第三章 代数式 第3.1节 字母表示数-2024-2025学年七年级数学上册培优全攻略（苏科版2024）

苏科2024新版第三章 代数式 3.1 字母表示数 瞄准学习目标：让你知己知彼，百战不殆 1.理解现实情境中字母表示数的意义； 2.会用字母表示一些简单问题中的运算、数量及关系，形成符号意识； 3.在探索规律的过程中感悟从具体到抽象的思想方法。 理清思维导图：让你运筹帷幄，决胜千里 挖掘数学文化：让你了解数学背后的故事 听数学家谈数学——字母表示数的第一人是谁？字母表示数的第一人是谁？ 韦达，1540年生于法国的普瓦图。韦达致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系。给出三次方程不可约情形的三角解法。 法国数学家 弗朗索瓦·韦达（1540－1603） 考点详解：让您快速掌握每个考点 知识点1：字母表示数 字母表示数的特点： （1） 任意性：字母可以表示任意的数或式子； （2） 限制性：字母的取值受现实问题条件的限制；比如：分母不能为0等； （3） 确定性：字母虽然可以代表任意的数，但字母的取值一旦确定，式子的值也就随之确定； （4） 一般性：字母表示数能更准确地反映数学规律。 名师点拨： （1） 字母虽然可以表示任意的数，但字母所能代表的数受实际问题的限制: 例如，长方形的面积=(表示长，表示宽)，这里的、只能取大于0的数，而不能取负数或0； （2） 长方形的面积=(表示长，表示宽) 这里的、虽然可以取任意的正数，但当它们一旦确定了，那这个长方形的面积也就确定了，而不能再随便取了． 知识点2：字母表示数的常见问题类型 1. 表示数学公式： 小学学过的一些计算公式，例如： 长方形周长=（表示长，表示宽） 长方形面积=（表示长，表示宽） 正方形周长=（表示正方形边长） 正方形周长=（表示正方形边长） 三角形的面积=（表示底，表示高） 平行四边形的面积=（表示底，表示高） 圆的周长=（表示圆周率，表示半径，表示直径） 2. 表示运算律 加法交换律： 加法结合律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 3. 表示特殊数字 偶数：； 奇数：或； 4. 表示常见数量关系 行程问题：速度×时间=路程 用字母表示为： 经典例题：为你快速找到，航行灯塔 题型1 用字母表示数 例题1．甲数比乙数的3倍大2，若甲数为x，则乙数为（   ） A．3x－2 B．3x+2 C． D． 【变式训练】 1．一个两位数x，还有一个两位数y，若把两位数x放在y前面，组成一个四位数，则这个四位数为（　　） A．10x+y B．xy C．100x+y D．1000x+y 2．若表示一个两位数，也表示一个两位数，小明想用、来组成一个四位数，且把放在的左边，你认为下列表达式中哪一个是正确的（    ） A． B． C． D． 题型2 用字母表示数量关系 例题2．为了进一步推进“双减”政策的落实，提升学校课后服务水平，某校开设了选修课程．参加“学科类选修课程”m人，参加“体音美选修课程”的人数比“学科类选修课程”的人数多9人，参加“科技类选修课程”的人数比“体音美选修课程”人数的多5人，则参加“科技类选修课程”的人数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少（　　） A． B． C． D． 2．某城市按以下规定收取每月的煤气费：用气不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分每立方米按1.2元收费．已知某户用煤气x立方米（x＞60），则该户应交煤气费 元． 题型3 用字母表示数学规律 例题3．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…照此规律摆下去： (1)照此规律，摆成第5个图案需要_____________个三角形； (2)照此规律，摆成第n个图案需要_____________个三角形（用含n的代数式表示）； (3)照此规律，摆成第2021个图案需要几个三角形？ 【变式训练】 1．观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n个图中小黑点的个数为y． ①填表： n 1 2 3 4 5 … y            1 3 13 … ②当时， ． ③你能发现n与y之间的关系吗？ 2．用小棒按如下方式摆成图形． (1)一个六边形需要6根小棒摆成，摆2个六边形需要（    ）根小棒；摆3个六边形需要（    ）根小棒． (2)摆个六边形需要（    ）根小棒． (3)用2021根小棒可以摆成（    ）个六边形． 3．