专题12 基本立体图形及其表面积与体积（六大题型8大易错题）（题型专练+易错精练）-备考2025年高考数学一轮复习高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

专题12基本立体图形及其表面积与体积（六大题型8大易错题） 【考点1 基本立体图形】 1．已知，底面半径的圆锥内接于球，则经过和中点的平面截球所得截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据球的截面性质，结合三角形面积等积性、勾股定理进行求解即可. 【详解】如图， 设球的半径为，线段的中点为，因为， 所以，解得， 设经过和中点的平面截球所得截面圆的圆心为，半径为，球心到截面的距离， 则，要截面面积最小，则要最小，即要最大， 因为当为点到的距离时最大，此时，又， 所以， 所以， 故截面面积的最小值为． 故答案为：． 故选：A 2．已知某圆台的母线长为，母线与轴所在直线的夹角是，且上、下底面的面积之比为，则该圆台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在轴截面中根据长度和角度关系以及三角形相似可得圆台的上底面半径和下底面半径及高，利用勾股定理建立等式解出方程，即可求得外接球半径，进而求得其表面积． 【详解】如图：上，下底面圆心分别为，外接球球心为， 连接如图所示： 因为上、下底面的面积之比为1：4，则上底面半径与下底面半径之比为，即， 又母线与轴所在直线的夹角是,故，结合, 则有，故 记圆台外接球半径为， 在直角和直角中由勾股定理知：， 则有，解可得， 故圆台外接球的半径， 则该圆台外接球的表面积． 故选：C． 3．已知球O半径为4，圆与圆为球体的两个截面圆，它们的公共弦长为4，若，，则两截面圆的圆心距（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据球心与截面圆心连线垂直圆面，求得两个圆面所成二面角，再根据直角三角形以及勾股定理求解即可. 【详解】设圆与圆公共弦为，其中点为， 则，， 所以，， 所以在中，，所以， 在中，，所以， 所以在中，，所以. 故选：D. 4．已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为，则圆锥的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆锥的底面圆半径为，用表示高的长，由圆锥体积求得的值，继而得高. 【详解】设圆锥的底面圆半径为，因圆锥轴截面为正三角形，故圆锥的高即， 于是有，解得，故圆锥的高为. 故选：D. 5．在母线长为4的圆锥中，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径，根据外接球的球心总在圆锥的高所在的直线上，借助勾股定理建立等量关系即可求出外接球的半径. 【详解】设圆锥底面圆半径为，依题意，，解得， 圆锥的高，显然圆锥的外接球的球心在线段上， 设球的半径为．连接，则由， 得，解得，即， 所以该圆锥的外接球的表面积． 故选：C 6．已知球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为，且.若球和圆台的体积分别为和，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设球O的半径为R，利用球与圆台相切得和圆台的高为，再利用圆台和球的体积得，再利用对勾函数的图象与性质，计算得结论. 【详解】    因为球O与圆台的上下底面和侧面都相切， 圆台上下底面半径分别为、，且， 由切线长定理有圆台的母线长为， 设球O的半径为R，几何体轴截面上右端点为，下右端点为， 过点作于，则圆台的高，， 则由勾股定理有，化简得， 因为球O与圆台的体积分别为和， 所以， 因为，所以， 令，，由对勾函数可知，时，随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的最大值为. 故选：D. 7．已知正方体的棱长为2，M为的中点，球O与正方体的各个表面都相切，则平面MBD截球O所得截面的面积为 ． 【答案】 【分析】设BD，AC交于Q，作于H，证明平面，所求截面为以H为圆心的小圆，求圆的面积即可. 【详解】如图： 设BD，AC交于Q，作于H， 在正方体中， 平面，平面， 所以，又，， 所以平面，平面， 所以，又，，且两直线在平面BMD内， 所以平面， 在中，求得，故所求截面为以H为圆心的小圆， 半径为，故所求面积为． 故答案为： 8．已知某圆锥的底面半径长为2，侧面展开图的面积为，则该圆锥内部最大球的半径为 . 【答案】1 【分析】先根据题意求出圆锥的母线长，再求出圆锥的高，作出圆锥轴截面，设圆锥内部最大球即与圆锥相切的球的半径为，然后利用三角形相似可求得结果. 【详解】设母线长为，依题意，解得， 所以圆锥的高为， 作出圆锥轴截面如图， 设圆锥内部最大球即与圆锥相切的球的半径为， 由于∽，则， 可得，解得. 故答案为：1 【考点2 空间几何体的表面积】 9．正四棱台中，上底面边长为2，下底面边长为4，若侧面与底面所成的二面角为60°，则该正四棱台的侧面积为（    ） A．8 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【分析】做正四棱台的截面，先求斜高，再求侧面积. 【详解】如图： 取棱的中点，作截面，则、为正四棱台的斜高. 在等腰梯形中，易知，，，所以 . 所以四棱台的侧面积为：. 故选：C 10．《几何原本》是一部重要的几何著作，其第十一卷中把轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为直角圆锥.在直角圆锥中，为底面圆的一条直径，且，则直角圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出直角圆锥的母线长，再利用圆锥侧面积公式计算即得. 【详解】依题意，直角圆锥的母线长，而圆锥底面圆半径为1， 所以直角圆锥的侧面积为. 故选：C 11．蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为，底面半径为是圆柱下底面的圆心．若圆锥的侧面与以为球心，半径为的球相切，则圆锥的侧面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合圆柱、圆锥以及球的结构特征解得圆锥母线长，进而可求圆锥的侧面积. 【详解】设为圆锥高，为圆锥母线长   以为球心，半径为4的球与圆锥侧面相切，则， 在中，，可得， 且，则，解得， 所以圆锥的侧面积为. 故选：C. 12．在正四棱台中，，若正四棱台的高为，则其表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，连接，交于点，连接交于点，连接，即可得到为正四棱台的高，由勾股定理求出，再求出斜高，最后由表面积公式计算可得. 【详解】设，则， 如图，连接，交于点，连接交于点，连接， 由正四棱台的几何性质可知分别是上､下底面的中心， 所以平面平面，所以为正四棱台的高， 所以由题可知，过点作交于点， 则，即，解得， 过点作交于点，则为斜高，此时， 所以正四棱台的表面积为. 故选：D. 13．已知正三棱台的上底面积为，下底面积为，高为2，则该三棱台的表面积为（    ） A． B． C． D．18 【答案】A 【分析】由上下底面的面积可求出上下底面边长，构造直角三角形结合棱台的高求出侧面梯形的高，求出侧面积后得表面积. 【详解】由面积公式可得正三棱台上下底面边长分别为和， 设在底面内的射影为，作于， 平面，平面，则有， 又，，平面，所以平面， 平面，所以， 由，，，则， 又，所以，则， 故三棱台的侧面积为，表面积为. 故选：A. 14．已知球的半径为1，其内接圆锥的高为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆锥的底面半径与母线，再由圆锥的侧面积公式计算可得. 【详解】因为球的半径，其内接圆锥的高为， 所以圆锥的底面圆半径为，母线长为， 所以侧面积为． 故选：C． 15．如图，圆台的上、下底面半径分别为，，且，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解，然后代入圆台的侧面积公式求解即可. 【详解】如图所示，作出轴截面， 分别为上下底面圆的圆心，为侧面切点，为内切球球心， 则为的中点， ， 因为，所以， 则 过点作，垂足为， 则， 在中，由勾股定理得， 即，解得或， 因为，所以，，故， 所以圆台的侧面积为. 故选：D. 16．已知一个高为6的圆锥被平行于底面的平面截去一个高为3的圆锥，所得圆台的上、下底面圆周均在球的球面上，球的体积为，且球心在该圆台内，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆锥的底面半径为，球心到圆台上底面的距离为，由球的体积可得半径为，结合圆台的结构特征列式解得，进而可求得表面积. 【详解】设圆锥的底面半径为，依题意得该圆台的上底面半径为，且圆台的高为3． 设球心到圆台上底面的距离为，球的半径为， 由球的体积为，解得， 因为点在该圆台内，则， 解得， 可得该圆台的母线长， 所以圆台的表面积为． 故选：B. 17．与都是边长为2的正三角形，沿公共边折叠成的二面角，若点A，B，C，D在同一球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据外接球球心的性质确定球心的位置为过正与的中心的垂线上，再构造直角三角形求解球的半径，即可求解． 【详解】解：由题，设正与的中心分别为，， 根据外接球的性质有平面，平面， 又二面角的大小为，故， 又正与的边长均为2， 故， 故， ， ， 故， 故，又， 故球的半径， 故球的表面积为． 故选：C． 18．如图，圆柱形容器内部盛有高度为的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱底面半径相等）后，水恰好淹没最上面的铁球，则一个铁球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设铁球的半径为，根据体积关系列出方程，求得，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】设铁球的半径为，有，解得， 则一个铁球的表面积为． 故选：B． 19．已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，且母线长为2，为其底面圆周上的两点，若面积的最大值为，则球的表面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题根据已知条件得为轴截面时，最大，再根据球心在上，由此列方程或者根据正弦定理可求得外接球的半径，即可求出外接球表面积. 【详解】如图所示，因为， 所以当为轴截面时，最大， 因为的面积最大值为， 则，所以， 即圆锥的轴截面为等边三角形. 解法一：因为圆锥的母线长为2，所以在中， ， 设球O的半径为R，则， 在中，， 即，解得， 解法二：因为为的外心，所以外接球直径，即， 所以外接球表面积． 故答案为：． 20．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为边CD的中点，沿AE把折起，使点D到达点P的位置，且． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的表面积 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求出各边，由勾股定理逆定理求出，结合得到线面垂直； （2）求出各边长，利用三角形面积公式得到各三角形面积，相加得到表面积. 【详解】（1）由题可知， ，， ，， 为等边三角形， ， ， ． ，平面， 平面． （2）由（1）得，，， ， 由三角形面积公式得， ， 三棱锥的表面积 ． 21．如图，在三棱锥中，点为棱的中点，点为的中点，，，都是正三角形． (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积为，求三棱锥的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知可得，，可证平面，可得，又易得，进而可证平面． （2）由已知可得，，利用体积可求得的值，进而可求表面积. 【详解】（1）因为是正三角形，点为的中点，所以． 因为，是正三角形，点为的中点， 所以，． 因为，平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以， 因为，平面，平面， 所以平面． （2）设，则是边长为的正三角形，因为，所以， 因为是正三角形，且，所以， 所以三棱锥的体积，所以， 的面积为， 与的面积相等，其面积之和为， 在中，，， 所以的面积为． 所以三棱锥的表面积为． 【考点3 空间几何体的体积】 22．中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3个国家能够独立开展载人航天活动.从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百年来，中国人以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为6，圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高度为7，则该容器中液体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合轴截面分析可知，，再利用圆柱以及圆台的体积公式运算求解. 【详解】由题意可知：容器中液体分为：下半部分为圆柱，上半部分为圆台， 取轴截面，如图所示，分别为的中点， 可知：∥∥，且， 可得，即， 所以该容器中液体的体积为. 故选：A. 23．菏泽市博物馆里，有一条深埋600多年的元代沉船，对于研究元代的发展提供了不可多得的实物资料.沉船出土了丰富的元代瓷器，其中的白地褐彩龙风纹罐（如图）的高约为，把该瓷器看作两个相同的圆台拼接而成（如图），圆台的上底直径约为，下底直径约为，忽略其壁厚，则该瓷器的容积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆台体积公式求解. 【详解】根据题意，. 故选：B 24．如图，在六面体中，平面平面，四边形ABCD与四边形是两个全等的矩形，，，平面ABCD，，，，则六面体的体积为（    ） A．288 B．376 C．448 D．600 【答案】B 【分析】先根据题意把六面体可以看成长方体的一部分；再结合柱体体积和锥体体积用该长方体的体积减去多余部分的体积即可求解. 【详解】在长方体中，，. 根据题意可知：六面体可以看成长方体的一部分. 因为长方体的体积； 直三棱柱的体积； 直三棱柱的体积； 三棱锥的体积， 所以六面体的体积. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查不规则几何体体积的求法，涉及柱体和锥体体积公式.解题关键在于不规则几何体借助于规则几何体去求解即可. 25．如图，已知三棱柱的所有棱长均为2，满足，则该三棱柱体积的最大值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【详解】如图：取的中点，连接， 因为是菱形，所以，又因为，平面，， 所以平面，因为平面，所以， 因为，，所以，又因为平面，， 所以平面，因为平面，所以， ，当侧面底面时，三棱柱的体积最大， 此时三棱柱的高即为，. 故选：B 26．若某圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球表面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过圆锥的旋转轴作轴截面，由题意可求得轴截面内切圆的半径为1，进而求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案． 【详解】 如图，由题意知内切圆和外接圆同圆心，即的内心与外心重合，则为正三角形， 因为内切球表面积为，设内切圆的半径为，则，所以内切圆的半径为1， 所以的边长为， 所以圆锥的底面半径为，又高为， 故圆锥体积， 故选：B. 27．已知三棱锥，平面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用正弦定理求出外接圆的半径，根据球的表面积求出球的半径，再由平面，则求出，最后根据锥体的体积公式计算可得. 【详解】因为，，所以， ， 设外接圆的半径为，则，即， 设三棱锥外接球的半径为，，解得（负值已舍去）； 因为平面，所以，即，解得（负值已舍去）； 所以. 故选：B 28．若一个圆锥的轴截面顶角为120°，母线长为2，则这个圆锥的体积为 . 【答案】 【分析】根据轴截面可得，即可由体积公式求解. 【详解】如图：由于圆锥的轴截面顶角为120°，故, 又,所以, 故圆锥的体积为, 故答案为： 29．如图，平行六面体中，底面是边长为2的菱形，且与交于. (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质及全等三角形的性质，利用等腰三角形的三线合一和余弦定理的推理，结合勾股定理的逆定理和线面垂直的判定定理即可求证； （2）根据（1）的结论及线面垂直的判定定理和性质定理，利用矩形的性质及勾股定理，结合棱锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）因为底面是边长为2的菱形，所以. 因为，所以， 所以. 因为点为线段中点，所以. 在中，， 所以，解得. 所以即，所以 又，平面，平面， 所以平面. （2）由（1）知，，又四边形为菱形，所以， 又，平面，平面，所以平面， 又平面，所以， 又是平行六面体，所以， 所以四边形为矩形， 由（1）知，，所以， 从而， 连接，交于，连接，如图所示 在中，，为的中点，所以，同理， 又，平面，平面， 所以平面，线段的长为到平面的距离. 由，可得， 在直角三角形中，， 30．如图，在棱长为4的正方体中，将侧面沿逆时针旋转角度至平面，其中，点是线段的中点.    (1)当时，求四棱锥的体积； (2)当直线与平面所成的角为时，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）只需算出，并证明平面，然后结合棱锥体积公式计算即可； （2）建立适当的空间直角坐标系，用表示直线的方向向量与平面的法向量，结合已知即可列方程求解. 【详解】（1）由题意平面平面， 所以，又因为， 得，所以， 因为， 所以， 故，又， 故平面， 所以. （2）如图，易知两两垂直，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，    由题知，则， 故， 设平面的一个法向量为， 由得 取，得，故， 又， ， 即， 化简可得， 解得或（舍去）. 31．如图，已知四棱锥中，平面平面，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)若侧面为等边三角形，求四面体的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由三角形中位线结合且得到四边形是平行四边形，所以，由线面平行的判定证得平面； （2）由面面垂直得到线面垂直从而得到到平面的距离，在梯形中得到的面积，由得到所求棱锥体积. 【详解】（1）如图，取的中点，取的中点，取的中点，连接． 因为分别为的中点，所以且， 因为分别为的中点，所以且， 又因为且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以． 又由平面平面，所以平面． （2） 如图，连接． 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面平面，所以平面． 因为，所以，，， 又因为为的中点，所以点到平面的距离． 在梯形中，由，可得，所以， 又由，所以， 故，所以四面体的体积为． 32．如图是一个平面截底面边长为2的正方形的长方体所得的几何体与相交于点. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）借助，可证，再利用平面，可得，从而可得证； （2）先求和，利用棱锥体积公式计算可得. 【详解】（1）如图，连接， 四边形为正方形，， 平面平面平面， ， ， ，， ，， 平面平面， 又平面， 平面平面； （2）由，可得四边形为矩形，又由为的中点， 为的中点，可得， 在梯形中，为的中点，为的中点， 可得， 又由， 有， 又由，可得三棱锥的体积为. 33．已知四棱锥中，底面是矩形，，，点是线段的中点． (1)求证：平面； (2)若，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）首先证明，取中点，连接，，即可证明平面，从而得到，即可得证； （2）设与的交点为，连接，即可证明平面，再由锥体的体积公式计算可得． 【详解】（1）因为点是线段CD的中点且矩形中，所以， 根据，，得， 又根据矩形得，所以． 于是，根据，得， 所以． 取中点，连接，，因为，所以． 因为，所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面． （2）设与的交点为，连接． 在中，，，所以． 在中，因为，，，， 所以，，． 在中，，，，所以，于是． 在中，，由余弦定理得， 即，所以． 根据平面，平面，所以， 根据，，所以， 因此有，所以， 又，，平面，所以平面． 所以四棱锥的体积． 34．如图，在圆台中，圆的半径是1，圆的半径是2，高是，圆是的外接圆，，PC是圆台的一条母线． (1)求三棱锥体积的最大值； (2)当时，求平面PAC与平面PBC的锐二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取AB中点M，连，根据的高可得面积的最大值，再根据棱锥的体积公式即可得解； （2）如图，以为坐标原点，过与AB平行的直线为x轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设，则，根据求出的坐标，再利用向量法求解即可. 【详解】（1）取AB中点M，连，则， 则的高， 当且仅当三点共线，即时，取等号， ， 所以三棱锥体积的最大值为； （2）如图，以为坐标原点，过与AB平行的直线为x轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 由，圆的半径是1，可得， 则， ， 又，解得， 则， 则， 设平面PAC的法向量为， 则，可取， ， 设平面PBC的的法向量， 则，可取， 则， 所以平面PAC与平面PBC的锐二面角的余弦值为． 35．如图，已知正方体的棱长为1，分别是线段上靠近的三等分点．过点作该正方体的截面，试求截面图形的周长和面积． 【答案】周长，面积. 【分析】利用平面的基本事实作出截面，再结合面面平行的性质求解即得. 【详解】在棱长为1的正方体中，延长交直线于，延长交延长线于， 连接交于，交于，连接，则五边形是过点的该正方体的截面， 平面平面，平面平面，平面平面， 则，， 同理，，因此， ，， ， 所以截面周长为； 等腰底边上的高为， 则的面积， 显然∽，，同理， 所以截面面积. 【考点4 几何体的内切球】 36．已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设圆台与球的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，探讨圆台两底半径与母线的关系，再利用圆台侧面积公式及圆台、球的体积公式求解即得. 【详解】设圆台的上、下底面半径分别为，母线长为，高为，内切球的半径为， 显然圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，则，， 由，整理得，而，解得，， 因此圆台的高，， 则圆台的体积， 内切球的体积，所以. 故选：D 37．如图所示，一个几何体的主视图和左视图都是边长为4的正方形，中间线段平分正方形，俯视图中有一内切圆，则该几何体的全面积是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出三视图对应的几何体，再利用几何体的结构特征计算表面积作答. 【详解】如图，所给三视图对应的几何体是底面边长为4，高为2的正四棱柱上面放置一个底面圆半径为2，高为2的圆柱， 该几何体的全面积是正四棱柱的全面积加上圆柱的侧面积， 所以几何体的全面积. 故选：A 38．如图，实心正方体的棱长为2，其中上、下底面的中心分别为．若从该正方体中挖去两个圆锥，且其中一个圆锥以为顶点，以正方形的内切圆为底面，另一个圆锥以为顶点，以正方形的内切圆为底面，则该正方体剩余部分的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出正方体体积、两圆锥的体积及其公共部分的体积即可得. 【详解】两圆锥的体积都为， 则其公共部分为， 故该正方体剩余部分的体积为. 故选：D. 39．已知等腰梯形，，，圆为梯形的内切圆，并与，分别切于点，，如图所示，以所在的直线为轴，梯形和圆分别旋转一周形成的曲面围成的几何体体积分别为，，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定旋转体的形状，再求解几何体的体积即可得出结果. 【详解】梯形ABCD旋转一周形成圆台，且圆台的上底面半径为,下底面半径为, 由圆O和梯形ABCD相切可得，， 所以圆台高,  圆O半径， 所以，, 所以，. 故选：C. 40．《九章算术》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，现提供一中计算“牟合方盖”体积的方法，显然，正方体的内切球也是“牟合方盖”的内切球.因此，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，平面截内切球得到上述正方形的内切圆，结合祖暅原理，利两个同高的立方体如在等高处的截面面积相等，则体积相等.若正方体棱长为3，则“牟合方盖”体积为（    ）    A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】C 【分析】先求得正方体内切球的体积，再由已知得出牟合方盖的体积. 【详解】正方体的棱长，则其内切球的半径为， 内切球的体积. 由于截面正方形与其内切圆的面积之比为. 设牟合方盖的体积为，则，从而牟合方盖的体积. 故选：C. 41．如图，实心正方体的棱长为2，其中上､下底面的中心分别为.若从该正方体中挖去两个圆锥，且其中一个圆锥以为顶点，以正方形的内切圆为底面，另一个圆锥以为顶点，以正方形的内切圆为底面，则该正方体剩余部分的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知正方体剩余体积即为正方体体积减去两个上底重合的圆台的体积，根据圆台的体积公式可求得答案. 【详解】由题意可知，挖去的两个圆锥是底面圆半径相等，半径为1，高也相等的圆锥， 两圆锥相交于位于正方体的高中间处的一个小圆，小圆半径为 ， 则正方体剩余的部分体积即正方体体积减去两个上底重合对在一起的圆台的体积， 即剩余几何体的体积为， 故选：D. 42．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑．某园林建筑为六角攒尖，如图所示，它主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥．设这个正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，则底面内切圆半径与侧棱长的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的边角关系，用和表示出的一半，从而得出底面内切圆半径与侧棱长的比. 【详解】设为正六棱锥底面内切圆的圆心， 连接，，如图所示： 由题意可知，， ，， ， 设内切圆半径为，则，， 底面内切圆的半径与侧棱的比为． 故选：B 43．已知棱柱的侧棱垂直于底面，四边形为正方形，，且棱柱的表面积为20，则以四边形的中心为顶点，以四边形的内切圆面为底面的圆锥的体积为 ． 【答案】． 【分析】根据已知条件求出棱柱底面边长和侧棱长，正方形内切圆的半径为其边长的一半，所求圆锥的高为棱柱的侧棱，即可求解, 【详解】设，依题意， 棱柱的表面积为， 所求圆锥的底面半径是正方形边长一半为， 高是棱柱的侧棱为， 所求的圆锥的体积为. 故答案为：. 【点睛】本题考查圆锥的体积、棱柱的表面积，考查圆锥的结构特征，属于基础题. 44．在直三棱柱中，，底面ABC是边长为6的正三角形，若M是三棱柱外接球的球面上一点，是内切圆上一点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】分析题意，将题目转化为求外接球半径与点到球心距离和的问题，求解即可. 【详解】若底面ABC是边长为6的正三角形， 则外接圆的半径为，内切圆半径为， 设三棱柱外接球的半径为，且已知， 可得，解得， 设三棱柱外接球的球心与内切圆上一点的距离为， 故，则的最大值为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是确定取得最大值的情况，然后将目标式合理转化，得到所要求的线段和即可． 【考点5 几何体的外接球】 45．已知正三棱柱与以的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的高的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正三棱柱的底面边长为，高为，设圆柱的高为，表示出棱柱和圆柱的体积，由两体积相等化简可求出棱柱与圆柱的高的比值 【详解】设正三棱柱的底面边长为，高为， 等边的面积为， 则正三棱柱的体积为， 设的外接圆半径为，则，故， 设圆柱的高为，则圆柱的体积， 由题意得，解得. 故选：D. 46．若正四棱柱与以正方形的外接圆为底面的圆柱的体积相同，则正四棱柱与该圆柱的侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正四棱柱底面边长与圆柱底面半径之比已知，由正四棱柱与圆柱的体积相同，求出正四棱柱与圆柱的高之比，代入侧面积公式计算即可. 【详解】依题意，设正四棱柱的底面边长为，高为， 圆柱的高为，则圆柱的底面半径为， 则有，整理得， 正四棱柱与圆柱的侧面积之比. 故选：B． 47．已知A，B，C，D是球O的球面上的四个点，圆为的外接圆．若圆的面积为π，，则四面体ABCD体积的最大值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的面积为π，得圆的半径为1，从而求得球O的半径， 从而可得出四面体ABCD体积的最大值. 【详解】因为圆的面积为π，所以圆的半径为1，， 则球O的半径， 则四面体ABCD体积的最大值为． 故选：B. 48．如图，球的半径为，球面上的三个点，，的外接圆为圆，且，则三棱锥的体积最大值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆的半径为，即可表示、，从而得到，再利用均值不等式求出的最大值，即可得解. 【详解】设圆的半径为，则，又，所以， 所以， 又，所以， 所以，， 所以 ， 当且仅当或时取等号， 所以三棱锥的体积最大值是. 故选：A 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是通过三角关系表示出，再利用三元均值不等式求出的最大值. 49．已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆.若的面积为，，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论. 【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意， 得， 为等边三角形， 由正弦定理可得， ，根据球的截面性质平面， ， 球的体积. 故选：A 50．在圆台中，圆的半径是2，母线，圆是的外接圆，，，则三棱锥体积最大值为 ． 【答案】/ 【分析】先求出圆的半径，再求圆台的高，列出三棱锥体积表示式，由余弦定理和基本不等式推出， 即得体积最大值. 【详解】    如图，设圆，的半径分别为，，则由正弦定理，，解得， 设圆台的高为，则， 在中，取，由余弦定理，， 即得，即得，当且仅当时取等号. 因三棱锥的体积为， 即时，三棱锥的体积的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题主要考查与圆台有关的三棱锥的体积最值问题，属于难题. 解题关键在于，弄清圆台与三棱锥的关系，分析三棱锥的体积关系式中，哪些为定值，需要选设怎样的变量表示，考虑运用二次函数，还是基本不等式，双勾函数还是求导方法求得体积最值. 51．已知三棱锥的四个面都是边长为2的正三角形，是外接圆上的一点，为线段上一点，，是球心为，半径为的球面上一点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】画出立体几何图形与相应的截面图，易得当点为与球的交点时，取得最小值，由即可求解. 【详解】依题意， 因为三棱锥的四个面都是边长为2的正三角形， 所以三棱锥为正四面体，如图所示： 由正四面体的性质易得： 顶点在平面上的投影为， 为外接圆的圆心且为的重心， 作出球的截面，由图可知，当点为与球的交点时， 取得最小值，此时三点共线，， 因为为等边三角形，其外接圆的半径为， 所以， 由勾股定理得：， 所以，又， 所以， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：三角形的外接圆半径，可利用正弦定理快速求解.立体几何外接球内切球问题，需要数形结合画出相应的几何图形便于分析求解. 52．已知A，B，C为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则当的面积最大时，球的表面积为 ． 【答案】 【分析】求得的半径，根据正弦定理得出，，然后代入整理得出的面积.设，，求导得出函数的最大值点，进而得出.根据勾股定理求出球的半径，即可得出答案. 【详解】设的半径为，球的半径为， 则，所以. 由正弦定理可得，，. 因为，所以， 所以 . 设，， 则 . 因为， 由可得，. 由可得，. 因为，所以， 所以，所以， 所以，在上单调递增； 由可得，， 由，可知，所以， 所以，在上单调递减. 所以，当时，取得唯一极大值，也是最大值. 此时，为等边三角形，且， 所以，. 由图象可得，在中，有，， 所以，，即， 所以，球的表面积为. 故答案为：. 【考点6空间几何体的截面问题】 53．沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.沙漏由两个完全一样的圆锥和一个狭窄的连接管道组成，通过充满了沙子的玻璃圆锥从上面穿过狭窄的管道流入底部玻璃圆锥所需要的时间来对时间进行测量西方发现最早的沙漏大约在公元1100年，比我国的沙漏出现要晚．时钟问世之后，沙漏完成了它的历史使命.现代沙漏可以用来助眠．经科学认证，人类的健康入睡时间是15分钟，沙漏式伴睡灯便是一个15分钟的计时器．它将古老的计时沙漏与现代夜灯巧妙结合，随着沙粒从缝隙中滑下，下部的灯光逐渐被沙子掩埋，直到15分钟后沙粒全部流光，柔和的灯光完全覆盖．就这样，宁静的夜晚，听着沙粒窸窸窣窣的声音，仿佛一首缓缓流动的安眠曲如图，一件沙漏工艺品，上下两部分可近似看成完全一样的圆锥，测得圆锥底面圆的直径为，沙漏的高（下底面圆心的距离）为，通过圆锥的顶点作沙漏截面，则截面面积最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一，根据条件得到，再利用基本不等式，即可求出结果； 法二，设，根据条件得到，即可求出结果. 【详解】由沙漏的对称性，通过圆锥顶点作沙漏的截面，上下两部分截面为全等的三角形，只需要讨论通过顶点作圆锥的截面的最大值， 如图，在圆锥中，过顶点作截面为，作于，延长交底面圆交于点，连接 ， 设，， ， 当且仅当时，“=”号成立，解得，所以沙漏截面面积最大值为， 故选：B． 方法二：设， 所以， 当为底面圆直径时，取得最大，此时，最大为钝角， 所以当时，，沙漏截面面积最大值为， 故选：B． 54．已知正四棱锥的体积为，底面的四个顶点在经过球心的截面圆上，顶点在球的球面上，点为底面上一动点，与所成角为，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据锥体的体积公式结合外接球的性质可得半径和四棱锥的底边边长，进而根据锐角三角函数可得，即可判断点的轨迹为为圆心，半径的圆，即可求解. 【详解】由题意，设球的半径为．如图所示，连接交于点，连接，则，，平面，所以，解得． 在中，因为，，所以． 因为正方形的中心到各边的距离为，所以点的轨迹为平面内，以点为圆心，半径的圆，故点的轨迹长度为． 故选:D．    55．已知一正方体木块的棱长为4，点在棱上，且.现过三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，在上取一点，使得，连接，则四边形为平行四边形，即平行四边形为所求的截面，利用余弦定理和同角的三角函数关系和三角形的面积公式求出，即可求解. 【详解】 如图，在上取一点，使得，连接， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以与相交于且为的中点， 又在上，所以与相交于，且O平分，， 所以四点四点共面且四边形为平行四边形， 所以过三点的截面是平行四边形， ， ， ， 故截面面积为. 故选：A. 56．已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，为上的一点，且，过点作球的截面，则所得的截面面积最小的圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设截得的截面圆的半径为，球的半径为，由平面几何知识得截面与球心的距离为，利用勾股定理求得的值，由题意可知球心到所求截面的距离最大时截面面积最小，利用面积公式，即可得答案. 【详解】如图，设截得的截面圆的半径为，球的半径为， 因为， 所以.由勾股定理，得，由题意得， 所以，解得， 此时过点作球的截面，若要所得的截面面积最小，只需所求截面圆的半径最小. 设球心到所求截面的距离为，所求截面的半径为，则， 所以只需球心到所求截面的距离最大即可， 而当且仅当与所求截面垂直时，球心到所求截面的距离最大， 即，所以. 故选：C 57．若一个圆锥的体积为，用通过该圆锥的轴的平面截此圆锥，得到的截面三角形的顶角为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由体积求出圆锥的底面圆半径和高，母线长，即可计算圆锥的侧面积． 【详解】设圆锥的底面圆半径为，高为，由轴截面三角形的顶角为，得， 所以圆锥的体积为，解得， 所以圆锥的母线长为， 所以圆锥的侧面积为． 故选：C． 58．某同学制作了一个工艺品，如图所示.该工艺品可以看成是一个球被一个棱为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一截面圆的周长为，则原来被截之前的球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设球的半径为，截面圆的半径为，根据题意，结合球的截面的性质，求得，进而求得球的表面积，得到答案. 【详解】设球的半径为，截面圆的半径为，两个截面圆间的距离为， 因为截面圆的周长为，可得，解得， 又因为该工艺品可以看成是一个球被一个棱为4的正方体的六个面所截后剩余的部分， 所以两截面圆之间的距离为，解得， 根据球的截面的性质，可得， 所以球的表面积为. 故选：B. 59．已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】如图，由题意，根据空间线面的位置关系、基本事实以及面面平行的性质定理可得，进而，结合相似三角形的性质即可求解． 【详解】如图，设，分别延长交于点，此时， 连接交于，连接， 设平面与平面的交线为，则， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，设，则， 此时，故 ，连接， 所以五边形为所求截面图形， 故选：C．    60．如图，球的半径为，球面上的三个点的外接圆为圆，且，则下列说法正确的是（    ） A．球的表面积为 B．若的面积为 C．若，则三棱锥的体积是 D．三棱锥体积的最大值为 【答案】ACD 【分析】由球的半径求表面积判断选项A；由有，计算的面积判断选项B；由体积公式计算三棱锥的体积判断选项C；由三棱锥体积的表达式，利用导数求最大值判断选项D. 【详解】A选项，球的表面积，故A正确； B选项，， 有，则，故B错误； C选项，设，由，可得， 因为，，为的外心，所以， ，，故， 由已知，，由，解得， 所以，，，由球的截面性质可得平面， 所以三棱锥的体积，故C正确； D选项，设，则，， ，令，则， 令，， 时，，单调递增；时，，单调递减， 当时，，则有的最大值为，故D正确． 故选：ACD． 61．现有一块如图所示的三棱锥木料，其中，，木工师傅打算过点将木料切成两部分，则截面周长的最小值为 . 【答案】 【分析】将三棱锥侧面沿着展开，截面周长的最小值即求从A出发沿着侧面回到A的最短距离. 【详解】将三棱锥侧面沿着展开，如图： 则， 由余弦定理可得：,则， 所以截面周长的最小值为. 故答案为：. 62．如图，在棱长为2的正四面体中，，分别为棱，的中点，为线段的中点，球的表面与线段相切于点，则球被正四面体表面截得的截面周长为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出线段MN长及点O到平面的距离，即可得到球被平面截得的截面周长，从而得到结果； 【详解】 在棱长为2的正四面体中，连接，过作于，如图， 由分别为棱的中点，得， 而平面， 则平面，又平面，于是平面平面， 而平面平面， 因此平面，而，，，则， 球半径，，从而， 球被平面截得的截面圆半径， 所以球被平面截得的截面周长. 又为正四面体，所以球被正四面体的每个面截得的截面都为圆， 且圆的半径为， 所以球被正四面体表面截得的截面周长为. 故答案为： 一．棱柱的结构特征（共2小题） 1．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，下列结论中正确的是（　　） A．DD1⊥AF B．C1G∥平面AEF C．直线C1G与直线AE所成角的余弦值为 D．平面AEF截正方体所得的截面面积为 【答案】D 【解答】解：分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则D（0，0，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），F（0，1，）， 因为＝（0，0，1），＝（﹣1，1，），且•＝≠0， 所以与不垂直，即直线D1D与直线AF不垂直，选项A错误； 假设C1G∥平面AEF，因为C1G⊂平面BCC1D1，EF⊂平面BCC1D1，所以C1G∥EF， 显然C1G∥FB，所以C1G与EF不平行，所以假设不成立， 即C1G与平面AEF不平行，选项B错误； 因为C1（0，1，1），G（1，1，），E（，1，0）， 则＝（1，0，﹣），＝（﹣，1，0），•＝﹣，||＝||＝＝， 所以直线C1G与直线AE所成角的余弦值为cosθ＝||＝＝，选项C错误； 平面AEF截正方体所得的截面为等腰梯形AD1FE， 易知D1F＝AE＝，EF＝AD1＝， 可得等腰梯形AD1FE的高为＝＝， 所以等腰梯形AD1FE的面积为×（+）×＝，选项D正确． 故选：D． （多选）2．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为线段BC1，B1D1上的动点（包含端点），则（　　） A．直线MN与A1C为异面直线 B．当N为中点时，直线MN∥平面ACD1 C．当时，直线MN⊥平面BC1D D．|MN|的取值范围为 【答案】BCD 【解答】解：对于A，当M和B重合，N和D1重合时，MN与A1C相交，选项A错误； 对于B，当N为线段B1D1中点时，平面BC1N∥平面ACD1，则MN∥平面ACD1，选项B正确； 对于C，当时，延长A1N，CM交B1C1中点E， 由相似成比例知，，所以MN∥A1C， 又A1C⊥平面BC1D，所以直线MN⊥平面BC1D，选项C正确； 对于D，由题意知，当时，MN为直线B1D1与BC1公垂线段， 所以|MN|的最小值为，最大值为， 所以|MN|的取值范围是，选项D正确． 