精品解析：黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学2024-2025学年九年级上学期数学开学模拟试题

黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学2024-2025学年九年级上学期数学开学模拟试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数，由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A. ，是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； B. ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； C. ，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； D. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2. 下列四边形中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，即可得出答案. 【详解】A．是轴对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，不符合题意； D．因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，符合题意. 故选D． 【点睛】本题考查的是轴对称图形的定义,解答本题的根据是掌握好轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形． 3. 下列图象分别给出了x与y的对应关系，其中y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义：一个变化过程中，两个变量，其中随着的变化而变化，对于每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，我们把叫做的函数，进行判断即可． 【详解】解：A．当时，每一个确定的值，都有2个值与之对应，不符合题意； B． 对于每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，符合题意； C． 当时，每一个确定的值，都有2个值与之对应，不符合题意； D．当时，有3个值与之对应，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查函数的识别．熟练掌握对于每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，是解题的关键． 4. 下列各组数中，能作为一个直角三角形的三边长的是（　　） A. 3，5，7 B. 4、5、6 C. 1，， D. 7，24，25 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】A、，故不是直角三角形，故不符合题意； B、，故不是直角三角形，故不符合题意； C、，故不是直角三角形，故不符合题意； D、，故是直角三角形，故符合题意． 故选：D． 5. 关于正比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象不经过原点 B. y随x的增大而增大 C. 图象经过第二、四象限 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质直接解答即可，熟练掌握正比例函数的性质是解决此题的关键． 【详解】A、图象经过原点，本选项错误，不符合题意； B、，y随x的增大而减小，本选项错误，不符合题意； C、，图象经过第二、四象限，本选项正确，符合题意； D．当时，，本选项错误，不符合题意； 故选：C． 6. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根得出且，求出即可； 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， 故选：D； 【点睛】本题考查了根的判别式，解一元二次方程的应用，能运用知识点进行计算是解此题的关键，注意：一元二次方程（a、b、c为常数，），当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，当时，一元二次方程有两个相等的实数根，当时，一元二次方程没有实数根． 7. 如图，在四边形中，对角线相交于点．添加下列条件，不能判定四边形是菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定．根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， 当或时，均可判定四边形是菱形； 当时， 由知， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 当时，可判定四边形是矩形； 故选：B． 8. 如图，矩形纸片ABCD，长AD＝9m，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长为( ) A. 7cm B. 6cm C. 5.5cm D. 5cm 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理得出方程，解方程即可. 【详解】由折叠的性质得：BE＝DE， 设DE长为xcm，则AE＝(9﹣x)cm，BE＝xcm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， 根据勾股定理得：AE2+AB2＝BE2， 即(9﹣x)2+32＝x2， 解得：x＝5， 即DE长为5cm， 故选：D. 【点睛】此题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，运用勾股定理进行计算是解题的关键． 9. 将一次函数的图象沿y轴向下平移4个单位长度，所得直线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象上加下减，可得答案． 【详解】解：由题意，得：， 即，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握函数图象的平移规律，是解题关键． 10. 甲、乙两车从城出发前往城，在整个过程中，汽车离开城的距离与时刻的对应关系如图所示，下列说法：①A、B两城相距 ②甲车比乙车多用两个小时 ③甲车出发一个半小时后被乙车追上 ④甲乙两车的速度比为⑤乙车追上甲车时距终点B城还有． 其中正确的说法是（ ） A. ①②③④ B. ①②④⑤ C. ①②⑤ D. ①③⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象在行程问题中的应用，①观察图象即可判断；②由图象得甲所用的时间为(小时)，乙所用的时间为(小时)，即可判断；③由图象得甲从出发，在被乙追上，即可判断；④可求出，，即可判断；⑤由③④得，即可判断； 理解横纵坐标及交点的实际意义是解题的关键． 