【观察思考】 第1个图形是1个三条长度都为的线段构成的小三角形；第2个图形是4个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第3个图形是9个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第4个图形是16个边长都为的小三角形拼成的大三角形；    【规律发现】 请用含的式子填空： (1)请直接写出第个图形有___________个小三角形； (2)第1个图形共有长度为的线段（条）， 第2个图形共有长度为的线段（条） 第3个图形共有长度为的线段（条）， 第4个图形共有长度为的线段（条）， ……， 按此规律，第个图形中共有长度为的线段___________条； (3)请类比（2）的探究方法，求第个图形中共有交点的个数． 题型4 用字母表示一些复杂图形的面积 例题4.如图，将边长为的正方形纸片剪去一个边长为a的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，请解答下列问题： 分别计算剪拼后所得的长方形的C周长和面积S（用含a的方程表示）； 【变式训练】 1．如图，将边长为a的小正方形和边长为b的大正方形放在同一水平面上 (1)用a，b表示阴影部分的面积　　　　　； (2)计算当时，阴影部分的面积． (3)用a，b表示图中空白部分的面积为　　　　　． 2．如图，在一个长方形操场的四角都设计一块半径相同的四分之一圆形的花坛，若圆形的半径为米，广场的长为米，宽为米． (1)请列式表示操场空地的面积； (2)若休闲广场的长为米，宽为米，圆形花坛的半径为米，求操场空地的面积．(取，计算结果保留) 3．已知：图①、图②、图③中正方形的边长相等． (1)通过计算说明图①、图②中阴影部分的面积相等； (2)请你在图③中设计不同形状的阴影部分，使其面积与图①、图②中阴影部分面积相等． 培优训练：让你一飞冲天，一鸣惊人 一、选择题（本大题共10小题） 1．（代数式应用）一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是6，表示这个两位数的式子是（    ） A． B． C． D． 2．小明比小强大2岁，比小华小4岁．如果小强y岁．则小华（    ） A．岁 B．岁 C．岁 D．岁 3．如果用表示自然数，那么偶数可以表示为（    ） A． B． C． D． 4．甲袋有a千克大米，乙袋有b千克大米，如果从甲袋拿出9千克大米放入乙袋，那么甲、乙两袋质量相等．列成等式是（    ）． A． B． C． D． 5．某商品原价为a元，先提高20%，然后连续两次降价，每次降价10%．则该商品的价格是（　　） A．元 B．元 C．元 D． 元 6．小明心里想好了一个两位数，他将十位数字乘2，然后加3，再将所得的新数乘5，最后将所得的数加个位数字，结果是93，小明心里想的那个两位数是（　　） A．78 B．87 C．23 D．12 7．一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为（     ） A．abc B．a＋b＋c C．100a＋10b＋c D．100abc 8．如图一个正方形被分成了4个部分，下面描述正确的是（    ） A．图形①的面积可以用字母表示为： B．图形②和图形③的面积大小关系不能确定 C．图形④是一个长方形 D．整个正方形的面积可以用字母表示为： 9．如图，矩形中挖去一个圆形，则阴影部分面积的表达式为（    ） A． B． C． D． 10．为响应“清廉文化进校园”的政策，某校实施“清明行风、清净校风、清正教风、清新学风”等四个建设工程．现需购买甲，乙两种清廉读本共300本供教职工阅读，其中甲种读本的单价为15元/本，乙种读本的单价为20元/本，设购买甲种读本本，则购买乙种读本的费用为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 二、填空题（本大题共8小题） 11．三个连续的偶数，中间的数是a，则a的前边和后边分别是 和 ． 12．一个两位数，十位上的数字是5，个位上的数字是a，则这个两位数是 13．一支铅笔的价钱是元，一块橡皮的价钱是元，买支铅笔和块橡皮应付( )元． 14．一个长为5cm的长方形的周长为2(5＋b)cm，则字母b表示的是 ． 15．用字母表示： （1）加法结合律： ； （2）乘法结合律： ； （3）乘法对加法的分配律： ； （4）一个长方形的长为b，宽是长的一半，它的周长是 ，面积是 ； （5）一个三角形的三边长都为c，它的周长是 ； （6）一个平行四边形的一边长为a，该边上的高是其长的，这个平行四边形的面积是 ． 16．现有5元面值人民币m张，10元面值人民币n张，共有人民币 元（用含m、n的代数式表示）． 17．亮亮准备了一些边长厘米的正方形纸片，按如图所示的方式摆放，每个重叠部分都是边长厘米的小正方形，像这样不断摆下去．