专题12 基本立体图形及其表面积与体积（知识串讲+热考题型+真题训练）-备考2025年高考数学一轮复习高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

专题12 基本立体图形及其表面积与体积 【考点1 基本立体图形】 【考点2 空间几何体的表面积】 【考点3 空间几何体的体积】 【考点4 几何体的内切球】 【考点5 几何体的外接球】 【考点6空间几何体的截面问题】 知识点1 空间几何体的结构特征 1、多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点，但不一定相等 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2、特殊的棱柱和棱锥 （1）侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． （2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱长均相等的正三棱锥叫做正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心． 【注意】 （1）棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱． （2）棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台． （3）注意棱台的所有侧棱相交于一点． 3、旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆形 旋转轴 任一边所在的直线 任一直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 4、空间几何体的直观图 （1）画法：常用斜二测画法． （2）规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． （3）直观图与原图形面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：S直观图＝S原图形；S原图形＝2S直观图． 知识点2 空间几何体的表面积和体积 1、空间几何体的表面积和体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 几何体的表面积和侧面积的注意点 ①几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和． ②组合体的表面积应注意重合部分的处理． 2、柱体、锥体、台体侧面积间的关系 （1）当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥， 则S正棱柱侧＝ch′ S正棱台侧＝(c＋c′)h′S正棱锥侧＝ch′. （2）当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥， 则S圆柱侧＝2πrl S圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl. 3、柱体、锥体、台体体积间的关系 【考点1 基本立体图形】 【典例1】已知圆锥的轴截面是边长为3的等边三角形，且该圆锥底面圆和顶点都在球的球面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆锥的轴截面是边长为3的等边三角形，求出外接球的半径即可求出体积. 【详解】圆锥的轴截面是边长为3的等边三角形， 边长为3的等边三角形的外接圆半径即是圆锥的外接球半径, 设球的半径为，由正弦定理得，即，故球的体积. 故选：D. 【变式1-1】已知圆锥在正方体内，，且垂直于圆锥的底面，当该圆锥的底面积最大时，圆锥的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分析出当圆锥底面与正六边形相内切时，圆锥体积最大，结合正方体性质计算即可. 【详解】取的中点，分别记为 ，连接，，如图所示，    根据正方体的性质易知六边形为正六边形，此时的中点为该正六边形的中心，且平面， 当圆锥底面内切于正六边形时，该圆锥的底面积最大. 设此时圆锥的底面圆半径为，因为，所以， 所以，圆锥的底面积，圆锥的高， 所以圆锥的体积. 故选：C 【变式1-2】设正四棱锥的底面中心为O，以O为球心的球面与正四棱锥的所有棱均相切，若正四棱锥的体积为，则球O的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，的中心为，连接，，，计算即可得出为等腰直角三角形，所以再应用正四棱锥的体积即得,最后应用球O的体积公式计算. 【详解】如图， 取的中点， 的中心为，连接，, 设球的半径为，则， 球与正四棱锥的各棱均相切，则底面正方形棱长为， 过作，则，， ，为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， 所以 正四棱锥的体积为， 所以， 球的半径为，则球O的体积为 故选:B 【变式1-3】如图，在正三棱柱中，，直线与平面所成角的正切值为，则正三棱柱的外接球的半径为（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用线面角的正切求出，再求出正三棱柱的外接球半径. 【详解】在正三棱柱中，取的中点，连接，则， 由平面，平面，得，又， 平面，因此平面，是直线与平面所成的角， 则，由，得，而，则，， 因此正三棱柱的外接球球心到平面的距离， 而的外接圆半径，所以正三棱柱的外接球的半径. 故选：D    【考点2 空间几何体的表面积】 【典例2】攒尖式屋顶是中国古代传统建筑的一种屋顶样式，如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知该圆锥的底面直径为，高为，则该屋顶的面积约为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中条件求出母线，再运用圆锥侧面积公式求出侧面积，即为屋顶的面积. 【详解】    由题知，圆锥底面圆半径，高， 则母线， 因此圆锥的侧面积为. 即屋顶的面积为， 故选：B. 【变式2-1】已知某简单组合体的三视图如图所示，根据图中所示数据（单位：cm）可得该几何体的表面积为（    ） A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．300πcm2 【答案】A 【分析】组合体为一个球和一个长方体组合而成，分别求出表面积，再求和即可. 【详解】组合体为一个半径为5cm的球和长宽高分别为10cm,10cm,15cm的长方体组合而成. 分别求出球的表面积为cm2, 长方体的表面积为cm2. 