首先用面面平行的判定定理证明(1),然后将两平行平面间的距离转化为平面BD1F内任一点到平面C1DE的距离来求解. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 求相互平行的直线与平面之间的距离以及相互平行的平面与平面之间的距离,往往转化为点到平面的距离求解,且这个点要适当选取,以求解最简单为准则. 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练3】 如图,已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为直角梯形, AB∥CD,且∠ADC=90°,AD=1,CD= ,BC= ,AA1=2,E是CC1的中点,求A1B1到平面ABE的距离. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 ∵A1B1∥AB,A1B1⊄平面ABE,AB⊂平面ABE, ∴A1B1∥平面ABE. ∴A1B1到平面ABE的距离,即为点A1到平面ABE的距离.故所求距离为. 探究一 探究二 探究三 思想方法 思想方法 求空间距离中的转化、化归思想 【典例】 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,E为BB1上的点,且EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于点H. (1)求证:B1D⊥平面ABD; (2)求证:平面EFG∥平面ABD; (3)求平面EFG与平面ABD的距离. 分析:建立空间直角坐标系,求出相应点的坐标,通过向量运算,结合线面垂直、面面平行的判定,使问题解决. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 空间中的两平行平面之间的距离,直线到与其平行的平面的距离,在求解时往往将其转化为点到平面的距离,甚至化为两点之间的距离求解.整个问题求解的过程,体现了化归、转化思想的应用. 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练】 如图,设正方体A1B1C1D1-ABCD的棱长为a. (1)求证:平面A1BD∥平面CB1D1; (2)求平面A1BD与平面CB1D1的距离. 探究一 探究二 探究三 思想方法 令x2=1,得n2=(1,-1,-1),∴n1=-n2.∴n1∥n2, ∴平面A1BD∥平面CB1D1. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 随堂练习 1.在空间直角坐标系中,已知A(2,3,4),B(-2,1,0),C(1,1,1),则点C到线段AB的中点的距离为(　　) 答案:B 2.已知平面α∥平面β,空间一点到α的距离是4,到平面β的距离是2,则平面α与平面β的距离是(　　) A.2 B.6 C.2或6 D.以上都错 解析:当点在α,β间时,α,β间的距离为2+4=6; 当点在α,β外时,α,β间的距离为4-2=2. 答案:C 3.(2022·新高考Ⅰ)已知正方体ABCD -A1B1C1D1,则 (　　) A.直线BC1与DA1所成的角为90° B.直线BC1与CA1所成的角为90° C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45° D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45° 答案:ABD 4.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离为　　　　　.  5.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为　　　　　.  6.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,C1C的中点, DG= DD1.过点E,F,G的平面交AA1于点H,求A1D1到平面EFGH的距离. 又EF⊂平面EFGH,D1A1⊄平面EFGH, ∴D1A1∥平面EFGH. ∴A1D1到平面EFGH的距离,即为点D1到平面EFGH的距离. 解析:设=p,=q,=r, 则|p|=|q|=|r|=a, 且<p,q>=<p,r>=<r,q>=60°, ∴)-(q+r-p), ∴||2=(q+r-p)2=[q2+r2+p2+2(q·r-q·p-r·p)]=, ∴||=a,即M,N两点之间的距离为a. 答案:a ∵OC=a×a, 在Rt△POC中,PO=a. 答案:a d= . 解析:如图,以D为坐标原点,以方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),E(,1),A1(1,0,1),则 =(-,1),=(1,0,1). 由题意知为平面ABC1D1的一个法向量, ∴点E到平面ABC1D1的距离d=. 答案: 分析:A与D两点间的距离就是的模,即利用向量数量积的性质|a|=求向量的长度. 解:∵AB⊥l,∴=0.∵⊥l,∴=0. ∵AB与CD的夹角为60°,∴<>=60°或<>=120°. ∵, ∴||= = == ∴A与D两点间的距离为2或. 1.求空间两点A,B之间的距离,通常转化为求||,利用||=求解. ∴DE=FB=. ∵AE=CF=, ∴EF=5-2×, ∵, ∴||2=()2=+2+2+2. ∵平面ADC⊥平面ABC,DE⊥AC, ∴DE⊥平面ABC,∴DE⊥FB,即, ∴||2=, ∴||=.故B,D两点间的距离是. 解:如图,以D为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),G(2,1,0), ∴=(1,-2,1),=(2,-1,-1),=(0,-1,0). 设n=(x,y,z)是平面EFG的一个法向量, 则 ∴x=y=z,令x=1,可得n=(1,1,1), ∴d=,即点A到平面EFG的距离为. 解:如图,过点F作FM⊥GE,交EG于点M, ∵=(2,-1,-1),∴设=(2λ,-λ,-λ). ∴ =(-1,0,0)+(0,2,0)+(0,0,-1)+(2λ,-λ,-λ)=(2λ-1,2-λ,-1-λ). ∵=6λ2-3λ=0,∴λ=0或λ=(λ=0舍去). ∴=(0,,-),∴||=, ∴点F到直线EG的距离为. (4)利用公式d=求解. . 解:如图,以点A为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系Axyz. 则A(0,0,0),P(0,0,3),D(0,3,0),E(,0,0),F(0,),C(,3,0). 设平面PCE的一个法向量为n=(x,y,z), 则=(-,0,3),=(,3,0),即 取y=-1,得n=(,-1,1). 又=(0,,-),故点F到平面PCE的距离为d=. (1)证明:如图,以D为原点,并以的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,3),C1(0,2,3), B1(2,2,3),B(2,2,0),E(1,2,0),F(1,2,3), =(1,2,0),=(1,2,0). ∵,∴D1F∥DE. 又=(-1,0,3),=(-1,0,3), ∴,∴BF∥EC1. 由D1F∩BF=F,∴平面BD1F∥平面C1DE. (2)解:由(1)可知平面BD1F与平面C1DE间的距离等于点D1到平面C1DE的距离,设平面C1DE的一个法向量n=(x,y,z),由令x=6,得n=(6,-3,2). 又=(0,2,0),∴点D1到平面C1DE的距离d=, ∴平面BD1F与平面C1DE间的距离为. 解:如图,以D为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系,则A1(1,0,2),A(1,0,0),E(0,,1). 过点C作AB的垂线交AB于点F,易得BF=1,∴B(1,1+,0). ∴=(0,1+,0),=(-1,-1,1). 设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z), 则由 ∴y=0,x=z,不妨令x=1,得n=(1,0,1). ∵=(0,0,2), ∴点A1到平面ABE的距离d=. (1)证明:如图,以B1为坐标原点,并以的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系. 设A1(a,0,0),则C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),D(0,2,2),G(,1,0). ∴=(0,2,2),=(-a,0,0),=(0,2,-2). ∵=0,=0, ∴B1D⊥AB,B1D⊥BD. 又AB∩BD=B,∴B1D⊥平面ABD. (2)证明:由(1)知,∵=(-a,0,0),=(0,2,-2),=(-,0,0),=(0,1,-1), ∴=2=2, ∴,∴GF∥AB,EF∥BD. 又GF∩EF=F,AB∩BD=B, ∴平面EFG∥平面ABD. (3)解:由(2)知,平面EFG与平面ABD的距离即为点D到平面EFG的距离. 由(1)(2)知,平面EFG的一个法向量为=(0,2,2). 又=(0,2,1), 故所求距离为d=. 故平面EFG与平面ABD的距离为. 解:以D为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.则A1(a,0,a),B(a,a,0),D1(0,0,a),B1(a,a,a),C(0,a,0),C1(0,a,a), ∴=(0,a,-a),=(-a,0,-a),=(-a,0,0),=(-a,0,-a),=(-a,-a,0). (1)证明:设平面A1BD的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则 令z1=1,得n1=(-1,1,1). 设平面CB1D1的一个法向量为n2=(x2,y2,z2), 则 (2)由(1)可知点D1到平面A1BD的距离为d=a. 即平面A1BD与平面CB1D1的距离为a. A.1 B. C.2 D. 解析:设线段AB的中点为M,由题意,得M(0,2,2), ∴=(-1,1,1),∴||=. 答案:a 解析:建立空间直角坐标系,如图所示.则A(0,0,0),B(,1,0),C(0,2,0),A1(0,0,1). 于是=(,1,-1),=(0,2,-1). 设平面A1BC的一个法向量n=(x,y,z), 则 令y=3,则n=(,3,6). 又=(0,0,1),所以点A到平面A1BC的距离d=. 答案: 解:以D为坐标原点,以的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系,如图所示. 则E(1,1,),F(0,1,),G(0,0,),D1(0,0,1),A1(1,0,1). ∴=(-1,0,0),=(0,-1,-),=(1,0,0). ∴. 设平面EFGH的一个法向量为n=(x,y,z), 则 令z=6,可得n=(0,-1,6). 又=(0,1,-), ∴点D1到平面EFGH的距离d=. 故A1D1到平面EFGH的距离为. $$