精品解析：2024 年辽宁省初中学业水平数学模拟试卷(三)

2024 年辽宁省初中学业水平模拟卷（三） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 经测量，陆地上最高处是珠穆朗玛峰的峰顶，其海拔高度为，最低处位于亚洲西部名为死海的湖，其湖面的海拔高度为，则两处高度相差（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由七个相同的小立方体摆成的几何体，则这个几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 3. 若式子 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 京剧脸谱深受广大戏曲爱好者的喜爱，在下面的四个京剧脸谱中，不是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 若是完全平方式，则 C. 若两个圆周角相等，则它们所对弧也相等 D. 若则 6. 某校为选拔八年级学生参加“初中生数学素养大赛”，该校数学组根据四名同学平时成绩制作了下表，将选派一名成绩好且发挥稳定的同学参加该比赛，你认为最应该选（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 134 135 135 134 方差 12.1 10.2 10.8 11.3 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 若关于x 的一元二次方程 有一个根为0，则a 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 0 8. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代《孙子算经》中记载“多人共车”问题，其原文如下：“今有三人共车，二车空，二人共车，九人步，问人与车各几何．”其大意为：若3人乘一辆车，则空2辆车；若2人乘一辆车，则有9人要步行，问人与车数各是多少．若设有x人，则可列方程为 （ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，以点 A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点F，G，再分别以点F，G 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 H，作射线交于点E，K为的中点，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 化简的结果是_______． 12. 如图，电路图上有4个开关A，B，C，D 和1个小灯泡，同时闭合开关A，B 或同时闭合开关C，D 都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡不发光的概率为_______ 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知函数 点 M 在y 轴的正半轴上，点N在x轴上，过点 M作y 轴的垂线分别交函数，的图象于A，B两点，连接，，则的面积为_______． 14. 如图，在正方形中，对角线相交于点O，平分 交于点E，若则正方形的边长为_______． 15. 如图，直线 与坐标轴分别相交于点 A，B，点C 在射线上，点 D 在射线上，且，将沿直线翻折得到，连接．若则的长为_______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程组： （2）计算： 17. 维修某段公路，现计划由甲、乙两工程队来完成，已知甲、乙两工程队合作6个月，可完成工程的甲工程队先独做6个月，剩下的由乙工程队独做8个月才能完成． （1）甲、乙两工程队单独完成此工程各需几个月？ （2）已知甲工程队每月费用为20万元，乙工程队每月费用为10万元．现要求15个月内完工，且施工总费用最低，如果甲、乙两工程队单独施工，那么甲、乙两工程队各应施工多长时间？ 18. 经过近半个世纪的迅速发展，我国航天事业取得了巨大成就．随着“嫦娥五号”月球探测器携带月壤返回地球，中国探月工程“绕、落、回”计划完美收官．2021年2月 10 日，“天问一号”火星探测器抵达火星轨道，成为中国首颗人造火星卫星，并从距地球1.9亿千米外传回新春祝福……开学初，某学校组织首届“航天梦，报国情”航天知识竞赛活动，旨在引导同学们感受祖国航天事业的成就，提升爱国热情．活动中，七、八年级各 200人参加了“航天知识竞赛”，为了解本次竞赛的成绩，小彬进行了下列统计活动，从两个年级中各随机抽取20名学生进行测试，并对测试成绩（百分制）进行收集、整理和分析．部分信息如下： 【收集数据】 七年级：66 70 71 78 71 77 75 78 58 a 63 90 80 85 80 89 85 86 80 87 八年级：61 65 74 70 71 74 74 76 63 b 91 85 80 84 87 83 82 80 86 c 【整理数据】 成绩x/分 七年级成绩统计情况 八年级成绩统计情况 频数 频率 频数 频率 1 0.05 0 0 2 0.10 3 0.15 6 0.30 m 10 0.50 1 0.05 1 0.05 （说明：成绩80分及以上优秀，60~79分为合格，60分以下为不合格） 【分析数据】 两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 77.5 79 80 八年级 77.4 n 74 请根据所给信息，解答下列问题： （1） ， ， ； （2）在此次竞赛中，七年级的小敏和八年级的小强都取得了79分，那么谁的成绩在本年级的排名可能更靠前？请说明理由； （3）请估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数． 19. 已知A 市到B市的路程为，甲车从 A市前往B市运送物资，行驶2h在M地汽车出现故障，立即通知技术人员乘乙车从A市赶来维修（通知时间忽略不计），乙车到达M地后又经过修好甲车，随后乙车以原速原路返回A市，同时甲车以原来1.5 倍的速度前往 B市，如图是两车距 A 市的路程y（单位：）与甲车所用时间x（单位：h）之间的函数图象． （1）甲车提速后的速度是 ； （2）求乙车返回时y 关于x 的函数解析式； （3）乙车返回A市后，甲车又经过了多长时间到达B市？ 20. 数学兴趣小组设计了一款含杯盖的奶茶纸杯（如图1），图2为该纸杯的透视效果图，在图3的设计草图中，由线段和 构成的图形为杯盖部分，其中与均在以为直径的上，且 G为的中点，点G是吸管插孔处（忽略插孔直径和吸管直径），由点A，B，C，D 构成的图形（杯身部分）为等腰梯形，已知杯壁，杯底直径，杯壁与直线l的夹角为． （1）求杯口半径的长； （2）若杯盖顶 ，吸管，当吸管斜插，即吸管一端与杯底点B 重合时，求吸管漏出杯盖部分的长．（参考数据：）. 21. 如图，点A 在外， 分别与相切于点B，D， 的延长线相交于点C，交于点 E，连接并延长，交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，求的半径及的长． 22. 【问题初探】 李老师给出如下问题：如图1，在中，是锐角，，点 D，E 分别在上，与相交于点O，且．求证：． ①小颖同学由条件得出，从而给出如下解题思路：如图2，在上截取，连接； ②小亮同学从这个结论出发给出另一种解题思路：如图3，在的延长线上取一点G，使． （1）请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比探究】 （2）如图4，在等边中，点 D 在上，连接，点E在上，连接，，且过点 C 作交的延长线于点F， 求证： 【学以致用】 （3）如图5，在中，，点 D，E 分别在的延长线上，点 F 在上，与相交于点G，，连接，若，求的长． 23. 【提出问题】 某数学小组想在拱桥上悬挂牌匾，如何设计拱桥悬挂牌匾的方案？ 拱桥悬挂牌匾的相关素材与资料 素材 1 图1是一座拱桥，图2是桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．每年夏季，该河段水位在此基础上会再涨达到最高． 素材2 在旅游旺季，拟在图1所示的桥拱上悬挂“鲤鱼跃龙门”五个大字的牌匾，悬挂点在桥拱上，牌匾宽，为了安全，牌匾底部距离水面应不小于，牌匾上的每个字占地为长度和宽度都是的正方形，为了美观，相邻两个字的水平间距均为（第一个文字和最后一个文字与牌匾两端也分别有一个的间距）． 【解决问题】 （1）若桥拱所构成的曲线是抛物线，在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； （2）请你设计方案：在（1）基础上，牌匾悬挂能否成功？若能成功，请说明理由；若不能成功，请你设计可行性的方案；（可以考虑改变字体的大小和字与字的间距从而改变牌匾的宽度或者改变牌匾底部与水面的安全距离） （3）若素材1中的桥拱形状是圆弧，其他条件不变，悬挂方案仍需满足素材 2 的牌匾悬挂条件，请你通过计算判断方案是否可行，若不可行，请你重新设计可行性的方案．（参考数据： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024 年辽宁省初中学业水平模拟卷（三） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 经测量，陆地上最高处是珠穆朗玛峰的峰顶，其海拔高度为，最低处位于亚洲西部名为死海的湖，其湖面的海拔高度为，则两处高度相差（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数减法的实际应用，用珠穆朗玛峰的海拔高度减去死海的湖面的海拔高度，进行计算即可． 【详解】解：； 故选C． 2. 如图是由七个相同的小立方体摆成的几何体，则这个几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据左视图是从左面看到的图形判定则可． 【详解】从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形． 故选：A． 3. 若式子 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：当，即：时，在实数范围内有意义， 故选B． 4. 京剧脸谱深受广大戏曲爱好者的喜爱，在下面的四个京剧脸谱中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【详解】解：第一个图形是轴对称图形，故不合题意； 第二个图形不是轴对称图形，故合题意； 第三个图形是轴对称称图形，故不合题意； 第四个图形是轴对称图形，故不合题意； 故选：B． 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 若是完全平方式，则 C. 若两个圆周角相等，则它们所对的弧也相等 D. 若则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，根据垂直的性质，完全平方式的特点，圆周角定理，不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题为假命题； B、若是完全平方式，则，原命题为假命题； C、同圆或等圆中，若两个圆周角相等，则它们所对的弧也相等，原命题为假命题； D、若则，原命题是真命题； 故选D． 6. 某校为选拔八年级学生参加“初中生数学素养大赛”，该校数学组根据四名同学平时成绩制作了下表，将选派一名成绩好且发挥稳定的同学参加该比赛，你认为最应该选（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 134 135 135 134 方差 12.1 10.2 10.8 11.3 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用平均数和方差做决策，根据平均数越大，方差越小，成绩越好，发挥越稳定，进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，乙的平均数最大，且方差最小， 故乙的成绩好且发挥稳定， 故选B． 7. 若关于x 的一元二次方程 有一个根为0，则a 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程进行求解即可． 【详解】解：把，代入，得：， 解得：； 故选C． 8. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则解答即可． 本题考查了多项式乘以多项式，掌握法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选B． 9. 我国古代《孙子算经》中记载“多人共车”问题，其原文如下：“今有三人共车，二车空，二人共车，九人步，问人与车各几何．”其大意为：若3人乘一辆车，则空2辆车；若2人乘一辆车，则有9人要步行，问人与车数各是多少．若设有x人，则可列方程为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】根据题意，解答即可． 本题考查了一元一次方程应用，熟练掌握应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故选C． 10. 如图，在中，以点 A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点F，G，再分别以点F，G 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 H，作射线交于点E，K为的中点，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图，得到平分，平行四边形的性质，推出，进而求出的长，勾股定理逆定理，得到，进而得到，勾股定理求出的长，斜边上的中线求出的长即可． 【详解】解：由作图可知：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵K为的中点， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查尺规作图—作角平分线，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，以及斜边上的中线，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 化简的结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的减法运算，先化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 如图，电路图上有4个开关A，B，C，D 和1个小灯泡，同时闭合开关A，B 或同时闭合开关C，D 都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡不发光的概率为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列举法求概率，根据题意，随机闭合两个开关共有，6种情况，其中小灯泡不发光的情况有共4种情况，进行计算即可． 【详解】解：随机闭合两个开关共有，6种情况，其中小灯泡不发光的情况有共4种情况， ∴； 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知函数 点 M 在y 轴的正半轴上，点N在x轴上，过点 M作y 轴的垂线分别交函数，的图象于A，B两点，连接，，则的面积为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为点G和点H，易得四边形为矩形，则，进而得出，最后根据，即可解答． 【详解】解：过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为点G和点H， ∵轴， ∴轴， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 14. 