专题13 空间向量与立体几何（八大题型8大易错题）（题型专练+易错精练）-备考2025年高考数学一轮复习高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

专题13空间向量与立体几何（八大题型8大易错题） 【题型1 用基向量表示指定向量的方法】 1．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）如图在三棱锥 中，是的中点，若，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·海南·阶段练习）如图，空间四边形中，，，，点M为BC中点，点N在侧棱OA上，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25高二上·陕西咸阳·阶段练习）如图，三棱锥中，，，，点为中点，点N满足，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 三点共线和空间四点共面的问题】 5．（24-25高二上·四川·期末）已知向量，，若，共线，则（   ） A． B．2 C． D．10 6．（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 7．（24-25高二上·山西·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，，， B．，， C．，， D．，， 8．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，若四点共面，则向量在上的投影向量的模为（   ） A．12 B． C． D． 9．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知三个向量共面，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）为空间任意一点，若，若四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【题型3 空间向量数量积的应用】 11．（24-25高二上·北京·阶段练习）在正方体中，，，则直线与直线夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）若，则（ ） A．4 B．5 C．21 D．26 13．（24-25高二上·四川眉山·期中）棱长为的正四面体中，点是的中点，则（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知空间向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 15．（2024高三·全国·专题练习）空间四边形中，，，则的值是（   ） A． B． C． D．0 16．（24-25高二上·安徽黄山·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 利用空间向量证明空间线面位置关系】 17．（20-21高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点． (1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：平面BDE. 18．（23-24高二上·新疆阿克苏·阶段练习）如图，在正方体中，分别是棱的中点. (1)证明： ； (2)证明：； 19．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，底面是矩形，且，．侧面是面积为的直角三角形，其中．点分别为线段的中点，连接． (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【题型5 用向量法求异面直线所成角】 20．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是棱上的一点，且，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高二上·辽宁大连·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 22．（24-25高三上·吉林·期末）正三棱台中，，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·四川成都·期末）如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高二上·广东东莞·期中）若空间中三个点，则直线与直线夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【题型6 用向量法求解直线与平面所成角】 25．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，，点是线段的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 26．（24-25高二上·山东泰安·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 27．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）在图1的直角梯形ABCD中，，，，点是DC边上靠近于点的三等分点，AC交BE于点，以BE为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2. (1)求四棱锥的体积； (2)求与平面所成角的正弦值. 【题型7 利用向量法解二面角问题】 28．（2024·浙江温州·一模）如图，在三棱柱中，平面平面，平面. (1)求证：； (2)若二面角的正弦值为，且，求. 29．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为正方形，为棱PD的中点，为边AB的中点. (1)求证：平面POC； (2)若侧面底面ABCD，且，，求二面角的余弦值. 30．（24-25高三上·广西·阶段练习）如图在三棱柱中，平面平面，是等边三角形，，. (1)求棱锥的体积； (2)若为棱的中点，求二面角的正弦值. 【题型8 利用空间向量求空间距离】 31．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）如图，在四棱台中，平面平面 . (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求点关于平面的对称点到平面的距离. 32．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，平面平面. (1)求证：平面平面； (2)点是棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 33．（24-25高二上·天津·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． (1)求证：面； (2)求平面与平面的夹角的大小； (3)求点到平面的距离． 34．（24-25高二上·广西河池·阶段练习）如图，在四棱锥中，侧棱底面，，且，，，为中点． (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 1．（24-25高二上·山西·阶段练习）如图，在棱长为6的正四面体中，，分别为棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广西玉林·期中）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知点，平面，其中，则点到平面的距离是（   ） A． B． C．2 D．3 4．（2023·上海嘉定·一模）正四棱台是的中点，在直线上各取一个点P、Q，使得M、P、Q三点共线，则线段的长度为 ． 5．（24-25高二上·天津·阶段练习）如图， 在四棱锥，平面， 底面是直角梯形， 其中， ， ，E为棱上的点，且 .    (1)求证: 平面； (2)求平面与平面所成夹角的正弦值. 6．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）如图所示，三棱柱中，．平面，，点是的中点． (1)证明：； (2)求与平面所成角的正弦值． 7．（24-25高二上·河南驻马店·期末）如图，在三棱柱中，平面，，分别为，的中点，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 8．（24-25高二上·辽宁大连·期中）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，在母线PC上，且，，.    (1)求证：平面平面ABD； (2)求二面角的余弦值. (3)设线段PO上动点为，求直线DM与平面ABE所成角的正弦值的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13空间向量与立体几何（八大题型8大易错题） 【题型1 用基向量表示指定向量的方法】 1．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）如图在三棱锥 中，是的中点，若，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形，由空间向量的运算求解即可； 【详解】是的中点，所以， 故选：A. 2．（24-25高二上·海南·阶段练习）如图，空间四边形中，，，，点M为BC中点，点N在侧棱OA上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形，利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】. 故选：. 3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的加法及减法运算法则进行线性运算，逐步表示即可得到结果. 【详解】∵点为中点， ∴， ∴. 故选：B. 4．（24-25高二上·陕西咸阳·阶段练习）如图，三棱锥中，，，，点为中点，点N满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】. 故选：C. 【题型2 三点共线和空间四点共面的问题】 5．（24-25高二上·四川·期末）已知向量，，若，共线，则（   ） A． B．2 C． D．10 【答案】C 【分析】根据向量共线的坐标表示计算可得结果. 【详解】依题意可得，解得，， 所以. 故选：C. 6．（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算表示，根据、、三点共线可得，建立等量关系可得的值. 【详解】∵，，， ∴， ∵、、三点共线， ∴，使得， 即 ， ∴，，解得． 故选：C． 7．（24-25高二上·山西·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据空间向量的基底向量的定义结合向量共面逐项分析判断. 【详解】对于A，因为，所以，，共面，故A错误； 对于B，因为，所以，，共面，故B错误； 对于C，因为，所以，，共面，故C错误； 对于D，假设三个向量共面，则存在实数x，y，使得成立， 则显然方程组无解，所以，，不共面，故D正确. 故选：D. 8．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，若四点共面，则向量在上的投影向量的模为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四点共面，可得共面，再根据空间向量共面定理求出，再求出向量在上的投影长度即可. 【详解】因为四点共面， 所以共面， 则存在唯一实数对，使得， 即， 所以，解得， 所以， 向量在上的投影向量的模即为向量在上的投影长度， 所以向量在上的投影向量的模为. 故选：D. 9．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知三个向量共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量共面设出对应向量关系式，解方程组可求出结果. 【详解】因为共面，所以设，所以，解得， 故选：C. 10．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）为空间任意一点，若，若四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量共面的基本定理可得答案. 【详解】若四点共面，则， 解得. 故选：C. 【题型3 空间向量数量积的应用】 11．（24-25高二上·北京·阶段练习）在正方体中，，，则直线与直线夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出相关图象，建立空间坐标系，利用空间向量求解直线与直线夹角的余弦值，即可求解. 【详解】由题意作出相关图象，如下图， 以点D为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为，    则 ，，，， 连接，易得与相似，又由正方体性质， 所以，从而可得， 故，， 所以， 设直线与直线夹角为，则，故A正确. 故选：A. 12．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）若，则（ ） A．4 B．5 C．21 D．26 【答案】A 【分析】先求的坐标，再利用数量积的坐标运算求解. 【详解】因为， 所以， 则. 故选：A. 13．（24-25高二上·四川眉山·期中）棱长为的正四面体中，点是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算法则和数量积的性质可得，结合数量积定义可得结论． 【详解】因为， 所以 ， 又，，，， 所以． 故选：A． 14．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知空间向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知，然后两边同时平方，代入已知数据计算即可. 【详解】因为， 所以, 得. 故选：D 15．（2024高三·全国·专题练习）空间四边形中，，，则的值是（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】利用，以及的数量积的定义化简的值， 【详解】，故 所以. 故选：D． 16．（24-25高二上·安徽黄山·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图及空间向量加法可得，后由题意及模长公式可得答案. 【详解】设，因为六面体是平行六面体， 所以，因为， 代入计算可得： ， 故有： ，所以， 所以，因为，所以. 故选：B 【题型4 利用空间向量证明空间线面位置关系】 17．（20-21高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点． (1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：平面BDE. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可以D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量共面定理可证明，即可证明平面； （2）由空间向量数量积为零可证明，，再由线面垂直的判定定理即可证明平面. 【详解】（1）根据题意可知平面平面，平面平面， 又是正方形，所以，平面， 所以平面，从而可得，，两两垂直； 以D为原点，分别以，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 又为的中点，所以， 则，且平面的一个法向量为， 因为，可知， 又平面，所以∥平面. （2）因为 易知，所以； 又，可得； 又，平面， 所以平面. 18．（23-24高二上·新疆阿克苏·阶段练习）如图，在正方体中，分别是棱的中点. (1)证明： ； (2)证明：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算，根据共线即可求解， （2）根据向量垂直满足的坐标关系即可求解. 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则 , 故, 由于，故，显然，不重合，故 ；； （2） 故， 因此，故 19．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，底面是矩形，且，．侧面是面积为的直角三角形，其中．点分别为线段的中点，连接． (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）法1，取的中点，利用线面平行的判断，结合平行四边形性质推理得证.法2，利用垂直关系证明直线两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）法1，过点作交于点，利用定义法求出线面角的正弦值.法2，由（1）中空间直线坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解. 【详解】（1）法1，取的中点，连接． 由为的中点，得且，由四边形为矩形，得且， 则且，又为的中点，则且， 四边形为平行四边形，于是，而平面，平面， 所以平面. 法2：取的中点，连接，由，，， 平面，得平面，又，于是平面， 而平面，则，又，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 在中，，，则， 在中，，， 则， 则，即，因此， 又平面，平面，所以平面. （2）法1：过点作交于点，连接． 由，，，平面，得平面， 而平面，则，又，平面，则平面， 因此即为直线与平面所成的角， 在中，，由，得， 在中，，， 而平面，则，又，于是， 在中，，为中点，则， 由，，得， 则，即，解得，在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 法2：由（1）得，，， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【题型5 用向量法求异面直线所成角】 20．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是棱上的一点，且，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出、的长，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与所成角的余弦值. 【详解】因为，，，则， 故， 在直三棱柱中，底面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为点为棱的中点，点是棱上的一点，且， 则、、、， ，， 所以，. 因此，直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 21．（24-25高二上·辽宁大连·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，然后根据线线角的向量公式即可求出结果. 【详解】如图，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为2，且为中点，, 则. 所以， 设异面直线与所成角为， 则, 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 22．（24-25高三上·吉林·期末）正三棱台中，，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先做， 得出，再得出，进而应用空间向量的线性表示及数量积公式计算，最后应用异面直线所成角的向量法求解. 【详解】 设，过点做，是中点， 因为，分别为，的中点，所以，所以, 因为所以， 所以，因为正三棱台中，三个侧面是全等的等腰梯形， 所以， 所以，， 又因为，， 所以， 设异面直线，所成角为 所以. 故选：C. 23．（24-25高二上·四川成都·期末）如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用空间向量的夹角公式可求异面直线与所成角的余弦值. 【详解】设， ， . ，. ， 异面直线与所成角的余弦值. 故选：D. 24．（24-25高二上·广东东莞·期中）若空间中三个点，则直线与直线夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出向量，利用向量夹角公式求解可得. 【详解】因为，所以， 记直线与直线的夹角为， 则. 故选：B 【题型6 用向量法求解直线与平面所成角】 25．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，，点是线段的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，即可建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求解， （2）求解平面法向量，即可利用向量的夹角求解. 【详解】（1）取的中点，连接． 因为，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 故平面． 以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 故，， 故， 故异面直线与所成角的余弦值为． （2）由（1）得，， 设平面的法向量为，则即 易知，令，则，即． 设直线与平面所成的角为，易得， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 26．（24-25高二上·山东泰安·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明出，，然后利用线面垂直的判定定理即可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可求出的值，然后利用空间向量法可求得与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为，为的中点，所以，且． 连接，因为，则，可得， 所以为等腰直角三角形， 因为为的中点，则，且， 由知． 因为，，，、平面，所以，平面. （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 由已知得、、、、， 所以，，易知平面的一个法向量为， 设，其中， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 由题意可得， 因为，解得，所以，， 可取平面的一个法向量为， 又因为，， 所以，与平面所成角的正弦值为. 27．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）在图1的直角梯形ABCD中，，，，点是DC边上靠近于点的三等分点，AC交BE于点，以BE为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2. (1)求四棱锥的体积； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据边长可得，；进而可得四边形为菱形，即可根据勾股定理得，可证平面，即可根据体积公式求解， （2）建立空间直角坐标系，求解法向量，即可根据向量夹角求解. 【详解】（1）根据题意，由直角梯形边长，， 可知故，； 又点是边上靠近于点的三等分点，所以，可得为等边三角形； 连接，如下图所示： 可得四边形为菱形，所以， 即折起后，， 如图所示，易知，又，满足， 即； 又，AF，平面， 所以平面，且，梯形的面积为， 所以 （2）以为坐标原点，分别以，为，轴，方向为轴正方向建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，，，,， 可得，，， 设平面的法向量，则， 令，则得为平面一个法向量， 设与平面所成的角为， 所以. 【题型7 利用向量法解二面角问题】 28．（2024·浙江温州·一模）如图，在三棱柱中，平面平面，平面. (1)求证：； (2)若二面角的正弦值为，且，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过作于点，然后根据面面垂直的性质定理得面，然后再利用线面垂直的性质定理得，同理，然后再利用线面垂直的判定定理得面，然后用线面垂直的性质定理得； （2）以为原点，，分别为，轴建立空间直角坐标系，然后利用坐标计算确定位置，计算的长度即可. 【详解】（1）过作于点， 因为平面平面，所以面， 因为 面 所以， 又因为平面，所以， 而面， 所以面， 因为面 所以 （2）如图，以为原点，，分别为，轴建立空间直角坐标系， 二面角的平面角与二面角的平面角互补，记为， 设，有，，， ， 设面的法向量为，有， 即，令，得， 又面的法向量为， 所以， 解得，所以. 29．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为正方形，为棱PD的中点，为边AB的中点. (1)求证：平面POC； (2)若侧面底面ABCD，且，，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）取线段PC的中点，连接OM，EM，证得四边形AOME为平行四边形，得线线平行后可得线面平行； （2）取OA中点为，CD上靠近点的四等分点为，证得两两垂直，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求面面角的余弦值. 【详解】（1）取线段PC的中点，连接OM，EM， 在中，，分别为PD，PC的中点 ∴，且， 又∵底面ABCD是正方形，且是AB的中点， ∴，且， ∴，且 ∴四边形AOME为平行四边形，则， 又平面POC，平面POC， ∴平面POC. （2）由，，可知为等边三角形， 设OA中点为，则， 又∵平面平面ABCD，平面平面，平面， 所以 平面ABCD， 设CD上靠近点的四等分点为，则， ， 以为原点，分别以QB，QN，QP所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面PBD的法向量为，则， 取，得，， 所以为平面PBD的一个法向量. 取平面ABD的法向量为 设平面PBD与平面ABD所成的平面角为，且为锐角， 则. 所以二面角的余弦值为. 30．（24-25高三上·广西·阶段练习）如图在三棱柱中，平面平面，是等边三角形，，. (1)求棱锥的体积； (2)若为棱的中点，求二面角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件得出是菱形，做边上的高，根据面面垂直性质定理得出垂直底面，即也是棱柱的高，根据等体积转化求出三棱锥体积； （2）结合（1）中条件，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，进而求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的平方关系求出二面角的正弦值. 【详解】（1）取的中点，连接. 在三棱柱中，四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形是菱形. 又，则，是等边三角形，所以. 因为平面平面，交线是， 所以垂直于底面，，即三棱柱的高是. 所以 . （2）连接，由（1）知平面，又是等边三角形， 所以，故，，两两垂直，以为坐标原点， ，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示） 则，，，，. 因为，所以， 因为为的中点，所以. 则，，， 设平面的一个法向量， 则，即， 令，解得，，故. 设平面的一个法向量， 则，即， 令，解得，，故. 设二面角的平面角为， 因为， 所以，即二面角的正弦值为. 【题型8 利用空间向量求空间距离】 31．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）如图，在四棱台中，平面平面 . (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求点关于平面的对称点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，根据线面平行的性质定理得四边形为平行四边形可得答案； （2）做交与点，以点为原点，所在的直线分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案； （3）求出平面的一个法向量、点到平面的距离，设，根据与共线得，再由点到平面的距离求出，最后再求点到平面的距离. 【详解】（1）连接，因为，， 所以，所以四点在同一平面上， 又因为平面，平面平面， 所以，可得四边形为平行四边形， 所以； （2）因为，，，， 所以四边形是等腰梯形，做交与点，可得， 所以，且， 以点为原点，所在的直线分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，， ，，，， 设向量为平面的一个法向量， 则，即，令，得， 所以， 设向量为平面的一个法向量， 则，即，令，得， 所以， ， 设平面与平面所成角的为， 所以； （3）由（2）建立的空间直角坐标系，得 ，， ，， 设为平面的一个法向量， 则，即，令，得， 所以， 则点到平面的距离 为， 设，则， 因为与共线，，可得， ， 所以点到平面的距离 为， 解得，或（舍去）， 此时，， 所以点到平面的距离. 【点睛】关键点点睛：第三问解题的关键点是利用向量共线求出点的坐标. 32．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，平面平面. (1)求证：平面平面； (2)点是棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据余弦定理及勾股定理结合题设易得，由平面平面可得平面，进而结合面面垂直的判定定理即可求证； （2）设的中点分别为，连接，分析易得两两互相垂直，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可； （3）直接利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：在中，， 由余弦定理，得， 所以，即. 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）设的中点分别为，连接， 因为为的中点，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又平面，所以. 因为分别为的中点，所以 ， 又，所以，即两两互相垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则，， 则， 设是平面的一个法向量， 则，即， 令，则. 设直线与平面所成角为，又， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（2）知，平面的一个法向量为， 由点到平面的距离公式得：到平面的距离， 所以到平面的距离为. 33．（24-25高二上·天津·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． (1)求证：面； (2)求平面与平面的夹角的大小； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量坐标，再利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）求得平面和平面的法向量坐标，再利用面面角的向量求法求解. （3）先根据相似三角形的边长成比例确定F的位置，再求得平面的法向量坐标，再利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】（1）在四棱锥中，底面，底面， 则，由底面是正方形，得， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为，则， ，设平面的法向量为， 则，令，得，则， 而平面，所以平面. （2）由（1）知，，且， 设平面的法向量为， 则，取，得， ，而，则， 即，则的一个法向量为， 因此， 而，则， 所以平面与平面的夹角为. （3） 因为底面，底面, 所以 底面是正方形，所以, ,平面, 所以平面,平面, 所以，所以在为直角三角形， 又由题知，所以在也为直角三角形， 故与相似， 则， ,， 而，所以， 所以是线段PB中靠近点P的三等分点， 由第（1）小问可知，，，， 因为是线段PB中靠近点P的三等分点，所以点， 设平面的一个法向量为， 而，， 则有，令，则，，， ，， 设B点到平面的距离为， 则； 故B点到平面的距离为. 34．（24-25高二上·广西河池·阶段练习）如图，在四棱锥中，侧棱底面，，且，，，为中点． (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证平面，建立空间直角坐标系，由点到面的距离公式求解即可； （2）由面面角的向量求法求解角的余弦值，即可求解正弦值. 【详解】（1）设与交点为，连接，则，所以平面， 所以，，三条直线两两互相垂直， 以，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意知，， 则，，，，，， ，， 设平面EAD的法向量为， ，可取， 又，则点C到平面EAD的距离：； （2），，，， 设平面PBC的法向量为， 则，可取， 所以， 所以平面PBC与平面EAD夹角的余弦值为， 所以平面PBC与平面EAD夹角的正弦值为. 1．