当亮亮用了张纸片时，摆成图形的面积是 平方厘米，周长是 厘米． 18．一块等腰直角三角尺的形状和尺寸如图所示，直角边的边长为a，圆孔的半径为r．阴影部分的面积是 ；当，时，面积是 ． 三、解答题（本大题共4小题） 19．根据下列语句列代数式： (1)b的倍的相反数； (2)比a与b的积的2倍小5的数； (3)一件商品原价为a元，现按原价的九折销售，则售价是多少元？ 20．用字母表示图中阴影部分的面积． 21．找规律： (1)小马利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表： 输入 … 1 2 3 4 5 … 输出 … … 请问：当小马输入数据8时，输出的数据是（    ） (2)一张长方形桌子可坐6人，按下图方式讲桌子拼在一起． ①2张桌子拼在一起可坐______人，3张桌子拼在一起可坐____人，n张桌子拼在一起可坐______人． ②一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人． 22．由镶嵌知识可知，边长相等的正六边形、正方形、正三角形三种地砖可进行无缝密铺，观察图1、图2、图3，完成如下解答． (1)填写下表： 图序 正六边形个数 正方形个数 正三角形个数 图1 1 6 6 图2 2 图3 3 (2)①图n中，正方形地砖数量为_______块、正三角形地砖的数量为_______块； ②求图10中正方形地砖和正三角形地砖的总数量． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏科2024新版第三章 代数式 3.1 字母表示数 瞄准学习目标：让你知己知彼，百战不殆 1.理解现实情境中字母表示数的意义； 2.会用字母表示一些简单问题中的运算、数量及关系，形成符号意识； 3.在探索规律的过程中感悟从具体到抽象的思想方法。 理清思维导图：让你运筹帷幄，决胜千里 挖掘数学文化：让你了解数学背后的故事 听数学家谈数学——字母表示数的第一人是谁？字母表示数的第一人是谁？ 韦达，1540年生于法国的普瓦图。韦达致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系。给出三次方程不可约情形的三角解法。 法国数学家 弗朗索瓦·韦达（1540－1603） 考点详解：让您快速掌握每个考点 知识点1：字母表示数 字母表示数的特点： （1） 任意性：字母可以表示任意的数或式子； （2） 限制性：字母的取值受现实问题条件的限制；比如：分母不能为0等； （3） 确定性：字母虽然可以代表任意的数，但字母的取值一旦确定，式子的值也就随之确定； （4） 一般性：字母表示数能更准确地反映数学规律。 名师点拨： （1） 字母虽然可以表示任意的数，但字母所能代表的数受实际问题的限制: 例如，长方形的面积=(表示长，表示宽)，这里的、只能取大于0的数，而不能取负数或0； （2） 长方形的面积=(表示长，表示宽) 这里的、虽然可以取任意的正数，但当它们一旦确定了，那这个长方形的面积也就确定了，而不能再随便取了． 知识点2：字母表示数的常见问题类型 1. 表示数学公式： 小学学过的一些计算公式，例如： 长方形周长=（表示长，表示宽） 长方形面积=（表示长，表示宽） 正方形周长=（表示正方形边长） 正方形周长=（表示正方形边长） 三角形的面积=（表示底，表示高） 平行四边形的面积=（表示底，表示高） 圆的周长=（表示圆周率，表示半径，表示直径） 2. 表示运算律 加法交换律： 加法结合律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 3. 表示特殊数字 偶数：； 奇数：或； 4. 表示常见数量关系 行程问题：速度×时间=路程 用字母表示为： 经典例题：为你快速找到，航行灯塔 题型1 用字母表示数 例题1．甲数比乙数的3倍大2，若甲数为x，则乙数为（   ） A．3x－2 B．3x+2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查列代数式，根据甲数比乙数的3倍大2，可知甲数减去2是乙数的3倍，再除以3即可得到结果. 【详解】根据题意，得乙数为 . 选D. 【变式训练】 1．一个两位数x，还有一个两位数y，若把两位数x放在y前面，组成一个四位数，则这个四位数为（　　） A．10x+y B．xy C．100x+y D．1000x+y 【答案】C 【分析】把两位数x放在y前面，组成一个四位数，相当于把x扩大了100倍． 【详解】根据题意，得这个四位数是100x＋y． 故选C． 2．若表示一个两位数，也表示一个两位数，小明想用、来组成一个四位数，且把放在的左边，你认为下列表达式中哪一个是正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可知新的四位数中扩大了100倍，而没有变，从而可以用含、的代数式表示出这个四位数． 