故选：BCD． 二．棱锥的结构特征（共2小题） 3．已知E，F分别是棱长为2的正四面体ABCD的对棱AD，BC的中点．过EF的平面α与正四面体ABCD相截，得到一个截面多边形τ，则下列说法正确的是（　　） A．截面多边形τ不可能是平行四边形 B．截面多边形τ的周长是定值 C．截面多边形τ的周长的最小值是 D．截面多边形τ的面积的取值范围是 【答案】D 【解答】解：对于A，取正四面体ABCD的棱AB、CD的中点M和N，连接EM、EN和FM、FN， 则EM∥AC，EM＝AC，DN∥AC，DN＝AC，所以EM∥DN，且EM＝DN， 所以四边形EMFN是平行四边形，选项A错误； 对于B，过E、F的平面α与正四面体ABCD相截，得到一个截面多边形τ的周长不是定值，如选项A中截面EMFN是正方形，周长为4×1＝4，过点E与棱AD的截面AED是等腰三角形，周长是2+2，选项B错误； 对于C，把正四面体的侧面展开，连接EF并延长，得EF∥AB，得过EF的截面多边形的周长最小值为4，选项C错误； 对于D，选项A中的截面多边形的面积最小，为1，当截面过棱AD时，截面面积最大，为×2×＝， 所以截面多边形τ的面积取值范围是[1，]，选项D正确． 故选：D． 4．如图，在正三棱锥D﹣ABC中，侧棱，∠BDC＝30°，过点A作与棱DB，DC均相交的截面AEF．则△AEF周长的最小值为 　+　，记此时△AEF的面积为S，则S2＝　2﹣3　． 【答案】+；2﹣3． 【解答】 解：根据题意，把正三棱锥D﹣ABC的侧面展开，如图所示： 则点A、A1的距离是截面AEF周长的最小值． 正三棱锥D﹣ABC中，∠BDC＝30°，所以AD⊥A1D， 因为，所以AA1＝AD＝+， 所以△AEF周长的最小值为+； 又因为， 所以A1E＝AE， 又因为AA1＝AE+A1E＝（1+）AE＝+， 所以＝，， 所以，， 所以△AEF的面积为S＝×（﹣）×， 所以． 故答案为：+；2﹣3． 三．棱柱、棱锥、棱台的体积（共10小题） 5．在如图所示的三棱锥容器S﹣ABC中，D，E，F分别为三条侧棱上的小洞，SD：DA＝CF：FS＝2：1，BE＝SE，若用该容器盛水，则最多可盛水的体积是原三棱锥容器体积的（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：因为SD：DA＝2：1，所以SD＝SA， 又因为BE＝SE，所以SE＝SB， 所以△SDE的面积为： S△SDE＝SD•SE•sin∠ASB＝×SA×SB×sin∠ASB＝S△SAB． 又CF：FS＝2：1，所以SF：SC＝1：3， 设点F，C到平面SAB的距离分别为h1，h2， 所以h1：h2＝1：3， 所以VF﹣SDE：VC﹣SAB＝×＝． 所以这个容器最多可盛原三棱锥容器的1﹣＝． 故选：A． 6．在三棱锥P﹣ABC中，线段PC上的点M满足，线段PB上的点N满足，则三棱锥P﹣AMN和三棱锥P﹣ABC的体积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：在三棱锥P﹣ABC中，线段PC上的点M满足PM＝PC，线段PB上的点N满足PN＝PB， 所以S△PMA＝S△PAC， 设N到平面PAC的距离d1，B到平面PAC的距离d2，则d1＝d2， 则三棱锥P﹣AMN的体积为V三棱锥P﹣AMN＝V三棱锥N﹣APM＝S△PAM•d1＝×S△PAC×d2＝V三棱锥B﹣PAC． 所以三棱锥P﹣AMN和三棱锥P﹣ABC的体积之比为． 故选：C． 7．三棱锥P﹣ABC中，，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（　　） A．1 B．2 C．6 D．12 【答案】B 【解答】解：取AB的中点D，连接PD，过D作DE⊥AB交AC于E点，连接PE， 因为AB⊥PD，AB⊥DE，所以AB⊥平面PDE，所以平面ABC⊥平面PDE， 过点P作PF⊥DE，连接CF，因为PF⊥DE，所以EF⊥平面ABC， 因为三棱锥底面积S△ABC＝•|BA|•|BC|•sin120°＝， 求三棱锥体积最大，即为求三棱锥的高最长， 因为PF⊥CF，所以在Rt△PFC中，由勾股定理得，PF2＝PC2﹣CF2＝16﹣CF2， 所以CF取最小时，体积取最大值，所以过点C作CF′⊥DE，此时CF取最小值． 因为AD＝1，∠A＝30°，∠EDA＝90°，所以，， 因为CF′∥AB，所以∠ECF'＝30°， 则， 所以＝16﹣CF′2＝12， 所以三棱锥P﹣ABC的最大值为Vmax＝•S△ABC•PFmax＝2． 故选：B． 8．如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，且BC＝2AB＝2AD＝2，以AB为轴旋转一周，形成的几何体中截一正四棱台的最大体积为（　　） A． B． C．7 D． 【答案】B 【解答】解：直角梯形ABCD，以AB为轴旋转一周，形成几何体是上底面半径为1，下底面半径为2，高为1的圆台， 该圆台中截一最大体积的正四棱台，上底面边长为，下底面边长为2，高为1， 所以正四棱台的最大体积为×[++]×1＝． 故选：B． 9．若正四面体P﹣ABC的棱长为，M为棱PA上的动点，则当三棱锥M﹣ABC的外接球的体积最小时，三棱锥M﹣ABC的体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：如图，正四面体P﹣ABC的底面外心为O，连接PO，则PO⊥平面ABC， 易知，三棱锥M﹣ABC的外接球球心Q一定落在PO上，则外接球半径R＝|QC|≥|OC|， 当Q与O重合时，|QC|最小，此时R＝|OM|＝|OC|＝＝2， 在△OMC中，OM＝OC＝2，所以cos∠PCO＝＝， cos∠MOC＝cos（π﹣2∠PCO）＝1﹣2cos2∠PCO＝， 所以sin∠MOC＝，所以该三棱锥的高为OM•sin∠MOC＝， 所以三棱锥M﹣ABC的体积为×××sin60°×＝． 故选：A． （多选）10．远看曲靖一中文昌校区紫光楼主楼，一顶巨大的“博士帽”屹立在爨园之中．其基础主体结构可以看作是一个倒扣的正四棱台ABCD﹣A′B′C′D′．如图所示，过B′作底面ABCD的垂线，垂足为G．记∠B′BG＝α，∠B′BC＝γ，∠GBC＝θ，面BB′C′C与面ABCD所成角为β，面BB′C′C与面BB′G所成角为x，B′C′＝a，BC＝b，B′G＝h（　　） A．正四棱台ABCD﹣A′B′C′D′的体积为 B．tanβ＝2tanα C．sinα＝sinβsinγ D． 【答案】ACD 【解答】解：过B′作底面ABCD的垂线，垂足为G．记∠B′BG＝α，∠B′BC＝γ，∠GBC＝θ， 面BB′C′C与面ABCD所成角为β，面BB′C′C与面BB′G所成角为x，B′C′＝a，BC＝b，B′G＝h， 对于A，正四棱台ABCD﹣A′B′C′D′的体积为： V台＝（S+S′+）h＝（a2+b2+ab）h，故A正确； 对于B，过G点作BC边的垂线交BC于H点，如图， ∵GH⊥BC，B′G⊥面ABCD，B′G⊥BC， ∴BC⊥平面B′HG，∠B′HG是平面BB′C′C与平面ABCD所成角的二面角β， 则，，则，故B错误； 对于C，∵B′G⊥平面ABCD，BC⊥平面B′HG， ∴△B′GB，△B′GH，△B′HB，△BHG均为直角三角形． ∴，即sinα＝sinβsinγ，故C正确； 对于D，过H点作BB′的垂线，交BB′于I，过I作BB′的垂线交BG于J， 此时平面BB′C′C与平面BB′G所成角的二面角为∠HIJ＝x， 设BJ＝m，则IJ＝msinα，， ， 由余弦定理知： ＝ ＝ ＝，故D正确． 故选：ACD． 11．如图，六面体ABCDA1C1D1的一个面ABCD是边长为2的正方形，AA1，CC1，DD1均垂直于平面ABCD，且AA1＝1，CC1＝2，则该六面体的体积等于 　6　，表面积等于 　22　． 【答案】6；22． 【解答】解：在DD1上取点M，且使DM＝1，则AA1∥DM，AA1＝DM，结合AA1⊥底面ABCD， 所以矩形A1ADM，连接CM，且ABCD为正方形，则A1M∥BC，A1M＝BC， 所以▱A1BCM，所以A1B∥CM，所以A1B∥平面CDD1C1，可得A1B∥C1D1∥CM， 又AA1，CC1，DD1均垂直于平面ABCD，所以DM∥CC1，可得▱CMD1C1、▱A1BC1D1，所以DD1＝3， 易知该几何体的体积是以DA，DC，DD1为相邻三棱的长方体体积的一半， 所以，且表面积为该长方体表面积的一半加上▱A1BC1D1的面积， 而A1B＝C1D1＝＝，A1D1＝BC1＝＝，＝， 在△A1BD1中，cos∠BA1D1＝＝，所以sin∠BA1D1＝， 所以＝××2×＝6， 长方体的表面积的一半为2×2+2×3+2×3＝16， 所以该几何体的表面积为16+6＝22． 故答案为：6；22． 12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1＝B1C1＝3，A1B1＝4，D为A1B1的中点． （1）证明：B1C∥平面AC1D． （2）若以AB1为直径的球的表面积为48π，求三棱锥B1﹣AC1D的体积． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解答】解：（1）证明：连接A1C交AC1于点E，则E为A1C的中点， 连接DE，∵D是A1B1的中点，∴DE∥B1C， ∵DE⊂平面AC1D，B1C⊄在平面AC1D， ∴B1C∥平面AC1D． （2）∵A1C1＝B1C1，D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1， 计算C1D＝＝＝1， ∵以AB1为直径的球的表面积为48π，∴4π•＝48π，解得A1B＝4， ∴AA1＝＝＝4， ∴△B1C1D的面积为， ∴三棱锥B1﹣AC1D的体积为． 13．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点． （1）证明：DF⊥AE； （2）当D为A1B1中点时，求VA﹣DEF． 【答案】（1）证明见解析． （2）． 【解答】解法一、（1）证明：过F作FG∥AB，交AC于点G，连接A1G，所以G是AC的中点， 因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1， E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1， 所以AE⊥AB，所以AE⊥PG， 在正方形ACC1A1中，•＝（+）•（+）＝•+•+•+•＝0+﹣+0＝0，所以⊥，即AE⊥A1G，又A1G∩FG＝G，所以AE⊥平面DFGA1， 又DF⊂平面DFGA1，所以DF⊥AE． （2）D为A1B1中点时，AE＝＝，AF＝，EF＝＝， 所以AF2+EF2＝AE2，所以AF⊥EF，所以△AEF＝××＝； 计算D到平面AEF的距离为d＝， 所以三棱锥A﹣DEF的体积为VA﹣DEF＝VD﹣AEF＝S△AEF•d＝××＝． 