（24-25高二上·山西·阶段练习）如图，在棱长为6的正四面体中，，分别为棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作平面，垂足为，连接，以为坐标原点，直线，分别为轴，轴建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算求解，再利用向量的夹角余弦值的坐标运算得所求. 【详解】作平面，垂足为，连接，则为的中心， 以为坐标原点，直线，分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， ， 设，所成的角为，所以 . 故选：A. 2．（24-25高二上·广西玉林·期中）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，根据点到线距离的向量求法和投影的定义计算即可. 【详解】取的中点，则，且， 以所在直线为轴，所在直线为轴，与中点连线所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则， 所以在上的投影的长度为， 故点到直线的距离为， 故选：C. 3．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知点，平面，其中，则点到平面的距离是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】求出平面的法向量，利用点面距离的向量求法即可求解． 【详解】由题意，，为平面的法向量， ，，所以． 故选：C． 4．（2023·上海嘉定·一模）正四棱台是的中点，在直线上各取一个点P、Q，使得M、P、Q三点共线，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】根据正四棱台的特征，建立空间直角坐标系，利用M、P、Q三点共线，得到等量关系，从而确定的位置，进而得到线段的长度. 【详解】结合题意：连接交于点,交于点,连接 由正四棱台的结构特征,易知两两垂直， 故以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 因为在正四棱台， 所以易计算得到： ，， 所以，, 因为是的中点,所以， 所以. 要使M、P、Q三点共线，则，共线， 则，解得：， 所以，, 所以， 所以. 故答案为:    5．（24-25高二上·天津·阶段练习）如图， 在四棱锥，平面， 底面是直角梯形， 其中， ， ，E为棱上的点，且 .    (1)求证: 平面； (2)求平面与平面所成夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意建系，写出相关点的坐标，计算向量坐标和平面的法向量的坐标，由即可证得； （2）分别求两平面的法向量坐标，由空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）    因平面，且,故可以点为坐标原点， 所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系(如图所示). 则. 于是，, 设平面的法向量为， 则，令，可得； 又，显然，，故得平面； （2）由（1）建系，则， 设平面的法向量为， 则，令，可得. 设平面与平面所成夹角为， 因， 则. 即平面与平面所成夹角的正弦值为 6．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）如图所示，三棱柱中，．平面，，点是的中点． (1)证明：； (2)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质得到，然后利用线面垂直的判定定理得到平面，最后根据线面垂直的性质证明即可； （2）建系，利用空间向量的方法计算即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以. （2） 在三棱柱中，， 因为，所以， 在平面内，过点作， 因为平面，所以平面， 如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， ，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，所以， 设与平面所成角为， 所以. 7．（24-25高二上·河南驻马店·期末）如图，在三棱柱中，平面，，分别为，的中点，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先根据线面垂直的性质证得，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可； （3）利用向量法求解即可. 【详解】（1）在三棱柱中，D，E为的中点， ， 平面， 平面， 平面，， 在三角形中，，为中点， ， ，，平面， 平面； （2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 在直角三角形中，，， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为， ，令，则，， 所以， 设直线与平面所成角为， 所以； （3）设点到平面的距离为，所以， 故点到平面的距离. 8．（24-25高二上·辽宁大连·期中）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，在母线PC上，且，，.    (1)求证：平面平面ABD； (2)求二面角的余弦值. (3)设线段PO上动点为，求直线DM与平面ABE所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)1 【分析】（1）设AC与BD交于点F，证明平面ABD，根据面面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，根据空间角的向量求法，即可求得答案； （3）利用向量法求出直线DM与平面ABE所成角的正弦值的表达式，结合基本不等式即可求得最大值. 【详解】（1）如图所示，设AC与BD交于点F，连接EF，    由于底面底面，故， 又，即，平面， 故平面，又平面，故，， 为底面圆的内接正三角形，且边长为， 则，； 又，即, 而∽，则，即， 结合，平面ABD，， ∴平面ABD，又平面， ∴平面平面. （2）以点F为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系，    结合（1）可知， 则， 则， 设平面ABE的法向量为，则， 令，则， 平面的法向量可取为， 则，由原图可知二面角为锐角， 故二面角的余弦值为； （3）由（2）可得, 设，则， 设直线DM与平面ABE所成角为， 则， 则， 令，则 ， 当且仅当，即时取等号， 即当时，取最大值4，则取最大值1， 故直线DM与平面ABE所成角的正弦值的最大值为1. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$