再求和, 可得该几何体的表面积为 cm2 故选：A. 【变式2-2】已知圆锥的底面半径为1，过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥截成上､下两部分，若截得小圆锥的体积为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据体积公式可得圆锥的高，进而求解母线，即可由侧面积公式求解. 【详解】圆锥的底面半径为1，设高为，过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥截成上下两部分，则小圆锥的底面半径为，高为， 则小圆锥的体积为：． 故圆锥母线长为， 故圆锥的侧面积为 故选：B 【变式2-3】在直三棱柱中，，，点P在四边形内（含边界）运动，当时，点P的轨迹长度为，则该三棱柱的表面积为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，其中，从而根据题意列方程可求得，根据棱柱表面积公式即可求解. 【详解】 设，因为，所以由棱柱的性质可得， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 点P在四边形内（含边界）运动，当时， ，这意味着点是在以为圆心为半径的圆弧上运动， 该圆弧弧长是圆周周长，由题意，解得， 所以该三棱柱的表面积为. 故选：C. 【考点3 空间几何体的体积】 【典例3】某模型的上部分是半球，下部分是圆台，且圆台较小的底面与半球大圆面完全重合．若半球的体积为，圆台的较小底面半径及高均是另一底面半径的一半．则该模型的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过半球体积求出半径，求出圆台体积，再求出总体积. 【详解】设球的半径为，因为半球的体积为，即，解得， 所以圆台的较大底面半径是，高是， 所以圆台的体积为， 所以该模型的体积为，故C正确. 故选：C. 13．为了美化广场环境，县政府计划定购一批石墩．已知这批石墩可以看作是一个圆台和一个圆柱拼接而成，其轴截面如下图所示，其中，，则该石墩的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，根据条件，求出圆台的高，再利用圆台与圆柱的体积公式，即可求出结果. 【详解】如图，过点作于， 因为，，所以，， 所以圆台的体积为， 又圆柱的体积为， 所以该石墩的体积为， 故选：D. 【变式3-1】十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图1中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面．在底面中，若，则该几何体的体积为（    ） A． B． C．27 D． 【答案】C 【详解】如图所示，该几何体可视为直三柱与两个三棱锥，拼接而成. 记直三棱柱的底面的面积为，高为，所求几何体的体积为， 则， 因为两个直三棱柱相同，故， 所以 . 故选：C. 【变式3-2】如图1，一个圆柱形笔筒的底面直径为，（笔筒壁的厚度忽略不计），母线长为，该圆柱形笔筒的直观图如图2所示，，分别为该圆柱形笔筒的上底面和下底面直径，且，则三棱锥的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点O，连接，，证得平面，三棱锥的体积，计算得到答案； 【详解】由，易得，取的中点O，连接，， 则，，又，，平面， 所以平面， 所以， 故选：C.    【变式3-3】某圆台的下底面周长是上底面周长的4倍，母线长为10，该圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆台的上底面的半径为r，下底面的半径为R，则由题意可得，再由圆台的侧面积列方程可求出，从而可求出上下底面面积和圆台的高，进而可求出台的体积. 【详解】设圆台的上底面的半径为r，下底面的半径为R，则，故， 因为该圆台的侧面积为，母线长， 所以，解得，则， 所以圆台上底面的面积为，下底面的面积为， 圆台的高 所以该圆台的体积． 故选：C． 【考点4 几何体的内切球】 【典例4】如图，正四棱台有内切球，且.    (1)设平面平面，证明平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）先证//面，再根据线面平行的性质证明//，再证线面平行即可； （2）以底面对角线交点为坐标原点建立空间直角坐标系，设出棱台的高为，根据到平面的距离为，利用向量法求得，再求平面与平面的法向量，即可求得两平面夹角的余弦值. 【详解】（1）因为是正棱台，故//，面，面， 故//面，又面，面面，故//， 又面，面，故//面. （2）连接，设其交点为；连接，设其交点为，连接； 因为是正棱台，故三点共线，且两两垂直， 故以为坐标原点，建立如下所示空间直角坐标系：    设， 则， 又， 设平面的法向量为， 则，即，取，则， 故； 由题可知，点到平面的距离为，又， 则，解得，故； ， 设平面的法向量为， 则，即，取，则， 故； 则. 故平面与平面夹角的余弦值为. 【变式4-1】若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作出四棱锥的内切球截面大圆，确定球半径表达式，再借助四棱锥体积求出球半径计算作答. 【详解】如图，取中点，中点，连接，，， 因是正三角形，则，又是矩形，有， 而平面平面，平面平面，平面，平面， 因此平面，平面， 又，则平面，平面，则，， ，平面，则平面，又平面， 所以，而，则，显然， 由球的对称性和正四棱锥的特征知，平面截四棱锥的内切球得截面大圆， 此圆是的内切圆，切，分别于，，有四边形为正方形， 设，又，，则球的半径， 又四棱锥的表面积为， 由，解得， ，， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是过点作出四棱锥的内切球截面大圆，利用等体积法求出内切球半径和. 【变式4-2】已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面为正三角形且垂直于底面，M为四棱锥内切球表面上一点，则点M到直线距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别为和的中点，平面截四棱锥的内切球O所得的截面为大圆，求出圆的半径，利用圆心到直线距离求点M到直线距离的最小值. 【详解】如图，设四棱锥的内切球的半径为r，取的中点为H，的中点为N，连接，，，    球O为四棱锥的内切球， 底面为矩形，侧面为正三角形且垂直于底面， 则平面截四棱锥的内切球O所得的截面为大圆， 此圆为的内切圆，半径为r，与，分别相切于点E，F， 平面平面，交线为，平面， 为正三角形，有，平面， 平面，， ，，则有，，， 则中，，解得. 所以，四棱锥内切球半径为1，连接. 平面，平面，， 又，平面，， 平面，平面，可得， 所以内切球表面上一点M到直线的距离的最小值即为线段的长减去球的半径， 又. 所以四棱锥内切球表面上的一点M到直线的距离的最小值为. 故选：B. 【点睛】方法点睛： 四棱锥的内切球，与四棱锥的五个面都相切，由对称性平面截四棱锥的内切球O所得的截面为大圆，问题转化为三角形内切圆，利用面积法求出半径，即内切球的半径，由球心到直线的距离，求点M到直线的距离的最小值. 【变式4-3】六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则该正八面体结构的内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正四棱锥的性质结合线面垂直的判定定理、性质定理找出内切球的半径，利用等面积法求出半径的大小，即可求解. 【详解】如图，连接交于点，连接， 取的中点，连接， 因为,所以, , 由可得平面， 且，所以平面， 过作， 因为平面，平面，所以, 且平面，所以平面， 所以为该正八面体结构的内切球的半径， 在直角三角形中，， 由等面积法可得，,解得， 所以内切球的表面积为， 故选:D. 【变式4-4】已知三棱柱中，，，平面垂直平面，，若该三棱柱存在体积为的内切球，则三棱锥体积为（   ） A． B．4 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据内切球的统计求出半径，由线面垂直的判定定理可得平面，三棱柱为直三棱柱，由平面垂直平面可得，设，根据直角三角形内切圆的半径即外接球的可得，最后由可得答案. 【详解】设内切球的半径为，则，所以， 因为，，所以，， 且，平面，所以平面， 所以三棱柱为直三棱柱，即侧棱垂直于底面，且侧棱长为2， 做交于点，连接， 因为平面垂直平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，所以， 因为平面， 平面，所以， ，平面，所以平面， 而平面，所以， 设，可得，解得，又， 解得，或，可得， 则三棱锥体积为. 故选：B.    【考点5 几何体的外接球】 【典例5】已知正方体的棱长为2，P为的中点，过A，B，P三点作平面，则该正方体的外接球被平面截得的截面圆的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出球心到平面的距离，再利用球的截面小圆性质求出截面圆半径即可. 【详解】正方体的外接球球心是的中点，而， 则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，又平面过线段的中点P， 因此点与点到平面的距离相等，由平面，，得平面， 在平面内过作于，而平面，于是， 又，从而，又球的半径， 则正方体的外接球被平面截得的截面圆半径，有， 所以正方体的外接球被平面截得的截面圆的面积. 故选：D 【变式5-1】已知某正六棱柱的体积为，其外接球体积为，若该六棱柱的高为整数，则其表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正六棱柱的体积及外接球的体积列方程求解得出边长及高最后求出表面积即可. 【详解】设该正六棱柱的底面边长为，高为，其外接球的半径为，易知，则①， 且②， 联立①②，因为，解得， 所以正六棱柱的表面积. 故选：D. 【变式5-2】如图，是边长为4的正三角形，D是BC的中点，沿AD将折叠，形成三棱锥．当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的体积为（    ）     A． B． C． D． 【答案】D 【分析】补形成长方体模型来解即可. 【详解】由于二面角为直二面角，且和都是直角三角形， 故可将三棱锥补形成长方体来求其外接球的半径R， 即，解得， 从而三棱锥外接球的体积． 故选：D    【变式5-3】已知是边长为4的等边三角形，将它沿中线折起得四面体，使得此时，则四面体的外接球表面积为 ． 【答案】 【分析】设为四面体的外接球球心，为外接圆的圆心，取的中点，四边形为长方形可得，在中由正弦定理可得，再由可得答案. 【详解】设为四面体的外接球球心，连接， 因为，，平面， 所以平面，， 因为，，由余弦定理可得 ， 因为，所以，， 设为外接圆的圆心，连接， 则平面，，取的中点，连接， 因为，所以，所以四边形为长方形， 可得， 在中，由正弦定理可得， 所以， 则四面体的外接球表面积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是确定外接球的球心和外接圆的圆心. 【考点6空间几何体的截面问题】 【典例6】某圆锥母线长为，底面半径为2，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面的面积最大时，此截面将底面圆周所分成的两段弧长之比（较短弧与较长弧之比）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：先判断轴截面顶角，结合三角形面积公式确定截面顶角，进而可得，然后可解；方法二：设，将三角形面积表示成关于的函数，根据二次函数性质求出，进而可得，然后可解；方法三：设，将三角形面积表示成关于的函数，结合三角函数性质求解即可. 【详解】法一（几何法）：该圆锥轴截面是等腰三角形，腰长为，底边长4， 因为，所以顶角为钝角． 如图所示，设截面为，因为， 显然，当时，截面三角形面积最大， 此时，， 因为， 所以，所以截得的两段弧长之比为． 法二（代数法）：如图所示，截面为，F为MN的中点， 设，易知，，， 故， 所以当时截面面积最大，此时， 因为， 所以， 所以截得的两段弧长之比为． 法三（代数法）：如图所示，截面为△SMN，F为MN的中点， 设，， 易知，，， 所以 ，， 当，即时取得最大值，此时， 所以截得的两段弧长之比为． 故选：B． 【变式6-1】已知圆台的母线长为4，下底面圆的半径是上底面圆的半径的3倍，轴截面周长为16，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出圆台的轴截面，利用其周长和两底面圆半径的关系列方程，求出，代入公式，即可求得圆台的表面积. 【详解】    如图，作出圆台的轴截面,设上底面圆的半径为，则下底面圆的半径是， 故轴截面周长为，解得， 所以上、下底面圆的面积分别为，，圆台侧面积， 所以圆台的表面积为. 故选:C. 【变式6-2】已知一个正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为过其外接球球心作平行于底面的截面，则截得的棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正三棱锥的几何性质可求解长度，即可根据勾股定理可得球半径，进而根据相似可得，即可根据台体体积公式求解. 【详解】如图正三棱锥，设为的中心，外接球半径为,球心为, 则，， ， ，，， ， 棱台的上下底面的面积为， ，， 所以棱台的体积为， 故选：B．    【变式6-3】如图，已知直三棱柱的体积为4，AC⊥BC，，D为的中点，E为线段AC上的动点（含端点），则平面BDE截直三棱柱所得的截面面积的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作，交于，连接，取的中点，连接，可得平面BDE截直三棱柱所得的截面为梯形，根据边长关系求出梯形的面积即可得到答案. 【详解】直三棱柱的体积为4，AC⊥BC，，所以，解得， 过作，交于，连接，取的中点，连接，    设 ， ①当时，平面BDE截直三棱柱所得的截面为正方形，面积为， ②当时，因为，，所以四边形为平行四边形，则，， 因为，分别为，的中点，所以，， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，且 则，，即平面BDE截直三棱柱所得的截面为梯形 在中，，，，则， 在中，，，，则， 在中，，，，则，则 过作垂足为，过作垂足为，所得平面图形如下;    则，，，， 设，则 所以，，因为， 化简可得：，则， 所以， 因为当，所以，则， 综上，平面BDE截直三棱柱所得的截面面积的范围为 故选：A 【点睛】方法点睛：立体几何中找截面的步骤一般分为三步： 第一步，找截点： 方式1：延长截小面上一条直线，与几何体的棱、面（或其延长部分）相交，交点即截点； 方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体棱于截点； 第二步，连截线：将各截点收尾相连，围成截面； 第三步，围截面：连接同一平面内的两个截点，形成截线. 【变式6-4】已知正三棱锥的外接球是球，正三棱锥底边，侧棱，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的外接圆的圆心为，根据 中，，解得，过点作圆的截面，当截面过球心时，截面面积最大，由此能求出所得截面圆面积的最大值． 【详解】如图，设的中心为，球的半径为，连接，， 则，， 在 中，，解得， 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为． 所得截面圆面积的最大值为． 故选：D．    一、单选题 1．在半径为的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的四面体棱长为，该四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面体外接球半径，即可得结论． 【详解】由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大， 以四个小球球心为顶点的四面体棱长为， 该四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，该正四面体的高为， 设正四面体的外接球半径为，则，解得， 可得，所以. 故选：C. 2．在四面体ABCD中，，，，则该四面体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将四面体放到一个长方体内，再根据长方体的对角线是其外接球的直径利用公式计算即可求解. 【详解】四面体ABCD的四个面为全等的等腰三角形，所以四面体可扩充为一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，且面上的对角线分别为3，3，4， 并且，，， 设球半径为R，则有，可得， 所以球的表面积为． 故选:A． 3．已知三棱锥的四个顶点均在球上，平面．若，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件，解三角形可求，将三棱锥补形为长方体，根据长方体及其外接球的关系可求得三棱锥的外接球半径，结合球的体积公式求结论. 【详解】在中，， 所以，所以． 因为平面平面， 所以． 又，所以． 如图将三棱锥，补形为长方体， 则三棱锥的外接球就是长方体的外接球， 长方体的体对角线是长方体的外接球的直径，球心为的中点． 又，即， 所以球的半径为2， 故球的体积． 故选：C． 4．已知圆锥的顶点为P，底面圆的直径，，则该圆锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件先判定为正三角形，再作出圆锥及其内切球的轴截面，利用正三角形的性质计算球半径，最后根据球的体积公式计算即可. 【详解】由圆锥的性质易知为以P为顶点的等腰三角形， 又，所以，则为正三角形，边长为， 如图所示，作出圆锥及其内切球的轴截面， 设中点分别为，内切球球心为O， 由正三角形内心的性质易知    即内切球球半径为1，所以体积. 故选：C 5．已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设为空间内一点，且五点在同一个球面上，若，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将四面体放入长方体中，求解长方体的长宽高，求解外接球的半径，判断的轨迹，然后求解即可． 【详解】将四面体放入长方体中，设长方体的相邻三条棱长分别为，，， 依题意，可知，， 则，，，解得，， 由于，即异面直线和的距离为， 由于长方体的左右侧面为正方形，所以， 取中点，连接，则左侧面，在左侧面，所以 ， 又平面，故平面， 四面体的外接球半径为，球心为， 由，知点的轨迹为一个圆，设轨迹圆的半径为，圆心为， 过作球的一个轴截面， 所以，且， ，且， 解得， 所以的轨迹长度为． 故选：D． 6．已知正四面体棱长为4，半径为的球与侧面、、都相切，则该球心到棱的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中心为点Q，连接并延长交于点D，可知球心O在线段上，记球O与平面的切点为点M，解三角形求得，在平面内，过点O作于点N，再求得，即可得到结果． 【详解】取的中心为点Q，连接，则平面， 连接并延长交于点D，连接，可知点D为的中点， 因为球与侧面、、都相切， 所以球心O在线段上，记球O与平面的切点为点M， 可知点M在线段上，， 由正四面体棱长为4，球的半径为， 可得，，，， 由，可得， 在平面内，过点O作于点N， 可知球心O到棱的距离即为的长， 球心O到棱的距离等于球心O到棱的距离， 由，可得， 所以该球心到棱的距离为． 故选：B. 7．三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理先求出底面三角形的外接圆半径，再利用为三棱锥的高，为外接球半径），即可求解． 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 即，所以， 设的外接圆半径为， 则，所以， 平面，且， 设三棱锥外接球半径为， 则，即， 所以三棱锥外接球的表面积为． 故选：B． 8．在三棱锥中，平面，为等腰三角形且面积为，.若该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形的面积公式可求得，设的外心为，进而可求得，过作平面的垂线，可得外接球的半径，进而可求表面积. 【详解】因为为等腰三角形且面积为，所以，又， 所以，所以，设的外心为， 可得，过作平面的垂线， 则球心在直线上，设球心为，可得在的垂直平分线上， 所以，所以， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C. 9．如图，已知正方形ABCD为圆柱的轴截面，，E，F为上底面圆周上的两个动点，且EF过上底面的圆心G，若，则三棱锥的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆柱的下底面的圆心为，由线面垂直的判定定理得出平面，再由可得答案. 【详解】如图设圆柱的下底面的圆心为，连接， 则，且平面， 平面，所以，又，， 所以，又，平面， 所以平面，且， ， 所以.    故选：B. 10．已知球的体积为，且该球的表面积与底面半径为2的圆锥的侧面积相等，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用球的体积公式，计算出球半径，然后根据球的表面积公式与圆锥的侧面积公式，列式算出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，利用锥体的体积公式算出答案． 【详解】设球的半径为，则球体积，解得， 所以球的表面面积， 设圆锥的母线长为，底面圆半径为， 则，即，解得， 因此该圆锥的高， 可得圆锥的体积． 故选：B． 11．如图，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下去，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的内切球（球与正四棱锥各面均有且只有一个公共点）的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得正四棱锥的斜高为5，底面正方形的边长为6，从而可得正四棱锥的高，设这个正四棱锥的内切球的半径为，高线与斜高的夹角为，则易得，，从而可得，再代入球的体积公式，即可求解． 【详解】作出四棱锥如图： 根据题意可得正四棱锥的斜高为，底面正方形的边长为6， 正四棱锥的高为， 设这个正四棱锥的内切球的球心为，半径为，与侧面相切于， 则高线与斜高的夹角为，则， 则, ，， 这个正四棱锥的内切球的体积为． 故选：B． 12．某圆环的内外半径分别为2和4，将其绕对称轴旋转一周后得到的几何体体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，几何体体积为大球的体积减去小球的体积，再结合球的体积公式求解． 【详解】解：由题意可知，几何体体积为大球的体积减去小球的体积， 所以几何体体积为． 故选：C． 二、多选题 13．如图，在正四面体中，已知，为棱的中点. 现将等腰直角三角形绕其斜边旋转一周（假设可以穿过正四面体内部），则在旋转过程中，下列结论正确的是（    ） A．三角形绕斜边旋转一周形成的旋转体体积为 B．四点共面 C．点到的最近距离为 D．异面直线与所成角的范围为 【答案】BCD 【分析】对于A:由题意知旋转体为两个同底等高的圆锥组合体，由此求出组合体的体积． 对于B：由线面垂直，和线线垂直，又有公共点即可判断； 对于C: 设为的中点，令为的中点,点在以为圆心，1为半径的圆上运动，作出图形， 可知当三点共线，可求最小值； 对于D：结合B、C选项可判断. 【详解】对于A：因为，所以等腰直角三角形的直角边为，斜边的高为1； 旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥组合体，其圆锥的底面半径为1，高为1； 所以几何体的体积为 ，A错误； 对于B: 在正四面体中，各个侧面都是等边三角形，又因为为棱的中点， 所以，又相交于点，又都在平面内， 所以平面，又，与平面有一个公共点， 所以在平面内，所以四点共面，故B正确； 对于C: 在图1中，令为的中点，为的中点，则点在以为圆心，1为半径的圆上运动， 由图可知当三点共线，且当运动到的位置时，到的距离最小， 在中，，所以，C正确 对于D:由B、C可知，在圆锥的底面内，如图1，由圆锥轴截面中，， 由线面角的概念可知，与圆锥底面中的直线所成最小角就是，最大角一定为 由此可知异面直线与所成角的范围为，正确 故选:BCD 14．如图，在棱长为1的正方体中，为平面内一动点，则下列说法不正确的是（    ） A．若在线段上，则的最小值为 B．平面被正方体内切球所截，则截面面积为 C．若与所成的角为，则点的轨迹为椭圆 D．对于给定的点，过有且仅有3条直线与直线所成角为 【答案】C 【分析】把矩形与正方形置于同一平面，求出长判断A；求出内切球球心到平面，求出截面小圆半径判断B；建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角建立方程判断C；利用异面直线所成角的意义转化判断D. 【详解】对于A，正方体的对角面是矩形，把矩形与正方形 置于同一平面，且在直线两侧，连接，则， 当且仅当为与的交点时取等号，A正确； 对于B，令正方体内切球球心为，连接，为正方体的中心， ，，正半径， 正三棱锥底面上的高，又球的半径为， 则被截得的圆的半径为，面积为，B正确； 对于C，建立空间直角坐标系，如图， 则，设，有， 则，整理得， 则的轨迹是双曲线，C错误； 对于D，显然过的满足条件的直线数目等于过的满足条件的直线的数目，， 在直线上取点，使，不妨设，则， 则四面体是正四面体，有两种可能，直线也有两种可能， 若，则只有一种可能，就是与的角平分线垂直的直线，所以直线有三种可能，D正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：选项A中，关键是将空间中的两距离之和最短转化为平面内三点共线时长度最短问题求解. 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题 15．圆锥的高为2，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【分析】结合圆锥的几何特征，分别求出，最后应用圆锥体积公式计算. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，则， 所以，所以圆锥的体积为. 故答案为： 16．如图所示，将棱长为1的正方体截去一个三棱锥得到多面体，在该多面体内放入一个球，则球的半径的最大值为 ． 【答案】 【分析】分析可知球O半径最大时，球O与平面ABCD，平面，平面，平面均相切，进而结合正方体的几何特征列式求解即可. 【详解】如图，设球心为O，半径为r， 由题可知，球O半径最大时，与平面ABCD，平面，平面，平面均相切， 设球O与平面ABCD相切于点H，与平面相切于点，则为的中心， 可知，，可得， 由，可得，解得. 故答案为：. 17．如图，在正方体中，点M为棱的中点，记过点与AM垂直的平面为，平面将正方体分成两部分，体积较大的记为V大，另一部分的体积为，则 . 【答案】/ 【分析】做辅助线，根据垂直关系可证平面，可知平面即为平面，进而结合三棱台的体积公式分析求解. 【详解】分别取的中点，连接，则∥， 且∥，，可知为平行四边形，则∥， 可得∥，即四点共面， 因为平面，平面，则， 又因为， 即，可知，可得， 且，平面， 可得平面，由平面，可得， 连接， 因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面， 可得平面，由平面，可得， 且，平面， 可得平面，可知平面即为平面， 设正方体的棱长为2， 则正方体的体积为，三棱台的体积为， 可知，，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于利用垂直关系分析可知平面即为平面，进而分析体积. 18．在平面四边形中，，将沿折起，使点到达，且，则四面体的外接球的体积为 ；若点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆中面积最小的圆半径为 ． 【答案】 / 【分析】先由题意求出，从而得的中点满足，进而得的中点为四面体的外接球的球心，再依据条件求出外接球半径即可得四面体的外接球的体积；过点作球的截面，截面圆面积最小只需截面圆半径最小，从而依据球的截面性质可知，截面圆面积最小，只需球心到截面的距离最大即可，再由球的结构特征可知，接着取的中点，依据已知条件求出即可依据求出，进而依据求出. 【详解】由题意知，，，， 由勾股定理可知， 所以，取的中点， 所以， 所以四面体的外接球的球心在斜边的中点处， 四面体的外接球的半径，外接球的体积； 根据题意可知，过点作球的截面，若要所得的截面圆面积最小，只需截面圆半径最小， 设球到截面的距离为， 则由球的截面性质可知， 故若要所得的截面圆面积最小，只需球心到截面的距离最大即可， 又由球的结构特征可知当且仅当与截面垂直时，球心到截面的距离最大，即， 取的中点， 所以， 所以截面圆的半径为. 故答案为：；. 【点睛】结论点睛：（1）球心与球的截面圆圆心所在直线垂直于截面， （2）球的半径R与球的截面圆半径r以及球心与球的截面圆的距离d的关系为：. 19．如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形周长是 ． 【答案】 【分析】由直观图还原为原图，分别求得边长从而得到周长. 【详解】如图所示， 在直观图中，设与交于点，则，，， 在原图形中，，，，， 所以原图形的周长是． 故答案为：． 20．清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的全等正四面体组合而成（每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点）.如图，若正四面体棱长为2，则该组合体的表面积为 ；该组合体的外接球体积与两正交四面体公共部分的内切球体积的比值为 . 【答案】 27 【分析】该组合体一共有 24 个面，每一个面都是全等的边长为 1 的等边三角形，则可求出其表面积；该组合体的外接球也是任意一个正四面体的外接球，可用一个正四面体来看，求出外接球半径为 ，两正交四面体公共部分一共有 8 个面，且每一个面都是全等的边长为 1 的等边三角形，则中间部分的体积为 ，设其内切球半径为 ，由 ，求出 ，即可得到体积的比值. 【详解】该组合体一共有 24 个面，每一个面都是全等的边长为 1 的等边三角形， 则其表面积为 ; 该组合体的外接球也是任意一个正四面体的外接球，可用一个正四面体来看， 是 的中心， 是球心， 则 ，则 ， ， 设外接球半径为 ，则 ， 又 ，解得 , 两正交四面体公共部分一共有 8 个面，且每一个面都是全等的边长为 1 的等边三角形， 则其表面积为 ， 大正四面体的体积为 则每个小正四面体的体积为 ， 则中间部分的体积为 ， 设其内切球半径为 ，则中间部分的体积也可表示为 ，解得 ， 故外接球和内切球体积之比为 故答案为：；. 21．已知半径为的球，在球内有一内接圆台，圆台的一个底面为球的大圆，则该圆台侧面积的最大值 ． 【答案】 【分析】设出圆台的上底面半径，将圆台侧面积表示为上底面半径的函数，求导确定单调性从而求出圆台侧面积的最大值进而求解. 【详解】设圆台的上底面半径为，高为，母线长为（如图所示）， 则． ， ． 设，其中， 则，令，则（舍去）， 所以当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减． 所以的最大值为，所以圆台侧面积的最大值为， 故答案为： 四、解答题 22．如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，，平面平面. (1)求证：平面平面； (2)若PD与平面PBC所成的角为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取PB的中点M，连接AM.利用面面垂直的性质定理证明平面，从而利用线面垂直的性质及线面垂直的判定定理得平面，进而利用面面垂直的判定定理即可证明. （2）取PC的中点N，连接MN、DN，利用平行四边形性可得，则有平面，利用线面角的定义得是PD与平面PBC所成的角，再利用等体积法求解体积即可. 【详解】（1）取PB的中点M，连接AM.∵，∴. 又平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又平面，∴. ∵底面ABCD是直角梯形，且， ∴，∴. 又，，平面，∴平面. 又平面，∴平面平面. （2）取PC的中点N，连接MN、DN，则，. ∴四边形AMND是平行四边形，则. 又平面，∴平面，则是PD与平面PBC所成的角， 即，在中，. 在直角梯形ABCD中，，∴， ∴，∴， 在中，， ∴是等边三角形，从而. ∴. 故所求三棱锥的体积为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 基本立体图形及其表面积与体积 【考点1 基本立体图形】 【考点2 空间几何体的表面积】 【考点3 空间几何体的体积】 【考点4 几何体的内切球】 【考点5 几何体的外接球】 【考点6空间几何体的截面问题】 知识点1 空间几何体的结构特征 1、多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点，但不一定相等 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2、特殊的棱柱和棱锥 （1）侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． （2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱长均相等的正三棱锥叫做正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心． 【注意】 （1）棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱． （2）棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台． （3）注意棱台的所有侧棱相交于一点． 3、旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆形 旋转轴 任一边所在的直线 任一直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 4、空间几何体的直观图 （1）画法：常用斜二测画法． （2）规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． （3）直观图与原图形面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：S直观图＝S原图形；S原图形＝2S直观图． 知识点2 空间几何体的表面积和体积 1、空间几何体的表面积和体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 几何体的表面积和侧面积的注意点 ①几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和． ②组合体的表面积应注意重合部分的处理． 2、柱体、锥体、台体侧面积间的关系 （1）当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥， 则S正棱柱侧＝ch′ S正棱台侧＝(c＋c′)h′S正棱锥侧＝ch′. （2）当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥， 则S圆柱侧＝2πrl S圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl. 3、柱体、锥体、台体体积间的关系 【考点1 基本立体图形】 【典例1】已知圆锥的轴截面是边长为3的等边三角形，且该圆锥底面圆和顶点都在球的球面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知圆锥在正方体内，，且垂直于圆锥的底面，当该圆锥的底面积最大时，圆锥的体积为（    ）    A． B． C． D． 【变式1-2】设正四棱锥的底面中心为O，以O为球心的球面与正四棱锥的所有棱均相切，若正四棱锥的体积为，则球O的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在正三棱柱中，，直线与平面所成角的正切值为，则正三棱柱的外接球的半径为（    ）    A．2 B． C． D． 【考点2 空间几何体的表面积】 【典例2】攒尖式屋顶是中国古代传统建筑的一种屋顶样式，如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知该圆锥的底面直径为，高为，则该屋顶的面积约为（   ）    A． B． C． D． 【变式2-1】已知某简单组合体的三视图如图所示，根据图中所示数据（单位：cm）可得该几何体的表面积为（    ） A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．300πcm2 【变式2-2】已知圆锥的底面半径为1，过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥截成上､下两部分，若截得小圆锥的体积为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】在直三棱柱中，，，点P在四边形内（含边界）运动，当时，点P的轨迹长度为，则该三棱柱的表面积为（    ） A．4 B． C． D． 【考点3 空间几何体的体积】 【典例3】某模型的上部分是半球，下部分是圆台，且圆台较小的底面与半球大圆面完全重合．若半球的体积为，圆台的较小底面半径及高均是另一底面半径的一半．则该模型的体积为（   ） A． B． C． D． 13．为了美化广场环境，县政府计划定购一批石墩．已知这批石墩可以看作是一个圆台和一个圆柱拼接而成，其轴截面如下图所示，其中，，则该石墩的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图1中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面．在底面中，若，则该几何体的体积为（    ） A． B． C．27 D． 【变式3-2】如图1，一个圆柱形笔筒的底面直径为，（笔筒壁的厚度忽略不计），母线长为，该圆柱形笔筒的直观图如图2所示，，分别为该圆柱形笔筒的上底面和下底面直径，且，则三棱锥的体积为（   ）    A． B． C． D． 【变式3-3】某圆台的下底面周长是上底面周长的4倍，母线长为10，该圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【考点4 几何体的内切球】 【典例4】如图，正四棱台有内切球，且.    (1)设平面平面，证明平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【变式4-1】若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面为正三角形且垂直于底面，M为四棱锥内切球表面上一点，则点M到直线距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则该正八面体结构的内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】已知三棱柱中，，，平面垂直平面，，若该三棱柱存在体积为的内切球，则三棱锥体积为（   ） A． B．4 C．2 D． 【考点5 几何体的外接球】 【典例5】已知正方体的棱长为2，P为的中点，过A，B，P三点作平面，则该正方体的外接球被平面截得的截面圆的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知某正六棱柱的体积为，其外接球体积为，若该六棱柱的高为整数，则其表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，是边长为4的正三角形，D是BC的中点，沿AD将折叠，形成三棱锥．当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的体积为（    ）     A． B． C． D． 【变式5-3】已知是边长为4的等边三角形，将它沿中线折起得四面体，使得此时，则四面体的外接球表面积为 ． 【考点6空间几何体的截面问题】 【典例6】某圆锥母线长为，底面半径为2，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面的面积最大时，此截面将底面圆周所分成的两段弧长之比（较短弧与较长弧之比）为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知圆台的母线长为4，下底面圆的半径是上底面圆的半径的3倍，轴截面周长为16，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知一个正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为过其外接球球心作平行于底面的截面，则截得的棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，已知直三棱柱的体积为4，AC⊥BC，，D为的中点，E为线段AC上的动点（含端点），则平面BDE截直三棱柱所得的截面面积的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【变式6-4】已知正三棱锥的外接球是球，正三棱锥底边，侧棱，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．在半径为的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．在四面体ABCD中，，，，则该四面体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．已知三棱锥的四个顶点均在球上，平面．若，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆锥的顶点为P，底面圆的直径，，则该圆锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 5．已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设为空间内一点，且五点在同一个球面上，若，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 6．已知正四面体棱长为4，半径为的球与侧面、、都相切，则该球心到棱的距离为（    ） A． B． C． D． 7．三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，平面，为等腰三角形且面积为，.若该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知正方形ABCD为圆柱的轴截面，，E，F为上底面圆周上的两个动点，且EF过上底面的圆心G，若，则三棱锥的体积为（    ）    A． B． C． D． 10．已知球的体积为，且该球的表面积与底面半径为2的圆锥的侧面积相等，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 11．如图，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下去，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的内切球（球与正四棱锥各面均有且只有一个公共点）的体积为（    ） A． B． C． D． 12．某圆环的内外半径分别为2和4，将其绕对称轴旋转一周后得到的几何体体积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 13．如图，在正四面体中，已知，为棱的中点. 现将等腰直角三角形绕其斜边旋转一周（假设可以穿过正四面体内部），则在旋转过程中，下列结论正确的是（    ） A．三角形绕斜边旋转一周形成的旋转体体积为 B．四点共面 C．点到的最近距离为 D．异面直线与所成角的范围为 14．如图，在棱长为1的正方体中，为平面内一动点，则下列说法不正确的是（    ） A．若在线段上，则的最小值为 B．平面被正方体内切球所截，则截面面积为 C．若与所成的角为，则点的轨迹为椭圆 D．对于给定的点，过有且仅有3条直线与直线所成角为 第II卷（非选择题） 三、填空题 15．圆锥的高为2，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为 . 16．如图所示，将棱长为1的正方体截去一个三棱锥得到多面体，在该多面体内放入一个球，则球的半径的最大值为 ． 17．如图，在正方体中，点M为棱的中点，记过点与AM垂直的平面为，平面将正方体分成两部分，体积较大的记为V大，另一部分的体积为，则 . 18．在平面四边形中，，将沿折起，使点到达，且，则四面体的外接球的体积为 ；若点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆中面积最小的圆半径为 ． 19．如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形周长是 ． 20．清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的全等正四面体组合而成（每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点）.如图，若正四面体棱长为2，则该组合体的表面积为 ；该组合体的外接球体积与两正交四面体公共部分的内切球体积的比值为 . 21．已知半径为的球，在球内有一内接圆台，圆台的一个底面为球的大圆，则该圆台侧面积的最大值 ． 四、解答题 22．如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，，平面平面. (1)求证：平面平面； (2)若PD与平面PBC所成的角为，求三棱锥的体积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$