【详解】解：由题意可得新的四位数中扩大了100倍，而没有变，所以这个四位数是：， 故选C． 题型2 用字母表示数量关系 例题2．为了进一步推进“双减”政策的落实，提升学校课后服务水平，某校开设了选修课程．参加“学科类选修课程”m人，参加“体音美选修课程”的人数比“学科类选修课程”的人数多9人，参加“科技类选修课程”的人数比“体音美选修课程”人数的多5人，则参加“科技类选修课程”的人数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式，读懂题意，是正确列出代数式的关键． 【详解】解：∵已知参加“学科类选修课程”的有m人，参加“体音美选修课程”的人数比参加“学科类选修课程”的人数多9人， ∴参加“体音美选修课程”的人数有：人， ∵参加“科技类选修课程”的人数比参加“体音美选修课程”人数的多5人， ∴参加“科技类选修课程”的人数为：， 故选：B． 【变式训练】 1．一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了分式的实际应用，根据题意求出全程，及提速后行驶的速度，相除即可得到提速后行驶的时间，原来行驶时间减去提速后行驶的时间，即得比原来减少的时间． 【详解】A地到B地的路程：， 提速后的速度：， 提速后的时间：， ∴提速后从A地到B地比原来减少的时间：， 故选：B． 2．某城市按以下规定收取每月的煤气费：用气不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分每立方米按1.2元收费．已知某户用煤气x立方米（x＞60），则该户应交煤气费 元． 【答案】（1.2x﹣24） 【分析】根据应交煤气费=前60立方米的付费+超过60立方米的付费列式即可. 【详解】∵超出60立方米的煤气用量为：x﹣60， ∴超出的费用是1.2（x﹣60）=1.2x﹣72元， ∴应交煤气费是1.2x﹣72+60×0.8=1.2x﹣24． 故答案为1.2x﹣24. 题型3 用字母表示数学规律 例题3．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…照此规律摆下去： (1)照此规律，摆成第5个图案需要_____________个三角形； (2)照此规律，摆成第n个图案需要_____________个三角形（用含n的代数式表示）； (3)照此规律，摆成第2021个图案需要几个三角形？ 【答案】(1)16 (2) (3) 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类以及列代数式，根据各图案所需三角形个数的变化，找出变化规律“”是解题的关键． （1）根据前4个图案所需三角形的个数，可得出每个图案所需三角形的个数比前一个图形多3个，再结合的值即可求出的值； （2）由（1）的结论“每个图案所需三角形的个数比前一个图形多3个”，可得出； （3）代入即可求出结论． 【详解】（1）解：设摆成第n（n为正整数）个图案需要个三角形． ∵， ∴， ∴． 故答案为：16； （2）解：由（1）可知：． 故答案为：； （3）解：当时，， ∴摆成第2021个图案需要个三角形． 【变式训练】 1．观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n个图中小黑点的个数为y． ①填表： n 1 2 3 4 5 … y            1 3 13 … ②当时， ． ③你能发现n与y之间的关系吗？ 【答案】①见解析；②57；③ 【分析】本题考查了图形类规律探索，找出一般规律是解题关键． ①根据已知图形数出黑点个数是解题关键； ②根据题意得出一般规律：图n黑点的个数是：，据此即可求解； ③根据②作答即可． 【详解】解：①由图形可知，时，；，， 填表如下： n 1 2 3 4 5 … y            1 3 7    13 21   … ②由题意可知，图1黑点的个数是：1； 图2黑点的个数是：； 图3黑点的个数是：； … 观察可知，图n黑点的个数是：， 即时，， 故答案为：57； ③由②可知，n与y之间的关系为． 2．用小棒按如下方式摆成图形． (1)一个六边形需要6根小棒摆成，摆2个六边形需要（    ）根小棒；摆3个六边形需要（    ）根小棒． (2)摆个六边形需要（    ）根小棒． (3)用2021根小棒可以摆成（    ）个六边形． 【答案】(1)11，16 (2) (3)404 【分析】此题考查了图形类规律题，根据题意找到规律是解题的关键． （1）根据图形直接得出结果； （2）根据（1）中图形，找出相应规律即可； （3）利用（2）中规律求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： 摆1个六边形用了6根小棒， 摆2个六边形需要（根）， 摆3个需要（根）， 故答案为：11；16； （2）摆n个六边形，需要小棒根， 故答案为：； （3）当时， ， ， 故答案为：404． 