专题14 直线和圆（知识串讲+热考题型+真题训练）-备考2025年高考数学一轮复习高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

专题14 直线和圆 【考点1 直线的倾斜角与斜率范围】 【考点2 求解直线方程】 【考点3 由一般式方程确定两直线位置关系】 【考点4 两条直线的交点与距离问题】 【考点5 对称问题的求解方法】 【考点6 求圆的方程的两种方法】 【考点7 求与圆有关的轨迹问题的方法】 【考点8 解决有关弦长问题的常用方法及结论】 【考点9求过一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法】 【考点10圆与圆的位置关系问题】 【考点11两圆的公共弦问题】 【考点12两圆的公切线问题】 知识点1 直线的方程 1、直线的倾斜角 （1）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0． （2）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)． 2、直线的斜率 （1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，倾斜角是的直线没有斜率． （2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝． 3、直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线 截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 （A2＋B2≠0） 平面直角坐标系内所有直线 【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． 知识点2 两条直线的位置关系 1.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. （2）两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. 2. 直线过定点问题 （1）如果一条直线经过某一定点，那么这条直线就是过该定点的直线．这里面可以看出，过一个定点的直线是不唯一的，事实上是由无数条直线组成． （2）假如有一定点A的坐标为（m，n），那么过该定点的直线的表达式为y＝k（x﹣m）+n或者是x＝m． 3.两条直线的交点坐标 1.两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)， 则l1与l2的交点坐标就是方程组的解． 4.两点间距离公式 （1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. （2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. （3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 知识点3 圆的方程 1.圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b)半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 2.点与圆的位置关系 点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆内 3.二元二次方程与圆的关系 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆． 若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有： （1）当F＝0时，圆过原点． （2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上． （3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点． （4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切． 4.轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3、求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 知识点4：直线与圆的位置关系及判断 （1）三种位置关系：相交、相切、相离． （2）两种判断方法： ① ② 知识点5：圆的切线与切线长 （1）过圆上一点的圆的切线 ①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2. ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. （2）过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0. （3）切线长 ①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线， 切线长为 . ②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝. 【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 知识点6：圆的弦长 直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法： （1）几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. （2）代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|. 知识点7：圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 相离 外切 相交 内切 内含 图形 量的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| 【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论． （2）两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 【考点1 直线的倾斜角与斜率范围】 【典例1】已知直线过点，，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】动点P在函数的图象上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A．