如图，在正方形中，对角线相交于点O，平分 交于点E，若则正方形的边长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，角平分线的性质，过点作，易得，为等腰直角三角形，进而求出的长，进一步求出的长，再根据正方形的性质，求出的长即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， 过点作，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵平分 ，，， ∴， ∴， ∴，即：正方形的边长为； 故答案为：． 15. 如图，直线 与坐标轴分别相交于点 A，B，点C 在射线上，点 D 在射线上，且，将沿直线翻折得到，连接．若则的长为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】求出点 A，B的坐标，翻折，推出四边形为菱形，进而得到，设交轴与点，分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵直线 与坐标轴分别相交于点 A，B， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵将沿直线翻折得到， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∴的横坐标相同， 设交轴与点， 当点在线段上时，如图： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时： ∵ ∴， ∴点为的中点， ∴，， ∴， ∴； 综上：或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程组： （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可． （2）根据方式的化简计算解答即可． 本题考查了解方程组，分式的化简，熟练掌握解方程，分式的化简是解题的关键． 【详解】（1）解： ，得， 解得， 把代入解得， 故方程组的解为． （2）解： ． 17. 维修某段公路，现计划由甲、乙两工程队来完成，已知甲、乙两工程队合作6个月，可完成工程的甲工程队先独做6个月，剩下的由乙工程队独做8个月才能完成． （1）甲、乙两工程队单独完成此工程各需几个月？ （2）已知甲工程队每月费用为20万元，乙工程队每月费用为10万元．现要求15个月内完工，且施工总费用最低，如果甲、乙两工程队单独施工，那么甲、乙两工程队各应施工多长时间？ 【答案】（1）甲工程队单独完成此工程需12个月，乙工程队单独完成此工程需16个月 （2）甲工程队应施工3个月，乙工程队应施工12个月 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用： （1）先求出两个工程队合作的效率，设甲工程队单独完成此工程需x个月，根据甲工程队先独做6个月，剩下的由乙工程队独做8个月才能完成，列出分式方程进行求解即可； （2）设甲工程队施工个月，则乙工程队施工个月，根据题意，列出不等式求出的范围，再根据施工总费用最低进行判断即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：甲乙两队合作的效率为：， 设甲单独完成此工程需要个月，则乙的工效为 ，由题意，得： ， 解得：，经检验，是原方程的的解， ∴， 答：甲工程队单独完成此工程需12个月，乙工程队单独完成此工程需16个月； 【小问2详解】 解：设甲工程队施工个月，则乙工程队施工个月， 由题意，得：， 解得：； ∵甲队每月费用20万元，乙队每月费用10万元，10万元万元， ∴在要求完成时间内，甲工程队施工时间越短，施工总费用越低， ∴当甲工程队施工3个月时，剩下的由乙做需要的费用最低， 乙工程队施工月为：（个）月， 答：施工总费用最低时，甲工程队施工3个月，乙工程队施工12个月． 18. 经过近半个世纪的迅速发展，我国航天事业取得了巨大成就．随着“嫦娥五号”月球探测器携带月壤返回地球，中国探月工程“绕、落、回”计划完美收官．2021年2月 10 日，“天问一号”火星探测器抵达火星轨道，成为中国首颗人造火星卫星，并从距地球1.9亿千米外传回新春祝福……开学初，某学校组织首届“航天梦，报国情”航天知识竞赛活动，旨在引导同学们感受祖国航天事业的成就，提升爱国热情．活动中，七、八年级各 200人参加了“航天知识竞赛”，为了解本次竞赛的成绩，小彬进行了下列统计活动，从两个年级中各随机抽取20名学生进行测试，并对测试成绩（百分制）进行收集、整理和分析．部分信息如下： 【收集数据】 七年级：66 70 71 78 71 77 75 78 58 a 63 90 80 85 80 89 85 86 80 87 八年级：61 65 74 70 71 74 74 76 63 b 91 85 80 84 87 83 82 80 86 c 【整理数据】 成绩x/分 七年级成绩统计情况 八年级成绩统计情况 频数 频率 频数 频率 1 0.05 0 0 2 0.10 3 0.15 6 0.30 m 10 0.50 1 0.05 1 0.05 （说明：成绩80分及以上为优秀，60~79分为合格，60分以下为不合格） 【分析数据】 两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 77.5 79 80 八年级 77.4 n 74 请根据所给信息，解答下列问题： （1） ， ， ； （2）在此次竞赛中，七年级的小敏和八年级的小强都取得了79分，那么谁的成绩在本年级的排名可能更靠前？请说明理由； （3）请估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数． 【答案】（1）81；0.45；80 （2）小敏的成绩在本年级的排名可能更靠前 （3）210人 【解析】 【分析】本题考查中位数，众数，平均数，频数分布表，理解中位数，众数，平均数的意义，以及频数，频率和总数之间的关系是解题的关键． （1）利用平均数即可求出a；找出成绩在之间的频数即可求出m，利用中位数即可求出n； （2）利用中位数的意义分析即可； （3）求出抽取的20名七年级学生成绩中的优秀率，再乘以200，求出20名八年级学生成绩中的优秀率，再乘以200； 两者相加即可． 【小问1详解】 解：∵七年级成绩的平均数为， ∴； ∵七年级同学成绩在之间的频数为9， ∴； 将八年级同学成绩从小到大排序，处在中间的两个数都是80， ∴； 【小问2详解】 解：∵七年级成绩的中位数是79，八年级成绩的中位数是80， ∴七年级的小敏成绩在本年级的排名更靠前， 【小问3详解】 解：∵七年级的成绩为优秀的人数为人， 八年级的成绩为优秀的人数为人， ∴七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数为人． 19. 已知A 市到B市的路程为，甲车从 A市前往B市运送物资，行驶2h在M地汽车出现故障，立即通知技术人员乘乙车从A市赶来维修（通知时间忽略不计），乙车到达M地后又经过修好甲车，随后乙车以原速原路返回A市，同时甲车以原来1.5 倍的速度前往 B市，如图是两车距 A 市的路程y（单位：）与甲车所用时间x（单位：h）之间的函数图象． （1）甲车提速后的速度是 ； （2）求乙车返回时y 关于x 的函数解析式； （3）乙车返回A市后，甲车又经过了多长时间到达B市？ 【答案】（1）60 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，是解题的关键： （1）先求出甲车的原速，进而求出提速后的速度即可； （2）根据乙车来回速度相同，得到两段时间相同，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （3）求出甲车从地到达地所用时间，再减去乙从地返回地所用时间即可． 【小问1详解】 解：甲提速前的速度为：； ∴提速后的速度为：； 故答案为：60； 【小问2详解】 ∵乙车来回速度相同， 故来回所用时间相同为：， ∴点的横坐标为：， ∴， 设乙车返回时y 关于x 的函数解析式为，把，代入，得： ，解得：， ∴； 【小问3详解】 提速后甲从地到达地所用时间为， 由（2）知：乙车返回地所用时间为； ∴乙车返回A市后，甲车又经过了到达B市． 20. 数学兴趣小组设计了一款含杯盖奶茶纸杯（如图1），图2为该纸杯的透视效果图，在图3的设计草图中，由线段和 构成的图形为杯盖部分，其中与均在以为直径的上，且 G为的中点，点G是吸管插孔处（忽略插孔直径和吸管直径），由点A，B，C，D 构成的图形（杯身部分）为等腰梯形，已知杯壁，杯底直径，杯壁与直线l的夹角为． （1）求杯口半径的长； （2）若杯盖顶 ，吸管，当吸管斜插，即吸管的一端与杯底点B 重合时，求吸管漏出杯盖部分的长．（参考数据：）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点B作于点D，过点C作于点Q，利用解直角三角形的知识，圆的知识解答即可； （2）连接，并延长交于点N，连接，利用垂径定理，平行线的判定，勾股定理，等腰梯形的性质解答即可． 【小问1详解】 解：过点B作于点D，过点C作于点Q，延长到点R， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，杯底直径，杯壁与直线l的夹角为， 点A，B，C，D 构成的图形（杯身部分）为等腰梯形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 故杯口半径的长为． 【小问2详解】 解：连接，并延长交于点N， ∵G为的中点， ∴， 连接， ∵ ∴, ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰梯形的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，熟练掌握定理和三角函数的应用是解题的关键. 21. 如图，点A 在外， 分别与相切于点B，D， 的延长线相交于点C，交于点 E，连接并延长，交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，求的半径及的长． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为6， 【解析】 【分析】（1）切线的性质结合切线长定理，得到，，根据，得到，圆周角定理得到，即可得证； （2）切线长定理，得到，求出的长，勾股定理求出的长，根据，求出的长，连接，圆周角定理，得到，利用，列出比例式进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵ 分别与相切于点B，D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵ 分别与相切于点B，D， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即的半径为6， 连接， ∵连接并延长，交于点F， ∴为直径， ∴，， 由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，勾股定理，解直角三角形，圆周角定理等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 22. 【问题初探】 李老师给出如下问题：如图1，在中，是锐角，，点 D，E 分别在上，与相交于点O，且．求证：． ①小颖同学由条件得出，从而给出如下解题思路：如图2，在上截取，连接； ②小亮同学从这个结论出发给出另一种解题思路：如图3，在的延长线上取一点G，使． （1）请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比探究】 （2）如图4，在等边中，点 D 在上，连接，点E在上，连接，，且过点 C 作交的延长线于点F， 求证： 【学以致用】 （3）如图5，在中，，点 D，E 分别在的延长线上，点 F 在上，与相交于点G，，连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 【解析】 【分析】（1）小颖同学的思路：先证明，得到，，等角的补角相等，推出，进而得到，即可得证；小亮同学的思路，证明，进而得到，即可得证； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，，设，利用等边对等角，三角形的内角和定理推出，三线合一，得到，等量代换即可得出结论； （3）设交于点，连接，证明，得到，推出，设，则：，，证明，得到，设，则：，根据，列出方程求出的值，即可得出结论． 【详解】解：（1）证明：小颖同学的思路： 如图2，在上截取，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 小亮同学的思路： 如图3，在的延长线上取一点G，使． ∴； 同上可得：，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）如图，延长至点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 设， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图，设交于点，连接， ∵， ∴设，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则：， ∵， ∴，解得：， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形，是解题的关键． 23. 【提出问题】 某数学小组想在拱桥上悬挂牌匾，如何设计拱桥悬挂牌匾的方案？ 拱桥悬挂牌匾相关素材与资料 素材 1 图1是一座拱桥，图2是桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．每年夏季，该河段水位在此基础上会再涨达到最高． 素材2 在旅游旺季，拟在图1所示的桥拱上悬挂“鲤鱼跃龙门”五个大字的牌匾，悬挂点在桥拱上，牌匾宽，为了安全，牌匾底部距离水面应不小于，牌匾上的每个字占地为长度和宽度都是的正方形，为了美观，相邻两个字的水平间距均为（第一个文字和最后一个文字与牌匾两端也分别有一个的间距）． 【解决问题】 （1）若桥拱所构成的曲线是抛物线，在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； （2）请你设计方案：在（1）的基础上，牌匾悬挂能否成功？若能成功，请说明理由；若不能成功，请你设计可行性的方案；（可以考虑改变字体的大小和字与字的间距从而改变牌匾的宽度或者改变牌匾底部与水面的安全距离） （3）若素材1中的桥拱形状是圆弧，其他条件不变，悬挂方案仍需满足素材 2 的牌匾悬挂条件，请你通过计算判断方案是否可行，若不可行，请你重新设计可行性的方案．（参考数据： 【答案】（1）（答案不唯一） （2）牌匾悬挂不能成功，见解析 （3）原方案可行 【解析】 【分析】（1）过水面宽度的中点作水面宽度的垂线，与拱形桥顶端交于点O，以点O为原点，建立直角坐标系，设出抛物线的顶点式，再将代入即可得出结论； （2）根据题意， 危险高度，安全最低高度为，计算出安全宽度，与方案宽度比较，计算判断即可． （3）设圆弧所在圆的圆心为点O，水面宽度为，过点O作于点C，交圆弧于点N，根据垂径定理，得， ，设圆的半径为，则，，利用垂径定理，勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：过水面宽度的中点作水面宽度的垂线，与拱形桥顶端交于点O，以点O为原点，建立如图所示的坐标系， 由题意可知该抛物线顶点坐标为，， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：根据题意， 危险高度，安全最低高度为， ∵， 当时，， 解得， ∴匾额的最大长度为， 根据题意，方案的设计长度为， 由， 故牌匾悬挂不能成功． 若相邻两个字的水平间距均为，则匾额的长度为， 即把字间距由改为即可实现悬挂目标． 【小问3详解】 解：设圆弧所在圆的圆心为点O，水面宽度为，过点O作于点C，交圆弧于点N，根据垂径定理，得， ∵， 设圆的半径为，则，， 根据勾股定理，得， 解得， 在上截取，过点G作，交圆于点E，F两点， 连接，则，， ∴， ∴， 根据题意，方案的设计宽度为， 由， 故牌匾悬挂能成功． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，垂径定理，勾股定理，待定系数法求解析式，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$