3．【观察思考】 第1个图形是1个三条长度都为的线段构成的小三角形；第2个图形是4个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第3个图形是9个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第4个图形是16个边长都为的小三角形拼成的大三角形；    【规律发现】 请用含的式子填空： (1)请直接写出第个图形有___________个小三角形； (2)第1个图形共有长度为的线段（条）， 第2个图形共有长度为的线段（条） 第3个图形共有长度为的线段（条）， 第4个图形共有长度为的线段（条）， ……， 按此规律，第个图形中共有长度为的线段___________条； (3)请类比（2）的探究方法，求第个图形中共有交点的个数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查几何图形中的数字规律，由前面的几个图形，得到满足要求的数字规律，即可归纳概括出第个图形的结论，由特殊到一般发现规律是解决问题的关键． （1）根据题中所给图形，数出其中的小三角形个数，得出数字规律即可得到答案； （2）根据题中所给图形，数出其中的线段条数，得出数字规律即可得到答案； （3）根据题中所给图形，数出其中的交点个数，得出数字规律即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示：    第1个图形小三角形个数为：； 第2个图形小三角形个数为：； 第3个图形小三角形个数为：； 第4个图形小三角形个数为：； ……， 按此规律，第个图形中小三角形个数为， 故答案为：； （2）解：如图所示：    第1个图形共有长度为的线段为：（条）； 第2个图形共有长度为的线段为：（条）； 第3个图形共有长度为的线段为：（条）； 第4个图形共有长度为的线段为：（条）； ……， 按此规律，第个图形中共有长度为的线段为：条； 故答案为：； （3）解：如图所示：    第1个图形共有交点：（个）； 第2个图形共有交点：（个）； 第3个图形共有交点：（个）； 第4个图形共有交点：（个）； ……， 按此规律，第个图形共有交点：． 题型4 用字母表示一些复杂图形的面积 例题4.如图，将边长为的正方形纸片剪去一个边长为a的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，请解答下列问题： 分别计算剪拼后所得的长方形的C周长和面积S（用含a的方程表示）； 【答案】； 【分析】本题考查列代数式，根据拼图，用代数式表示出拼成的长方形的长，结合周长与面积公式求解即可求得答案； 【详解】解：由题意得， 剪拼后所得的长方形的长为：，宽为：， 因此周长为：， 即：， 面积为：， 即：． 【变式训练】 1．如图，将边长为a的小正方形和边长为b的大正方形放在同一水平面上 (1)用a，b表示阴影部分的面积　　　　　； (2)计算当时，阴影部分的面积． (3)用a，b表示图中空白部分的面积为　　　　　． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了利用三角形面积公式计算三角形的面积并代入数值进行解题的能力． （1）阴影部分面积利用三角形面积公式进行计算， （2）代入已知数值即可求得面积具体数值． （3）用梯形面积与大正方形的面积和减去阴影部分的面积即可得出． 【详解】（1）解：阴影部分的面积为； （2）解：a=3，b=5时， ； （3）解：空白部分的面积． 2．如图，在一个长方形操场的四角都设计一块半径相同的四分之一圆形的花坛，若圆形的半径为米，广场的长为米，宽为米． (1)请列式表示操场空地的面积； (2)若休闲广场的长为米，宽为米，圆形花坛的半径为米，求操场空地的面积．(取，计算结果保留) 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题考查列代数式 （1）根据图形可知：广场的面积长方形的面积半径为的圆的面积，然后代入字母计算即可； （2）将米，米，米代入（1）中的结果计算即可． 【详解】（1）解：由图可得， 广场空地的面积为平方米； （2）解：当米，米，米时， ∵取 ∴原式 即广场空地的面积是平方米． 3．已知：图①、图②、图③中正方形的边长相等． (1)通过计算说明图①、图②中阴影部分的面积相等； (2)请你在图③中设计不同形状的阴影部分，使其面积与图①、图②中阴影部分面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了正方形与圆的面积，准确识图，熟练掌握正方形与圆的面积计算公式是解决问题的关键． （1）分别计算出图①、图②中阴影部分的面积即可； （2）以正方形的四个顶点为圆心，以正方形边长的一半为半径画四分之一圆即可（答案不唯一）． 【详解】（1）设正方形的边长为a， ∴图①中阴影部分的面积， ∵正方形的边长为a， ∴图②中小圆的半径为， ∴图②中阴影部分的面积， ∴图①、图②中阴影部分的面积相等； （2）以正方形的四个顶点为圆心，以正方形边长的一半为半径画四分之一圆，如图③所示： ∵正方形的边长为a， ∴图②中四分之一圆的半径为， 图③中阴影部分的面积， ∴图③中阴影部分的面积与图①、图②中阴影部分的面积相等． 培优训练：让你一飞冲天，一鸣惊人 一、选择题（本大题共10小题） 1．一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是6，表示这个两位数的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，解决问题的关键是读懂题意，掌握两位数=十位数字个位数字． 根据：两位数=十位数字×10+个位数字，代入数值，解答即可． 【详解】解：； 故选：D． 2．小明比小强大2岁，比小华小4岁．如果小强y岁．则小华（    ） A．岁 B．岁 C．岁 D．岁 【答案】D 【分析】本题考查了用字母表示数，先表示出小明岁，再表示出小华岁，问题得解． 【详解】解：小强y岁，小明比小强大2岁，则小明岁；小明比小华小4岁，则小华岁． 故选：D 3．如果用表示自然数，那么偶数可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶数是2的倍数的特点表示即可. 【详解】解：表示自然数，则偶数可以表示为， 故选B 4．甲袋有a千克大米，乙袋有b千克大米，如果从甲袋拿出9千克大米放入乙袋，那么甲、乙两袋质量相等．列成等式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，找出数量关系，即可而出等式． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：B． 5．某商品原价为a元，先提高20%，然后连续两次降价，每次降价10%．则该商品的价格是（　　） A．元 B．元 C．元 D． 元 【答案】B 【分析】根据题目要求列出代数式化简计算即可． 【详解】依题意，该商品经过一次的升价，再经过两次的降价，目前的价格为： ． 故选：B． 6．小明心里想好了一个两位数，他将十位数字乘2，然后加3，再将所得的新数乘5，最后将所得的数加个位数字，结果是93，小明心里想的那个两位数是（　　） A．78 B．87 C．23 D．12 【答案】A 【分析】设小明心里想的那个两位数的十位数字为，个位数字为，则，化简可得，据此即可得出答案． 【详解】解：设小明心里想的那个两位数的十位数字为，个位数字为， 由题意得：， 整理得：， 即小明心里想的那个两位数是78， 故选：A． 7．一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为（     ） A．abc B．a＋b＋c C．100a＋10b＋c D．100abc 【答案】C 【分析】三位数＝百位上的数字×100＋十位上的数字×10＋个位上的数字，把相关数值代入即可． 【详解】∵一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c， ∴这个三位数可以表示为100a＋10b＋c， 故选：C． 8．如图一个正方形被分成了4个部分，下面描述正确的是（    ） A．图形①的面积可以用字母表示为： B．图形②和图形③的面积大小关系不能确定 C．图形④是一个长方形 D．整个正方形的面积可以用字母表示为： 【答案】D 【分析】本题考查了代数式，根据正方形，长方形的面积公式及代数式的定义即可解答． 【详解】解：A. 图形①的面积可以用字母表示为：，故错误，不符合题意； B. 图形②和图形③的面积大小都是，相等，能确定，故错误，不符合题意； C. 图形④是一个边长为b的正方形，故错误，不符合题意； D. 整个正方形的面积可以用字母表示为：，故正确，符合题意； 故选：D． 9．如图，矩形中挖去一个圆形，则阴影部分面积的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，根据阴影部分的面积=长方形的面积-圆的面积列出代数式，化简即可． 【详解】解：阴影部分面积为， 故选B． 10．为响应“清廉文化进校园”的政策，某校实施“清明行风、清净校风、清正教风、清新学风”等四个建设工程．现需购买甲，乙两种清廉读本共300本供教职工阅读，其中甲种读本的单价为15元/本，乙种读本的单价为20元/本，设购买甲种读本本，则购买乙种读本的费用为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】设购买甲种读本本，则购买乙种读本本，根据总价单价数量，可得答案．本题考查了列代数式，理解题意是关键． 【详解】解：设购买甲种读本本，则购买乙种读本本， 购买乙种读本的费用为， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题） 11．三个连续的偶数，中间的数是a，则a的前边和后边分别是 和 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查了列代数式；三个连续偶数的特点是：每两个相邻偶数之间相差，根据中间的一个数是则第一个就比少，第三个就比多，由此用含字母的式子表示出来． 【详解】解：三个连续的偶数，中间的数是那么其余的两个数分别是和． 故答案为：，． 12．一个两位数，十位上的数字是5，个位上的数字是a，则这个两位数是 【答案】/ 【分析】一个两位数，十位上数字是5，表示5个十，即50，个位上的数字是a，所以此数为． 【详解】解：一个两位数，十位上数字是5，个位上的数字是a，此数为． 故答案为：． 13．一支铅笔的价钱是元，一块橡皮的价钱是元，买支铅笔和块橡皮应付( )元． 【答案】/ 【分析】根据总价单价数量，一支铅笔的价钱是元，买支铅笔应付元，一块橡皮的价钱是元，买块橡皮应付元，相加即可． 【详解】解：一支铅笔的价钱是元，一块橡皮的价钱是元，买支铅笔和块橡皮应付元． 故答案为：． 14．一个长为5cm的长方形的周长为2(5＋b)cm，则字母b表示的是 ． 【答案】宽 【分析】根据长方形的周长等于（长+宽）×2解答即可． 【详解】解：∵长方形的长为5，周长为2(5＋b)， ∴b表示长方形的宽， 故答案为：宽． 15．用字母表示： （1）加法结合律： ； （2）乘法结合律： ； （3）乘法对加法的分配律： ； （4）一个长方形的长为b，宽是长的一半，它的周长是 ，面积是 ； （5）一个三角形的三边长都为c，它的周长是 ； （6）一个平行四边形的一边长为a，该边上的高是其长的，这个平行四边形的面积是 ． 【答案】 // / 【分析】（1）根据加法结合律用字母表示出即可求解； （2）根据乘法结合律用字母表示出即可求解； （3）根据乘法对加法的分配律用字母表示出即可求解； （4）用长方形的长除以2计算出长方形的宽，再根据长方形的周长=（长+宽）×2，面积=长×宽即可解答． （5）根据题意，可以用相应的代数式表示它的周长； （6）一个平行四边形的一边长为a，这条边上的高是这条边长的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，可求出平行四边形的高是多少，再根据平行四边形的面积=底×高进行解答即可． 【详解】（1）加法结合律：； （2）乘法结合律：； （3）乘法对加法的分配律：； （4）解：长方形的宽是：b÷2=， 周长是：（b+）×2 =b×2 =3b 面积是：b×=． 答：它的周长是3b，面积是． （5）解：∵一个三角形的三边长都是c， ∴这个三角形的周长是：c+c+c=3c， （6）解：×a×a=a2 答：这个平行四边形的面积是a2． 故答案为： ；；；；；；． 16．现有5元面值人民币m张，10元面值人民币n张，共有人民币 元（用含m、n的代数式表示）． 【答案】 【分析】由5元面值人民币m张，可得人民币元，由10元面值人民币n张，可得人民币元，从而可得答案． 【详解】解：由题意得：共有人民币元， 故答案为： 17．亮亮准备了一些边长厘米的正方形纸片，按如图所示的方式摆放，每个重叠部分都是边长厘米的小正方形，像这样不断摆下去．当亮亮用了张纸片时，摆成图形的面积是 平方厘米，周长是 厘米． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了图形类规律变化，列代数式等知识点，观察并找到变化规律是解题的关键． 先求当、、、时的面积和周长，找出规律即可． 【详解】解：用了张纸片时，摆成图形的面积是平方厘米，周长是厘米； 用了张纸片时，摆成图形的面积是平方厘米，周长是厘米； 用了张纸片时，摆成图形的面积是平方厘米，周长是厘米； 用了张纸片时，摆成图形的面积是平方厘米，周长是厘米； 用了张纸片时，摆成图形的面积是平方厘米，周长是厘米； 故答案为：，． 18．一块等腰直角三角尺的形状和尺寸如图所示，直角边的边长为a，圆孔的半径为r．阴影部分的面积是 ；当，时，面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，利用直角三角形的面积减去圆的面积即可得；直接把，代入进行计算即可得，正确列出代数式是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，阴影部分的面积为：， 当，时，阴影部分的面积为：， 故答案为：，． 