[－2，0)∪(0，] B．(－∞，－]∪[2，＋∞) C．[－2，] D．(－∞，－2]∪[，＋∞) 【考点2 求解直线方程】 【典例2】已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 【变式2-1】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，以，为邻边作平行四边形，点恰好在上．若线段的中点在直线上，则直线的方程为（    ） A．B． C． D． 【变式2-2】过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 . 【变式2-3】已知为坐标原点，，为圆上一点且在第一象限，，则直线的方程为 ． 【考点3 由一般式方程确定两直线位置关系】 【典例3】已知直线，“”是“ ”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】已知，，直线和垂直，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【考点4 两条直线的交点与距离问题】 【典例4】抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】若直线与直线平行，则直线与的距离为 . 【考点5 对称问题的求解方法】 【典例5】直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】直线关于直线对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【变式5-4】直线关于点对称的直线方程为 ． 【变式5-5】已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ． 【考点6 求圆的方程】 【典例6】过点引圆：的两条切线，切点分别为，．若，则过，，三点的圆的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式6-1】经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，已知，，，则的外接圆的标准方程为 ． 【变式6-4】已知圆与直线交于A，B两点，则经过点A，B，的圆的方程为 ． 【考点7 求与圆有关的轨迹问题的方法】 【典例7】已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B． (1)求圆的圆心坐标； (2)求线段的中点M的轨迹C的方程． 【变式7-1】在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知是圆的切线，点为切点，若，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为 ． 【考点8 解决有关弦长问题的常用方法及结论】 【典例8】已知圆心为的与直线相切，则直线被截得的弦长为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式8-1】圆被直线所截线段的长度为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式8-2】已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【变式8-3】已知圆关于直线对称，圆与轴交于两点，则 【考点9求过一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法】 【典例9】已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 【变式9-1】圆，直线，若直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点是，使得，则实数的取值范围是 ． 【变式9-2】过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【考点10圆与圆的位置关系问题】 【典例10】已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【变式10-1】已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．内切 D．内含 【变式10-2】已知圆和圆，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点11两圆的公共弦问题】 【典例11】已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（  ） A． B． C． D． 【变式11-1】圆与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】已知是圆上的动点，点满足，记点的轨迹为，若圆与轨迹的公共弦方程为，则（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】圆与圆的公共弦长为 . 【考点12两圆的公切线问题】 【典例12】若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】圆与圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式12-2】已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】圆与圆的公切线的方程为 ． 【变式12-4】圆与圆的公切线长为 . 一、单选题 1．过直线上的点P作圆C：的两条切线，，当直线，关于直线对称时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．动点P在函数的图像上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．双曲线的一个顶点到渐近线的距离为（    ）． A． B．4 C． D． 4．过点向圆作两条切线，切点分别为，若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．