解法二、（1）证明：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1， E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，D是A1B1上的点， ∴AB⊥AA1，又AA1∩AE＝A， ∴AB⊥平面ACC1A1，∴AB⊥AC， ∴以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系， 则A（0，0，0），E（0，1，），A1（0，0，1），F（，0）， ＝（0，1，），＝（，﹣1）， ＝0+＝0， ∴⊥，∴A1F⊥AE， ∵AE⊥A1B1，A1B1∩A1E＝A1， ∴AE⊥平面A1B1F， ∵D是A1B1上的点，∴DF⊂平面A1B1F， ∴DF⊥AE． （2）D为A1B1 中点时，D（，0，1），＝（，0，1），（0，1，），＝（，，0）， 设平面AEF的法向量为＝（x，y，z），则，即令x＝1，得y＝﹣1，z＝2，所以＝（1，﹣1，2），所以点D到平面AEF的距离为d＝＝＝， cos＜，＞＝＝＝，sin∠AEF＝＝， 所以S△AEF＝||||sin∠AEF＝×××＝， 所以三棱锥A﹣DEF的体积为VA﹣DEF＝VD﹣AEF＝S△AEF•d＝××＝． 14．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝2，AA1＝3，点D，E分别在棱AA1，CC1上，AD＝2DA1，C1E＝2EC，F为B1C1的中点． （1）在平面ABB1A1内，过A作一条直线与平面DEF平行，并说明理由； （2）当三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积最大时，求平面DEF与平面ABC夹角的余弦值． 【答案】（1）直线AB1，理由见解析． （2）． 【解答】解：（1）连接AB1，则直线AB1即为所求． 连结AC1交DE于点M，连结MF， 因为AD＝2DA1，C1E＝2EC，所以AD＝C1E＝AA1＝2， 又因为AD∥C1E，所以四边形ADC1E为平行四边形，所以AM＝MC1， 又因为B1F＝FE1，所以MF∥AB1， 又MF⊂平面DEF，AB1⊄平面DEF，所以AB1∥平面DEF． （2）因为△ABC的面积为S△ABC＝BA•BC•sin∠ABC＝×2×2sin∠ABC＝2sin∠ABC， 当∠ABC＝时，S△ABC取得最大值为2，即当AB⊥BC时，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积最大， 又因为BB1⊥AB，BB1⊥BC， 以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x轴，y轴，x轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则D（2，0，2），E（0，2，1），F（0，1，3），所以＝（﹣2，2，﹣1），＝（0，﹣1，2）， 设平面DEF的法向量为＝（x，y，z），则，取z＝1，则y＝2，x＝，此时＝（，2，1）， 又因为平面ABC的一个法向量为＝（0，0，1），设平面DEF与平面ABC夹角为θ，则θ∈[0，]， 计算cosθ＝＝＝， 所以平面DEF与平面ABC夹角的余弦值为． 四．圆锥的侧面积和表面积（共1小题） 15．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍，若△SAB的面积为，则该圆锥的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，则母线长为l＝r， 因为母线SA，SB所成角θ的余弦值为，且θ∈（0，π）， 所以sinθ＝＝， 所以△SAB的面积为××＝，解得r＝2， 所以母线长为l＝×2＝4； 所以该圆锥的表面积为S＝πr2+πrl＝π×+π××4＝（40+40）π． 故选：B． 五．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积（共6小题） 16．圆锥的高为1，体积为π，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（　　） A．2 B． C． D．1 【答案】A 【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，因为圆锥的高为h＝1，体积为π， 所以π•r2•1＝π，解得r＝； 所以圆锥的母线长为l＝＝＝2，如图所示： 所以∠OAP＝，∠APO＝， 所以圆锥轴截面的顶角为∠APB＝， 所以过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大时为等腰直角三角形， 最大值为×2×2＝2． 故选：A． 17．将一个圆台的侧面展开，得到的扇环的内弧长为4π，外弧长为8π，外弧半径与内弧半径之差为m，若该圆台的体积为，则m＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解答】解：因为圆台的侧面展开图是扇环，且扇环的内弧长为4π，外弧长为8π，外弧半径与内弧半径之差为m， 所以圆台的上底面半径r＝2，下底面半径R＝4，母线长为m． 设圆台的高为h，根据题意知， 圆台的体积为， 解得，所以． 故选：B． 18．在半径为5的球体内部放置一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题知，当圆锥体积最大时，此时圆锥内接于球，且球心在圆锥的高上． 设圆锥的底面半径为r，高为h（0＜h＜10），则r2＝52﹣（h﹣5）2＝﹣h2+10h， 所以该圆锥的体积为＝， 求导数，得V′＝π（﹣3h2+20h）＝πh（﹣3h+20）， 当时，V'＞0，函数单调递增； 当 时，V′＜0，函数单调递减； 所以，当时，V取得最大值，且最大值为π[﹣+10×]＝． 故选：A． 19．已知圆锥PO的母线长为3，表面积为4π，O为底面圆心，AB为底面圆直径，C为底面圆周上一点，∠BOC＝60°，M为PB中点，则△MOC的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：设圆锥PO的底面圆半径为r，因为母线长为3，表面积为4π， 所以πr2+πr•3＝4π，即r2+3r﹣4＝0，解得r＝1或r＝﹣4（舍去）； 连接OM，则OM＝PB＝， 过点M作MN⊥OB，垂足为N，连接CN， 则MN＝OP＝×＝，CN＝OCsin∠60°＝， 所以MC＝＝＝， △MOC中，cos∠MOC＝＝＝， 所以sin∠MOC＝＝， 所以△MOC的面积为S＝OM•OC•sin∠MOC＝××1×＝． 故选：C． 20．如图，已知球C与圆锥VO的侧面和底面均相切，且球的体积为圆锥体积的一半．若球的半径为1，则该圆锥的侧面积为 　6π　． 【答案】6π． 【解答】解：设圆锥VO的底面半径为r，高为h， 因为圆锥内切球的半径为1，可得△VCM∽△VAO， ＝， 化简得h＝，...① 又因为球的体积为圆锥体积的一半， 所以×13＝×πr2h，化简得h＝，...② 由①②得，r2＝2，h＝4， 所以圆锥的底面半径为，母线长为＝＝3， 所以圆锥的侧面积为πrl＝π××3＝6π． 故答案为：6π． 21．某工厂为学校运动会定制奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，已知奖杯的底座是由金属片围成的空心圆台，圆台上下底面半径分别为1，2，将一个表面积为8π的水晶球放置于圆台底座上，即得该奖杯，已知空心圆台（厚度不计）围成的体积为7π，则该奖杯的高（即水晶球最高点到圆台下底面的距离）为 　4+　． 【答案】4+． 【解答】解：设水晶球的半径为r，则4πr2＝8π，解得， 设圆台的高为h，则，解得h＝3， 因为水晶球球心到圆台上底面的距离为， 所以该奖杯的高为． 故答案为：4+． 六．圆锥的体积（共2小题） 22．已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝120°，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为（　　） A．π B． C．3π D． 【答案】B 【解答】解：根据题意，设该圆锥的高为h，即PO＝h，取AB的中点E，连接PE、OE， 由于圆锥PO的底面半径为，即，而∠AOB＝120°， 所以AB＝＝＝3， 同时， △PAB中，PA＝PB，E为AB的中点，则有PE⊥AB， 又由△PAB的面积等于，即， 变形可得，而， 则有，解得， 所以该圆锥的体积为． 故选：B． 23．若一圆锥的内切球半径为2，该圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（　　） A．16π B． C．24π D．32π 【答案】C 【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l， 由圆锥的侧面展开图为半圆，所以2πr＝πl，解得l＝2r； 画出圆锥的轴截面，如图所示： Rt△PAC中，sin∠APC＝＝＝，所以∠APC＝； 所以△PAB的等边三角形，该圆锥内切球的球心是△PAB的中心，且OC＝2， 所以圆锥的高为h＝3OC＝6，底面圆的半径为r＝2， 所以圆锥的体积为V＝πr2h＝π××6＝24π． 故选：C． 七．球的体积和表面积（共2小题） 24．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若AB＝AC＝1，AA1＝4，，则球O的表面积为（　　） A．16π B．20π C．28π D．32π 【答案】B 【解答】解：如图：设M，N分别为上下底面的外心，由题意知MN的中点O为该三棱柱外接球的球心，连接MN，OB，在△ABC中，AB＝AC＝1，， 则底面外接圆的半径为BN＝×＝1， 又AA1＝4，所以MN＝AA1＝4，所以ON＝2， 所以该三棱柱的外接球半径R＝＝， 所以球O的表面积为4πR2＝20π． 故选：B． 25．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥AB，PB＝AB，△PAB围绕棱PA旋转60°后恰好与△PAC重合，且三棱锥P﹣ABC的体积为，则三棱锥P﹣ABC外接球的半径R为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解答】解：如图：取PA的中点O，连接OB，OC，因为PB⊥AB，PB＝AB， 所以OB⊥PA，OC⊥PA，所以PA⊥平面BOC，且∠BOC＝60°， 设PB＝a，则OP＝OA＝OB＝OC＝，且△BOC为等边三角形，O为三棱锥P﹣ABC的外接球的球心，为外接球半径， 所以VP﹣ABC＝＝＝， 解得a＝，所以外接球的半径为＝． 故选：C． 八．由三视图求面积、体积（共1小题） 26．已知一个圆锥的三视图如图，该圆锥的内切球也是棱长为a的正四面体的外接球，则此正四面体的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由圆锥的三视图如图可知圆锥的高为，底面半径为2， 则母线长l＝4，由圆锥结构特征可知：圆锥的轴过其内切球（半径设为r）球心O， 所以过圆锥的轴截圆锥及其内切球得到的截面图如图所示： 由图形知∠BSO1＝30°，所以，即，解得r＝， 将棱长为a的正四面体补形为正方体， 则正方体的棱长为，且该正四面体的外接球即为正方体的外接球， 所以，解得， 所以正四面体的表面积为． 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12基本立体图形及其表面积与体积（六大题型8大易错题） 【考点1 基本立体图形】 1．已知，底面半径的圆锥内接于球，则经过和中点的平面截球所得截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知某圆台的母线长为，母线与轴所在直线的夹角是，且上、下底面的面积之比为，则该圆台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．已知球O半径为4，圆与圆为球体的两个截面圆，它们的公共弦长为4，若，，则两截面圆的圆心距（    ） A． B． C． D． 4．已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为，则圆锥的高为（   ） A． B． C． D． 5．在母线长为4的圆锥中，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．已知球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为，且.若球和圆台的体积分别为和，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．已知正方体的棱长为2，M为的中点，球O与正方体的各个表面都相切，则平面MBD截球O所得截面的面积为 ． 8．已知某圆锥的底面半径长为2，侧面展开图的面积为，则该圆锥内部最大球的半径为 . 【考点2 空间几何体的表面积】 9．正四棱台中，上底面边长为2，下底面边长为4，若侧面与底面所成的二面角为60°，则该正四棱台的侧面积为（    ） A．8 B．12 C．24 D．48 10．《几何原本》是一部重要的几何著作，其第十一卷中把轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为直角圆锥.在直角圆锥中，为底面圆的一条直径，且，则直角圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 11．蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为，底面半径为是圆柱下底面的圆心．若圆锥的侧面与以为球心，半径为的球相切，则圆锥的侧面积为（    ）    A． B． C． D． 12．在正四棱台中，，若正四棱台的高为，则其表面积为（    ） A． B． C． D． 13．已知正三棱台的上底面积为，下底面积为，高为2，则该三棱台的表面积为（    ） A． B． C． D．18 14．已知球的半径为1，其内接圆锥的高为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 15．如图，圆台的上、下底面半径分别为，，且，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 16．已知一个高为6的圆锥被平行于底面的平面截去一个高为3的圆锥，所得圆台的上、下底面圆周均在球的球面上，球的体积为，且球心在该圆台内，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 17．与都是边长为2的正三角形，沿公共边折叠成的二面角，若点A，B，C，D在同一球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 18．如图，圆柱形容器内部盛有高度为的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱底面半径相等）后，水恰好淹没最上面的铁球，则一个铁球的表面积为（    ） A． B． C． D． 19．已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，且母线长为2，为其底面圆周上的两点，若面积的最大值为，则球的表面积为 ． 20．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为边CD的中点，沿AE把折起，使点D到达点P的位置，且． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的表面积 21．如图，在三棱锥中，点为棱的中点，点为的中点，，，都是正三角形． (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积为，求三棱锥的表面积． 【考点3 空间几何体的体积】 22．中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3个国家能够独立开展载人航天活动.从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百年来，中国人以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为6，圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高度为7，则该容器中液体的体积为（    ） A． B． C． D． 23．菏泽市博物馆里，有一条深埋600多年的元代沉船，对于研究元代的发展提供了不可多得的实物资料.沉船出土了丰富的元代瓷器，其中的白地褐彩龙风纹罐（如图）的高约为，把该瓷器看作两个相同的圆台拼接而成（如图），圆台的上底直径约为，下底直径约为，忽略其壁厚，则该瓷器的容积约为（    ） A． B． C． D． 24．如图，在六面体中，平面平面，四边形ABCD与四边形是两个全等的矩形，，，平面ABCD，，，，则六面体的体积为（    ） A．288 B．376 C．448 D．600 25．如图，已知三棱柱的所有棱长均为2，满足，则该三棱柱体积的最大值为（    ） A． B．3 C． D．4 26．若某圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球表面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 27．已知三棱锥，平面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 28．若一个圆锥的轴截面顶角为120°，母线长为2，则这个圆锥的体积为 . 29．如图，平行六面体中，底面是边长为2的菱形，且与交于. (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积. 30．如图，在棱长为4的正方体中，将侧面沿逆时针旋转角度至平面，其中，点是线段的中点.    (1)当时，求四棱锥的体积； (2)当直线与平面所成的角为时，求的值. 31．如图，已知四棱锥中，平面平面，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)若侧面为等边三角形，求四面体的体积． 32．如图是一个平面截底面边长为2的正方形的长方体所得的几何体与相交于点. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积. 33．已知四棱锥中，底面是矩形，，，点是线段的中点． (1)求证：平面； (2)若，求四棱锥的体积． 34．如图，在圆台中，圆的半径是1，圆的半径是2，高是，圆是的外接圆，，PC是圆台的一条母线． (1)求三棱锥体积的最大值； (2)当时，求平面PAC与平面PBC的锐二面角的余弦值． 35．如图，已知正方体的棱长为1，分别是线段上靠近的三等分点．过点作该正方体的截面，试求截面图形的周长和面积． 【考点4 几何体的内切球】 36．已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设圆台与球的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 37．如图所示，一个几何体的主视图和左视图都是边长为4的正方形，中间线段平分正方形，俯视图中有一内切圆，则该几何体的全面积是（  ） A． B． C． D． 38．如图，实心正方体的棱长为2，其中上、下底面的中心分别为．若从该正方体中挖去两个圆锥，且其中一个圆锥以为顶点，以正方形的内切圆为底面，另一个圆锥以为顶点，以正方形的内切圆为底面，则该正方体剩余部分的体积为（    ） A． B． C． D． 39．已知等腰梯形，，，圆为梯形的内切圆，并与，分别切于点，，如图所示，以所在的直线为轴，梯形和圆分别旋转一周形成的曲面围成的几何体体积分别为，，则值为（    ） A． B． C． D． 40．《九章算术》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，现提供一中计算“牟合方盖”体积的方法，显然，正方体的内切球也是“牟合方盖”的内切球.因此，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，平面截内切球得到上述正方形的内切圆，结合祖暅原理，利两个同高的立方体如在等高处的截面面积相等，则体积相等.若正方体棱长为3，则“牟合方盖”体积为（    ）    A．6 B．12 C．18 D．24 41．如图，实心正方体的棱长为2，其中上､下底面的中心分别为.若从该正方体中挖去两个圆锥，且其中一个圆锥以为顶点，以正方形的内切圆为底面，另一个圆锥以为顶点，以正方形的内切圆为底面，则该正方体剩余部分的体积为（    ） A． B． C． D． 42．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑．某园林建筑为六角攒尖，如图所示，它主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥．设这个正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，则底面内切圆半径与侧棱长的比为（    ） A． B． C． D． 43．已知棱柱的侧棱垂直于底面，四边形为正方形，，且棱柱的表面积为20，则以四边形的中心为顶点，以四边形的内切圆面为底面的圆锥的体积为 ． 44．在直三棱柱中，，底面ABC是边长为6的正三角形，若M是三棱柱外接球的球面上一点，是内切圆上一点，则的最大值为 ． 【考点5 几何体的外接球】 45．已知正三棱柱与以的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的高的比值为（   ） A． B． C． D． 46．若正四棱柱与以正方形的外接圆为底面的圆柱的体积相同，则正四棱柱与该圆柱的侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 47．已知A，B，C，D是球O的球面上的四个点，圆为的外接圆．若圆的面积为π，，则四面体ABCD体积的最大值为（    ）． A． B． C． D． 48．如图，球的半径为，球面上的三个点，，的外接圆为圆，且，则三棱锥的体积最大值是（    ）    A． B． C． D． 49．已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆.若的面积为，，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 50．在圆台中，圆的半径是2，母线，圆是的外接圆，，，则三棱锥体积最大值为 ． 51．已知三棱锥的四个面都是边长为2的正三角形，是外接圆上的一点，为线段上一点，，是球心为，半径为的球面上一点，则的最小值是 ． 52．已知A，B，C为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则当的面积最大时，球的表面积为 ． 【考点6空间几何体的截面问题】 53．沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.沙漏由两个完全一样的圆锥和一个狭窄的连接管道组成，通过充满了沙子的玻璃圆锥从上面穿过狭窄的管道流入底部玻璃圆锥所需要的时间来对时间进行测量西方发现最早的沙漏大约在公元1100年，比我国的沙漏出现要晚．时钟问世之后，沙漏完成了它的历史使命.现代沙漏可以用来助眠．经科学认证，人类的健康入睡时间是15分钟，沙漏式伴睡灯便是一个15分钟的计时器．它将古老的计时沙漏与现代夜灯巧妙结合，随着沙粒从缝隙中滑下，下部的灯光逐渐被沙子掩埋，直到15分钟后沙粒全部流光，柔和的灯光完全覆盖．就这样，宁静的夜晚，听着沙粒窸窸窣窣的声音，仿佛一首缓缓流动的安眠曲如图，一件沙漏工艺品，上下两部分可近似看成完全一样的圆锥，测得圆锥底面圆的直径为，沙漏的高（下底面圆心的距离）为，通过圆锥的顶点作沙漏截面，则截面面积最大为（    ） A． B． C． D． 54．已知正四棱锥的体积为，底面的四个顶点在经过球心的截面圆上，顶点在球的球面上，点为底面上一动点，与所成角为，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 55．已知一正方体木块的棱长为4，点在棱上，且.现过三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（    ） A． B． C． D． 56．已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，为上的一点，且，过点作球的截面，则所得的截面面积最小的圆的半径为（    ） A． B． C． D． 57．若一个圆锥的体积为，用通过该圆锥的轴的平面截此圆锥，得到的截面三角形的顶角为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 58．某同学制作了一个工艺品，如图所示.该工艺品可以看成是一个球被一个棱为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一截面圆的周长为，则原来被截之前的球的表面积为（    ） A． B． C． D． 59．已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 60．如图，球的半径为，球面上的三个点的外接圆为圆，且，则下列说法正确的是（    ） A．球的表面积为 B．若的面积为 C．若，则三棱锥的体积是 D．三棱锥体积的最大值为 61．现有一块如图所示的三棱锥木料，其中，，木工师傅打算过点将木料切成两部分，则截面周长的最小值为 . 62．如图，在棱长为2的正四面体中，，分别为棱，的中点，为线段的中点，球的表面与线段相切于点，则球被正四面体表面截得的截面周长为 ． 一．棱柱的结构特征（共2小题） 1．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，下列结论中正确的是（　　） A．DD1⊥AF B．C1G∥平面AEF C．直线C1G与直线AE所成角的余弦值为 D．平面AEF截正方体所得的截面面积为 （多选）2．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为线段BC1，B1D1上的动点（包含端点），则（　　） A．直线MN与A1C为异面直线 B．当N为中点时，直线MN∥平面ACD1 C．当时，直线MN⊥平面BC1D D．|MN|的取值范围为 二．棱锥的结构特征（共2小题） 3．已知E，F分别是棱长为2的正四面体ABCD的对棱AD，BC的中点．过EF的平面α与正四面体ABCD相截，得到一个截面多边形τ，则下列说法正确的是（　　） A．截面多边形τ不可能是平行四边形 B．截面多边形τ的周长是定值 C．截面多边形τ的周长的最小值是 D．截面多边形τ的面积的取值范围是 4．如图，在正三棱锥D﹣ABC中，侧棱，∠BDC＝30°，过点A作与棱DB，DC均相交的截面AEF．则△AEF周长的最小值为 　 　，记此时△AEF的面积为S，则S2＝　 　． 三．棱柱、棱锥、棱台的体积（共10小题） 5．在如图所示的三棱锥容器S﹣ABC中，D，E，F分别为三条侧棱上的小洞，SD：DA＝CF：FS＝2：1，BE＝SE，若用该容器盛水，则最多可盛水的体积是原三棱锥容器体积的（　　） A． B． C． D． 6．在三棱锥P﹣ABC中，线段PC上的点M满足，线段PB上的点N满足，则三棱锥P﹣AMN和三棱锥P﹣ABC的体积之比为（　　） A． B． C． D． 7．三棱锥P﹣ABC中，，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（　　） A．1 B．2 C．6 D．12 8．如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，且BC＝2AB＝2AD＝2，以AB为轴旋转一周，形成的几何体中截一正四棱台的最大体积为（　　） A． B． C．7 D． 9．若正四面体P﹣ABC的棱长为，M为棱PA上的动点，则当三棱锥M﹣ABC的外接球的体积最小时，三棱锥M﹣ABC的体积为（　　） A． B． C． D． （多选）10．远看曲靖一中文昌校区紫光楼主楼，一顶巨大的“博士帽”屹立在爨园之中．其基础主体结构可以看作是一个倒扣的正四棱台ABCD﹣A′B′C′D′．如图所示，过B′作底面ABCD的垂线，垂足为G．记∠B′BG＝α，∠B′BC＝γ，∠GBC＝θ，面BB′C′C与面ABCD所成角为β，面BB′C′C与面BB′G所成角为x，B′C′＝a，BC＝b，B′G＝h（　　） A．正四棱台ABCD﹣A′B′C′D′的体积为 B．tanβ＝2tanα C．sinα＝sinβsinγ D． 11．如图，六面体ABCDA1C1D1的一个面ABCD是边长为2的正方形，AA1，CC1，DD1均垂直于平面ABCD，且AA1＝1，CC1＝2，则该六面体的体积等于 　　，表面积等于 　　． 12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1＝B1C1＝3，A1B1＝4，D为A1B1的中点． （1）证明：B1C∥平面AC1D． （2）若以AB1为直径的球的表面积为48π，求三棱锥B1﹣AC1D的体积． 13．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点． （1）证明：DF⊥AE； （2）当D为A1B1中点时，求VA﹣DEF． 14．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝2，AA1＝3，点D，E分别在棱AA1，CC1上，AD＝2DA1，C1E＝2EC，F为B1C1的中点． （1）在平面ABB1A1内，过A作一条直线与平面DEF平行，并说明理由； （2）当三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积最大时，求平面DEF与平面ABC夹角的余弦值． 四．圆锥的侧面积和表面积（共1小题） 15．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍，若△SAB的面积为，则该圆锥的表面积为（　　） A． B． C． D． 五．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积（共6小题） 16．圆锥的高为1，体积为π，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（　　） A．2 B． C． D．1 17．将一个圆台的侧面展开，得到的扇环的内弧长为4π，外弧长为8π，外弧半径与内弧半径之差为m，若该圆台的体积为，则m＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 18．在半径为5的球体内部放置一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为（　　） A． B． C． D． 19．已知圆锥PO的母线长为3，表面积为4π，O为底面圆心，AB为底面圆直径，C为底面圆周上一点，∠BOC＝60°，M为PB中点，则△MOC的面积为（　　） A． B． C． D． 20．如图，已知球C与圆锥VO的侧面和底面均相切，且球的体积为圆锥体积的一半．若球的半径为1，则该圆锥的侧面积为 　　． 21．某工厂为学校运动会定制奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，已知奖杯的底座是由金属片围成的空心圆台，圆台上下底面半径分别为1，2，将一个表面积为8π的水晶球放置于圆台底座上，即得该奖杯，已知空心圆台（厚度不计）围成的体积为7π，则该奖杯的高（即水晶球最高点到圆台下底面的距离）为 　　． 六．圆锥的体积（共2小题） 22．已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝120°，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为（　　） A．π B． C．3π D． 23．若一圆锥的内切球半径为2，该圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（　　） A．16π B． C．24π D．32π 七．球的体积和表面积（共2小题） 24．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若AB＝AC＝1，AA1＝4，，则球O的表面积为（　　） A．16π B．20π C．28π D．32π 25．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥AB，PB＝AB，△PAB围绕棱PA旋转60°后恰好与△PAC重合，且三棱锥P﹣ABC的体积为，则三棱锥P﹣ABC外接球的半径R为（　　） A．1 B． C． D．2 八．由三视图求面积、体积（共1小题） 26．已知一个圆锥的三视图如图，该圆锥的内切球也是棱长为a的正四面体的外接球，则此正四面体的表面积为（　　） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$