三、解答题（本大题共4小题） 19．根据下列语句列代数式： (1)b的倍的相反数； (2)比a与b的积的2倍小5的数； (3)一件商品原价为a元，现按原价的九折销售，则售价是多少元？ 【答案】(1)； (2)；(3)元 【分析】此题考查了列代数式，解答此类题正确分析数量关系，理清顺序，列出相应的代数式，同时要求学生注意代数式的书写格式：数字与字母或字母与字母相乘时，乘号省略，且数字要写在字母的前面；除法要写成分数形式；后面有单位，代数式为加减运算的一定要将代数式加上括号，且在后面带上单位等． （1）先求出的倍，再求出它们的相反数； （2）先求出与的积的2倍，再减去5； （3）根据题意可得售价为元． 【详解】（1）解：根据题意可得； （2）解：根据题意可得； （3）解：根据题意可得售价是元． 20．用字母表示图中阴影部分的面积． 【答案】（1）ab﹣bx；（2）R2πR2 【分析】（1）读图可得，阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣小长方形的面积； （2）阴影部分的面积＝正方形的面积﹣扇形的面积． 【详解】解：（1）阴影部分的面积＝ab﹣bx； （2）阴影部分的面积＝R2πR2． 21．找规律： (1)小马利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表： 输入 … 1 2 3 4 5 … 输出 … … 请问：当小马输入数据8时，输出的数据是（    ） (2)一张长方形桌子可坐6人，按下图方式讲桌子拼在一起．    ①2张桌子拼在一起可坐______人，3张桌子拼在一起可坐____人，n张桌子拼在一起可坐______人． ②一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人． 【答案】(1) (2)①；②共可坐112人 【分析】本题主要考查数字规律的运算，理解表格信息，图示信息，找出数量关系，掌握含有乘方的有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据表格信息，可得分子为，分母为，为大于零的整数，由此即可求解； （2）根据题意，把代入，可得5张桌子拼在一起可以坐的人数，再计算8大张桌子的人数，即可求解． 【详解】（1）解：根据表格信息，可得分子为，分母为，为大于零的整数， ∴输入时，输出的结果为， ∴当输入时，输出的结果为， 故答案为：； （2）解：①根据题意，2张桌子拼在一起可以坐8人，3张桌子拼在一起可以坐10人， ∴张桌子拼在一起可以坐：人， 故答案为：； ②当时，即5张桌子拼在一起时可以坐（人）， ∴8张大桌子可以坐（人）， ∴共可以坐112人． 22．由镶嵌知识可知，边长相等的正六边形、正方形、正三角形三种地砖可进行无缝密铺，观察图1、图2、图3，完成如下解答． (1)填写下表： 图序 正六边形个数 正方形个数 正三角形个数 图1 1 6 6 图2 2 图3 3 (2)①图n中，正方形地砖数量为_______块、正三角形地砖的数量为_______块； ②求图10中正方形地砖和正三角形地砖的总数量． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②块 【分析】本题考查了平面镶嵌(密铺)问题和用代数式表示规律，解题的关键是要注意分别找到三角形和正方形的个数的规律． （1）直接根据图像中各方块数量填表即可解题； （2）①根据图1、2、3正方形个数与正三角形个数寻找规律，即可解题； ②根据①中规律直接解题即可． 【详解】（1）解：由图可得： 图序 正六边形个数 正方形个数 正三角形个数 图1 1 6 6 图2 2 11 10 图3 3 16 14 （2）解：①由图可知： 图中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块； 图2中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块； 图3中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块； 在图n中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块， 故答案为，； ②由①可得： 在图10中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块， 在图10中正方形地砖和正三角形地砖的总数量为块． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$