已知，为圆：上的动点，且动点满足：，记点的轨迹为，则（    ） A．为一条直线 B．为椭圆 C．为与圆相交的圆 D．为与圆相切的圆 6．已知点P在抛物线M：上，过点P作圆C：的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（    ） A．5 B． C．6 D． 7．下列方程中表示圆心在直线 上，半径为 ，且过原点的圆的是 （   ） A． B． C． D． 8．已知 过坐标原点O作的两条切线，切点为A、B，则四边形的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 9．已知拋物线，其焦点到准线的距离为2，过焦点且斜率大于0的直线交拋物线于两点，以为直径的圆与准线相切于点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．过圆C：上的点作圆C切线l，则l的倾斜角为 . 11．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为 ． 12．设，是半径为3的球体表面上两定点，且，球体表面上动点满足，则点的轨迹长度为 . 13．已知圆，过点的直线交圆于，两点，且，则直线的方程为 . 14．已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与相交于两点，且，则圆的标准方程为 ． 三、解答题 15．已知点，圆过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点． (1)求的轨迹方程； (2)当，求的方程及的面积． 16．已知抛物线的准线与圆相切． (1)求的方程； (2)点是上的动点，且，过点作圆的两条切线分别与交于两点，求面积的最小值． 17．已知椭圆的右焦点为，直线与相交于、两点． (1)求直线l被圆所截的弦长； (2)当时，． （i）求的方程； （ii）证明：对任意的，的周长为定值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 直线和圆 【考点1 直线的倾斜角与斜率范围】 【考点2 求解直线方程】 【考点3 由一般式方程确定两直线位置关系】 【考点4 两条直线的交点与距离问题】 【考点5 对称问题的求解方法】 【考点6 求圆的方程的两种方法】 【考点7 求与圆有关的轨迹问题的方法】 【考点8 解决有关弦长问题的常用方法及结论】 【考点9求过一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法】 【考点10圆与圆的位置关系问题】 【考点11两圆的公共弦问题】 【考点12两圆的公切线问题】 知识点1 直线的方程 1、直线的倾斜角 （1）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0． （2）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)． 2、直线的斜率 （1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，倾斜角是的直线没有斜率． （2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝． 3、直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线 截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 （A2＋B2≠0） 平面直角坐标系内所有直线 【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． 知识点2 两条直线的位置关系 1.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. （2）两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. 2. 直线过定点问题 （1）如果一条直线经过某一定点，那么这条直线就是过该定点的直线．这里面可以看出，过一个定点的直线是不唯一的，事实上是由无数条直线组成． （2）假如有一定点A的坐标为（m，n），那么过该定点的直线的表达式为y＝k（x﹣m）+n或者是x＝m． 3.两条直线的交点坐标 1.两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)， 则l1与l2的交点坐标就是方程组的解． 4.两点间距离公式 （1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. （2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. （3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 知识点3 圆的方程 1.圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b)半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 2.点与圆的位置关系 点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆内 3.二元二次方程与圆的关系 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆． 若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有： （1）当F＝0时，圆过原点． （2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上． （3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点． （4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切． 4.轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3、求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 知识点4：直线与圆的位置关系及判断 （1）三种位置关系：相交、相切、相离． （2）两种判断方法： ① ② 知识点5：圆的切线与切线长 （1）过圆上一点的圆的切线 ①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2. ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. （2）过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0. （3）切线长 ①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线， 切线长为 . ②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝. 【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 知识点6：圆的弦长 直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法： （1）几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. （2）代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|. 知识点7：圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 相离 外切 相交 内切 内含 图形 量的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| 【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论． （2）两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 【考点1 直线的倾斜角与斜率范围】 【典例1】已知直线过点，，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，由斜率与倾斜角关系即可求解. 【详解】由题可得：，所以直线的倾斜角为：； 故选：C 【变式1-1】动点P在函数的图象上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义及直线的倾斜角与斜率的关系即可求解． 【详解】设以点为切点的切线的倾斜角为， 因为函数， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又因为， 所以， 所以. 故选：C. 【变式1-2】已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A．[－2，0)∪(0，] B．(－∞，－]∪[2，＋∞) C．[－2，] D．(－∞，－2]∪[，＋∞) 【答案】D 【分析】求出和，数形结合观察满足直线l过点且与线段AB有公共点下斜率的变化情况即可求出结果. 【详解】根据题意，作出图形如下图： 直线PA的斜率为，直线PB的斜率为， 所以由图可知过点且与线段AB有公共点时，直线l的斜率取值范围是. 故选：D. 【考点2 求解直线方程】 【典例2】已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意设直线的方程为，代入求出参数的值，即可得解. 【详解】因为直线平行于直线，所以直线可设为， 因为在轴上的截距是，则过点，代入直线方程得， 解得，所以直线的方程是. 故选：C 【变式2-1】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，以，为邻边作平行四边形，点恰好在上．若线段的中点在直线上，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，利用点差法得到，根据平行四边形的性质及点在椭圆上得到，求出k和点M的坐标，结合直线的点斜式方程即可求解. 【详解】设，，， 则，两式相减，得， 故，即①． 又四边形为平行四边形，为线段的中点，所以为线段的中点， 所以，又P在椭圆上， 所以，即②． 由①②，得，故直线的方程为， 即． 故选：B． 【变式2-2】过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 . 【答案】 【分析】联立直线求解交点，即可根据点斜式求解直线方程. 【详解】联立与可得， 故交点为，倾斜角为，所以斜率为1， 故直线方程为，即， 故答案为： 【变式2-3】已知为坐标原点，，为圆上一点且在第一象限，，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】数形结合求得直线的倾斜角，进而即可求得直线方程. 【详解】根据题意，作图如下：    易知点在圆上，由可知，， 所以，又因为，所以， 则直线斜率，故直线的方程为． 故答案为：. 【考点3 由一般式方程确定两直线位置关系】 【典例3】已知直线，“”是“ ”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，由直线平行的判断方法分析“”和“”的关系，结合充分必要条件的定义分析可得答案. 【详解】若直线与平行， 则，解得或， 所以“”是“ ”的充分不必要条件. 故选：. 【变式3-1】已知，，直线和垂直，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意利用两直线垂直的性质，求得，再利用基本不等式，求得的最小值． 【详解】，，直线，，且， ，即． 则，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为8， 故选：B． 【变式3-2】已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线的斜率，再由直线与垂直，求出直线的斜率，然后由倾斜角与斜率的关系可求得结果. 【详解】由，得，则， 因为直线与垂直，所以， 所以，得， 设直线的倾斜角为，则， 因为，所以， 故选：C 【变式3-3】已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线垂直的充要条件即可列式得解. 【详解】直线的斜率为2，又两直线互相垂直，所以直线的斜率为， 即且，，所以. 故选：D. 【考点4 两条直线的交点与距离问题】 【典例4】抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，抛物线的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，再由点到直线的距离公式即可求得距离. 【详解】由，得焦点坐标为，又双曲线渐近线方程为， 即，则由点到直线的距离公式得. 故选：A. 【变式4-1】若直线与直线平行，则直线与的距离为 . 【答案】/ 【分析】根据直线平行求得，进而结合两平行线间距离公式分析求解. 【详解】由于与平行，则，即，解得或， 当时，两直线方程分别为，此时两直线重合，不符合题意； 当时，两直线方程分别为，此时两直线平行，符合题意； 综上所述：，两直线方程分别为， 所以直线与的距离为. 故答案为：. 【考点5 对称问题的求解方法】 【典例5】直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果. 【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为， 则其关于点对称的点的坐标为， 因为点在直线上， 所以即. 故选：D. 【变式5-1】直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程组求出两条直线的交点坐标，再求出直线上的点关于直线的对称点即可求解. 【详解】由，解得，则直线与直线交于点， 在直线上取点，设点关于直线的对称点， 依题意，，整理得，解得，即点， 直线的方程为，即， 所以直线关于直线对称的直线方程为. 故选：D 【变式5-2】直线关于直线对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图象，找出一个对称点和直线与直线的交点，即可求出对称直线的方程. 【详解】由题意， 在直线中，作出图象如下图所示， 由图可知，点关于直线对称的点为, 直线与直线的交点为, ∴关于直线对称的直线方程为：，即， ∴关于直线对称的直线方程是：. 故选：B. 【变式5-3】设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线上一点，即可求解. 【详解】联立，得， 取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：， 直线的斜率，所以直线的方程为， 整理为：. 故选：A 【变式5-4】直线关于点对称的直线方程为 ． 【答案】 【分析】在直线上取点、，求出这两点关于点的对称点的坐标，并求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】在直线上取点、， 点关于点的对称点为，点关于点的对称点为， 直线的斜率为， 所以，所求直线方程为，即. 故答案为：. 【变式5-5】已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ． 【答案】. 【分析】由于两条直线平行，所以可设，利用对称的性质，可求得，进而求得直线方程为. 【详解】由题意知，设直线，在直线上取点， 设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即， 将代入的方程得， 所以直线的方程为. 故答案为： 【考点6 求圆的方程】 【典例6】过点引圆：的两条切线，切点分别为，．若，则过，，三点的圆的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】求出圆心，半径，根据得到，进而求出，得到点坐标，得到圆心和半径，得到圆的方程. 【详解】由，得，可得圆心，半径． 由，得，所以， 故，即， 解得或，则或， 根据 ， ，故四点共圆，且为直径， 所以线段的中点为或，且， 所以过，，三点的圆的方程为或． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用四点共圆确定，，三点的圆的几何性质，从而得解. 【变式6-1】经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设经过，，三个点的圆的方程为，代入三点坐标可得答案. 【详解】设经过，，三个点的圆的方程为 ， 由题意可得，解得， 且满足， 所以经过，，三个点的圆的方程为， 即为. 故选：C. 【变式6-2】过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆系方程，利用圆心坐标求出参数，建立方程求解即可. 【详解】经过圆：和圆：交点的圆可设为，即， 圆心在直线上，故，解得， 所以圆的方程为. 故选：A. 【变式6-3】在平面直角坐标系中，已知，，，则的外接圆的标准方程为 ． 【答案】； 【分析】利用待定系数法，结合配方法即可得解. 【详解】依题意，设的外接圆的一般方程为， 则，解得， 所以所求圆的一般方程为， 则其标准方程为. 故答案为：. 【变式6-4】已知圆与直线交于A，B两点，则经过点A，B，的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】设，直线方程与圆的方程联立求出点坐标，设经过点A，B，的圆的方程为，代入三点坐标解方程组可得答案. 【详解】设， 由解得， 可得， 设经过点A，B，的圆的方程为 ， 所以，解得， 即，可得. 故答案为：. 【考点7 求与圆有关的轨迹问题的方法】 【典例7】已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B． (1)求圆的圆心坐标； (2)求线段的中点M的轨迹C的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，将圆的一般式化为标准式，即可得到结果； （2）根据题意，由列出方程，化简即可得到结果. 【详解】（1）圆的方程可变形为， 故的圆心坐标为，半径为2. （2）设，因为点M是的中点，， ， 故， 由此可得， 故轨迹方程为，轨迹是以圆心为，半径为的圆. 【变式7-1】在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两圆外切和内切两种情况，根据两圆位置关系结合双曲线的定义分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 设，以线段FP为直径的圆的圆心为M，半径为， 若圆与圆外切，则，， 可得； 若圆与圆内切，则，， 可得； 综上所述：， 可知动点P的轨迹是以为焦点的双曲线，且，则， 所以动点P的轨迹方程为. 故选：B. 【变式7-2】已知是圆的切线，点为切点，若，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由圆的定义可知点的轨迹为圆，再由圆的方程即可得到结果. 【详解】因为，所以点到圆心的距离恒为， 所以点的轨迹方程是以为圆心，为半径的圆，即， 故选：B 【变式7-3】已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设动圆的半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是，再利用抛物线的定义求解. 【详解】由题意得，直线l：，且圆N：， 设圆M半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是， 故点M的轨迹是以N为焦点，以l＇为准线的抛物线，故方程为． 故答案为： 【考点8 解决有关弦长问题的常用方法及结论】 【典例8】已知圆心为的与直线相切，则直线被截得的弦长为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】首先求出圆心到直线的距离即为半径，再求出圆心到直线的距离，最后由勾股定理计算可得. 【详解】因为圆心到直线的距离， 即圆的半径， 又圆心到直线的距离， 所以直线被截得的弦长为. 故选：D 【变式8-1】圆被直线所截线段的长度为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知圆心和半径，求圆心到直线的距离，结合垂径定理分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 所以所截线段的长度为. 故选：D. 【变式8-2】已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时.    故选：C 【变式8-3】已知圆关于直线对称，圆与轴交于两点，则 【答案】 【分析】先根据圆关于直线对称，得到直线经过圆心，求出圆心，再运用弦长公式求解即可. 【详解】圆0，即，圆心， 因为圆关于直线对称，所以，解得， 所以圆，圆心，半径，则圆心到轴的距离， 所以． 故答案为：. 【考点9求过一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法】 【典例9】已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】由二级结论：若点在圆外，过点引圆的两条切线，切点为，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程为（圆的方程为），代入即可的直线的方程. 【详解】由题意，切点弦所在直线的方程为: ， 化简得：. 故答案为：. 【变式9-1】圆，直线，若直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点是，使得，则实数的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】由直线与圆相切的几何关系，确定点的关键方程，再利用直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由可得，由可得 ，所以点在以为圆心，为半径的圆上， 其方程为．又点在直线上， 故直线与圆有公共点，所以， 解得，所以或． 故答案为：或 【变式9-2】过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线与圆相切得到直角三角形利用边长求解即可. 【详解】 中， ，即 故选：A 【变式9-3】已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，可知当OP最小时，最大，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径为1， 则圆心到直线的距离为，可知直线与圆相离， 因为，且， 当最小时，则最大，可得最大，即最大， 又因为的最小值即为圆心到直线的距离为， 此时，所以取得最大值． 故选：C． 【考点10圆与圆的位置关系问题】 【典例10】已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】A 【分析】求出两圆圆心坐标与半径，再求出圆心距与半径之和、半径之差的绝对值比较，即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径， 则，故，所以两圆内含； 故选：A 【变式10-1】已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．内切 D．内含 【答案】D 【分析】根据点到直线的距离公式求的值，再利用几何法判断两圆的位置关系. 【详解】圆： ，所以圆心，半径为. 由点到直线距离公式得：，且，所以. 又圆的圆心，半径为：1. 所以，. 由，所以两圆内含. 故选：D 【变式10-2】已知圆和圆，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据圆与圆的位置关系求两圆圆心距及两圆半径，从而可判断两圆位置关系，即可得公切线条数. 【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心，半径， 则，故两圆外切，则两圆公切线的条数为. 故选：C. 【考点11两圆的公共弦问题】 【典例11】已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆方程作差即可. 【详解】由圆，圆， 两式作差得，，即， 所以两圆的公共弦所在直线方程是. 故选：B. 【变式11-1】圆与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，再求出圆心到公共弦的距离，由弦长即可求出两圆的公共弦长. 【详解】由，作差 得两圆的公共弦所在直线的方程为． 由，得． 所以圆心，半径， 则圆心到公共弦的距离． 所以两圆的公共弦长为． 故选：D． 【变式11-2】已知是圆上的动点，点满足，记点的轨迹为，若圆与轨迹的公共弦方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相关点法求得圆的轨迹方程，进而得到两圆的公共弦的方程，利用待定系数法得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】因为点在圆上的动点，点满足， 设，，则， 所以，即， 代入圆的方程，可得，即， 可得两圆的公共弦的方程为，即， 又因为两圆的公共弦的方程为，可得 ，解得. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用向量的线性运算与相关点法，求得圆的轨迹方程，从而得解. 【变式11-3】圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【分析】将两个圆的方程作差可得公共弦所在的直线，再求出到直线的的距离，则公共弦长为，即可得出答案. 【详解】将两个圆的方程作差得：，即公共弦所在的直线为， 又知，，则到直线的的距离为： ，所以公共弦长为， 故答案为：. 【考点12两圆的公切线问题】 【典例12】若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与圆相切的关系及点到直线的位置关系即可求解. 【详解】已知的圆心，半径是的圆心是，半径是2． 由题知直线是和的公切线， 当时，直线为，此时直线与圆不相切，所以， 由，解得， 则有． 故选：A． 【变式12-1】圆与圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求出两圆圆心距离即半径后，可得位置关系，由位置关系可得公切线条数. 【详解】由可知圆心为，半径， 由，即， 则圆心为，半径， 则两圆圆心距离为，，， 故，即两圆相交，故公切线条数为2条. 故选：B. 【变式12-2】已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式逐项验证即可. 【详解】由题意知：， 所以圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为2， 对于A，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于B，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于C，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于D，圆的圆心到直线的距离为，不满足相切条件， 即直线不可能是两圆的公切线； 故选：D. 【变式12-3】圆与圆的公切线的方程为 ． 【答案】 【分析】先判断两圆位置关系，然后将圆化为一般式，两式相减可得. 【详解】圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为6， 因为，所以两圆内切，只有一条公切线， 将圆化为一般式得： ，， 两式相减得，即， 所以圆的公切线的方程为. 故答案为： 【变式12-4】圆与圆的公切线长为 . 【答案】4 【分析】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长. 【详解】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：.    一、单选题 1．过直线上的点P作圆C：的两条切线，，当直线，关于直线对称时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线和圆的位置关系、两直线的交点等知识求得正确答案. 【详解】圆的圆心为， 直线关于直线对称时，与直线垂直， 所以直线的方程为， 由解得，所以. 故选：A. 2．动点P在函数的图像上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出定义域，求导，结合基本不等式得到，求出以P为切点的切线的倾斜角取值范围. 【详解】令，解得，故的定义域为， ，当且仅当，即时，等号成立， 故，故以P为切点的切线的倾斜角取值范围是. 故选：C 3．双曲线的一个顶点到渐近线的距离为（    ）． A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】求出顶点坐标和渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解． 【详解】由双曲线的方程知两顶点，， 渐近线方程为， 由对称性，不妨求到直线的距离，． 故选：C． 4．过点向圆作两条切线，切点分别为，若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用切线长定理。结合两点间距离公式列式求解即得. 【详解】圆的圆心，半径，连接， 依题意，，则， 于是，整理得， 所以或. 故选：D 5．已知，为圆：上的动点，且动点满足：，记点的轨迹为，则（    ） A．为一条直线 B．为椭圆 C．为与圆相交的圆 D．为与圆相切的圆 【答案】D 【分析】设，由，得到点坐标，设点坐标为，用点坐标表示点坐标，并带入圆，得到点的轨迹方程，再利用圆心距与半径的关系判点的轨迹与圆的位置关系. 【详解】设，由，可得， 所以点坐标为， 设点坐标为 ，则，即， 把代入圆，则点的轨迹的方程为：， 即是圆心为，半径为1的圆， 由于两圆的圆心距和两圆的半径和相等，因此两圆外切，即为与圆相切的圆. 故选：D． 6．已知点P在抛物线M：上，过点P作圆C：的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】根据点P的位置以及切线长可解得点横坐标为5，再由焦半径公式可得结果. 【详解】设点，由圆的方程可知圆心，半径； 又切线长为，可得， 即，解得，可得； 再由抛物线定义可得点P到M的准线的距离为. 故选：C 7．下列方程中表示圆心在直线 上，半径为 ，且过原点的圆的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】假设圆的标准方程，根据题意列出方程求解圆心和半径即可. 【详解】因为圆心在上，所以设圆心为, 因为圆的半径为， 所以设圆的标准方程为, 因为该圆过原点， 所以， 解得, 所以圆心为或, 当圆心为时，圆的标准方程为，D对; 当圆心为时，圆的标准方程为. 故选：D. 8．已知 过坐标原点O作的两条切线，切点为A、B，则四边形的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】求出⊙C圆心坐标，半径，，求出和，求出四边形的面积. 【详解】 由题意得⊙C圆心为，半径，， 则， 则四边形的面积. 故选：B. 9．已知拋物线，其焦点到准线的距离为2，过焦点且斜率大于0的直线交拋物线于两点，以为直径的圆与准线相切于点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由焦点F到准线的距离为2，求出，即得焦点坐标，准线方程，抛物线方程，直线斜率为正，得点纵坐标，用点差法可求得直线斜率，再得点横坐标，同时得出圆半径，得圆方程． 【详解】抛物线的焦点到准线距离为2，则（因为）， 焦点为，准线方程是，抛物线方程是， 又轴，，所以的纵坐标为2， 设，， ，两式相减得， 所以，又，， 即，所以圆半径为， 圆方程为． 故选：A． 二、填空题 10．过圆C：上的点作圆C切线l，则l的倾斜角为 . 【答案】150° 【分析】根据两直线垂直和得到直线l的斜率，从而得到l的倾斜角. 【详解】由题意得，直线与直线l垂直， 因为，故l的斜率为， 故l的倾斜角为150° 故答案为：150° 11．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为 ． 【答案】/0.5 【分析】求出抛物线的焦点坐标及双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】抛物线，即的焦点为，双曲线的渐近线方程为， 所以点到直线的距离． 故答案为： 12．设，是半径为3的球体表面上两定点，且，球体表面上动点满足，则点的轨迹长度为 . 【答案】 【分析】建立直角坐标系，根据确定轨迹为圆，转化到空间得到轨迹为两球的交线，计算球心距，对应圆的半径为，再计算周长得到答案. 【详解】以所在的平面建立直角坐标系，为轴，的中垂线为轴： 则，，，设，由，可得：， 整理得到：，故点在平面的轨迹是以为圆心，半径的圆， 转化到空间中：当绕为轴旋转一周时，，不变，依然满足， 故空间中点的轨迹为以为球心，半径为2的球，同时点在球商，故点在两球的交线，为圆， 球心距为， 所以为直角三角形，对应圆的半径为，周长为 故答案为： 13．已知圆，过点的直线交圆于，两点，且，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】当直线的斜率不存在时求出；当直线的斜率存在时，设的方程为，利用所以由圆心到直线的距离、、圆的半径构成的直角三角形求出可得答案. 【详解】当直线的斜率不存在时，设的方程为， 由，可得，或， 所以，符合题意； 当直线的斜率存在时，设的方程为， 因为，所以圆心到直线的距离， 由，得， 所以直线的方程为， 则直线的方程为或. 故答案为：或. 14．已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与相交于两点，且，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线标准方程求出其焦点坐标，根据对称关系求出圆心坐标，根据垂径定理求出圆的半径即可得到答案. 【详解】依题意可知抛物线的焦点为， 圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称， ∴圆心坐标为， 设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d， 则， 又∵，∴ 则圆的标准方程为． 故答案为：． 三、解答题 15．已知点，圆过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点． (1)求的轨迹方程； (2)当，求的方程及的面积． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出坐标，由与数量积等于0列式得的轨迹方程； （2）法一：由确定点M与点P坐标满足的等式，再结合（1）中轨迹方程，可求得l的方程，进而求弦长、圆心到直线的距离，即可求面积； 法二：由确定点M与点P坐标满足的等式，求得坐标，确定直线方程，后同法一. 【详解】（1）设点，当点不与点重合时，即当且时， 由垂径定理可知,即 又圆的圆心为， 则， ∴，即 当点与点重合时，点的坐标也满足方程 故点的轨迹方程为圆：. （2）当时，点与点满足圆的方程 又点与点在圆：上 ∴直线为圆和圆的交线，圆与圆的方程相减得， 直线的方程为，即 ∴的方程为： 点到直线的距离， 又圆的半径， ∴弦长， ∴的面积； 法二：设 由题意可得，解得，即点 又， ∴直线的方程为 ，则直线的方程为，且 点到直线的距离为 故的面积 16．已知抛物线的准线与圆相切． (1)求的方程； (2)点是上的动点，且，过点作圆的两条切线分别与交于两点，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用准线与圆相切求出可得答案； （2）设直线、的方程分别为、，可得 ，过点的圆的切线方程与圆相切可得 ，再由韦达定理 ，再利用换元法、基本不等式求最值可得答案． 【详解】（1）因为准线与圆相切， 所以，即， 所以的方程为； （2）由（1）知准线的方程为， 因为，所以直线的斜率均存在， 设直线的方程为， 当时，， 设直线的方程为， 当时，， 由题意得 ， 设过点的圆的切线方程为 则，化简得 ， ， 则， 所以． ， 又，所以 ， 令， 则 ， 因为， 所以， 当且仅当即等号成立，此时， 故面积的最小值为． 【点睛】方法点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法． 17．已知椭圆的右焦点为，直线与相交于、两点． (1)求直线l被圆所截的弦长； (2)当时，． （i）求的方程； （ii）证明：对任意的，的周长为定值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）由点到直线的距离得圆到直线的距离，再利用几何法求出直线与圆的相交弦长，从而可求解. （2）（i）当时，直线的方程为，将该直线方程代入椭圆方程，求出，根据已知条件求出、的值，即可得出椭圆的方程； （ii）求出原点到直线的距离，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理分析额可知点、的横坐标均为正数，利用勾股定理、椭圆方程可求出的周长. 【详解】（1）由题意得圆的圆心为，到直线的距离， 则直线被圆所截弦长为. 故直线被圆所截得的弦长为. （2）解：当时，直线的方程为， （i）联立，得，所以， 又因为，所以，， 所以，椭圆的方程为； （ii）设点、，则，且， 所以， ，同理可得， 因为原点到直线的距离为， 过原点作，垂足为点，如下图所示：    所以， ， 联立可得， ， 当且仅当时，等号成立，此时点、关于轴对称，合乎题意， 因为，则， 由韦达定理可得，，故，， 所以，， 因此，的周长为（定值）. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$