专题15 圆锥曲线的标准方程与几何性质（十三大题型10大易错题）（题型专练+易错精练）-备考2025年高考数学一轮复习高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

专题15 圆锥曲线的标准方程与几何性质（十三大题型10大易错题） 【题型1 利用定义求椭圆轨迹方程】 1．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知圆和，若动圆与圆内切，同时与圆外切，则该动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知曲线上任意一点都满足关系式，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·上海静安·一模）到点距离之和为10的动点的轨迹方程为 . 【题型2 椭圆的"焦点三角形"问题】 5．（24-25高二上·广东·期中）椭圆的两个焦点分别为，，长轴长为10，点P在椭圆C上，则的周长为（    ） A．16 B．18 C． D．20 6．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴长，焦距为，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 7．（24-25高二上·天津·期中）设是椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则的面积为 ，内切圆半径为 . 8．（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则 . 9．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知椭圆的方程为，若点P为椭圆上的点，且，则的面积为 ． 【题型3 椭圆中的距离和差最值问题】 10．（2024·山东威海·一模）已知为椭圆的上焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三上·四川广安·阶段练习）已知动点P在椭圆上，，则的最小值为（　　） A．5 B． C．2 D．1 【题型4 椭圆标准方程形式与求解】 12．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点（点在轴的上方），且为椭圆的左顶点，若的面积为，求的值. 13．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）已知椭圆的离心率是，且点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的动点，是△的内心，求的最大值． 14．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知椭圆经过点，离心率为. (1)求的方程； (2)若，为上的两点，且直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点. 【题型5 求椭圆的离心率或范围】 15．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知椭圆的两个焦点为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 16．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）已知是椭圆的左、右焦点，是上一点.过点作直线的垂线，过点作直线的垂线.若的交点在上(均在轴上方)，且，则的离心率为(   ) A． B． C． D． 17．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点都在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型6 利用定义求双曲线轨迹方程】 18．（24-25高二上·全国·课后作业）已知定点，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程是（   ） A．7 B． C．. D． 19．（2024高三·全国·专题练习）已知点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【题型7 双曲线的"焦点三角形"问题】 20．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于，则（   ） A． B．6 C． D．3 21．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 22．（2023·河南开封·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线经过且与双曲线右支相交于两点，若，则三角形的周长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．不能确定 23．（2023·青海玉树·模拟预测）已知双曲线的右焦点为F，点A是虚轴的一个端点，点P是C的左支上的一点，且的周长的最小值为6a，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 24．（2024·云南昆明·模拟预测）设为坐标原点，直线与双曲线C：的两条渐近线分别交于两点，若的面积为10，则双曲线C的焦距的最小值为 . 25．（2024·湖北·模拟预测）设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 26．（2025高三·全国·专题练习）已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为 ． 【题型8 双曲线中的距离和差最值问题】 27．（23-24高二下·河北秦皇岛·开学考试）设点是曲线右支上一动点，为左焦点，点是圆上一动点，则的最小值是 ． 28．（24-25高二上·河南郑州·期中）设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为 . 29．（23-24高二下·上海·阶段练习）设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为 【题型9 双曲线的标准方程形式与求解】 30．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）关于 的方程 ，给出以下说法错误的为（     ） A．方程可以表示双曲线 B．方程可以表示椭圆 C．方程可以表示圆 D．当方程表示双曲线时， 焦距为定值 31．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知方程表示双曲线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高二上·河南·期中）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型10抛物线的定义及应用】 33．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线上一点到焦点的距离为，则的中点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 34．（2024高三·全国·专题练习）若点P到点的距离比它到直线的距离小2，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 35．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）在抛物线上求一点，使其到焦点的距离与到的距离之和最小，则该点坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型11求抛物线的标准方程】 36．（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，且点到直线的距离为，则 . 37．（24-25高二·上海·课堂例题）已知点，直线，若动点P到l的距离等于，则点P的轨迹是 ． 38．（2024·福建泉州·模拟预测）已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为 ． 39．（2024·陕西西安·一模）平面上动点M到定点的距离比M到轴的距离大3，则动点M满足的方程为 . 40．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是 ． 41．（22-23高二上·浙江嘉兴·期中）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点是，则它的标准方程为 . 【题型12抛物线中的距离和差最值问题】 42．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知抛物线，且是抛物线上一点，设是抛物线的焦点，，则的最小值为 . 43．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上动点，点Q为圆上动点，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 44．（22-23高二下·四川泸州·期末）已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（    ）． A．13 B．12 C．10 D．8 【题型13 抛物线的几何性质及应用】 45．（2024·陕西渭南·模拟预测）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线C的方程为，平行于x轴的光线从点射出，经过C上的点A反射后，再从C上的另一点B射出，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 46．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（    ）（，，）    A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m 47．（2023·辽宁锦州·模拟预测）南宋晩期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图一所示，这只杯盏的轴截面如图二所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，则该杯盏的高度为（    ）    A． B． C． D． 48．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知抛物线：的准线为，点在上，且点到直线的距离与其到轴的距离都等于2． (1)求的方程； (2)设为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，若的面积为3，求直线的斜率． 49．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点与椭圆的上顶点重合，点是直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为． (1)求抛物线的方程． (2)证明直线过定点，并且求出定点坐标． 1．（24-25高三上·全国·阶段练习）设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知曲线，从上任取一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．多选题（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线 C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 4．（24-25高二上·浙江·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上一点，，则的内切圆半径为 . 5．（2024高二·全国·专题练习）设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为 6．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知，为椭圆的左右焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则椭圆的离心率为 . 7．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的两条互相垂直的弦，设的中点分别为.则直线过定点 . 8．（2024·江苏徐州·一模）设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的左支交于点，坐标原点O到直线的距离为的面积为，则C的离心率为 . 9．（24-25高三上·云南玉溪·期中）在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过作直线与交于两点，若，求直线的斜率. 10．（23-24高三下·浙江·开学考试）如图，已知椭圆，双曲线是的右顶点，过作直线分别交和于点，过作直线分别交和于点，设的斜率分别为.    (1)若直线过椭圆的右焦点，求的值； (2)若，求四边形面积的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 圆锥曲线的标准方程与几何性质（十三大题型10大易错题） 【题型1 利用定义求椭圆轨迹方程】 1．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知圆和，若动圆与圆内切，同时与圆外切，则该动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆与圆的位置关系可知，结合椭圆的定义可得轨迹方程. 【详解】由已知圆和， 可知，，，，且， 又动圆与圆内切，同时与圆外切， 则，， 所以， 所以动点到两个定点，的距离之和为定值， 即满足椭圆的定义， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且长轴长度，焦距，即，， 所以， 椭圆方程为， 故选：C 2．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆与圆的位置关系及椭圆的定义可得P点轨迹为椭圆，进而求出轨迹方程. 【详解】圆和的圆心、半径分别为， 由，得点在圆内，设动圆半径为， 依题意，，，则， 因此P点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，即， 而圆内切于，切点在P点的轨迹上，此点可视为极限位置的点， 所以椭圆方程为. 故选：D 3．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知曲线上任意一点都满足关系式，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义判断得曲线为椭圆，进而求得，从而得解. 【详解】因为点都满足， 所以到两定点的距离之和为，且， 所以曲线为椭圆，焦点为，则， 且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为，即， 故， 所以曲线的标准方程为. 故选：C 4．（2024·上海静安·一模）到点距离之和为10的动点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出轨迹方程. 【详解】依题意，， 则点的轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆， 由，得， 所以动点的轨迹方程为. 故答案为： 【题型2 椭圆的"焦点三角形"问题】 5．（24-25高二上·广东·期中）椭圆的两个焦点分别为，，长轴长为10，点P在椭圆C上，则的周长为（    ） A．16 B．18 C． D．20 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义和标准方程求解即可得答案. 【详解】    因为长轴长为10，即， 所以长半轴长， 则由题可知,短半轴长， 半焦距， 故的周长为. 故选：B. 6．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴长，焦距为，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【分析】长轴长为，则，根据椭圆的定义知焦点弦的周长为，即可求解. 【详解】因为椭圆方程为，长轴长为，则， 的周长为. 故选：D 7．（24-25高二上·天津·期中）设是椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则的面积为 ，内切圆半径为 . 【答案】 / 【分析】利用椭圆的定义及余弦定理求出，即可求出的面积，再由等面积法求出内切圆的半径． 【详解】由椭圆方程可得，，则， ，， 在中，， 即，解得， ， 设内切圆半径为，的周长为， 所以，解得. 故答案为：；. 【点睛】 8．（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则 . 【答案】2 【分析】方法一：由题意，结合焦点三角性面积结论，利用等面积法求解； 方法二：由题意，利用勾股定理结合椭圆的第一定义列式求解即可. 【详解】方法一：因为，所以， 从而，所以. 方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，， 所以，又， 平方得：，所以. 故答案为：2 9．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知椭圆的方程为，若点P为椭圆上的点，且，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的定义及余弦定理可求得，利用三角形面积公式可得结果. 【详解】由题意得，，故，根据椭圆的定义得. 在中，由余弦定理得， 即，可得， ∴的面积为. 故答案为：. 【题型3 椭圆中的距离和差最值问题】 10．（2024·山东威海·一模）已知为椭圆的上焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆和椭圆方程可确定圆心、半径、的长；利用椭圆定义和圆的对称性可将问题转化为求解的最大值问题，利用三角形三边关系可知当三点共线时取得最大值，由此可得结果. 【详解】由圆方程得：圆心，半径； 由椭圆方程得：，，设椭圆下焦点为，则， 由椭圆定义知：，； （当且仅当三点共线时取等号）， ， 又（当且仅当三点共线时取等号）， ，即的最大值为. 故选：D. 11．（24-25高三上·四川广安·阶段练习）已知动点P在椭圆上，，则的最小值为（　　） A．5 B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用椭圆定义，将问题化为的最小值，数形结合求最小值. 【详解】由题设是椭圆的右焦点，令是椭圆的左焦点，    由，即在椭圆外，又， 所以，则， 所以最小，只需最小， 由图知，， 当且仅当三点共线且在之间取等号， 所以的最小值为1. 故选：D 【题型4 椭圆标准方程形式与求解】 12．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点（点在轴的上方），且为椭圆的左顶点，若的面积为，求的值. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用椭圆上的点求出，，，可求椭圆的离心率； （2）设出直线方程，与椭圆联立方程组，利用韦达定理，根据的面积求出的值，再利用韦达定理和，求出的值． 【详解】（1）椭圆的离心率为，且过点， ，联立解得：. 椭圆的标准方程为：. （2）由（1）知：，记， 当直线的斜率为0时，三点共线，不合题意； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为：， 联立：，. ，. ， . 即， 整理得：， 令，即， 解得：（舍）或，即， . 由知：且， 当时，满足：，联立解得：， 当时，满足：，联立解得：， 综上，的取值为或. 13．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）已知椭圆的离心率是，且点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的动点，是△的内心，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）设点、，根据等面积法可得出，利用切线长定理结合椭圆的焦半径公式可求得，然后利用两点间的距离公式可求得的最大值. 【详解】（1）因为椭圆的离心率是，且点在椭圆上， 则，解得，故椭圆的方程为. （2）设点、，则， 又因为， 由图可知，，所以，即点， 由椭圆的范围可知，，又， 则， 所以， 设圆分别切、、于点、、，则轴， 由切线长定理可得，，， 因为， 又因为， 所以，，可得，即点， 因此， ， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 14．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知椭圆经过点，离心率为. (1)求的方程； (2)若，为上的两点，且直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得、、的方程组，求出、，即可得解； （2）当直线的斜率不存在时推出矛盾，当直线的斜率存在时，设，,，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用斜率公式得到方程，求出的值，即可得证. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）①当直线的斜率不存在时，设 ． 则，， ，不合题意． ②当直线的斜率存在时，设，, ， 联立方程，得． ，，． 又， 即． 将，代入上式， 得，即， 解得或， 当时，，恒过点，不符合题意，故舍去； 当时，，恒过点，符合题意； 直线过定点. 【题型5 求椭圆的离心率或范围】 15．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知椭圆的两个焦点为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，由椭圆的定义可得，利用两点间的距离公式可求得，可求得椭圆的离心率. 【详解】由题意，设，，， 则，， ， 则，则， 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 16．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）已知是椭圆的左、右焦点，是上一点.过点作直线的垂线，过点作直线的垂线.若的交点在上(均在轴上方)，且，则的离心率为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可判断，根据已知条件写出的方程，并求出点的坐标，再利用的关系即可求解. 【详解】    如图，设，，， 由题意可知，， 则直线的斜率，可知直线的方程为， 同理可得的方程为， 联立方程，解得，即， 因为在上，可知关于轴对称，且， 则，可得， 又因为，即， 所以，整理得， 解得或(舍去)，则， 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 17．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点都在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线，直线代入椭圆方程，消元后得一元二次方程，计算出两根和与积，再由题设条件，求出，和，代入中，利用韦达定理代入，化简即得， ，由的齐次不等式，即可求得离心率的取值范围. 【详解】依题意知，， 如图，由，可知三点共线，三点共线. 