【详解】解：①由图象得甲乙两人到达终点时，都是距离城的距离为， 故①正确； ②甲所用的时间为(小时)， 乙所用的时间为(小时)， (小时)， 甲车比乙车多用两个小时； 故②正确； ③由图象得甲从出发，在被乙追上， 甲车出发两个半小时后被乙车追上， 故③错误； ④， ， ， 故④错误； ⑤由③④得：乙车追上甲车时距终点B城为：， 故⑤正确； 故选：C． 二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是___． 【答案】且 【解析】 【详解】根据题意得：x+1≥0且x≠0， 解得：x≥-1且x≠0． 故答案为：x≥-1且x≠0． 【点睛】考点：函数自变量的取值范围． 12. 计算的结果是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加减法，原式先化简，，然后再合并即可． 【详解】解： ， 故答案为： 13. 小华在解一元二次方程时，只得出一个根是，则被他漏掉的一个根是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，直接利用因式分解的方法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得：，， ∴被他漏掉的一个根是； 故答案为： 14. 已知一组数据：1，a，3，6，7，它的平均数是4，这组数据的众数是_______． 【答案】3 【解析】 【详解】解：据题意得：（1+a+3+6+7）÷5=4，得a=3， 所以这组数据的众数是3． 故填3． 【点睛】本题为统计题，考查众数与平均数的意义．众数是一组数据中出现次数最多的数． 15. 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，以及中点的定义可得DE=AF=AC，EF=AD=AB，再根据四边形的周长的定义计算即可得解. 【详解】解：∵在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点， ∴DE=AF=AC=2.5，EF=AD=AB=1.5， ∴四边形ADEF的周长是(2.5+1.5)×2=8． 故答案为8． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，中点的定义以及四边形周长的定义． 16. 如图，已知函数与函数的图象交于点P，则不等式的解集是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，观察图象可得当时，函数的图象位于函数的图象的上方，即可求解．利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：观察图象得：当时，函数的图象位于函数的图象的上方， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 17. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O，E为中点，，，则线段的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、三角形中位线定理，由菱形的性质可得，，，，利用勾股定理求得，由三角形中位线定理可得，计算求解即可． 【详解】解：由菱形的性质可得，，，， ∴， ∵O是的中点，E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 18. 已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，则m的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的性质，对于一次函数，，为常数），当，图象经过第一，三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二，四象限，随的增大而减小；当，图象与轴的交点在轴的上方；当，图象过坐标原点；当，图象与轴的交点在轴的下方．根据一次函数的图象经过第一、三、四象限，得到关于m的不等式，求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 19. 在中，边上的高为4，，，则线段的长是___________． 【答案】5或1##1或5 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，利用分类讨论得出是解题关键． 根据题意分别画出图形，边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可． 【详解】解：①如图1所示： 在中，边上的高为4，，， ， ， ， ②如图2所示： 在中，边上的高为4，，， ， ， ， 综上所述，则的长是5或1． 故答案为：5或1． 20. 如图，在正方形中，E是的中点，F，G分别在上，连接，交于点M，N为的中点，连接，若正方形的边长为6，，则线段的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等．过点作交于点，先证四边形是平行四边形，求出，再证，推导出，，再用勾股定理求出，根据直角三角形斜边中线的性质可得． 【详解】解：如图，过点作交于点， 四边形是正方形， ，，， 四边形是平行四边形， ， ，， 是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ， 故答案为：． 三．解答题（共7小题，满分60分） 21. 先化简，再求值：，其中. 【答案】；. 【解析】 【分析】括号内先进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后把数值代入化简后的结果进行计算即可. 【详解】原式 =， 当时，原式. 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键. 22. 如图（a）图（b）是两张形状，大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请在图（a），图（b）中分别画出符合要求的图形，要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合． （1）在图（a）中画出一个周长为24，面积为24的直角三角形； （2）在图（b）中画出一个周长为20，面积为24的菱形． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 如图，菱形即为所作， 【解析】 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，直角三角形、菱形、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）画一个两直角边为和的直角三角形即可； （2）根据网格特点，画出一个边长为5，对角线长为和的菱形即可． 【小问1详解】 解：由图可得：，，，， 的周长，的面积； 【小问2详解】 解：由勾股定理得：，， 菱形的周长，菱形的面积． 23. 某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图，（每组数据包括右端点但不包括左端点），请你根据统计图解答下列问题： （1）此次抽样调查的样本容量是_____； （2）补全频数分布直方图； （3）求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数； （4）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区7万用户中约有多少万户的用水全部享受基本价格？ 【答案】（1）100； （2） 补全图形如图所示 ． （3）； （4）万户． 【解析】 【分析】本题考查的是频数分布直方图与扇形图，利用样本估计总体，样本的含义，掌握基础的统计知识是解本题的关键． （1）由10到15吨这部分的数量除以其百分比即可； （2）先求解15到20吨这部分的数量，再补充统计图即可； （3）由乘以15吨～20吨这部分的百分比即可； （4）由总人数乘以25吨（含）以下这部分的百分比即可． 【小问1详解】 解：， ∴此次抽样调查的样本容量是； 【小问2详解】 （户）； 【小问3详解】 ， 答：“15吨-20吨”部分的圆心角度数为； 【小问4详解】 （万户） 答：该地7万用户中约有万户居民的用水全部享受基本价格． 24. 已知在 中，，点 D、分别为 的中点，点 在 的延长线上，连接 ，且 ． （1）如图1，求证：四边形 是平行四边形； （2）如图2，连接 ，在不添加任何辅助线和字母的前提下，请直接写出图2中与面积相等的四个三角形（除外）． 【答案】（1） 证明：∵点 D、分别为 的中点，， ∴，是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）、、、 【解析】 【分析】（1）由中点及中位线定理得，则有，有，即可证明结论成立； （2）由D为中点，则的面积相等，的面积相等；由，则的面积相等，从而的面积也相等；由，则的面积也相等，从而面积相等；则可得与面积相等的四个三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵D为中点， ∴为与的中线， ∴的面积相等，的面积相等； 由（1）知，， ∴的面积相等， ∴的面积也相等； 由（1）知，四边形是平行四边形， ∴， ∴等底（为底）等高， ∴的面积也相等； ∵的面积相等， ∴面积相等； ∴与面积相等的四个三角形分别为、、、． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，平行四边形的判定与性质等知识，题目不难，但涉及的知识点较多． 25. 2023年哈尔滨马拉松比赛召开期间，某体育用品商店迎合市场热度，计划购进A、B种两种品牌的跑步鞋，若购进4双A品牌跑步鞋和3双B品牌跑步鞋，需要3200元，若购进3双A品牌跑步鞋和2双B品牌跑步鞋，需要2300元． （1）求该商店购进A、B两种品牌跑步鞋的单价分别是多少？ （2）若商店共购进两种跑步鞋60双，且A品牌跑鞋的数量不多于B品牌跑步鞋的，如果这两种跑步鞋每双均加价20%出售，当购进A品牌跑步鞋多少双时，商店获得的总利润W最大，总利润W最大是多少？ 【答案】（1）购进A、B两种品牌跑步鞋的单价分别是500元，400元； （2）当购进A品牌跑步鞋36双时，商店获得的总利润W最大，总利润W最大是5520元． 【解析】 【分析】（1）审题，明确等量关系，建立二元一次方程组，求解； （2）根据销售问题利润、进价，售价之间的关系，建立总利润与A品牌跑步鞋购进数量之间的关系式，得，由题意得，于是，根据一次函数的增减性，确定最大值． 【小问1详解】 解：设购进A、B两种品牌跑步鞋的单价分别是x元，y元，则 ， 解得 答：购进A、B两种品牌跑步鞋的单价分别是500元，400元． 【小问2详解】 解：设购进A品牌跑步鞋m双，则购进B品牌跑步鞋双， ， 解得，； ∴ ， ∵， ∴时，W取最大值． ． ∴当购进A品牌跑步鞋36双时，商店获得的总利润W最大，总利润W最大是5520元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用；掌握一次函数的性质是解题的关键． 26. 已知，在正方形中，点、分别在边和上，连接、交于点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若点为的中点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点，的平分线交于点，过点作交于点，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∵点为的中点，正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质证明，再结合全等三角形的性质可得答案； （2）先证明，再证明，结合相似三角形的性质可得答案； （3）求解，结合（2）可得：， ，求解，由等面积可得，，，证明，可得，，，，过作于，过作于，证明，可得，可得，，证明，再结合相似三角形的性质可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵正方形，， ∴，，， ∴， 结合（2）可得：， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，，， ∴， 过作于，过作于， ∵，平分， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练的利用三角形的性质解题是关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴正半轴上取一点C，使，连接． （1）求线段的长； （2）点D为线段的中点，动点E从点A出发，沿射线匀速运动，运动速度为个单位长度/秒，连接，设的面积为S，运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； （3）在（2）的条件下，过点C作，且，在线段的延长线上取一点K，连接，过点D作于点H，连接交延长线于点M，若，，求点E的坐标． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，勾股定理，三角形中位线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定； （1）先求得点的坐标，进而得出，根据勾股定理，即可求解； （2）根据（1）可得线段的长为，则点从点运动到点的时间为秒，进而分，和两种情况讨论，即可求解； （3）根据已知条件导角得出，则，根据是直角三角形，取的中点，连接得出则是的中位线，设，则，，在中，根据，勾股定理求得，进而可得，进而根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，，故点，， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：当时，，解得：， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∵动点从点出发，沿射线匀速运动，运动速度为个单位长度/秒，设的面积为，运动时间为秒， ∴， 当时，，， 当时，点与点重合，不存在， 当时，，， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示， ∵，， ∴， 又∵ ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直角三角形，取的中点，连接， 则是的中位线， ∴， ∵， 又， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是上的点， 设， ∴， 解得：， ∴点坐标为， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学2024-2025学年九年级上学期数学开学模拟试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四边形中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图象分别给出了x与y的对应关系，其中y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数中，能作为一个直角三角形的三边长的是（　　） A. 3，5，7 B. 4、5、6 C. 1，， D. 7，24，25 5. 关于正比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象不经过原点 B. y随x的增大而增大 C. 图象经过第二、四象限 D. 当时， 6. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 7. 如图，在四边形中，对角线相交于点．添加下列条件，不能判定四边形是菱形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形纸片ABCD，长AD＝9m，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长为( ) A. 7cm B. 6cm C. 5.5cm D. 5cm 9. 将一次函数的图象沿y轴向下平移4个单位长度，所得直线的解析式为（　　） A. B. C. D. 10. 甲、乙两车从城出发前往城，在整个过程中，汽车离开城的距离与时刻的对应关系如图所示，下列说法：①A、B两城相距 ②甲车比乙车多用两个小时 ③甲车出发一个半小时后被乙车追上 ④甲乙两车的速度比为⑤乙车追上甲车时距终点B城还有． 其中正确的说法是（ ） A. ①②③④ B. ①②④⑤ C. ①②⑤ D. ①③⑤ 二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是___． 12. 计算的结果是__________． 13. 小华在解一元二次方程时，只得出一个根是，则被他漏掉的一个根是___． 14. 已知一组数据：1，a，3，6，7，它的平均数是4，这组数据的众数是_______． 15. 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为_____． 16. 如图，已知函数与函数的图象交于点P，则不等式的解集是___． 17. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O，E为中点，，，则线段的长为___________． 18. 已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，则m的取值范围是___． 19. 在中，边上的高为4，，，则线段的长是___________． 20. 如图，在正方形中，E是的中点，F，G分别在上，连接，交于点M，N为的中点，连接，若正方形的边长为6，，则线段的长为___． 三．解答题（共7小题，满分60分） 21. 先化简，再求值：，其中. 22. 如图（a）图（b）是两张形状，大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请在图（a），图（b）中分别画出符合要求的图形，要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合． （1）在图（a）中画出一个周长为24，面积为24的直角三角形； （2）在图（b）中画出一个周长为20，面积为24的菱形． 23. 某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图，（每组数据包括右端点但不包括左端点），请你根据统计图解答下列问题： （1）此次抽样调查的样本容量是_____； （2）补全频数分布直方图； （3）求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数； （4）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区7万用户中约有多少万户的用水全部享受基本价格？ 24. 已知在 中，，点 D、分别为 的中点，点 在 的延长线上，连接 ，且 ． （1）如图1，求证：四边形 是平行四边形； （2）如图2，连接 ，在不添加任何辅助线和字母的前提下，请直接写出图2中与面积相等的四个三角形（除外）． 25. 2023年哈尔滨马拉松比赛召开期间，某体育用品商店迎合市场热度，计划购进A、B种两种品牌的跑步鞋，若购进4双A品牌跑步鞋和3双B品牌跑步鞋，需要3200元，若购进3双A品牌跑步鞋和2双B品牌跑步鞋，需要2300元． （1）求该商店购进A、B两种品牌跑步鞋的单价分别是多少？ （2）若商店共购进两种跑步鞋60双，且A品牌跑鞋的数量不多于B品牌跑步鞋的，如果这两种跑步鞋每双均加价20%出售，当购进A品牌跑步鞋多少双时，商店获得的总利润W最大，总利润W最大是多少？ 26. 已知，在正方形中，点、分别在边和上，连接、交于点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若点为的中点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点，的平分线交于点，过点作交于点，若，求的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴正半轴上取一点C，使，连接． （1）求线段的长； （2）点D为线段的中点，动点E从点A出发，沿射线匀速运动，运动速度为个单位长度/秒，连接，设的面积为S，运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； （3）在（2）的条件下，过点C作，且，在线段的延长线上取一点K，连接，过点D作于点H，连接交延长线于点M，若，，求点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $