精品解析：江苏省南通市海门区海南中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试题

江苏省南通市海门区海南中学2024学年度九年级开学考试卷 数学卷 （全卷满分150分 考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每题的四个选项中，只有一个选项是符合要求的．） 1. 一组数据 1，2，3，0，-2，-3 的极差是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2. 下列图形不是相似图形的是（ ） A. 同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片 B. 用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有放大过程中原有图案和放大图案 C. 某人的侧身照片和正面照片 D. 大小不同的两张中国地图 3. 对于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 经过点 B. 在第二象限内，随的增大而增大 C. 是轴对称图形，且对称轴是轴 D. 是中心对称图形，且对称中心是坐标原点 4. 已知二次函数y＝2x ²－3，当－1≤x≤2时，y的取值范围是（ ） A. －1≤y≤5 B. －5≤y≤5 C. －3≤y≤5 D. －2≤y≤1 5. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1 6. 用反证法证明：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF．证明该命题的第一个步骤是（　　） A. 假设CD∥EF B. 假设AB∥EF C. 假设CD和EF不平行 D. 假设AB和EF不平行 7. 若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 8. 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（） A. B. 8 C. D. 9. 二次函数（，为常数）的图象如图，有实数根的条件是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四边形CDEF＝S△ABF．其中正确的结论有（ ）个 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共8题，每题3分，共24分．把答案填在答题卡中对应的横线上）． 11. 若分式的值为零，则x的值为________． 12. 从－1，0，，3，中随机任取一数，取到无理数的概率是______． 13. 已知一组数据0，2，x，4，5的众数是4，那么这组数据的中位数是____. 14. 我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有，人，则可以列方程组________． 15. 已知双曲线与直线相交于点，则__． 16. 如图，在中，，将沿直线翻折后，顶点恰好落在边上的点处，已知，，，则四边形的面积是______． 17. 如图，函数和的图象交于点，，若，则x的取值范围是_________． 18. 一次函数，当时，，则的值是______． 三、解答题（本大题共10题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算 （1）； （2）解方程：； 20. 已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是　 　； （2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1； （3）四边形AA2C2C的面积是 　平方单位． 21. 某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图． (1)这次被调查的同学共有 名； (2)把条形统计图补充完整； (3)校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？ 22. 已知：如图，在中，点、在上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当四边形是菱形时，四边形应满足什么条件？（不需要说明理由） 23. A、B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶，甲车驶往B城，乙车驶往A城，甲车在行驶过程中速度始终不变，甲车距B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系如图． （1）求y关于x的表达式； （2）已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶，设在相遇前的行驶过程中，两车相距的路程为（千米）．请直接写出关于x的表达式； （3）当乙车按（2）中的状态行驶与甲车相遇后，速度随即改为a（千米/时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚40分钟到达终点，求乙车变化后的速度a． 24. 某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？ 25. 如图，是我市某大楼的高，在地面上点处测得楼顶的仰角为，沿方向前进米到达点，测得．现打算从大楼顶端点悬挂一幅庆祝建国周年的大型标语，若标语底端距地面，请你计算标语的长度应为多少？ 26. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，轴，点、的横坐标都是，且，点在上，若反比例函数的图象经过点、，且. （1）求的值及点的坐标； （2）将沿着折叠，设顶点的对称点的坐标是，求代数式的值． 27. 如图（1），已知在中，，为底边上的高，且．将沿箭头所示的方向平移，得到．如图（2），交于，分别交、于、．以为直径作，设的长为，的面积为． （1）求与之间的函数关系式及自变量的取值范围； （2）连接，求与相切时的值； （3）设四边形的面积为，试求关于的函数表达式，并求为何值时，的值最大，最大值是多少？ 28. 猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B，C，G三点在一条直线上，CE在边CD上．连结AF，若M为AF的中点，连结DM，ME，试猜想DM与ME的数量关系，并证明你的结论． 拓展与延伸： (1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为__________________； (2)如图②摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半] 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通市海门区海南中学2024学年度九年级开学考试卷 数学卷 （全卷满分150分 考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每题的四个选项中，只有一个选项是符合要求的．） 1. 一组数据 1，2，3，0，-2，-3 的极差是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据极差的定义，最大值减去最小值即可求得． 【详解】由题意可知，极差为3-（-3）=6． 故选A． 【点睛】本题考查了极差，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值． 注意：①极差的单位与原数据单位一致．②如果数据的平均数、中位数、极差都完全相同，此时用极差来反映数据的离散程度就显得不准确． 2. 下列图形不是相似图形的是（ ） A. 同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片 B. 用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有放大过程中原有图案和放大图案 C. 某人的侧身照片和正面照片 D. 大小不同的两张中国地图 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了相似图形的定义．利用相似图形的定义分别分析得出符合题意的图形即可． 【详解】解：A、同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片，是形状相同的图形，不合题意； B、用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案，是形状相同的图形，不合题意； C、某人的侧身照片和正面照片，不是形状相同的图形，符合题意； D、大小不同的两张中国地图，是形状相同的图形，不合题意； 故选：C． 3. 对于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 经过点 B. 在第二象限内，随的增大而增大 C. 是轴对称图形，且对称轴是轴 D. 是中心对称图形，且对称中心是坐标原点 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对A进行判断；根据反比例函数的性质对B、C、D进行判断． 【详解】A、当x＝3时，y＝−＝−1，则点（3，−1）在反比例函数图象上，所以A选项正确； B、在每一象限，y随x的增大而增大，所以B选项错正确； C、反比例函数的两个分支关于原点对称，但不关于任何一个坐标轴对称，故错误； D、是中心对称图形，且对称中心是坐标原点，所以D选项正确． 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 4. 已知二次函数y＝2x ²－3，当－1≤x≤2时，y的取值范围是（ ） A. －1≤y≤5 B. －5≤y≤5 C. －3≤y≤5 D. －2≤y≤1 【答案】C 【解析】 【详解】先根据二次函数图象和性质可得:二次函数y＝2x ²－3在－1≤x≤2内有最小值,当,函数最小值是,再把代入二次函数解析式求函数值进行比较可得:当时,函数值最大,最大值是5,因此当－1≤x≤2时,y的取值范围是－3≤y≤5,因此正确选项是C. 5. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：由题意得，x－1≥0， 解得x≥1． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数． 6. 用反证法证明：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF．证明该命题的第一个步骤是（　　） A. 假设CD∥EF B. 假设AB∥EF C. 假设CD和EF不平行 D. 假设AB和EF不平行 【答案】C 【解析】 【详解】因为“用反证法证明命题的第一步：通常是假设所证结论不成立”， 所以当用反证法证明：“如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF”，这一命题时，第一步应该是：“假设CD和EF不平行”. 故选C. 7. 若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】将n代入方程，提公因式化简即可. 【详解】解：∵n（）是关于x的方程的根， ∴，即n(n+m+2)=0, ∵， ∴n+m+2=0，即m+n=-2， 故选：D. 【点睛】本题考查了一元二次方程的求解,属于简单题,提公因式求出m+n是解题关键. 8. 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（） A. B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，∴AC=AB=4． 设⊙O的半径为r，则OC=r－2， 在Rt△AOC中，∵， ∴，即，解得r=5． ∴． 连接BE， ∵AE是的直径，∴∠ABE=90°． 在Rt△ABE中，∵，∴． 在Rt△BCE中，∵，∴． 故选：D． 9. 二次函数（，为常数）的图象如图，有实数根的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用图象直接得出的取值范围即可． 【详解】解：一元二次方程有实数根，可以理解为和有交点， 由图可得， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了利用图象观察方程的解，正确利用数形结合是解此题的关键． 10. 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四边形CDEF＝S△ABF．其中正确的结论有（ ）个 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】①四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确； ②由，又AD∥BC，所以，进而得出，故②正确； ③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=1212BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确； ④根据相似三角形的边长之比得出△ABF和△ABC的比值，从而得出四边形CDEF和△ABF的面积之比，即可判定④正确. 【详解】过D作DM∥BE交AC于N，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC， ∵BE⊥AC于点F， ∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°， ∴△AEF∽△CAB，故①正确； ∵AD∥BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴， ∵， ∴， ∴CF=2AF，故②正确， ∵DE∥BM，BE∥DM， ∴四边形BMDE是平行四边形， ∴BM=DE=， ∴BM=CM， ∴CN=NF， ∵BE⊥AC于点F，DM∥BE， ∴DN⊥CF， ∴DF=DC，故③正确； ∵ ∴， ∵ 设，则，S四边形CDEF= ∴S四边形CDEF＝S△ABF，故④正确； 故选：A. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确作出辅助线是解题的关键. 二、填空题（本大题共8题，每题3分，共24分．把答案填在答题卡中对应的横线上）． 11. 若分式的值为零，则x的值为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由题意根据分式值为0的条件即分子为0且分母不为0进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴2x-1=0，且， ∴. 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，注意掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 12. 从－1，0，，3，中随机任取一数，取到无理数的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】首先找到－1，0，，3，中无理数为π，，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵从－1，0，，3，中随机任取一数，一共有5种等可能结果，其中满足无理数的占两种π和， ∴取到无理数的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查概率的计算公式和无理数的定义，解决问题的关键是掌握概率的计算公式． 13. 已知一组数据0，2，x，4，5的众数是4，那么这组数据的中位数是____. 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵数据0，2，x，4，5的众数是4， ∴x=4， 这组数据按照从小到大的顺序排列为：0，2，4，4，5， 则中位数为：4. 故答案为4. 14. 我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有，人，则可以列方程组________． 【答案】 【解析】 【分析】分别利用大、小和尚一共100人以及馒头大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，馒头一共100个分别得出等式得出答案． 【详解】解：设大、小和尚各有，人，则可以列方程组： ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键． 15. 已知双曲线与直线相交于点，则__． 【答案】 【解析】 【分析】本考查了一次函数图象和反比例函数图象的交点问题．把点的坐标代入解析式，即可求出，，通分后代入，即可求出答案． 【详解】解：双曲线与直线相交于点， 代入得：，， ，， ， 故答案为：． 16. 如图，在中，，将沿直线翻折后，顶点恰好落在边上的点处，已知，，，则四边形的面积是______． 【答案】36 【解析】 【分析】此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．首先连接，交于，由将沿直线翻折后，顶点恰好落在边上的点处，即可得，且，又由，易得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比等于相似比，即可得，又由，，即可求得四边形的面积． 【详解】解：连接，交于， 将沿直线翻折后，顶点恰好落在边上的点处， ，且， ， ， ， ， ， 在中，，，， ， ， ． 故答案为：36． 17. 如图，函数和的图象交于点，，若，则x的取值范围是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握函数图象法是解题关键．根据表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方即可得． 【详解】解：由图象可得： 表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方，交点的横坐标的取值范围， 则由函数图象可知，或， 故答案为：或． 18. 一次函数，当时，，则的值是______． 【答案】或##或2 【解析】 【分析】由于k的符号不能确定，故应对和两种情况进行解答． 【详解】解：当时，y随x的增大而增大， ∵当时，， ∴当时，；当时，， ∴， 解得 ∴； 当时，y随x的增大而减小， ∵当时，， ∴当时，；当时，， ∴， 解得 ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，在解答此题时要注意分类讨论，不要漏解． 三、解答题（本大题共10题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算 （1）； （2）解方程：； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，分式方程的解法． （1）先把特殊角的三角函数值代入，再计算即可； （2）方程根据去分母得整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 去分母得， 解得， 经检验，是原方程的解． 