设，，，直线，直线, 由消去，可得， 则，同理可得，显然，，， 由代入坐标可得：，即得， 同理由可得，，由，可得， 同理，，故 （*）， 又点在椭圆上，则有，则（*）式可化成： ，解得，故得， 又，故的离心率的取值范围为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求椭圆离心率（或范围）的方法有三： （1）根据已知条件列方程组，解出的值，直接利用离心率公式求解即可； （2）根据已知条件得到一个关于（或）的齐次方程（或不等式），然后转化为关于离心率的方程（或不等式）求解； （3）因为离心率是比值，故有时也可以利用特殊值法，例如令，求出相应的值，进而求出离心率. 【题型6 利用定义求双曲线轨迹方程】 18．（24-25高二上·全国·课后作业）已知定点，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程是（   ） A．7 B． C．. D． 【答案】B 【分析】按点在轴左右分类探讨可得，再利用双曲线定义求出方程. 【详解】如图，当点在轴左侧时，连接，由点关于点的对称点为，得是线段中点， 而点是线段的中点，则， 由为线段的垂直平分线，得，    于是，当点在轴右侧时，同理， 则， 所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线，对应的方程为. 故选：B 19．（2024高三·全国·专题练习）已知点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中为定值，故先化简再分析满足的距离关系即可. 【详解】设，因为， 故，即. 故点的轨迹是以为焦点的双曲线的下支， 且，故. 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 【题型7 双曲线的"焦点三角形"问题】 20．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于，则（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】A 【分析】利用余弦定理及双曲线的定义求出，再由面积公式计算可得. 【详解】由余弦定理得 ， ∴， ∴，∴（负值已舍去）. 故选：A． 21．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的定义将的最小值转化为的最小值即可. 【详解】 由题知，，，所以， 设双曲线的左焦点为，则，，因为点P在C的右支上， 由双曲线的定义知， 所以, 当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 22．（2023·河南开封·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线经过且与双曲线右支相交于两点，若，则三角形的周长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．不能确定 【答案】C 【分析】由双曲线方程确定实半轴长，结合双曲线的定义及弦长，即可求得三角形的周长. 【详解】双曲线的实半轴长， 由双曲线的定义，可得 所以， 则三角形的周长为. 故选：C. 23．（2023·青海玉树·模拟预测）已知双曲线的右焦点为F，点A是虚轴的一个端点，点P是C的左支上的一点，且的周长的最小值为6a，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义求出的周长的最小值，结合条件可得的关系式，从而得到渐近线的方程. 【详解】设的左焦点为，由双曲线的定义， 不妨设，由对称性； 的周长为， 由图可知，且共线时取到等号. 所以的周长的最小值为， 因为的周长的最小值为6a，所以， 化简得，所以C的渐近线方程为. 故选：A. 24．（2024·云南昆明·模拟预测）设为坐标原点，直线与双曲线C：的两条渐近线分别交于两点，若的面积为10，则双曲线C的焦距的最小值为 . 【答案】 【分析】主要利用三角形面积转化为坐标可得,，再利用双曲线，联想均值不等式就可求得结果. 【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为， 因为分别为直线与双曲线的两条渐近线的交点， 所以不妨设，即， 因为（当且仅当时等号成立）， 所以，即的焦距的最小值为. 故答案为：. 25．（2024·湖北·模拟预测）设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 【答案】 【分析】设，利用双曲线定义，可得，又由勾股定理得，联立求得，即得的面积. 【详解】 如图，由可知， 由对称性不妨设，由定义， 因为，所以， 所以，所以，解得， 所以的面积为. 故答案为：3. 26．（2025高三·全国·专题练习）已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】设点在第一象限，由双曲线定义得，由勾股定理得，故，即可计算三角形面积. 【详解】由得，所以. 不妨设点在第一象限，则，故 ∵，∴， ∴，即， ∴， ． 故答案为：2. 【题型8 双曲线中的距离和差最值问题】 27．（23-24高二下·河北秦皇岛·开学考试）设点是曲线右支上一动点，为左焦点，点是圆上一动点，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】由双曲线的方程，可得，的值，进而求出的值，由双曲线的定义及三点共线的性质可得的最小值． 【详解】由双曲线的方程可得，，则， 设双曲线的右焦点，则， 圆的圆心，半径， 由题意可得， 当且仅当，，三点共线，且在，之间时取等号， 即的最小值为． 故答案为：． 28．（24-25高二上·河南郑州·期中）设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为 . 【答案】8 【分析】根据给定条件，求出圆心及半径，利用圆的性质及双曲线定义求出最大值. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 双曲线的实半轴长，半焦距，则为其左右焦点， ，， 要取最大值，点必在双曲线左支上， 所以. 故答案为： 29．（23-24高二下·上海·阶段练习）设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】由双曲线的定义把表示为的函数，然后由函数的单调性得最小值． 【详解】根据题意可得，， ，， 所以， 由双曲线性质可得，设，， 则， 设，， 设，， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数 是上的增函数. 所以当时，取得最小值4， 即的最小值为4，此时点为右顶点. 故答案为：4.    【题型9 双曲线的标准方程形式与求解】 30．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）关于 的方程 ，给出以下说法错误的为（     ） A．方程可以表示双曲线 B．方程可以表示椭圆 C．方程可以表示圆 D．当方程表示双曲线时， 焦距为定值 【答案】C 【分析】根据的值，结合圆与圆锥曲线的方程特征即可判断各选项. 【详解】对于A，若方程表示双曲线，则，即，所以方程可以表示双曲线，故A正确； 对于B，若方程表示椭圆，则，即，所以方程可以表示椭圆，故B正确； 对于C，若方程表示圆，则，方程无解，所以方程不可以表示圆，故C错误； 对于D，由A可知当方程表示双曲线时，，所以焦距为，故D正确. 故选：C. 31．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知方程表示双曲线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用双曲线标准方程的形式，得到不等式，得到的取值范围. 【详解】对于方程表示双曲线，则， 解得 或. 故选：D. 32．（24-25高二上·河南·期中）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先根据方程表示双曲线得出或，再结合充分必要定义判断即可. 【详解】方程表示双曲线，则，解得或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A. 【题型10抛物线的定义及应用】 33．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线上一点到焦点的距离为，则的中点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线定义可知点的横坐标，进而可得中点横坐标. 【详解】由已知抛物线， 则焦点，准线， 又点到焦点的距离为， 结合抛物线定义可知， 点到准线的距离， 则， 所以中点横坐标， 即中点到轴的距离为， 故选：A. 34．（2024高三·全国·专题练习）若点P到点的距离比它到直线的距离小2，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义即可写出点P的轨迹方程. 【详解】由题意，知P到的距离比它到的距离小2， 因此P到的距离与到直线的距离相等， 故P的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物线， 所以P的轨迹方程为． 故选：C 35．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）在抛物线上求一点，使其到焦点的距离与到的距离之和最小，则该点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线的定义知： ，当三点共线时距离之和最小，进而先求出点纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横坐标的值，从而得到答案. 【详解】 由题意得抛物线的焦点为，准线方程为. 过点作于点，由定义可得， 所以 ， 由图可得，当三点共线时，最小，此时. 故点的纵坐标为1，所以横坐标．即点的坐标为． 故选：A. 【题型11求抛物线的标准方程】 36．（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，且点到直线的距离为，则 . 【答案】5 【分析】由条件求点到抛物线的准线的距离，结合抛物线定义可得结论. 【详解】抛物线的准线方程为， 设点的坐标为，则， 因为点到直线的距离为， 所以点到准线的距离为， 由抛物线定义可得. 故答案为：. 37．（24-25高二·上海·课堂例题）已知点，直线，若动点P到l的距离等于，则点P的轨迹是 ． 【答案】抛物线 【分析】根据题意结合抛物线的定义分析判断. 【详解】因为，可知， 且抛物线的定义：动点到定点距离等于到定直线距离， 所以点P的轨迹是抛物线. 故答案为：抛物线. 38．（2024·福建泉州·模拟预测）已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设，，则，再由，可得，进而可得答案． 【详解】如图， 设，，则， 依题意，四边形为矩形， 则，即， 所以，即， 则， 所以顶点的轨迹方程为， 故答案为:． 39．（2024·陕西西安·一模）平面上动点M到定点的距离比M到轴的距离大3，则动点M满足的方程为 . 【答案】或 【分析】考虑和两种情况，时确定轨迹为抛物线，根据题意得到，得到答案. 【详解】动点M到定点的距离比M到轴的距离大3， 当时，动点M到定点的距离等于到的距离，轨迹为抛物线， 设抛物线方程为，则，即，所以； 当时，满足条件. 综上所述：动点M的轨迹方程为：时，；时，. 故答案为：或 40．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】将直线方程向左平移1个单位，可知动点到点的距离与它到直线的距离相等，结合抛物线定义即可求得抛物线的标准方程. 【详解】将化为， 动点到点的距离比它到直线的距离大1， 则动点到点的距离与它到直线的距离相等， 由抛物线定义可知动点的轨迹为抛物线， 该抛物线以为焦点，以为准线，开口向右， 设， 所以，解得， 所以抛物线方程为， 故答案为：. 41．（22-23高二上·浙江嘉兴·期中）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点是，则它的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据已知设出标准方程，求出的值，即可得出答案. 【详解】由已知可设抛物线的标准方程为， ，所以. 所以，抛物线的标准方程为. 故答案为：. 【题型12抛物线中的距离和差最值问题】 42．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知抛物线，且是抛物线上一点，设是抛物线的焦点，，则的最小值为 . 【答案】5 【分析】求出抛物线的焦点及准线方程，作出图形，结合抛物线的定义求出最小值. 【详解】抛物线焦点，准线方程为， 如图，过作准线的垂线，交准线于，过作准线的垂线，交准线于， 则，当共线时取等号， 所以的最小值为5. 故选：5 43．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上动点，点Q为圆上动点，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】 根据抛物线的定义，将转化为抛物线上的点到准线的距离，根据圆的定义，将转化为求圆外一点到圆心的距离再减半径，再分析即可． 【详解】 设圆的圆心为，半径为， 过点作垂直抛物线的准线于， 由抛物线的定义知，， 所以，当且仅当四点共线时，等号成立， 而， 所以，即的最小值为4． 故选：B 44．（22-23高二下·四川泸州·期末）已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（    ）． A．13 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】由抛物线的定义结合三点共线取得最小值. 【详解】，故, 记抛物线的准线为，则：， 记点到的距离为，点到的距离为， 则. 故选：A.    【题型13 抛物线的几何性质及应用】 45．（2024·陕西渭南·模拟预测）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线C的方程为，平行于x轴的光线从点射出，经过C上的点A反射后，再从C上的另一点B射出，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】由题意求出A点坐标，根据光线反射的性质求出反射光线的方程，即可求出B点坐标，利用两点间距离公式，即可求得答案. 【详解】由抛物线C的方程为，可得其焦点为， 由于，故点纵坐标为4，代入中，即， 即，由题意知反射光线经过点， 则的方程为，联立，得，即得， 故， 故选：C 46．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（    ）（，，）    A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线方程并将水面宽度坐标化即可求得结果. 【详解】以为原点，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    设抛物线的标准方程为（）， 由题意可得，代入得，得，故抛物线的标准方程为， 设（，），则，则， 即可得， 所以截面图中水面宽的长度约为， 故选：D. 47．（2023·辽宁锦州·模拟预测）南宋晩期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图一所示，这只杯盏的轴截面如图二所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，则该杯盏的高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，可得点坐标及抛物线的标准方程，设代入抛物线方程求出后可得答案. 【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    依题意可得，设抛物线的标准方程为， 则，解得，所以抛物线的标准方程为， 可设，代入抛物线方程，可得， 所以该杯盏的高度为cm. 故选：C. 48．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知抛物线：的准线为，点在上，且点到直线的距离与其到轴的距离都等于2． (1)求的方程； (2)设为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，若的面积为3，求直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知：，代入抛物线方程运算求解即可； （2）设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理可得，结合面积关系运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知，准线的方程为， 由点到直线的距离与其到轴的距离都等于2可知，， 因为点在上，所以， 整理得，，解得， 故的方程为． （2）由（1）可知，，则， 由题意可知，直线的斜率不为0，设其方程为，，， 由，消去x整理得， 则，可得，， 所以， 又因为的面积为3，则， 即，解得， 故直线的斜率为． 49．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点与椭圆的上顶点重合，点是直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为． (1)求抛物线的方程． (2)证明直线过定点，并且求出定点坐标． 【答案】(1)； (2)证明见解析，. 【分析】（1）根据椭圆的顶点计算求参得出抛物线方程； （2）根据导数求出切线斜率再分别表示切线应用同构或待定系数法求解即可. 【详解】（1）由题意椭圆的上顶点为， ，∴，∴． （2）法一（同构法）． 设点，，． 由，∴直线的斜率为，∴ 即 同理可得 ∵点，代入得 ∵点，代入得 ∴点、都满足关系 ∴① 又点，∴，代入①得 故直线恒过定点． 法二（配极原则）． 设定点为，由题目可知点所在直线是点对应的极线，∴由配极原则可得 即 对比的系数可得 ∴直线恒过定点． 1．（24-25高三上·全国·阶段练习）设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短、点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为， 根据椭圆的定义可知，所以， 则， 所以最小时，即最小， 定点到直线最短距离是过定点直线的垂线段， 根据点到直线的距离公式可得， 所以. 故选：C 2．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知曲线，从上任取一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，依题意得到，从而代曲线的方程求解. 【详解】解：设，依题意可知 即 因为点在曲线上，所以， 即， 故选：A. 3．多选题（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线 C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 【答案】BD 【分析】根据双曲线和椭圆的方程，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，当时，曲线为,此时表示圆，故A错误， 对于B，当时，，此时曲线表示焦点在上的双曲线， 当时，此时曲线表示焦点在上的双曲线， 故当或时，曲线C是双曲线，B正确， 对于C, 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则满足，解得，故C错误， 对于D，曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则，故，D正确， 故选：BD 4．（24-25高二上·浙江·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上一点，，则的内切圆半径为 . 【答案】 【分析】由题意知，由余弦定理可得，由面积公式即可求解. 【详解】 因为分别为椭圆的左右焦点，为该椭圆上一点， 所以， 则由余弦定理得,， ， 即， 所以， 故的面积 ， 设的内切圆半径为， 则， 解得,. 故答案为：. 5．（2024高二·全国·专题练习）设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为 【答案】 【分析】根据椭圆的定义可知，则，则要求的最小值，即求得最小值，再结合点到直线的距离公式即可得解. 【详解】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为， 根据椭圆的定义可知，所以， 则， 所以最小时，即最小， 即定点到直线最短距离是过定点到直线的垂线段长， 根据点到直线的距离公式可得， 所以. 故答案为：. 6．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知，为椭圆的左右焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】由，是关于坐标原点对称的两点，且知四边形为矩形，进而得到，，的比例关系，求出离心率. 【详解】连接，，， ，为椭圆上关于坐标原点对称的两点，为的中点， 又为的中点且，四边形为矩形， 不妨设，则， . 故答案为： 7．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的两条互相垂直的弦，设的中点分别为.则直线过定点 . 【答案】 【分析】设出直线的方程，点和点的坐标，求出点的坐标，联立求出韦达定理，分和两种情况即可求解. 【详解】 由题意可设，， 则，由得：， 与双曲线有两个交点，，则，， 当时，点与点重合，此时直线为轴， 当时，将上式点坐标中的换成，可得， ①当直线不垂直于轴时，， 则直线，化简得：，直线过定点， ②当直线垂直于轴时，，解得：，此时直线也过定点. 综上所述：直线过定点. 故答案为：. 8．（2024·江苏徐州·一模）设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的左支交于点，坐标原点O到直线的距离为的面积为，则C的离心率为 . 【答案】或 【分析】由题意得到，从而，再根据 求得，从而利用双曲线的定义得到，然后在中，利用余弦定理求解. 【详解】解：如图所示： 由题意知：，则， 所以， 易知：，则， 由双曲线的定义得：， 在中，由余弦定理得：， 即，即， 即，解得或， 所以离心率为：或， 故答案为：或 9．（24-25高三上·云南玉溪·期中）在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过作直线与交于两点，若，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据双曲线的定义求解； （2）先确定斜率不存在或斜率为0的直线不满足题意，然后设直线方程为，直线方程代入双曲线方程整理后应用韦达定理得，然后由，得，两者结合可求得值，从而得直线斜率． 【详解】（1）根据题意由可知， 动点的轨迹为以为焦点，实轴长为的双曲线， 即，所以， 所以可得的方程为. （2）由（1）知，显然当直线的斜率不存在或的斜率为0时，不成立， 故直线的斜率存在，且不为0，设， 联立， 则，且即， ， 又，所以，所以， 所以由得，解得，故， 故直线的斜率为或. 10．（23-24高三下·浙江·开学考试）如图，已知椭圆，双曲线是的右顶点，过作直线分别交和于点，过作直线分别交和于点，设的斜率分别为.    (1)若直线过椭圆的右焦点，求的值； (2)若，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出椭圆的右焦点，从而设出直线方程为，直线方程与椭圆方程联立，由韦达定理可得根与系数的关系式，从而代入可求解； （2）设出直线方程，分别与与椭圆方程联立，求得的表达式，再代入四边形面积公式进行化简，再利用导数研究函数的最值即可求得结论. 【详解】（1）椭圆，右焦点为，右顶点为， 设的斜率分别为.设， 则， 因为直线方程过椭圆的右焦点， 所以直线方程为， 直线方程与椭圆方程联立，得： ， 所以. （2）设，直线方程分别为 ， 联立与得，同理， 联立与得，同理， 所以四边形面积为 令，易知，且，则， 令，，则在内，， ， 所以关于单调递增，所以， 当取最小值时，，经检验满足题意.    【点睛】关键点点睛：第二小问中，设，分别设出直线方程是关键，难点在与代入四边形面积公式后的化简计算，本题考查了函数与方程的思想，属于较难题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$