20. 已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是　 　； （2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1； （3）四边形AA2C2C的面积是 　平方单位． 【答案】（1） 如图所示， 点C1的坐标是（2，﹣2）； （2） 如图所示， （3）7.5 【解析】 【分析】（1）将△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，如图所示，找出所求点坐标即可； （2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，找出所求点坐标即可； （3）根据四边形的面积等于两个三角形面积之和解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 四边形AA2C2C的面积是＝ 故答案为：7.5 【点睛】本题主要考查了利用平移变换和位似变换进行作图，解决问题的关键是掌握：平移图形时，要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 21. 某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图． (1)这次被调查的同学共有 名； (2)把条形统计图补充完整； (3)校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？ 【答案】（1）1000； （2）图形见解析； （3）该校18000名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐． 【解析】 【分析】（1）用没有剩的人数除以其所占的百分比即可； （2）用抽查的总人数减去其他三类的人数，再画出图形即可； （3）根据这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐，再根据全校的总人数是18000人，列式计算即可． 【详解】解：（1）这次被调查的同学共有400÷40%=1000（名） 故答案为：1000 （2）剩少量的人数是：1000-400-250-150=200（名）， （3） 答：该校1800名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐. 22. 已知：如图，在中，点、在上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当四边形是菱形时，四边形应满足什么条件？（不需要说明理由） 【答案】（1）见解析 （2）；理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定．注意掌握数形结合思想的应用． （1）由平行四边形的性质得出，，由证得，继而证得结论； （2）由菱形的判定定理容易得出结论． 【小问1详解】 证明：连接交于，如图所示： 四边形是平行四边形， ∴，．，， ． 在和中，， ． ， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：当四边形是菱形时，四边形应满足；理由如下： 由（1）得：四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 23. A、B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶，甲车驶往B城，乙车驶往A城，甲车在行驶过程中速度始终不变，甲车距B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系如图． （1）求y关于x的表达式； （2）已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶，设在相遇前的行驶过程中，两车相距的路程为（千米）．请直接写出关于x的表达式； （3）当乙车按（2）中的状态行驶与甲车相遇后，速度随即改为a（千米/时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚40分钟到达终点，求乙车变化后的速度a． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题以行程问题为背景，考查由一次函数图象求解析式．分析相遇问题，求相遇时间及速度，重点考查学生的观察、理解及分析解决问题的能力． （1）由图知是的一次函数，设．把图象经过的坐标代入求出与的值． （2）根据路程与速度的关系列出方程可解． （3）由（2）得：甲乙两车经过2小时相遇．再由，设时，求出的值可知乙车到达终点所用的时间，根据时间和距离即可得值． 【小问1详解】 解：当时，；时，， 设，则， 解得， 关于的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）得：甲车的速度为90千米时，甲乙相距300千米， 甲乙相遇用时为：， 当时，函数解析式为； 【小问3详解】 解：由（2）得：甲乙两车经过2小时相遇， 因为乙车比甲车晚40分钟到达，40分钟小时， 所以在中，当，， 所以，相遇后乙车到达终点所用的时间为（小时）， 乙车与甲车相遇后的速度（千米时）， （千米时）． 24. 某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？ 【答案】100个；60元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设每个商品的定价是元， 由题意，得， 整理，得， 解得． 当时，进货个个，不符合题意，舍去； 当时，进货个个，符合题意． 答：商店若将准备获利2000元，该商品每个定价为60元时，进货100个． 25. 如图，是我市某大楼的高，在地面上点处测得楼顶的仰角为，沿方向前进米到达点，测得．现打算从大楼顶端点悬挂一幅庆祝建国周年的大型标语，若标语底端距地面，请你计算标语的长度应为多少？ 【答案】标语的长度应为米． 【解析】 【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形，即△ABC和△ADC．根据已知角的正切函数，可求得BC与AC、CD与AC之间的关系式，利用公共边列方程求AC后，AE即可解答． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°， ∴Rt△ABC是等腰直角三角形，AC=BC． 在Rt△ADC中， ∠ACD=90°，tan∠ADC=＝， ∴DC=AC， ∵BC-DC=BD，即AC-AC=18， ∴AC=45， 则AE=AC-EC=45-15=30． 答：标语AE的长度应为30米． 【点睛】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，轴，点、的横坐标都是，且，点在上，若反比例函数的图象经过点、，且. （1）求的值及点的坐标； （2）将沿着折叠，设顶点的对称点的坐标是，求代数式的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件求出点的坐标，从而求出的值，设点，即可求出； （2）过点作交于，交轴于，连接，根据条件证明，设，根据相似的性质即可求出 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵点、的横坐标都是， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得：， ∵轴， ∴设点， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 解：过点作交于，交轴于，连接（如图所示）， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：，， ∴， 设， ∴， 又∵在中，， ∴； 【点睛】本题考查了反比例函数的几何综合，一次函数，相似三角形的判定和性质，掌握数形结合的思想是解题关键． 27. 如图（1），已知在中，，为底边上的高，且．将沿箭头所示的方向平移，得到．如图（2），交于，分别交、于、．以为直径作，设的长为，的面积为． （1）求与之间的函数关系式及自变量的取值范围； （2）连接，求与相切时的值； （3）设四边形的面积为，试求关于的函数表达式，并求为何值时，的值最大，最大值是多少？ 【答案】（1）； （2）当时，与相切； （3）时，的值最大，最大值是12． 【解析】 【分析】本题结合矩形的性质以及三角形的相似考查了二次函数的应用，利用数形结合的思想来求解是本题的基本思路． （1）本题的关键是求出的长，已知了、的长，可在直角三角形中，用勾股定理求出的长，根据即可得出的表达式，有了的长即圆的直径可根据圆的面积公式得出，的函数关系式． （2）与圆相切，那么，根据（1）得出的的表达式可表示出的长，然后根据与相似，可得出关于、、、的比例关系式，以此来确定的值． （3）在（1）、（2）中已经得出了和的表达式，即可根据矩形的面积公式求出，的函数关系式． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 解： ， 四边形是矩形 若与相切，则 ， ， 即 解得 因此，当时，与相切； 【小问3详解】 解： 时，满足，的值最大，最大值是12． 28. 猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B，C，G三点在一条直线上，CE在边CD上．连结AF，若M为AF的中点，连结DM，ME，试猜想DM与ME的数量关系，并证明你的结论． 拓展与延伸： (1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为__________________； (2)如图②摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半] 【答案】猜想与证明：猜想DM与ME的数量关系是：DM＝ME，证明见解析；拓展与延伸：(1)DM＝ME，DM⊥ME；(2)证明见解析 【解析】 【分析】猜想：延长EM交AD于点H，利用△FME≌△AMH，得出HM=EM，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明． （1）延长EM交AD于点H，利用△FME≌△AMH，得出HM=EM，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明， （2）连接AC，AC和EC在同一条直线上，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明， 【详解】解：猜想与证明： 猜想DM与ME的数量关系是：DM＝ME. 证明：如图①，延长EM交AD于点H. ∵四边形ABCD、四边形ECGF都是矩形， ∴AD∥BG，EF∥BG，∠HDE＝90°. ∴AD∥EF. ∴∠AHM＝∠FEM. 又∵AM＝FM，∠AMH＝∠FME， ∴△AMH≌△FME. ∴HM＝EM. 又∵∠HDE＝90°， ∴DM＝EH＝ME； （1）∵四边形ABCD和CEFG是正方形， ∴AD∥EF， ∴∠EFM=∠HAM， 又∵∠FME=∠AMH，FM=AM， 在△FME和△AMH中， ， ∴△FME≌△AMH（ASA） ∴HM=EM， 在RT△HDE中，HM=EM， ∴DM=HM=ME， ∴DM=ME． ∵四边形ABCD和CEFG是正方形， ∴AD=CD，CE=EF， ∵△FME≌△AMH， ∴EF=AH， ∴DH=DE， ∴△DEH是等腰直角三角形， 又∵MH=ME， 故答案为：DM＝ME，DM⊥ME； （2）证明：如图②，连结AC. ∵四边形ABCD、四边形ECGF都是正方形， ∴∠DCA＝∠DCE＝∠CFE＝45°， ∴点E在AC上． ∴∠AEF＝∠FEC＝90°. 又∵点M是AF的中点， ∴ME＝AF. ∵∠ADC＝90°，点M是AF的中点， ∴DM＝AF. ∴DM＝ME. ∵ME＝AF＝FM，DM＝AF＝FM， ∴∠DFM＝ (180°－∠DMF)，∠MFE＝ (180°－∠FME)， ∴∠DFM＋∠MFE＝ (180°－∠DMF)＋ (180°－∠FME) ＝180°－ (∠DMF＋∠FME) ＝180°－∠DME. ∵∠DFM＋∠MFE＝180°－∠CFE＝180°－45°＝135°， ∴180°－∠DME＝135°. ∴∠DME＝90°. ∴DM⊥ME. 【点睛】本题主要考查四边形的综合题，解题的关键是利用正方形的性质及直角三角形的中线与斜边的关系找出相等的线段． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $